1、贵州省专升本考试高等数学模拟 6 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.2，3B.-3，4C.-3，4)D.(-3，4)2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数3. （分数：2.00）A.B.C.D.4.当 x0 时，无穷小量 e 2x -1 是无穷小量 sin3x 的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但非等价无穷小5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点6.若 f(x)可导，则下列各式错误的
2、是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.f(x)在点 x=1 处可导，且取得极小值，则 等于_ A0 B1 C2 D （分数：2.00）A.B.C.D.8.由参数方程 确定函数 y(x)的二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.9.设函数 f(x)满足 f“(x)+2xf“(x)=3+e x ，若 f“(x 0 )=0，则有_（分数：2.00）A.f(x0)为 f(x)的极小值B.f(x0)为 f(x)的极大值C.(x0，f(x0)是曲线 y=(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点10.过曲线
3、 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=011.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.既有垂直又有水平渐近线C.只有水平渐近线D.既无垂直又无水平渐近线12.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b=-113.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：2.00）A.B.C.D.14.设 f“(x)是连续函数，则 df“(x)dx=_（分数：2.00）A.f(x)dxB.f“(x)
4、dxC.f(x)D.f“(x)15.已知 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.016.设 f(x)在-a，a上连续，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.17.设函数 f(x)为连续函数且 （分数：2.00）A.1B.2C.3D.418.对于广义积分 ，下列结论正确的是_ A发散 B收敛于 0 C收敛于 （分数：2.00）A.B.C.D.19.和平面 x-2y+z+3=0 垂直的平面方程为_（分数：2.00）A.-z-2y-z+10=0B.x-2y+3z+5=0C.-x-y+5z+4=0D.2x+3y+4z+6=020.设向量 ab，则(a+b)(a+2b)=_ A.a2+
5、2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A.B.C.D.21._ （分数：2.00）A.3B.-3C.-2D.222.设函数 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 ，则 （分数：2.00）A.2x+2yB.2+2yC.2x-2yD.2-2y23.若 （分数：2.00）A.B.C.D.24. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到 B(-1，1)的有向曲线弧，则 A0 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是_ A B C D （
6、分数：2.00）A.B.C.D.27.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.幂级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.无法确定29.微分方程 xy“-y“的通解是_ Ay=C 1 x+C 2 By=x 2 +C Cy=C 1 x 2 +C 2 D （分数：2.00）A.B.C.D.30.微分方程 xdy+dx=e y dx 的通解为_ A.y=Cxex B.y=xex+C C.y=-ln(1-Cx) D.y=-ln(1+x)+C（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）32
7、.设 （分数：2.00）33.设 y=sin(lnx 2 )，则 y“= 1. （分数：2.00）34.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1. （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.方程 （分数：2.00）37.设 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5，则 f(x，y)= 1. （分数：2.00）38.交换积分次序后， （分数：2.00）39.设 的收敛半径为 R，则 （分数：2.00）40.方程(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是 1 阶微分方程. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_4
8、2.设 （分数：5.00）_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.计算定积分 （分数：5.00）_45.设 u=f(x，xy，xyz)其中 f 具有一阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_46.计算二重积分 （分数：5.00）_47.求过点 M(-1，2，-3)，垂直于向量 a=6，-2，-3，且与直线 （分数：5.00）_48.在曲面 x=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法给方程. （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解. （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.0
