1、贵州省专升本考试高等数学模拟 5 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为(-1，1，则函数 e f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0D.(0，22.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.以上答案皆不对3.下列函数相同的是_ A B Cy=x，y=cos(arccosx) D （分数：2.00）A.B.C.D.4.下列函数中，当 x中，无穷小量是_ A2 -x -1 B Ce -x D （分数：2.00）A.B.C.D.5.函数
2、（分数：2.00）A.连续的点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点6.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.连续且 f“(1)=-1D.连续且 f“(1)=17.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(x)=0 的实根个数为_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.48.若 f(x)为可导的奇函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数9.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平叉无垂直渐近线10.在区间-1，1上下列函数中不满足罗
3、尔定理的是_ Af(x)=cosx Bf(x)=3x 4 +2 C （分数：2.00）A.B.C.D.11.若 f(x)是(-，+)上的偶函数，且在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)012.设 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.13.设在区间a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：2.00）A.S1S2S
4、3B.S2S1S3C.S3S1S2D.S2S3S114.设 （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.16.导数 _ Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B.C.D.17.设区域 D 由直线 x=a，x=b(ba)，曲线 y=f(x)，y=g(x)围成，则区域 D 的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.设 a，b
5、 为非零向量，且 ab.则必有_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b|D.a+b=a-b20.设 z=z(x，y)是由方程 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.21.二元函数 z=x 2 -4xy+5y 2 +2y 的极小值点_（分数：2.00）A.(-1，-2)B.(1，2)C.(2，1)D.(-2，-1)22.(其中 D：|x|1，|y|1)=_ （分数：2.00）A.0B.1C.2D.423.交换二次积分 的积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.L 是抛物线 y 2
6、=x 上从点 A(1，1)到 B(1，-1)的一段弧，则 L x 2 dx+y 3 dy=_ A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.收敛性不确定26.幂级数 （分数：2.00）A.B.C.D.27.幂级数 （分数：2.00）A.(-3，3B.(-3，3)C.-3，3D.-3，3)28.用待定函数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设 y * =_ A.ae3x B.axe3x C.x2(ax+b)e3x D.x(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C.D.29.C、C 1 、C 2 为任意
7、常数，微分方程 （分数：2.00）A.y=coswxB.y=CsinwxC.y=C1coswx+C2sinwxD.y=Ccoswx+Csinwx30.微分方程 y“-4y“+4y=0 的两个线性无关的解是_ A.e2x与 2e2x B.e-2x与 xe-2x C.e-2x与 4e-2x D.e2x与 xe2x（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=1-ln(2x+1)的反函数为 f(x)= 1. （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.该 y=x 5 +e 2x +3sinx，则 y (2015) = 1. （分数：2.00
8、）34.点(0，1)是曲线 y=x 3 +ax 2 +b 的拐点，则 a= 1，b= 2. （分数：2.00）35.设 （分数：2.00）36.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1. （分数：2.00）37.若 （分数：2.00）38. （分数：2.00）39.若级数 收敛于 s，则级数 （分数：2.00）40.以 yC 1 +C 2 x 2 为通解的微分方程为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.设 （分数：5.00）_43.求 （分数：5.00
9、）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.已知 x 2 +z 2 =y(z)，其中 为可微函数.求 （分数：5.00）_46.计算 （分数：5.00）_47.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值. （分数：5.00）_48.求平行于 x 轴且经过两点(4，0，-2)和(5，1，7)的平面方程. （分数：5.00）_49.将函数 （分数：5.00）_50.求微分方程 2y“+y“-y=3e x 的通解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.用汽船拖载重相同的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，
10、每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大. （分数：7.00）_52.设平面图形由曲线 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 5 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.设函数 f(x)的定义域为(-1，1，则函数 e f(x-1) 的定义域为_（分数：2.00）A.-2，2B.(-1，1C.(-2，0
