1、 2016 年河南省周口市西华县东王营中学中考 一模 数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 24 分 )下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 . 1.下列各数中，最小的数是 ( ) A.3-2 B.25C. 117D. 2 解析： 2 61 2 13 0 . 1 1 0 . 4 1 0 . 8 6 2 1 . 4 1 49 5 7 7 ， ， ， 因为 0.11 0.4 0.86 1.414， 所以 2 213 1 257 ， 所以最小的数是 3-2. 答案： A. 2.以下是我市著名企事业 (新飞电器、心连心化肥、新乡银行、格美特科技 )的徽标或者商标，其中既是轴对称图形又是中心对
2、称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .故错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故错误； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形 .故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故正确 . 答案： D. 3. 2014 年巴西世界杯在南美洲国家巴西境内 12 座城市中的 12 座球场内举行，本届世界杯 的冠军将获得 3500 万美元的奖励，将 3500 万用科学记数法表示为 ( ) A.3.5 106 B.3.5 107 C.35 106 D.0.35 108 解析： 3500 万 =3500 0000=3.5 107， 答案：
3、B. 4.下列各式计算正确的是 ( ) A. 3 2 1 B.a6 a2=a3 C.x2+x3=x5 D.(-x2)3=-x6 解析： A、 3 与 2 不是同类二次根式，不能合并，错误； B、 a6 a2=a4，错误； C、 x2 与 x3 不是同类项不能合并，错误； D、 (-x2)3=-x6，正确； 答案： D 5.用 6 个完全相同的小正方体组合成如图所示的立体图形，它的俯视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：从上面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 . 答案： D. 6.如图是交警在一个路口统计的某个时段来往车辆的车速 (单位：千米 /时 )情况 .则这些
4、车的车速的众数、中位数分别是 ( ) A.8， 6 B.8， 5 C.52， 53 D.52， 52 解析：根据题意得：这些车的车速的众数 52 千米 /时， 车速分别为 50， 50， 51， 51， 51， 51， 51， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 52， 53， 53，53， 53， 53， 53， 54， 54， 54， 54， 55， 55， 中间的为 52，即中位数为 52 千米 /时， 则这些车的车速的众数、中位数分别是 52， 52. 答案 ： D. 7.如图，已知点 P 是 AOB 角平分线上的一点， AOB=60， PD OA， M 是 OP
5、的中点，DM=4cm，如果点 C 是 OB 上一个动点，则 PC 的最小值为 ( ) A.2 B.23 C.4 D.43 解析： P 是 AOB 角平分线上的一点， AOB=60， AOP=12 AOB=30， PD OA， M 是 OP 的中点， DM=4cm， OP=2OM=8， PD=12OP=4， 点 C 是 OB 上一个动点， PC 的最小值为 P 到 OB 距离， PC 的最小值 =PD=4. 答案： C. 8.如图，动点 P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点 (1，1)，第 2 次接着运动到点 (2， 0)，第 3 次接着运动到点 (3， 2)，
6、按这样的运动规律，经过第 2011 次运动后，动点 P 的坐标是 ( ) A.(2011， 0) B.(2011， 1) C.(2011， 2) D.(2010， 0) 解析：第 1 次运动到点 (1， 1)，第 2 次运动到点 (2， 0)，第 3 次接着运动到点 (3， 2)，第 4次运动到点 (4， 0)，第 5 次运动到点 (5， 1)， 运动后点的横坐标等于运动的次数， 第 2011 次运动后点 P 的横坐标为 2011， 纵坐标以 1、 0、 2、 0 每 4 次为一个循环组循环， 2011 4=502 3， 第 2011 次运动后动点 P 的纵坐标是第 503 个循环组的第 3
7、次运动，与第 3 次运动的点的纵坐标相同，为 2， 点 P(2011， 2). 答案： C. 二、填空题 (每小题 3 分，共 21 分 ) 9.计算： 0 | 12 2 1 3 0 12s i n （ ） （ ）= . 解析：原式 =1-1+2=2， 答案 ： 2 10.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 B 坐标为 (8， 4)，将矩形 OABC 绕点 O 逆时针旋转，使点 B 落在 y 轴上的点 B处，得到矩形 OA B C， OA与 BC 相交于点 D，则经过点 D 的反比例函数解析式是 . 解析： B(8， 4)， OA=8， AB=OC=4， A O=OA=8， A
