1、2016年河南省中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24分 )下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 . 1. 13的相反数是 ( ) A. 13B.13C.-3 D.3 解析：根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得 13的相反数是 13. 答案： B. 2.某种细胞的直径是 0.00000095 米，将 0.00000095 米用科学记数法表示为 ( ) A.9.5 10-7 B.9.5 10-8 C.0.95 10-7 D.95 10-8 解析：绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a 10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指
2、数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 . 0.00000095=9.5 10-7. 答案： A. 3.下列几何体是由 4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是 ( ) A. B. C. D. 解析：从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图 . A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故 A错误； B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故 B错误； C、主视图是第一层两个小正方形，第
3、二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故 C正确； D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故 D错误 . 答案： C. 4.下列计算正确的是 ( ) A. 8 22 B.(-3)2=6 C.3a4-2a2=a2 D.(-a3)2=a5 解析：分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则化简求出答案 . A、 2 2 2 282 ，故此选项正确； B、 (-3)2=9，故此选项错误； C、 3a4-2a2，无法计算，故此选项错误； D、 (-a3)2=a6，故此选
4、项错误 . 答案： A. 5.如图，过反比例函数 kyx(x 0)的图象上一点 A作 AB x轴于点 B，连接 AO，若 S AOB=2，则 k的值为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析：点 A是反比例函数 kyx图象上一点，且 AB x轴于点 B， S AOB=12|k|=2， 解得： k= 4. 反比例函数在第一象限有图象， k=4. 答案： C. 6.如图，在 ABC中， ACB=90， AC=8， AB=10， DE垂直平分 AC 交 AB于点 E，则 DE 的长为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析：在 Rt ACB中， ACB=90， AC=8， AB=10，
5、BC=6. 又 DE 垂直平分 AC交 AB于点 E， DE是 ACB的中位线， DE=12BC=3. 答案 ： D. 7.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择 ( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析： x x x x甲 乙 丁丙 ， 从甲和丙中选择一人参加比赛， S2甲 =S2乙 S2丙 S2乙 ， 选择甲参赛， 答案： A. 8.如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0， 0)， B(2， 2)，若菱形绕点 O逆时针旋转，每秒旋转 45，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D的
6、坐标为 ( ) A.(1， -1) B.(-1， -1) C.( 2 ， 0) D.(0， 2 ) 解析：菱形 OABC的顶点 O(0， 0)， B(2， 2)，得 D点坐标为 (1， 1). 每秒旋转 45，则第 60秒时，得 45 60=2700， 2700 360=7.5周， OD旋转了 7周半，菱形的对角线交点 D的坐标为 (-1， -1). 答案： B. 二、填空题 (每小题 3 分，共 21分 ) 9.计算： 0 328 . 解析：分别进行零指数幂、开立方的运算，然后合并 . 原式 =1-2=-1. 答案： -1. 10.如图，在 ABCD中， BE AB交对角线 AC 于点 E，
7、若 1=20，则 2的度数为 . 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， AB CD， BAE= 1=20， BE AB， ABE=90， 2= BAE+ ABE=110 . 答案： 110 . 11.若关于 x的一元二次方程 x2+3x-k=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是 . 解析：关于 x的一元二次方程 x2+3x-k=0有两个不相等的实数根， =32-4 1 (-k)=9+4k 0， 解得： 94k . 答案： 94k . 12.在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了 4 组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是 . 解析：设四个小组分别记作 A、 B、
