1、 2016 年河南省商丘市虞城县中考一模数学 一、选择题 (每题 3 分，共 24 分，下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 ) 1.下列各数： -12； -(-1)2； -13； -(-1)-2，其中结果等于 -1 的是 ( ) A. B. C. D. 解析： -12=-1，符合题意； -(-1)2=-1，符合题意； -13=-1，符合题意； -(-1)-2=-1，符合题意 . 答案： D. 2.下列剪纸图案中，属于中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、是中心对称图形，故此选项正确；
2、D、不是中心对称图形，故此选项错误； 答案： C. 3.下列调查中，最适合用普查方式的是 ( ) A.调查某品牌牛奶质量合格率 B.调查某幼儿园一班学生的平均身高 C.调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利 70 周年大阅兵的情况 D.调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况 解析：调查某品牌牛奶质量合格率，适合用抽样方式， A 不合题意； 调查某幼儿园一班学生的平均身高，适合用普查方式， B 符合题意； 调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利 70 周年大阅兵的情况，适合用抽样方式， C 不合题意； 调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况，适合用抽样方式， D 不合题意； 答案： B. 4
3、.如图所示，实数 a= 3 ，则在数轴上，表示 -a 的点应落在 ( ) A.线段 AB 上 B.线段 BC 上 C.线段 CD 上 D.线段 DE 上 解析： a= 3 ， -a=- 3 ， -2 - 3 -1， 答案： A. 5.如图所示，将一个透明的圆柱形玻璃容器 (不计壁厚 )中装入体积为容器一半容积的水，当水平放置该容器时，水面的形状为 ( ) A.圆 B.椭圆 C.一般的平行四边形 D.矩形 解析：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是矩形 . 答案： D. 6.某校动漫社团有 20 名学生代表学校参加市级“动漫设计”比赛，他们的得分情况如表： 人数 4 6 8 2 分数 80
4、85 90 95 那么这 20 名学生所得分数的众数和中位数分别是 ( ) A.95 和 85 B.90 和 85 C.90 和 87.5 D.85 和 87.5 解析： 90 分的有 8 人，人数最多，故众数为 90 分； 处于中间位置的数为第 10、 11 两个数， 为 85 分， 90 分，中位数为 87.5 分 . 答案： C. 7.把抛物线 y=x2+1 向左平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，得到的抛物线表达式为 ( ) A.y=(x-3)2+2 B.y=(x-3)2-1 C.y=(x+3)2-1 D.y=(x-3)2-2 解析：将抛物线 y=x2+1 向左平移 3 个单位所
5、得直线解析式为： y=(x+3)2+1； 再向下平移 2 个单位为： y=(x+3)2+1-2. 即： y=(x+3)2-1. 答案： C. 8.某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图：“过直线 AB 外一点 M，作一直线垂直于直线 AB”，各自提供了如下四种方案，其中正确的是 ( ) A.甲、乙 B.乙、丙 C.丙、丁 D.甲、乙、丙 解析：甲作了 AB 垂直平分过点 M 的线段；乙作了线段 AB 的垂直平分线；丙作了以 AM 为直径的圆；丁的作法不明确 . 答案： D. 二、填空题 (每题 3 分，共 21 分 ) 9.将一个长为 2，宽为 4 的长方形通过分割拼成一个等面积
6、的正方形，则该正方形的边长为 . 解析：长方形的面积为： 2 4=8， 则正方形的面积也为 8， 所以正方形的边长为： 8 2 2 ， 答案： 22. 10.阿里巴巴 2015 年“双十一”全天交易额突破 912.17 亿元，将数字“ 912.17 亿”用科学记数法表示为 . 解析：将 912.17 亿用科学记数法表示为 9.1217 1010. 答案： 9.1217 1010. 11.如图所示，将一个含 60角的直角三角形按照如图放置在作业纸上，纸上横线是一组平 行线，若 1=20，则 2= . 解析： 3=180 -90 -60 =30， AB CD， 1+ 3= 2=20 +30 =50
7、， 答案： 50 . 12.小明手里有 6 张完全一样的卡片，其中 4 张正面画上记号“ A”，另外 2 张卡片被画上记号“ B”，先将其背面朝上洗匀，让小东从中随机抽取 2 张卡片，则他抽出的两张均有“ A”记号的卡片的概率等于 . 解析：列表得： A A A A B B A AA AA AA BA BA A AA AA AA BA BA A AA AA AA BA BA A AA AA AA BA BA B AB AB AB AB - BB B AB AB AB AB BB - 共有 30 种等可能的结果，他抽出的两张均有“ A”记号的卡片的有 12 种情况， 他抽出的两张均有“ A”记号