8、B =AB=4， CD ABta n C O D O C A O ， 即 448CD， 解得 CD=2， 点 D 的坐标为 (2， 4)， 设经过点 D 的反比例函数解析式为 0kykx（ ）， 则 42k， 解得 k=8， 所以，经过点 D 的反比例函数解析式为 8yx. 答案： 8yx. 11.一个盒子内装有只有颜色不同的四个球，其中红球 1 个、绿球 1 个、白球 2 个，小明摸出一个球放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是 . 解析：画树状图得： 共有 16 种等可能的结果，两次都摸到白球的有 4 种情况， 两次都摸到白球的概率是： 4116 4. 答案： 14. 12.如图，在
9、 ABC 中， AC=BC， B=70，分别以点 A、 C 为圆心，大于 12AC 的长为半径作弧，两弧相交于点 M、 N，作直线 MN，分别交 AC、 BC 于点 D、 E，连结 AE，则 AED 的度数是 . 解析：由作图可知， MN 是线段 AC 的垂直平分线， CE=AE， C= CAE， AC=BC， B=70， C=40， AED=50， 答案： 50. 13.抛物线 y=x2-4x+c 与 x 轴交于 A、 B 两点，已知点 A 的坐标为 (1， 0)，则线段 AB 的长度为 . 解析：抛物线 y=x2-4x+c=(x-2)2-4+c， 抛物线的对称轴为直线 x=2， 点 A 的
10、坐标为 (1， 0)， 点 B 的坐标为 (3， 0)， 线段 AB=3-1=2， 答案： 2. 14.如图，在 ABC 中， C=90， AC=BC，斜边 AB=2， O 是 AB 的中点，以 O 为圆心，线段OC 的长为半径画圆心角为 90的扇形 OEF，弧 EF 经过点 C，则图中阴影部分的面积为 . 解析：连接 OC，作 OM BC， ON AC. CA=CB， ACB=90，点 O 为 AB 的中点， OC=12AB=1，四边形 OMCN 是正方形， 22OM. 则扇形 FOE 的面积是： 290 1360 4 . OA=OB， AOB=90，点 D 为 AB 的中点， OC 平分
11、BCA， 又 OM BC， ON AC， OM=ON， GOH= MON=90， GOM= HON， 则在 OMG 和 ONH 中， O M G O N HG O M H O NO M O N， OMG ONH(AAS)， 22 122O G C H O M C NSS 四 形 四 形 （ ）边 边. 则阴影部分的面积是： 142. 答案： 142. 15.如图，矩形 ABCD 中， AB=6， BC=8，点 F 为 BC 边上的一个动点，把 ABF 沿 AF 折叠 .当点 B 的对应点 B落在矩形 ABCD 的对称轴上时，则 BF 的长为 . 解析：当 B在横对称轴上，此时 AE=EB=3，
12、如图 1 所示， 由折叠可得 ABF AB F， AFB= AFB， AB=AB =6， BF=B F， B MF= B FM， B M=B F， EB BF，且 E 为 AB 中点， M 为 AF 中点，即 EM 为中位线， B MF= MFB， EM=12BF， 设 BF=x，则有 B M=B F=BF=x， EM=12x，即 EB =32x， 在 Rt AEB中，根据勾股定理得： 2 2 23362 x（ ）， 解得： x=23，即 BF=23； 当 B在竖对称轴上时，此时 AM=MD=BN=CN=4，如图 2 所示： 设 BF=x， B N=y，则有 FN=4-x， 在 Rt FNB中
13、，根据勾股定理得： y2+(4-x)2=x2， AB F=90， AB M+ NB F=90， B FN+ NB F=90， B FN= AB M， AMB = B NF=90， AMB B NF， 64A M A BB N B F y x ， 即， 23yx， 2 2 22 43 x x x （ ） （ ）， 解得129 3 5 9 3 5xx ， 9 3 5 4 ，舍去， 9 3 5x 所以 BF 的长为 23或 9 3 5x ， 答案： 23或 9 3 5x . 三、解答题 (本大题共 8 个小题，满分 75 分 ) 16.先化简，再求值： 31 222aaaa （ ） （ ），其中 a
14、 满足 a2-a-2=0. 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由 a 满足 a2-a-2=0 求出 a 的值，代入原式进行计算即可 . 答案：原式 = 2 21 122a aaa = 21 22 11a aa aa = 11aa， a 满足 a2-a-2=0， a1=-1(舍去 )， a2=2， 当 a=2 时，原式 = 213 . 17.在 2015 年的政府工作报告中提出了九大热词，某数学兴趣小组就 A 互联网 +、 B 民生底线、 C 中国制造 2.0、 D 能耗强度等四个热词进行 了抽样调查，每个同学只能从中选择一个“我最关注”的热词，如图是根据调查结果绘制的两幅不完整