8、C、 D， 画树状图如图： 由树状图可知，共有 16种等可能结果，其中小明、小亮被分到同一个小组的结果由 4种， 小明和小亮同学被分在一组的概率是 416 14. 答案： 14. 13.已知 A(0， 3)， B(2， 3)是抛物线 y=-x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是 . 解析： A(0， 3)， B(2， 3)是抛物线 y=-x2+bx+c上两点， 代入得： 34 2 3cbc ， 解得： b=2， c=3， y=-x2+2x+3 =-(x-1)2+4， 顶点坐标为 (1， 4). 答案： (1， 4). 14.如图，在扇形 AOB中， AOB=90，以点 A为圆心， OA 的
9、长为半径作 OC 交 AB 于点 C，若 OA=2，则阴影部分的面积为 . 解析：连接 OC、 AC， 由题意得， OA=OC=AC=2， AOC为等边三角形， BOC=30， 扇形 COB的面积为： 23 0 2360 13 ， AOC的面积为： 1 32 2 3 ， 扇形 AOC的面积为： 26 0 2 23 6 0 3 ， 则阴影部分的面积为：3 1333321 . 答案 ： 133. 15.如图，已知 AD BC， AB BC， AB=3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将 ABE 沿AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD， BC 于点
10、M， N.当点 B为线段 MN 的三等分点时， BE 的长为 . 解析：如图， 由翻折的性质，得 AB=AB， BE=B E. MB =2， B N=1时，设 EN=x，得 2 1B E x . B EN AB M， EN B EB M AB，即 2 123xx ， 2 45x ， 431555B E B E . 当 MB =1， B N=2 时，设 EN=x，得 222B E x ， B EN AB M， EN B EB M AB，即 2 413xx ， 解得 2 12x ， 122342B E B E . 答案： 355或 322. 三、解答题 (本大题共 8小题，满分 75 分 ) 16
11、.先化简，再求值： 2221121xxx x x x ，其中 x 的值从不等式组 12 1 4xx 的整数解中选取 . 解析：先算括号里面的，再算除法，求出 x的取值范围，选出合适的 x的值代入求值即可 . 答案：原式 2 111 1 1 1 1x x x x x x xx x x x x x ， 解不等式组 12 1 4xx 得， 512x， 当 x=2时，原式 2 212 . 17.在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中 20名成员一天行走的步数，记录如下： 5640 6430 6520 6798 7325 8430 8215 7453 7446 6754 7638 683
12、4 7326 6830 8648 8753 9450 9865 7290 7850 对这 20 个数据按组距 1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表： 请根据以上信息解答下列问题： (1)填空： m= ， n= . 解析： (1)根据题目中的数据即可直接确定 m和 n 的值 ： m=4， n=1. 答案 ： (1)4， 4. (2)补全频数发布直方图 . 解析： (2)根据 (1)的结果即可直接补全直方图 . 答案： (2) (3)这 20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 组 . 解析： (3)根据中位数的定义 可知 行走步数的中位数落在 B组 . 答案：
13、(3)B. (4)若该团队共有 120 人，请估计其中一天行走步数不少于 7500步的人数 . 解析： (4)利用总人数乘以对应的比例即可求解 . 答案： (4)一天行走步数不少于 7500步的人数是： 4 3 11 2 0 4 820(人 ). 答：估计一天行走步数不少于 7500步的人数是 48人 . 18.如图，在 Rt ABC 中， ABC=90，点 M是 AC的中点，以 AB为直径作 O分别交 AC，BM于点 D， E. (1)求证： MD=ME. 解析： (1)先证明 A= ABM，再证明 MDE= MBA， MED= A即可解决问题 . 答案： (1) ABC=90， AM=MC
14、， BM=AM=MC， A= ABM， 四边形 ABED是圆内接四边形， ADE+ ABE=180， 又 ADE+ MDE=180， MDE= MBA， 同理证明： MED= A， MDE= MED， MD=ME. (2)填空： 若 AB=6，当 AD=2DM 时， DE= . 连接 OD， OE，当 A 的度数为 时，四边形 ODME是菱形 . 解析： (2)由 DE AB，得 DE MDAB MA即可解决问题 . 当 A=60时，四边形 ODME是菱形，只要证明 ODE， DEM都是等边三角形即可 . 答案： (2)由 (1)可知， A= MDE， DE AB， DE MDAB MA， A
15、D=2DM， DM： MA=1： 3， 13 213 6D E A B . 故答案为 2. 当 A=60时，四边形 ODME是菱形 . 理由：连接 OD、 OE， OA=OD， A=60， AOD是等边三角形， AOD=60， DE AB， ODE= AOD=60， MDE= MED= A=60， ODE， DEM都是等边三角形， OD=OE=EM=DM， 四边形 OEMD是菱形 . 即当 A=60时，四边形 OEMD是菱形 . 故答案为 60 . 19.如图，小东在教学楼距地面 9米高的窗口 C处，测得正前方旗杆顶部 A点的仰角为 37，旗杆底部 B点的俯角为 45，升旗时，国旗上端悬挂在距
