1、贵州省专升本考试高等数学模拟 4 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.若 f(x)为奇函数，则 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.不能确定3.当 x0 时，下列无穷小量与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列各式中正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二
2、类间断点6.设函数 在 x=2 处连续，则 a=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.7.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.无关条件8.下列函数在给定区间上，满足罗尔中值定理的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.9.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线10.设 f(x)具有二阶连续导数，f“(2)=0， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极大值B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.(2，f(
3、2)不是曲线的拐点11.设参数方程为 则二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.12.已知 de -x f(x)=e x dx，f(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， （分数：2.00）A.2B.1C.0D.-114.设 f (2013) (x)=x 2 +lnx，则 f (2015) (x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x
4、f(e -x )dx A.F(e-x)+C B.-F(e-x)+C C.F(ex)+C D.-F(ex)+C（分数：2.00）A.B.C.D.16.若 f(x)在a，b上连续，且(a，b)内 f“(x)0，则 （分数：2.00）A.大于 f(b)(b-a)B.小于 f(b)(b-a)C.等于 f(b)(b-a)D.大于 f(a)(b-a)17. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零D.不为常数19.方程 （分数：2.00）A.柱面B.球面C.双曲面D.锥面20.直线 （分数：2.00）A.平行但不重合B.重合C.垂
5、直不相交D.垂直相交21.设 ，则 dz=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有两个偏导数 （分数：2.00）A.连续B.可微C.不一定连续D.一定不连续23.设 z=xy+x 3 ，则 （分数：2.00）A.dx+4dyB.dx+dyC.4dx+dyD.3dx+dy24.设 D=(x，y)|0x2，0y1，则 （分数：2.00）A.B.C.D.25.把积分 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 L 为以点 O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)为顶点的正方形正向
6、边界，则 L x 2 ydy+xy 2 dx=_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.027.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定28.正项级数 收敛的充分必要条件是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.29.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xydy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2 =C C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.用待定系数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设为_ A.y*=ae3x B.y*=axe3x C.y*=(ax+b)x2e3x D.y*=(ax+b)e3x（分数：2.00）
7、A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1. （分数：2.00）32.设 （分数：2.00）33.设 y=f(sinx 2 )，f 为可导函数，则 （分数：2.00）34. （分数：2.00）35.已知 ，f(1)=0，则 （分数：2.00）36.旋转曲面 （分数：2.00）37.由 z 3 -2xz+y=0 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）38.设 （分数：2.00）39.已知数项级数 收敛，则其和 （分数：2.00）40.以 y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx
8、为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.讨论函数 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，且 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：5.00）_46.计算二重积分 （分数：5.00）_47.求过点(2，0，-3)且与直线 （分数：5.00）_48.求曲线 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.设 f(x)可微， （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.
9、00)51.求平面 （分数：7.00）_52.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积. （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=0. 证明：至少一点 (a，b)使 f“()+2f()=0. （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 4 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 f(x)的定义域为0，1，则函数 的定义域为_ A0，1 B C D （分数：2.00）A.B.C.