15、的统计图 . 请你根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查中，一共调查了 名同学； (2)条形统计图中， m= ， n= ； (3)扇形统计图中，热词 B 所在扇形的圆心角的度数是 ； (4)从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是多少？ 解析： (1)根据 A 的人数为 105 人，所占的百分比为 35%，求出总人数，即可解答； (2)C 所对应的人数为：总人数 30%， B 所对应的人数为：总人数 -A 所对应的人数 -C 所对应的人数 -D 所对应的人数，即可解答； (3)根据 B 所占的百分比 360，即可解答； (4)根据概率公式，即可解答 . 答案： (1
16、)105 35%=300(人 ). 答案为： 300； (2)n=300 30%=90(人 )， m=300-105-90-45=60(人 ). 答案为： 60， 90； (3) 60300 360 =72 . 答案为： 72； (4) 45 3300 20. 答：从该校学生中随机抽取一个最关注热词 D 的学生的概率是 320. 18.如图， AB 为 O 的直径，点 C 为 AB 延长线上一点，动点 P 从点 A 出发沿 AC 方向以 lcm/s的速度运动，同时动点 Q 从点 C 出发以相同的速度沿 CA 方向运动，当两点相遇时停止运动， 过点 P 作 AB 的垂线，分别交 O 于点 M 和
17、点 N，已知 O 的半径为 l，设运动时间为 t 秒 . (1)若 AC=5，则当 t= 时，四边形 AMQN 为菱形；当 t= 时， NQ 与 O 相切； (2)当 AC 的长为多少时，存在 t 的值，使四 边形 AMQN 为正方形？请说明理由，并求出此时t 的值 . 解析： (1)AP=t， CQ=t，则 PQ=5-2t，由于 NM AB，根据垂径定理得 PM=PN，根据菱形的判定方法，当 PA=PQ 时，四边形 AMQN 为菱形，即 t=5-2t，然后解一元一次方程可求 t 的值；根据切线的判定定理，当 ONQ=90时， NQ 与 O 相切，如图，此时 OP=t-1，OQ=AC-OA-Q
18、C=4-t，再证明 Rt ONP Rt OQN，利用相似比可得 t2-5t+5=0，然后解一元二次方程可得到 t 的值； (2)当四边形 AMQN 为正方形 .则 MAN=90，根据圆周角定理得到 MN 为 O 的直径，而 MQN=90，又可判断 AQ 为直径，于是得到点 P 在圆心，所以 t=AP=1， CQ=t=1，则可得到此时 AC=AQ+CQ=3. 答案： (1)AP=t， CQ=t，则 PQ=5-2t， NM AB， PM=PN， 当 PA=PQ 时，四边形 AMQN 为菱形，即 t=5-2t，解得 t=53； 当 ONQ=90时， NQ 与 O 相切，如图， OP=t-1， OQ=
19、AC-OA-QC=5-1-t=4-t， NOP= QON， Rt ONP Rt OQN， 1141O N O P tO Q O N t ， 即， 整理得 t2-5t+5=0，解得125 5 5 522tt，(1 t 2.5，故舍去 )， 即当 552t 时， NQ 与 O 相切； 故答案为 53， 552； (2)当 AC 的长为 3 时，存在 t=1，使四边形 AMQN 为正方形 .理由如下： 四边形 AMQN 为正方形 . MAN=90， MN 为 O 的直径， 而 MQN=90， 点 Q 在 O 上， AQ 为直径， 点 P 在圆心， MN=AQ=2， AP=1， t=AP=1， CQ=
20、t=1， AC=AQ+CQ=2+1=3. 19.已知关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根 . (1)求 m 的取值范围； (2)当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的根 . 解析： (1)根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 m-2 0 且 =4m2-4(m-2)(m+3) 0，然后解不等式即可； (2)根据 (1)的结论得到 m 满足条件的最大整数为 5，则原方程化为 3x2+10x+8=0，然后利用因式分解法解方程 . 答案： (1)根据题意得 m-2 0 且 =4m2-4(m-2)(m+3) 0， 解得 m 6 且 m 2； (2)m
21、满足条件的最大整数为 5，则原方程化为 3x2+10x+8=0， (3x+4)(x+2)=0， 124 23xx ，. 20.在某飞机场东西方向的地面 l 上有一长为 1km 的飞机跑道 MN(如图 )，在跑道 MN 的正西端 14.5 千米处有一观察站 A.某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点 A 的北偏西 30，且与点 A 相距 15 千米的 B 处；经过 1 分钟，又测得该飞机位于点 A 的北偏东 60，且与点A 相距 53千米的 C 处 . (1)该飞机航行的速度是多少千米 /小时？ (结果保留根号 ) (2)如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道 MN 之间？请说明理