16、地面 2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米 /秒的速度匀速上升？(参考数据： sin37 0.60， cos37 0.80， tan37 0.75) 解析：通过解直角 BCD和直角 ACD分别求得 BD、 CD以及 AD的长度，则易得 AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“ 上 升 的 高 度速 度时 间”进行解答即可 . 答案：在 Rt BCD中， BD=9米， BCD=45，则 BD=CD=9米 . 在 Rt ACD中， CD=9米， ACD=37，则 AD=CD?tan37 9 0.75=6.75(米 ). 所以
17、， AB=AD+BD=15.75米， 整个过程中旗子上升高度是： 15.75-2.25=13.5(米 )， 因为耗时 45s， 所以上升速度 13.5 0.345v (米 /秒 ). 答：国旗应以 0.3米 /秒的速度匀速上升 . 20.学校准备购进一批节能灯，已知 1只 A型节能灯和 3只 B型节能灯共需 26 元； 3只 A型节能灯和 2只 B型节能灯共需 29 元 . (1)求一只 A型节能灯和一只 B型节能灯的售价各是多少元 . 解析： (1)设一只 A型节能灯的售价是 x元，一只 B型节能灯的售价是 y元，根据：“ 1只 A型节能灯和 3只 B型节能灯共需 26元； 3只 A型节能灯
18、和 2只 B型节能灯共需 29元”列方程组求解即可 . 答案： (1)设一只 A型节能灯的售价是 x元，一只 B型节能灯的售价是 y元， 根据题意，得： 3 263 2 29xyxy， 解得： 57xy， 答：一只 A型节能灯的售价是 5元，一只 B型节能灯的售价是 7元 . (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只，并且 A型节能灯的数量不多于 B型节能灯数量的 3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由 . 解析： (2)首先根据“ A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和 A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值
19、即可 . 答案： (2)设购进 A型节能灯 m只，总费用为 W元， 根据题意，得： W=5m+7(50-m)=-2m+350， -2 0， W随 x的增大而减小， 又 m 3(50-m)，解得： m 37.5， 而 m为正整数， 当 m=37时， W 最小 =-2 37+350=276， 此时 50-37=13， 答：当购买 A型灯 37 只， B型灯 13只时，最省钱 . 21.某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2-2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整 . (1)自变量 x的取值范围是全体实数， x与 y的几组对应值列表如下： 其中， m= . 解析： (1)根据函数的对
20、称性可得 m=0. 答案： (1)0. (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分 . 解析： (2)描点、连线即可得到函数的图象 . 答案： (2)如图所示 . (3)观察函数图象，写出两条函数的性质 . 解析： (3)根据函数图象得到函数 y=x2-2|x|的图象关于 y 轴对称；当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大 . 答案： (3)由函数图象知： 函数 y=x2-2|x|的图象关于 y轴对称； 当 x 1时， y随 x的增大而增大 . (4)进一步探究函数图象发现： 函数图象与 x轴有 个交点，所以对应的方程 x2-
21、2|x|=0有 个实数根； 方程 x2-2|x|=2有 个实数根； 关于 x的方程 x2-2|x|=a 有 4个实数根时， a的取值范围是 . 解析： (4)根据函数图象与 x轴的交点个数，即可得到结论；如图，根据 y=x2-2|x|的图象与直线 y=2 的交点个数，即可得到结论；根据函数的图象即可得到 a 的取值范围是 -1 a 0. 答案： (4)由函数图象知：函数图象与 x 轴有 3 个交点，所以对应的方程 x2-2|x|=0 有 3个实数根 . 如图， y=x2-2|x|的图象与直线 y=2有两个交点， x2-2|x|=2有 2个实数根； 由函数图象知：关于 x的方程 x2-2|x|=
22、a有 4个实数根， a的取值范围是 -1 a 0， 答案 ： 3， 3， 2， -1 a 0. 22.如图： (1)发现：如图 1，点 A为线段 BC 外一动点，且 BC=a， AB=b. 填空：当点 A位于 时，线段 AC 的长取得最大值，且最大值为 (用含 a， b的式子表示 ) 解析： (1)根据点 A位于 CB 的延长线上时，线段 AC 的长取得最大值，即可得到结论 . 答案： (1)点 A为线段 BC 外一动点，且 BC=a， AB=b， 当点 A位于 CB 的延长线上时，线段 AC的长取得最大值，且最大值为 BC+AB=a+b， 故答案为： CB的延长线上， a+b. (2)应用：