10、D. 解析：解析 所以定义域为 2.若 f(x)为奇函数，则 （分数：2.00）A.偶函数 B.奇函数C.非奇非偶函数D.不能确定解析：解析 令 则 ，即 (x)为奇函数， 又 f(x)为奇函数，所以 3.当 x0 时，下列无穷小量与 ln(1+2x)等价的是_ Ax B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为当 x0 时 sin2x2x，ln(1+2x)2x， 所以当 x0 时 ln(1+2x)sin2x，故应选 D.4.下列各式中正确的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 四个答案中只有选项 A 完全符合第二重要极限的特点，故应选 A.5.设
11、（分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为 x=0 时函数无意义，又6.设函数 在 x=2 处连续，则 a=_ A4 B C2 D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 ，又 f(2)=a，根据连续的定义得7.函数在某点处连续是其在该点处可导的_（分数：2.00）A.充分条件B.必要条件 C.充分必要条件D.无关条件解析：解析 根据函数连续与可导的关系可知，函数在某点连续是可导的必要条件，但不是充分条件，故应选 B.8.下列函数在给定区间上，满足罗尔中值定理的是_ A （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 从罗尔定理的三个条件
12、验证排除，只有选项 D 符合三个条件，故应选 D.9.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平也无垂直渐近线解析：解析 所以 y=0 是水平渐近线， 10.设 f(x)具有二阶连续导数，f“(2)=0， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极大值B.f(2)是 f(x)的极小值C.(2，f(2)是曲线的拐点D.(2，f(2)不是曲线的拐点 解析：解析 ，知当 x2 时，11.设参数方程为 则二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 ，故应选 B.12.已知 de -x f(x)=e x dx
13、，f(0)=0，则 f(x)=_ A.e2x+ex B.e2x-ex C.e2x+e-x D.e2x-e-x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由 de -x f(x)=e x dx 得 e -x f(x)=e x +C， 即 f(x)=e 2x +Ce x ，把 f(0)=0 代入得 C=-1， f(x)=e 2x -e x ，故应选 B.13.设 f“(x)在1，2上可积，且 f(1)=1，f(2)=1， （分数：2.00）A.2 B.1C.0D.-1解析：解析 14.设 f (2013) (x)=x 2 +lnx，则 f (2015) (x)=_ A B C D （分数：2.
14、00）A. B.C.D.解析：解析 15.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则e -x f(e -x )dx A.F(e-x)+C B.-F(e-x)+C C.F(ex)+C D.-F(ex)+C（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 e -x f(e -x )dx=-f(e -x )d(e -x )=-F(e -x )+C，故应选 B.16.若 f(x)在a，b上连续，且(a，b)内 f“(x)0，则 （分数：2.00）A.大于 f(b)(b-a) B.小于 f(b)(b-a)C.等于 f(b)(b-a)D.大于 f(a)(b-a)解析：解析 因为 f“(x)0，所以 f(x)f
15、(b)， 从而 17. _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 18.设 （分数：2.00）A.为正常数B.为负常数C.恒为零 D.不为常数解析：解析 因为 e cost sint 是以 2 为周期的奇函数， 所以 19.方程 （分数：2.00）A.柱面 B.球面C.双曲面D.锥面解析：解析 20.直线 （分数：2.00）A.平行但不重合 B.重合C.垂直不相交D.垂直相交解析：解析 因为 s 1 =-1，1，-2，s 2 =1，-1，2，s 1 /s 2 ，又因为 l 1 上点(1，3，1)代入 l 2 中不成立，所以两条直线平行，故应选 A.21.设 ，则 dz
16、=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 所以 22.函数 z=f(x，y)在点(x 0 ，y 0 )处有两个偏导数 （分数：2.00）A.连续B.可微C.不一定连续 D.一定不连续解析：解析 偏导存在不一定连续，故应选 C.23.设 z=xy+x 3 ，则 （分数：2.00）A.dx+4dyB.dx+dyC.4dx+dy D.3dx+dy解析：解析 dz=xdy+(y+3x 2 )dx， 24.设 D=(x，y)|0x2，0y1，则 （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 25.把积分 化为极坐标形式为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C
17、.D. 解析：解析 所以 26.设 L 为以点 O(0，0)，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)为顶点的正方形正向边界，则 L x 2 ydy+xy 2 dx=_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.0 解析：解析 因为27.若级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.不能确定解析：解析 因为 28.正项级数 收敛的充分必要条件是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由正项级数收敛的基本准则知，正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界，故应选 D.29.微分方程(x 2 +y 2 )dx+2xydy=0 的通解为_ A Bx 3 +xy 2