8、的卡片的概率为： 12 230 5. 答案： 25. 13.如图所示，将一个矩形 ABCD 纸片，剪去两个完全相同的矩形后，剩余的阴影部分纸片面积大小为 24，且 AB=8，则被剪掉的矩形的长为 . 解析：设被剪掉的矩形的长为 x，则宽为 (8-x)， 依题意得： x x-(8-x)=24， 解得 x=6(舍去负值 ). 答案： 6. 14.如图所示，格点 ABC 绕点 B 逆时针旋转得到 EBD，图中每个小正方形的边长是 1，则图中阴影部分的面积为 . 解析：由图可知 ABC=45， ABE=90 . 222 2 8AB ， S 阴影 =S 扇形 ABE+S ABC-S BDE-S 扇形 D
9、BC =S 扇形 ABE-S 扇形 DBC = 2 29 0 8 9 0 13 6 0 3 6 0 =24=74. 答案： 74. 15.如图所示，线段 AB=8cm，射线 AN AB 于点 A，点 C 是射线上一动点，分别以 AC、 BC为直角边作等腰直角三角形，得 ACD 与 BCE 中，连接 DE 交射线 AN 于点 M，则 CM 的长为 . 解析：如图作 EH AN 于 H， BA AN， EH AN， BAC= EHC=90， ABC+ ACB=90， ACB+ ECH=90， ABC= ECH， BCE 和 ACD 都是等腰三角形， BC=CE， AC=DC， BCE= ACD=9
10、0 在 ABC 和 HCE 中， B A C E H CA B C H C EB C C E ABC HCE， AC=EH=CD=EH， AB=CH， 在 DCM 和 EHM 中， C D E HD C M E H MC M D E M H， DCM EHM. CM=HM， 11 422C M C H A B . 答案： 4. 三、解答题 (本大题 8 个小题，共 75 分 ) 16.先化简，再求值： 22242 1 24 4 4a a a aa a a ，其中 a= 3 +2. 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可 . 答案：原式 = 242 1 2
11、2aaaaa = 4122aa= 32a， 当 a= 3 +2 时，原式 = 3 =33 2 2. 17.如图所示， AB 为半圆 O 的直径，点 D 是半圆弧的中点，半径 OC BD，过点 C 作 AD 的平行线交 BA 延长线于点 E. (1)判断 CE 与半圆 OD 的位置关系，并证明你的结论 . (2)若 BD=4，求阴影部分面积 . 解析： (1)直接利用圆周角定理结合平行线的性质得出 CO EC，即可得出答案； (2)利用已知得出 ADB 为等腰直角三角形，进而得出 ECO 为等腰直角三角形，由 S 阴影部分=S ECD-S 扇形 AOC 求出答案 . 答案： (1)CE 与半圆
12、OD 相切， 理由： AB 为直径， ADB=90， AD DB， CO DB， CO AD， EC AD， CO EC， CE 与半圆 OD 相切； (2)点 D 平分半圆弧， B=45， ADB 为等腰直角三角形， BD=4， AB=4 2 ， CO=2 2 ， CO DB， AOC= ABD=45， 由 (1)知 CO EC， ECO 为等腰直角三角形， 22451 2 2 2 2 42 3 6 0E C D A O CS S S 扇 形影 部 分 （ ） （ ）阴. 18.某课外活动小组为了了解本校学生上网目的，随机调查了本校的部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如下尚不完整的统计
13、图：根据以上信息解答下列问题： (1)参与本次调查的学生共有 人； (2)在扇形统计图中， m 的值为 ； (3)补全条形统计图； (4)中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响，为此学校计划开展一次“合理上网”专题讲座，每班随机抽取 15 名学生参加，小明所在的班级有 50 名学生，他被抽到听讲座的概率是多少？ 解析： (1)根据：玩游戏人数玩游戏的百分比 =总人数，计算可得； (2)根据：聊天交友人数总人数 100 可得 m 的值； (3)总人数查资料的百分比可得人数，补全条形图即可； (4)用抽取人数除以班级总人数可得概率 . 答案： (1)90 30%=300(人 )
14、； (2) 75 1 0 0 2 5300m ； (3)300 20%=60(人 )，补全图形如下： (4)小明被抽到听讲座的概率是 15 350 10. 答案： (1)300， (2)25. 19.某商店前后两次从外地购进热销精品玩具 80 件，前后两次玩具进价分别为 20 元 /件、 30元 /件，且后一次比前一次多花了 900 元钱 . (1)求前后两次分别购进玩具的件数 . (2)该商店对这批玩具第一次以 50 元 /件的价格卖出一部分，第二次又以 40 元 /件的价格将剩余部分售完，若该商店要想赚取不低于 1500 元的利润，求第一次应卖出件的范围 . 解析： (1)设前一次购进玩具