9、0)51.建筑一个容积为 8000m 3 ，深为 6m 的长方体形无盖蓄水池，池壁的造价为 a 元/m 2 池底的造价为 2a元/m 2 ，问蓄水池底面的边长各为多少时，总造价最低? （分数：7.00）_52.设 D 曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成，其中 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 6 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.2，3B.-3，4 C.-3，4)D.(-3，4)解析：解析 要使函数有
10、意义，须满足 2.函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.周期函数D.有界函数 解析：解析 因为 是有界的，所以3. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 4.当 x0 时，无穷小量 e 2x -1 是无穷小量 sin3x 的_（分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析 5.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.第二类间断点解析：解析 因为6.若 f(x)可导，则下列各式错误的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据函数在某点导数的定义，有7.f(x)在点 x=1
11、 处可导，且取得极小值，则 等于_ A0 B1 C2 D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 ，因为 f(x)在 x=1 处可导，且取得极小值，所以 f“(1)=0，因此8.由参数方程 确定函数 y(x)的二阶导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为9.设函数 f(x)满足 f“(x)+2xf“(x)=3+e x ，若 f“(x 0 )=0，则有_（分数：2.00）A.f(x0)为 f(x)的极小值 B.f(x0)为 f(x)的极大值C.(x0，f(x0)是曲线 y=(x)的拐点D.f(x0)不是 f(x)的极值，(x0，f(x0)也不是曲线
12、y=f(x)的拐点解析：解析 因为 f“(x)+2xf“(x)=3+e x ， 所以 f“(x 0 )+2x 0 f“(x 0 )=3+e x0 ，又 f“(x 0 )=0， 从而 f“(x 0 )=3+e x0 0，所以 f(x 0 )是 f(x)的极小值，故应选 A.10.过曲线 y=arctanx+e x 上的点(0，1)处的法线方程为_（分数：2.00）A.2x-y+1=0B.x-2y+2=0C.2x-y-1=0D.x+2y-2=0 解析：解析 ，法线斜率为 所以法线方程 11.曲线 （分数：2.00）A.只有垂直渐近线B.既有垂直又有水平渐近线C.只有水平渐近线 D.既无垂直又无水平
13、渐近线解析：解析 因为 ，所以 y=1 为水平渐近线，12.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1 B.a=1，b=2C.a=-2，b=1D.a=2，b=-1解析：解析 由 f(x)在 x=0 处可导知 b=1， 又 13.sin2x 的一个原函数是_ A2cos2x B C-cos 2 x D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 验证四个答案中哪个函数的导数是 sin 2 x， (-cos 2 x)“=-2cosx(cosx)“=2cosxsinx=sin2x.故应选 C.14.设 f“(x)是连续函数，则 df“(x)dx=_（分数：2.00）A.f(x)dxB.f“(x)d
14、x C.f(x)D.f“(x)解析：解析 根据不定积分的性质知 df“(x)dx=f“(x)dx，故应选 B.15.已知 （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.0解析：解析 由 得 f(x 2 )=3x 2 ，从而 f(x)=3x，所以 16.设 f(x)在-a，a上连续，则 _ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 因为 f(x)-f(-x)在-a，a上是奇函数，所以17.设函数 f(x)为连续函数且 （分数：2.00）A.1 B.2C.3D.4解析：解析 设 则 所以 18.对于广义积分 ，下列结论正确的是_ A发散 B收敛于 0 C收敛于 （分数：2.00）A.
15、B.C. D.解析：解析 19.和平面 x-2y+z+3=0 垂直的平面方程为_（分数：2.00）A.-z-2y-z+10=0B.x-2y+3z+5=0C.-x-y+5z+4=0D.2x+3y+4z+6=0 解析：解析 两个平面垂直，对应系数乘积之和为零，只有 D 符合，故应选 D.20.设向量 ab，则(a+b)(a+2b)=_ A.a2+2b2 B.3ab C.a2+2ab+2b2 D.a2+3ab+b2（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由于 ab，故 ab=ba=0，(a+b)(a+2b)=a 2 +2b 2 故应选 A.21._ （分数：2.00）A.3B.-3C.-2D
16、.2 解析：解析 22.设函数 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 ，则 （分数：2.00）A.2x+2yB.2+2y C.2x-2yD.2-2y解析：解析 因为 f(xy，x-y)=x 2 +y 2 =(x-y) 2 +2xy，所以 f(x，y)=y 2 +2x， 23.若 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 极坐标积分区域为 24. _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 25.设 L 是抛物线 y=x 2 上从点 A(1，1)到 B(-1，1)的有向曲线弧，则 A0 B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 L 的参数方程为 x
17、 从 1 变到-1，26.设正项级数 收敛，则下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 级数 的各项取绝对值后的级数为 是收敛的，从而级数27.下列命题正确的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 可以通过举反例排除法确定，例如设 可判断 A 与 B 均不正确，而 C 的通项28.幂级数 （分数：2.00）A.条件收敛B.绝对收敛 C.发散D.无法确定解析：解析 因为29.微分方程 xy“-y“的通解是_ Ay=C 1 x+C 2 By=x 2 +C Cy=C 1 x 2 +C 2 D （分数：2.00）A.B.C. D.