22、由 . 解析： (1)先求出 BAC=90，然后利用勾股定理列式求解即可得到 BC，再求解即可； (2)作 CE l 于 E，设直线 BC 交 l 于 F，然后求出 CE、 AE，然后求出 AF 的长，再进行判断即可 . 答案： (1)由题意，得 BAC=90， 221 5 5 3 1 0 3BC ， 飞机航行的速度为： 1 0 3 6 0 6 0 0 3 (km/h)； (2)能； 作 CE l 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F. 在 Rt ABC 中， 5 3 1 0 3A C B C， ， ABC=30，即 BCA=60， 又 CAE=30， ACE= FCE=60， 5 32C
23、 E A C s in C A E ， 152A E A C c o s C A E . 则 AF=2AE=15(km)， AN=AM+MN=14.5+1=15.5km， AM AF AN， 飞机不改变航向继续航行，可以落在跑道 MN 之间 . 21.某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费 .甲厂的总费用 y1(干元 )、乙厂的总费用 y2(千元 )与印制证书数量 x(千个 )的函数关系图分别如图中甲、乙所示 . (1)甲厂的制版费为 千元，印刷费为平均每个 元，甲厂的费用 y1与
24、证书数量 x之间的 函数关系式为 . (2)当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费为平均每个 元； (3)当印制证书数量超过 2 干个时，求乙厂的总费用 y2 与证书数量 x 之间的函数关系式； (4)若该单位需印制证书数量为 8 干个，该单位应选择哪个厂更节省费用？请说明理由 . 解析： (1)结合图象便可看出 y 是关于 x 的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为 1千元，一次函数的斜率为 0.5 即为证书的单价； (2)用 2 到 6 千个时的费用除以证件个数计算即可得解； (3)设函数解析式后用待定系数法解答即可； (4)分别求出甲乙两车的费用 y 关于证书个数 x 的函数
25、，将 x=8 分别代入两个函数，可得出选择乙厂可省 500 元 . 答案： (1)制版费 1 千元， y1=0.5x+1，证书单价 0.5 元； 答案为： 1； 0.5； y1=0.5x+1； (2)当印制证书数量不超过 2 千个时，乙厂的印刷费为平均每个 =3 2=1.5 元， 答案为： 1.5； (3)设 y2=kx+b， 由图可知，当 x=6 时， y2=y1=0.5 6+1=4， 所以函数图象经过点 (2， 3)和 (6， 4)， 所以把 (2， 3)和 (6， 4)代入 y2=kx+b， 得 2364kbkb， 解得1452kb，所以 y2 与 x 之间的函数关系式为2 5142yx
26、； (4)当 x=8 时， 59118 1 5 82 4 2 2yy 甲 乙，； 95 0.52 (千元 ) 即，当印制 8 千张证书时，选择乙厂，节省费用 500 元 . 22.问题：如图 (1)，点 E、 F 分别在正方形 ABCD 的边 BC、 CD 上， EAF=45，试判断 BE、EF、 FD 之间的数量关系 . 【发现证明】 小聪把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 90至 ADG，从而发现 EF=BE+FD，请你利用图 (1)证明上述结论 . 【类比引申】 如图 (2)，四边形 ABCD 中， BAD 90， AB=AD， B+ D=180，点 E、 F 分别在边 BC、CD 上，则
27、当 EAF 与 BAD 满足 关系时，仍有 EF=BE+FD. 【探究应用】 如图 (3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形 ABCD.已知 AB=AD=80 米， B=60， ADC=120， BAD=150，道路 BC、 CD 上分别有景点 E、 F，且 AE AD， 4 0 3 1DF （ ）米，现要在 E、 F 之间修一条笔直道路，求这条道路 EF 的长 (结果取整数，参考数据： 2 1 .4 1 3 1 .7 3， ) 解析：【发现证明】根据旋转的性质可以得到 ADG ABE，则 GF=BE+DF，只要再证明AFG AFE 即可 . 【类比引申】延长 CB 至 M，使 BM
28、=DF，连接 AM，证 ADF ABM，证 FAE MAE，即可得出答案； 【探究应用】利用等边三角形的判定与性质得到 ABE 是等边三角形，则 BE=AB=80 米 .把ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至 ADG，只要再证明 BAD=2 EAF 即可得出 EF=BE+FD. 答案：【发现证明】证明：如图 (1)， ADG ABE， AG=AE， DAG= BAE， DG=BE， 又 EAF=45，即 DAF+ BEA= EAF=45， GAF= FAE， 在 GAF 和 FAE 中， A G A EG A F F A EA F A F， AFG AFE(SAS). GF=EF. 又 DG