15、 x 件，第二次购进玩具 y 件，根据进货钱数 =单价数量及二次共进货 80 件，得出关于 x、 y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结论； (2)设第一次卖出 a 件，则第二次卖出 80-a 件，根据利润 =出售总钱数 -进货钱数得出关于 a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论 . 答案： (1)设前一次购进玩具 x 件，第二次购进玩具 y 件， 由题意得： 803 0 2 0 9 0 0xyyx， 解得： 3050xy. 答：前后两次分别购进玩具的件数为 30 件和 50 件 . (2)设第一次卖出 a 件，则第二次卖出 80-a 件， 根据题意得： 50a+40(80-a)-(20
16、30+30 50) 1500， 解得： a 40， 又 a 80， 40 a 80. 则第一次卖出玩具件数范围为 40 a 80. 20.如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线 0kyxx （ ）上有一点 A(-2， 2)， AB y 轴于点 B，点 C 是 x 轴正半轴上一动点，直线 CB 交双曲线于点 D， DE x 轴于点 E，连接 AE，AD， BE. (1)当点 C 运动时，四边形 ADBE 的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点 C 的位置，若不能，说明理由 . (2)小明经过探究发现：点 C 运动会影响四边形 ADBE 形状，但是 AD 与 BE 的位置关系始终不变，请你帮他解释其
17、中的原因 . 解析： (1)若四边形 ADBE 为菱形，则 AB 与 DE 互相垂直平分，则 B 和 D 的坐标可求得，然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，进而求得 C 的坐标； (2)设 D 的坐标是 4aa（ ， ），利用利用待定系数法即可求利用 a 表示出 AD 和 BE 的解析式，根据直线平行的条件即可判断 . 答案： (1)若四边形 ADBE 为菱形，则 AB 与 DE 互相垂直平分， 由题意得， A(-2， 2)， B(0， 2). 则反比例函数的解析式是 4yx， E(-1， 0)D(-1， 4). 设直线 BD 的解析式是 y=kx+b， 将 B(0， 2)， D(-1
18、， 4)代入 y=kx+b，可得： 24bkb， 解得： 22kb -， 则直线 BD 的解析式是 y=-2x+2， 所以 C 的坐标是 (1， 0)； (2)设 D 的坐标是 4aa（ ， ），直线 AD 的解析式是 y=kx+b，则 E(a， 0). 将 A(-2， 2)， D 4aa（ ， ）代入可得： 422ka bakb， 解得：242k ab a ， 则直线 AD 的解析式是 242yxaa （ ）. 同理可得直线 BE 的解析式是 2 2yxa ， AD 和 BE 始终平行 . 21.如图所示，某古代文物被探明埋于地下的 A 处，由于点 A 上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖
19、掘，他们被允许从 B 处或 C 处挖掘，从 B 处挖掘时，最短路线 BA 与地面所成的锐角是 56，从 C 处挖掘时，最短路线 CA 与地面所成的锐角是 30，且 BC=20m，若考古人员最终从 B 处挖掘，求挖掘的最短距离 .(参考数据： sin56 =0.83， tan56 1.48， 3 1.73，结果保留整数 ) 解析：作 AD BC 交 CB 延长线于点 D，执行额 AD 即为文物在地面下的深度 .设 AD=x.通过解直角 ABD 求得56xBD tan ；通过解直角 ACD 求得 CD= 3 x，由此列出关于 x 的方程，通过方程求得 AD 的长度 .最后通过解直角三角形 ABD
20、来求 AB 的长度即可 . 答案：作 AD BC 交 CB 延长线于点 D，执行额 AD 即为文物在地面下的深度 . 根据题意得 CAD=30， ABD=56 . 设 AD=x. 在直角 ABD 中， ABD=56， 56xADBD ta n A B D ta n. 在直角 ACD 中， ACB=30， 33C D A D x， 3 2 056xx ta n. 解得 x 18.97， 1 8 .9 7 235 6 0 .8 3ADAB s in . 答：从 B 处挖掘的最短距离为 23 米 . 22.问题背景： AOB、 COD 是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图