23、点 A为线段 BC外一动点，且 BC=3， AB=1，如图 2所示，分别以 AB， AC 为边，作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连接 CD， BE. 请找出图中与 BE相等的线段，并说明理由； 直接写出线段 BE长的最大值 . 解析： (2)根据等边三角形的性质得到 AD=AB， AC=AE， BAD= CAE=60，推出 CAD EAB，根据全等三角形的性质得到 CD=BE；由于线段 BE 长的最大值 =线段 CD 的最大值，根据 (1)中的结论即可得到结果 . 答案： (2) CD=BE， 理由： ABD与 ACE是等边三角形， AD=AB， AC=AE， BAD= CAE=60
24、， BAD+ BAC= CAE+ BAC， 即 CAD= EAB， 在 CAD与 EAB中， A D A BC A D E A BA C A E， CAD EAB， CD=BE； 线段 BE 长的最大值 =线段 CD 的最大值， 由 (1)知，当线段 CD的长取得最大值时，点 D在 CB 的延长线上， 最大值为 BD+BC=AB+BC=4. (3)拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 (2， 0)，点 B的坐标为 (5， 0)，点 P为线段 AB外一动点，且 PA=2， PM=PB， BPM=90，请直接写出线段 AM长的最大值及此时点 P的坐标 . 解析： (3)连接 BM，将
25、 APM 绕着点 P 顺时针旋转 90得到 PBN，连接 AN，得到 APN 是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到 PN=PA=2， BN=AM，根据当 N在线段 BA 的延长线时，线段 BN取得最大值，即可得到最大值为 2 2 3 ；如图 2，过 P作 PE x轴于 E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论 . 答案： (3)连接 BM，将 APM绕着点 P顺时针旋转 90得到 PBN，连接 AN， 则 APN是等腰直角三角形， PN=PA=2， BN=AM， A的坐标为 (2， 0)，点 B的坐标为 (5， 0)， OA=2， OB=5， AB=3， 线段 AM长的最大值 =线段 B
26、N长的最大值， 当 N在线段 BA 的延长线时，线段 BN 取得最大值， AM 最大值 =BN 最大值 =AB+AN， 222A N A P， BN最大值为 2 2 3 ， 即 AM最大值为 2 2 3 . 如图 2，过 P作 PE x 轴于 E， APN是等腰直角三角形， PE=AE= 2 ， 2232O E B O ， P(2 2 ， 2). 23.如图 1，直线 43y x n 交 x轴于点 A，交 y轴于点 C(0， 4)，抛物线 223y x bx c 经过点 A，交 y 轴于点 B(0， -2).点 P为抛物线上一个动点，过点 P作 x轴的垂线 PD，过点B作 BD PD 于点 D
27、，连接 PB，设点 P的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式 . 解析： (1)先确定出点 A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式 . 答案： (1)点 C(0， 4)在直线 43y x n 上， n=4， 4 43yx ， 令 y=0， x=3， A(3， 0)， 抛物线 223y x bx c 经过点 A，交 y轴于点 B(0， -2). c=-2， 6+3b-2=0， 43b， 抛物线解析式为 2 4 223 3y x x . (2)当 BDP为等腰直角三角形时，求线段 PD的长 . 解析： (2)由 BDP为等腰直角三角形，判断出 BD=PD，建立 m的方程计算出 m，从而求出 P
28、D. 答案： (2)点 P的横坐标为 m. P(m， 2 433 22 mm)， 当 BDP为等腰直角三角形时， PD=BD. 当点 P在直线 BD上方时， 2 4323P D m m. (i)若点 P在 y轴左侧，则 m 0， BD=-m. 2 4323 m m m ， 解得 m1=0(舍去 )， m2=12(舍去 ) (ii)若点 P在 y轴右侧，则 m 0， BD=m. 2 423 3m m m， 解得 m1=0(舍去 )， m2=72. 当点 P在直线 BD下方时， m 0， BD=m， 23 432P D m m . 223 4 =3m m m， 解得 m1=0(舍去 )， m2=1
29、2. 综上所述， m=72或 12. 即当 BDP为等腰直角三角形时，线段 PD 的长为 72或 12. (3)如图 2，将 BDP绕点 B 逆时针旋转，得到 BD P，且旋转角 PBP = OAC，当点 P的对应点 P落在坐标轴上时，请直接写出点 P的坐标 . 解析： (3)分点 P落在 x轴和 y轴两种情况计算即可 . 答案： (3) PBP= OAC， OA=3， OC=4， AC=5， 45sin PBP， 35cos PBP， 当点 P落在 x轴上时，过点 D作 DN x轴，垂足为 N，交 BD于点 M， DBD= NDP= PBP， 如图 1， ND-MD=2， 23 4 423
30、25 3 5m m m （ ） （ ）， 5m (舍 )，或 5m ， 如图 2， ND+MD=2， 23 4 4 25 3 523 m m m （ ）， 5m ，或 5m (舍 )， P( 5 ， 4 5 43)或 P( 5 ， 4453)， 当点 P落在 y轴上时，如图 3， 过点 D作 D M x轴，交 BD于 M，过点 P作 P N y轴，交 MD的延长线于点 N， DBD = ND P = PBP， P N=BM， 4 4 32532 53 m m m（ ）， 258m， P(258， 1132). 综上所述： P( 5 ， 4 5 43)或 P( 5 ， 4453)或 P(258， 1132).