18、解析：解析 根据通解的概念首先排除 B 与 D，现在对 A、C 进行验证后 A 不正确，故应选 C.30.微分方程 xdy+dx=e y dx 的通解为_ A.y=Cxex B.y=xex+C C.y=-ln(1-Cx) D.y=-ln(1+x)+C（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 xdy+dx=e y dx 得 xdy=(e y -1)dx，分离变量，得 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.设 （分数：2.00）解析：1 解析 因为 e x 0，所以 f(e x )-1，ff(e x )=f(1)=1.32.设 （分数：2.00）解析：2解析 因为 ，f(0)
19、=k，所以 k=2.33.设 y=sin(lnx 2 )，则 y“= 1. （分数：2.00）解析：解析 34.函数 y=x 2 在1，3上的平均值为 1. （分数：2.00）解析： 解析 y=x 2 在1，3上的平均值为 35. （分数：2.00）解析：arctan f(x)+C.解析 36.方程 （分数：2.00）解析：椭球面解析 37.设 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5，则 f(x，y)= 1. （分数：2.00）解析：x 2 +y+5 解析 f(x+y，xy)=x 2 +3xy+y 2 +5=(x+y) 2 +xy+5， 所以 f(x，y)=x 2 +y+5.38.
20、交换积分次序后， （分数：2.00）解析： 解析 积分区域为 又可以表示为 所以 39.设 的收敛半径为 R，则 （分数：2.00）解析：解析 因为 的收敛半径为 R，而 是缺偶次方项的级数，根据这两个级数收敛半径的关系知其收敛半径为40.方程(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是 1 阶微分方程. （分数：2.00）解析：二 解析 由微分方程的基本概念可知(y“) 3 -xy“+cosy=x 2 +1 是二阶微分方程.三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.设 （分数：5.00）_正确答案：()解析：两边同取自然对数
21、，得 两边分别对 x 求导，得 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 设 x-1=2sint，则 x=1+2sint，dx=2costdt， 所以 44.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.设 u=f(x，xy，xyz)其中 f 具有一阶连续偏导数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：将中间变量 x，xy，xyz 依次编为 1，2，3 号，是 46.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图 D=(x，y)|0x2，0y2-x， 47.求过点 M(-1，2，-3)，垂直于向量 a=6，-2，-3，且与直线 （分数：5.
22、00）_正确答案：()解析：设交点为 M 0 (x 0 ，y 0 ，z 0 )，则 即 x 0 =1-2t，y 0 =-1+3t，z 0 =3+5t， 又 由于 即 6(1-2t+1)-2(-1+3t-2)-3(3+5t+3)=0， 解得 t=0 故 x 0 =1，y 0 =-1，z 0 =3， 直线的方向向量的 s=2，-3，6， 所以所求直线方程为 48.在曲面 x=xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面 x+3y+z+9=0，并写出法给方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：设所求点为 M(x 0 ，y 0 ，z 0 )，曲面在该点处的法向量为 n=y 0 ，x 0 ，-1，平
23、面的法向量为1，3，1， 按题意，有 求得 x 0 =-3，y 0 =-1， z 0 =x 0 y 0 -3，所以所求点为(-3，-1，3)， 法线方程为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 当 =3x 2 1，即 时，原级数绝对收敛， 当 =3x 2 1，即 时，原级数发散， 所以此级数的收敛半径 当 时，级数化为 发散， 故原级数的收敛域为 50.求微分方程 y“+6y“+13y=0 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：该方程的特征方程为 r 2 +6r+13=0， 解得特征根为 r 1，2 =-32i， 故所求方程的通解为 y=e -3x (C 1 c
24、os2x+C 2 sin2x).四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.建筑一个容积为 8000m 3 ，深为 6m 的长方体形无盖蓄水池，池壁的造价为 a 元/m 2 池底的造价为 2a元/m 2 ，问蓄水池底面的边长各为多少时，总造价最低? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设蓄水池底面边长分别为 x，y，总造价为 z， 则 z=2axy+12a(x+y)， 满足条件 6xy=8000， 所以 又 从而 是极小值点， 即最小值点，此时 故当蓄水池底面边长都是 52.设 D 曲线 y=f(x)与直线 y=0，y=3 围成，其中 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图，取 y 为积分变量，y0，3， 所以所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设 （分数：6.00）_正确答案：()解析：取函数 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 且 F(0)=0，