21、 1 所示，点 P 是 CD 中点，连接 BP 并延长到 E 使 PE=BP，连接 EC，作平行四边形 ACEF，小林针对平行四边形 ACEF 形状进行了如下探究： 观察操作： (1)小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图 2 所示，并提出猜想四边形 ACEF 是 ； 猜想证明： (2)小林对比图 1 和图 2 的情形，完成了 (1)中的猜想，请借助图 1 帮他证明这个猜想 . 拓展延伸： (3)如图 3 所示，现将等腰直角三角形 COD 绕点 O 逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由 . 解析： (1)根据已知直接证明有一个
22、直角且邻边相等即可； (2)通过证明三角形 CEP 和三角形 DBP 全 等，结合等量代换即可证明； (3)与 (2)同理可证 EC=DB， EC DB，进一步证明 AOC BOD，结合等量代换和平行线的性质即可解答 . 答案： (1)正方形； 如图 2， AOB 是等腰直角三角形， AOE=90， AO=BO， OE=BO， AO=OE， 平行四边形 ACEF 是正方形； (2)如图 1， P 是 CD 的中点， PC=PD， 在 CPE 和 BPD 中， P C P EC P E D P BP E P B， CPE BPD， EC=DB， OA=OB， OC=OD， AC=DB， EC=A
23、C， 平行四边形 ACEF 是菱形， CPE BPD， CEP= DBP， EC OB， O=90， ACE=90， 菱形 ACEF 是正方形； (3)如图 3， 与 (2)同理可证 CPE BPD， EC=DB， EC DB， AOC+ COB= COB+ DOB=90， AOC= DOB， 在 AOC 和 BOD 中， O A O BA O C B O DO C O D， AOC BOD， COD=90， AOC 可以看作 BOD 顺时针绕点 O 旋转 90得到， AC DB， AC=DB， EC=AC， 平行四边形 ACEF 是菱形， EC DB， AC EC， 菱形 ACEF 是正方形
24、 . 23.如图所示，将一边长为 3 的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点 A、 B 均落在坐标轴上，一抛物线过点 A、 B，且顶点为 P(1， 4) (1)求抛物线的解析式； (2)点 M 为抛物线上一点，恰使 MOA MOB，求点 M 的坐标； (3)y 轴上是否存在一点 N，恰好使得 PNB 为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)由正方形的性质可知 OA=OB=3，从而得到点 A 的坐标，设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4，把 A(0， 3)代入可求得 a 的值，从而得到抛物线的解析式； (2)由全等三角形对应边相等可
25、知 MA=BM，从而可知点 M 在 AB 的垂直平分线上，故此点 M为直线 OC 与抛物线的交点，然后求得直线 OC 与抛物线的交点坐标即可； (3)设 N(0， t).分为 PNB=90、 NPB=90、 PBN=90三种情况画出图形，然后依据相似三角形对应边成比例列出关于 t 的方程求解即可 . 答案： (1)正方形的边长为 3， A(0， 3)， B(3， 0). 设抛物线的解析式为 y=a(x-1)2+4. 把 A(0， 3)代入得： a+4=3，解得 a=-1， 抛物线的解析式为 y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)如图 1 所示： MOA MOB， AM=BM. 点
26、M 在 AB 的垂直平分线上 . OACB 为正方形， OC 为 AB 的垂直平分线 . 设 OC 的解析式为 y=kx， 将 C(3， 3)代入得： 3k=3，解得： k=1， 直线 OC 的解析式为 y=x. 由 y=x 与 y=-x2+2x+3 得： x=-x2+2x+3，解得：121 1 3 1 1 322xx，. 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 32 2 2 2MM （ ， ） ， （ ， ）. 点 M 的坐标为 1 1 3 1 1 3 1 1 3 1 1 32 2 2 2 （ ， ） 或 （ ， ）. (3)设 N(0， t). 当 PNB=90 时，如图 2 所示 .连接 PN、 BN，过点 P 作 PM y 轴，垂足为 M. 由 PMN NOB，得： 413 tt ，解得： t1=1， t2=3. 当 NPB=90时 . 如图 3 所示；连接 PN、 BN，过点 P 作 x 轴的平行线，交 BC 延长线与点 M. 由 PMN NOB，得： 4142t，解得： 72t. 当 PBN=90时，如图 4 所示，过点 P 作 x 轴的平行线，交 BC 延长线与点 M. 由 PMB NOB 得： 243t，解得： 32t. 综上所述，点 N 的坐标为 (0， 1)、 (0， 3)、 (0， 72)、 (0， - 32).