11、D.(0，2 解析：解析 因为-1x-11，所以 0x2，应选 D.2.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.以上答案皆不对解析：解析 所以 3.下列函数相同的是_ A B Cy=x，y=cos(arccosx) D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 A、B、C 给出的两个函数的定义域不同，只有 D 选项中的两个函数定义域相同，对应法则也相同，故应选 D.4.下列函数中，当 x中，无穷小量是_ A2 -x -1 B Ce -x D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 ，所以当 x时，5.函数 （分数：2.00）A.连续的点B.可去间断
12、点C.跳跃间断点 D.第二类间断点解析：解析 6.设函数 （分数：2.00）A.不连续B.连续但不可导C.连续且 f“(1)=-1D.连续且 f“(1)=1 解析：解析 因为 ， 所以 f(x)在 x=1 处连续. 又因为 7.设 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则 f“(x)=0 的实根个数为_（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析 因为 f(x)在1，2、2，3、3，4上都满足罗尔定理的条件.故在每个区间一至少各存在一个点使 f“(x)=0 成立，又由于 f“(x)为一元三次方程，故 f“(x)=0 的实根数只有 3 个.故应选 C.8.若 f(x)为可
13、导的奇函数，则 f“(x)一定是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 因为 f(-x)=-f(x)两边同时对 x 求导得 f“(-x)=f“(x)，所以 f“(x)为偶函数，故应选 B.9.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平又有垂直渐近线 C.仅有垂直渐近线D.既无水平叉无垂直渐近线解析：解析 因为 10.在区间-1，1上下列函数中不满足罗尔定理的是_ Af(x)=cosx Bf(x)=3x 4 +2 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为只有 C 项中 在-1，1上不连续，所以函数11.若 f(x)是(-，
14、+)上的偶函数，且在(0，+)内，f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在区间(-，0)内_（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0 C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析 因为 f(-x)=f(x)，从而 f“(-x)=-f“(x)， f“(-x)=f“(x)，又在(0，+)内 f“(x)0，f“(x)0， 所以在(-，0)内 f“(x)0，f“(x)0.故应选 B.12.设 f“(2x-1)=e x ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为 f“(2x-1)=e x ，所
15、以 ， 从而 13.设在区间a，b上，f(x)0，f“(x)0，f“(x)0，令 ，S 2 =f(b)(b-a)， （分数：2.00）A.S1S2S3B.S2S1S3 C.S3S1S2D.S2S3S1解析：解析 由 f(x)0，f“(x)0，f“(x)0 知函数在a，b上为 x 轴上方的、单调递减的、凹的曲线，S 1 是曲边梯形的面积，S 2 是以 f(b)为高的矩形面积，S 3 是直角梯形的面积，显然有 S 2 S 1 S 3 .应选 B.14.设 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 15.设 f“(cos 2 x)=sin 2 x，且 f(0)=0，则 f(x)=_ A B C
16、 D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 f“(cos 2 x)=sin 2 x=1-cos 2 x，f“(x)=1-x， ，又 f(0)=0 得 C=0， 所以 16.导数 _ Aarcsinx B0 Carcsinb-arcsina D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为定积分 的值为常数，常数的导数等于 0，所以17.设区域 D 由直线 x=a，x=b(ba)，曲线 y=f(x)，y=g(x)围成，则区域 D 的面积为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由定积分的几何意义可知，区域 D 的面积18.下列广义积分收敛的是_ A
17、B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 19.设 a，b 为非零向量，且 ab.则必有_（分数：2.00）A.|a+b|=|a|+|b|B.|a-b|=|a|-|b|C.|a+b|=|a-b| D.a+b=a-b解析：解析 因为 ab，以 a，b 为斜边的平行四边形是矩形，对角线相等，即|a+b|=|a-b|，故应选 C.20.设 z=z(x，y)是由方程 所确定的隐函数，则 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 构造函数 则 所以 ，而由 21.二元函数 z=x 2 -4xy+5y 2 +2y 的极小值点_（分数：2.00）A.(-1，-2)B.(1，2)C.(
18、2，1)D.(-2，-1) 解析：解析 22.(其中 D：|x|1，|y|1)=_ （分数：2.00）A.0 B.1C.2D.4解析：解析 根据二重积分的对称性知积分值为 0，故应选 A.23.交换二次积分 的积分次序后，I=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因积分区域 D 为：D=D 1 +D 2 ，其中 D 又可表示为 0x1，xy2-x， 于是交换次序后积分为 24.L 是抛物线 y 2 =x 上从点 A(1，1)到 B(1，-1)的一段弧，则 L x 2 dx+y 3 dy=_ A0 B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 从 1
19、变到-1. 则 25.若 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.收敛性不确定解析：解析 令 x-1=t，问题化为级数26.幂级数 （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 27.幂级数 （分数：2.00）A.(-3，3B.(-3，3)C.-3，3 D.-3，3)解析：解析 收敛半径为 当 x=3 时级数化为 收敛，当 x=-3 时级 28.用待定函数法求微分方程 y“-6y“+9y=xe 3x 的特解时，应设 y * =_ A.ae3x B.axe3x C.x2(ax+b)e3x D.x(ax+b)e3x（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 =3 是特征
20、方程的二重特征根，p(x)为一次多项式，所以特解应设为 y * =x 2 (ax+b)e 3x ，故应选 C.29.C、C 1 、C 2 为任意常数，微分方程 （分数：2.00）A.y=coswxB.y=CsinwxC.y=C1coswx+C2sinwx D.y=Ccoswx+Csinwx解析：解析 因为二阶微分方程的通解中必须含有两个独立的任意常数，而所给的四个选项中只有 C 符合，故应选 C.30.微分方程 y“-4y“+4y=0 的两个线性无关的解是_ A.e2x与 2e2x B.e-2x与 xe-2x C.e-2x与 4e-2x D.e2x与 xe2x（分数：2.00）A.B.C.D.