18、=C C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 可通过对通解两边求微分验证方法确定， 30.用待定系数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设为_ A.y*=ae3x B.y*=axe3x C.y*=(ax+b)x2e3x D.y*=(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 =3 是特征方程的二重根，x 是一次多项式，所以应设为 y * =x 2 (ax+b)e 3x ，故应选 C.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 f(3-2x)的定义域为(-3，4，则 f(x)的定义域为 1. （分数：2.00）解析：-5，
19、9) 解析 因为 f(3-2x)的定义域为(-3，4， 即-3x4，从而-8-2x6，-53-2x9，所以定义域为-5，9).32.设 （分数：2.00）解析： 解析 设 则 所以 33.设 y=f(sinx 2 )，f 为可导函数，则 （分数：2.00）解析：2xcosx 2 f“(sinx 2 ) 解析 34. （分数：2.00）解析：解析 35.已知 ，f(1)=0，则 （分数：2.00）解析：-1解析 36.旋转曲面 （分数：2.00）解析：z 轴 解析 因为方程中 x 2 与 y 2 项系数相同而与 z 2 系数不同，所以旋转曲面的旋转轴为 z 轴.37.由 z 3 -2xz+y=0
20、 确定隐函数 x=x(y，z)，则 （分数：2.00）解析： 解析 令 F(x，y，z)=z 3 -2xz+y， 则 F x =-2z，F z =3z 2 -2x， 所以 38.设 （分数：2.00）解析：(e-1)解析 39.已知数项级数 收敛，则其和 （分数：2.00）解析：e-1 解析 因为 取 x=1 得 ，所以 40.以 y 1 =e x sinx，y 2 =e x cosx 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为 1. （分数：2.00）解析：y“-2y“+2y=0 解析 由题设知，其特征根为 r 1，2 =1i， 从而有(r-1) 2 =-1 即 r 2 -2r+2=0， 所以微分
21、方程为 y“-2y“+2y=0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.讨论函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 f(x)在 x=0 处连续， 又 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 z=f(xy，x 2 +y 2 )，且 f 具有连续的二阶偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 z=f(xy，x 2 +y 2 )且 f 具有二阶连续偏导数， 所以 46.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析
22、：积分区域如图所示 所以 47.求过点(2，0，-3)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：根据题意，所求平面的法向量可取已知直线的方向向量，即 48.求曲线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：曲线在对应于 t=1 的点为 s=x“(1)，y“(1)， 所以切线方程为 法平面方程为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 x 2 =t，则 因为 所以幂级数 的收敛半径为 由 x 2 3，解得 当 时级数化为 发散， 所以原级数 的收敛域为 50.设 f(x)可微， （分数：5.00）_正确答案：()解析：对 两边分别对 x 求导，得 2f(x)-x=f“(
23、x)且有 f(0)=1， 即 y“-2y=-x，y(0)=1， 将 y(0)=1 代入得 所以所求函数为 即 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.求平面 （分数：7.00）_正确答案：()解析：设交线上的点为 M(x，y，z)它到 xOy 面上距离的平方为 z 2 ，问题化为求函数 z 2 在约束条件 和 x 2 +y 2 =1 下的最小值问题： 作拉格朗日函数 解此方程组，得 由于实际问题的最短距离存在，因此 52.求由曲面 z=x 2 +y 2 ，与平面 x+y=1，及三个坐标面所围成立体的体积. （分数：7.00）_正确答案：()解析：该立体是以曲面 z=x 2 +y 2 为
24、顶部，以两个坐标面和平面 x+y=1 为侧面，底面在 xOy 面上的三角形区域 D=(x，y)|0x1，0y1-x， 所以 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b)上可导，且 f(a)=f(b)=0. 证明：至少一点 (a，b)使 f“()+2f()=0. （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 设 F(x)=f(x)e x2 ，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=f(a)e a2 =0，F(b)=f(b)e b2 =0，即 F(a)=F(b)， 所以至少存在一点 (a，b)，使 F“()=0， 即 F“()=f“()e 2 +f()e 2 2=0， 又 e 2 0，故 f“()+2f()=0.