29、=BE， GF=BE+DF， BE+DF=EF. 【类比引申】 BAD=2 EAF. 理由如下：如图 (2)，延长 CB 至 M，使 BM=DF，连接 AM， ABC+ D=180， ABC+ ABM=180， D= ABM， 在 ABM 和 ADF 中， AB ADABM DBM D F， ABM ADF(SAS)， AF=AM， DAF= BAM， BAD=2 EAF， DAF+ BAE= EAF， EAB+ BAM= EAM= EAF， 在 FAE 和 MAE 中， A E A EF A E M A EA F A M， FAE MAE(SAS)， EF=EM=BE+BM=BE+DF， 即
30、 EF=BE+DF. 答案是： BAD=2 EAF. 【探究应用】如图 3，把 ABE 绕点 A 逆时针旋转 150至 ADG，连接 AF，过 A 作 AHGD，垂足为 H. BAD=150， DAE=90， BAE=60 . 又 B=60， ABE 是等边三角形， BE=AB=80 米 . 根据旋转的性质得到： ADG= B=60， 又 ADF=120， GDF=180，即点 G 在 CD 的延长线上 . 易得， ADG ABE， AG=AE， DAG= BAE， DG=BE， 又 38 0 4 0 3 4 0 4 0 3 1 4 0 32A H H F H D D F ， （ ）故 HAF
31、=45， DAF= HAF- HAD=45 -30 =15 从而 EAF= EAD- DAF=90 -15 =75 又 BAD=150 =2 75 =2 EAF 根据上述推论有： 8 0 4 0 3 1 1 0 9E F B E D F （ ）(米 )，即这条道路 EF 的长约为 109 米 . 23. 如图，在直角坐标系中，抛物线经过点 A(0， 4)， B(1， 0)， C(5， 0)，其对称轴与 x 轴相交于点 M. (1)求抛物线的解析式和对称轴； (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使 PAB 的周长最小？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接 AC，
32、在直线 AC 的下方的抛物线上，是否存在一点 N，使 NAC 的面积最大？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)抛物线经过点 A(0， 4)， B(1， 0)， C(5， 0)，可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x-5)，代入 A(0， 4)即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴； (2)点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为 (6， 4)，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时 PAB 的周长最小，可求出直线 BA的解析式，即可得出点 P 的坐标 . (3)在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 .设 N 点
33、的横坐标为 t，此时点N(t， 24 24 455tt)(0 t 5)，再求得直线 AC 的解析式，即可求得 NG 的长与 ACN 的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案 . 答案： (1)根据已知条件 可设抛物线的解析式为 y=a(x-1)(x-5)， 把点 A(0， 4)代入上式得： a=45， 22 164 4 2 4 41 5 4 35 5 5 5 5y x x x x x （ ） （ ） （ ）， 抛物线的对称轴是： x=3； (2)P 点坐标为 (3， 85). 理由如下： 点 A(0， 4)，抛物线的对称轴是 x=3， 点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为 (6， 4) 如
34、图 1，连接 BA交对称轴于点 P，连接 AP，此时 PAB 的周长最小 . 设直线 BA的解析式为 y=kx+b， 把 A (6， 4)， B(1， 0)代入得 460kbkb， 解得4545kb ， 4455yx， 点 P 的横坐标为 3， 84435 5 5y ， P(3， 85). (3)在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N，使 NAC 面积最大 . 设 N 点的横坐标为 t，此时点 N(t， 24 24 455tt)(0 t 5)， 如图 2，过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G；作 AD NG 于 D， 由点 A(0， 4)和点 C(5， 0)可求出直线 AC 的解析式为： 4 45yx ， 把 x=t 代入得： 4 45yt ，则 G(t， 4 45t)， 此时： 224 4 2 4 44 4 45 5 5 5N G t t t t t （ ）， AD+CF=CO=5， 2 2 25 2 51 1 1 1 4 4 5 2 1 0 22 2 2 2 5 2 2A C N A N G C G NS S S A D N G N G C F N G O C t t t t t （ ） （ ）， 当 t= 52时， CAN 面积的最大值为 252， 由 t= 52，得： 24 2 4 455y t t =-3， N(52， -3).