21、 解析：解析 方程 y“-4y“+4y=0 的特征根为二重特征根，r=2，因此有两个线性无关特解为 e 2x 与 xe 2x ，故应选 D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)=1-ln(2x+1)的反函数为 f(x)= 1. （分数：2.00）解析： 解析 由 y=1-ln(2x+1)得 ln(2x+1)=1-y， 即 2x+1=e 1-y ，所以 互换 x、y 得 ，xR. 故所求反函数为 32. （分数：2.00）解析：e 6 解析 33.该 y=x 5 +e 2x +3sinx，则 y (2015) = 1. （分数：2.00）解析：2 2015 e 2x
22、-3cosx 解析 因为(e 2x ) (n) =2 n e 2x ， 34.点(0，1)是曲线 y=x 3 +ax 2 +b 的拐点，则 a= 1，b= 2. （分数：2.00）解析：0，1 解析 由题设知 f(0)=1， 35.设 （分数：2.00）解析： 解析 两边求导得 2f(2x-1)=e -x -xe -x (1-x)e -x ， 即 设 t=2x-1 则 ，代入得 所以 36.在空间直角坐标系中，以 A(0，-4，1)，B(-1，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为 1. （分数：2.00）解析： 解析 所以ABC 的面积为 37.若 （分数：2.00）解析：0
23、 解析 因为 z(x，0)=0，所以 z x (x，0)=0，故 38. （分数：2.00）解析：(e 9 -1) 解析 D=(x，y)|x 2 +y 2 9=(r，)|02，0r3， 所以 39.若级数 收敛于 s，则级数 （分数：2.00）解析：2s-u 1 解析 设 s n =u 1 +u 2 +u n ， 则(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u n +u n+1 )=2(u 1 +u 2 +u n )+u n+1 -u 1 =2s n +u n+1 -u 1 ， 又 40.以 yC 1 +C 2 x 2 为通解的微分方程为 1. （分数：2.00）解析：xy“-y“=0
24、 解析 y“=2C 2 x，y“=2C 2 ，所以 y“=xy“，即 xy“-y“=0.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 43.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.已知 x 2 +z 2 =y(z)，其中 为可微函数.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：F(x，y，z)=x 2 +z 2 -y(z)，则 F x =2x，F y =-(z)，F z =2z-y“(z)， 所以 46.计算 （分数
25、：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示，在极坐标系下积分区域 所以 47.求函数 f(x，y)=e 2x (x+y 2 +2y)的极值. （分数：5.00）_正确答案：()解析：解方程组 求得驻点为 f xx =e 2x (4x+4y 2 +8y+4)， f xy =e 2x (4y+4)，f yy =2e 2x ， 由于 B 2 -AC=-4e 2 0，且 A0 所以 为极小值点，函数的极小值为 48.求平行于 x 轴且经过两点(4，0，-2)和(5，1，7)的平面方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为所求平面平行于 x 轴，故设所求平面方程为 By+Cz+D=0.
26、 将点(4，0，-2)及(5，1，7)分别代入方程得 因此所求平面的方程为 49.将函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 又 所以 50.求微分方程 2y“+y“-y=3e x 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为 2r 2 +r-1=0， 解得特征根为 r 1 =-1， 所以对应齐次方程的通解为 ，(C 1 ，C 2 为任意常数). 又因为 =1 不是特征根，可设特解为 y * =Ae x ， 代入原方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =3e x ，解得 故所求方程的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.用汽船拖载重相
27、同的小船若干只，在两港之间来回送货物，已知每次拖 4 只小船，一日能来回 16 次，每次拖 7 只，则一日能来回 10 次，若小船增多的只数与来回减少的次数成正比，问每日来回拖多少次，每次拖多少小船能使货运总量达到最大. （分数：7.00）_正确答案：()解析：由已知，增加了 3 只船，减少 6 次，设每次拖 x 只船，则增加 x-4 只船，设减少 y 次，则 3:6=(x-4):y，y=2(x-4)，设运货总量为 M. 则 M=x16-2(x-4)=24x-2x 2 ，x0， M“=24-4x=0，解得 x=6， 又 M“=-40，所以 x=6 为极大值点， 故一次拖 6 只船，每日来回 1
28、2 次能使货运量达到最大.52.设平面图形由曲线 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示. 取 x 为积分变量，且 x0，11，2. (1)平面图形 D 的面积为 (2)平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 设 因为 f(x)在0，1上连续，所以 F(x)也在0，1上连续. F(0)=-10， ，由于 f(t)1，则 故 F(1)0，由零点定理可知至少存在一个 (0，1)使 F()=0. 又因为 F“(x)=2-f(x)0，F(x)在(0，1)上单调增加， 因此方程
