1、贵州省专升本考试高等数学模拟 8 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0x2B.x2C.x0D.x2 且 x02.下列函数与函数 y=x+1 相同的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.3.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在4.点 x=0 是函数 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点5. _ A B （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知 f(x)=sinx，则 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)具有任意阶导数，
2、且 f (2013) (x)=f(x) 2 ，则 (2015) (x)=_ A.2f(x)f“(x) B.2(f“(x)2+f(x)f“(x) C.f“(x)2+f“(x)f“(x) D.f(x)f“(x)（分数：2.00）A.B.C.D.8.若点(x 0 ，f(x 0 )是连续函数 f(x)的极值点，则 f“(x)_（分数：2.00）A.等于零B.不存在C.等于零或不存在D.以上都不对9.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=2，b=1D.a=2，b=-110.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有垂直渐近线C.仅有垂直渐近线D.既无水平
3、渐近线又无垂直渐近线11.若 f(x)为奇函数，则它的一个原函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.既奇又偶函数D.不确定12.下列函数中，在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是_ Alnlnx Blnx C （分数：2.00）A.B.C.D.13.设 f(x)是可导函数，则 （分数：2.00）A.f(x)B.f(x)+CC.f“(x)D.f“(x)十 C14.已知 f(x)的一个原函数为 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.15.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （
4、分数：2.00）A.B.C.D.16.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.17.若函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.18.平面 2x+y-5=0 的位置是_（分数：2.00）A.与 x 轴平行B.与 z 轴垂直C.与 xOy 面垂直D.与 xOy 面平行19.设 a=1，1，-1，b=-1，-1，1，则有_ Aa/ b Bab C D （分数：2.00）A.B.C.D.20.平面 2x+y-z-1=0 与平面 x+3y-2x-3=0 的位置关系是_（分数：2.00）A.重合B.平行C.相交但不垂直D.
5、垂直21.方程 2x 2 -y 2 =1 表示的二次曲面是_（分数：2.00）A.球面B.旋转抛物面C.柱面D.圆锥面22.方程 x+y+x=e z 确定了 z=z(x，y)，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.23.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，f y (x 0 ，y 0 )=0，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处_（分数：2.00）A.有极值B.无极值C.不一定有极值D.有极大值24.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1,2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分
6、数：2.00）A.B.C.D.25.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.幂级数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1)D.(-1，0)28. 变换积分次序为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.29.微分方程(e x+y -e x )dx-(e y -e x+y )dy=0 是_（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.一阶线性齐次微分方程30.二阶线性非齐次方程 y“-2
7、y“+5y=2sin2x 的特解为 y * 应设为_ A.y*=Acos2x B.y“=Acos2x+Bsin2x C.y*=x(Acos2x+Bsin2x) D.y*=Axcos2x（分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.若 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时 z=x 2 ，则 f(x)= 1. （分数：2.00）32. （分数：2.00）33.设 f(x)-x(x+1)(x+2)(x+2015)，则 f“(0)= 1. （分数：2.00）34.当 x1 时，有 （分数：2.00）35. （分数：2.00）36.曲线 （分数：2.00）37
8、.设 （分数：2.00）38.当 x 2 +y 2 0 时， （分数：2.00）39.级数 （分数：2.00）40.微分方程 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0 的通解为 1. （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.已知 （分数：5.00）_43.求 （分数：5.00）_44.求定积分 （分数：5.00）_45.设 ，其中，f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_46.计算 （分数：5.00）_47.求函数 y=2x 3 +3x 2 -12x+1 的单调区间. （分数：5.00）_48.计算 L (y 2
9、 +2xy)dx+(x 2 +2xy)dy，其中，L 是沿曲线 y=arctanx 从点 O(0，0)到 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求微分方程 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.用薄板(不计厚度)制成一个容积为 V 的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸，才能使所用的材料最省? （分数：7.00）_52.平面图形由抛物线 y 2 =2x 与经过点 （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明，在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+
10、f“()-2=0 成立. （分数：6.00）_贵州省专升本考试高等数学模拟 8 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0x2B.x2C.x0D.x2 且 x0 解析：解析 要使函数有意义，必须满足 2.下列函数与函数 y=x+1 相同的是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 从定义域与对应法则考虑，两者都一致是同一函数，只有选项 D 符合，故应选 D.3.极限 （分数：2.00）A.1B.-1C.0D.不存在 解析：解析 因为 ，所以4.点 x=0 是函数 （分数：2.00）A.
11、连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.第二类间断点 解析：解析 x=0 是间断点且 5. _ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为当 x时， 所以 6.已知 f(x)=sinx，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 7.设 f(x)具有任意阶导数，且 f (2013) (x)=f(x) 2 ，则 (2015) (x)=_ A.2f(x)f“(x) B.2(f“(x)2+f(x)f“(x) C.f“(x)2+f“(x)f“(x) D.f(x)f“(x)（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 f (2014) (x)=2f(x)f“(x) f (201
12、5) (x)=2(f“(x) 2 +2f(x)f“(x) =2(f“(x) 2 +f(x)“(x). 故应选 B.8.若点(x 0 ，f(x 0 )是连续函数 f(x)的极值点，则 f“(x)_（分数：2.00）A.等于零B.不存在C.等于零或不存在 D.以上都不对解析：解析 因为在曲线的极值点处有 f“(x 0 )=0 或 f“(x 0 )不存在，故应选 C.9.若 （分数：2.00）A.a=2，b=1 B.a=1，b=2C.a=2，b=1D.a=2，b=-1解析：解析 因为 ，所以 b=1. 又因为 10.曲线 （分数：2.00）A.仅有水平渐近线B.既有水平渐近线又有垂直渐近线 C.仅有
13、垂直渐近线D.既无水平渐近线又无垂直渐近线解析：解析 因为11.若 f(x)为奇函数，则它的一个原函数 （分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.既奇又偶函数D.不确定解析：解析 12.下列函数中，在1，e上满足拉格朗日中值定理条件的是_ Alnlnx Blnx C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 四个选项中只有 B 满足拉格朗日值定理的两个条件，故应选 B.13.设 f(x)是可导函数，则 （分数：2.00）A.f(x) B.f(x)+CC.f“(x)D.f“(x)十 C解析：解析 因为(f(x)dx)“=f(x)故应选 A.14.已知 f(x)的一个原函数为 _ A B
14、C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 15.若f(x)dx=x 2 +C，则xf(1-x 2 )dx=_ A-2(1-x 2 ) 2 +C B2(1-x 2 ) 2 +C C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 16.下列广义积分发散的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 17.若函数 f(x)满足 ，则 f(x)=_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 令 ，则 所以 解 18.平面 2x+y-5=0 的位置是_（分数：2.00）A.与 x 轴平行B.与 z 轴垂直C.与 xOy 面垂直 D.与 x
15、Oy 面平行解析：解析 因为 n=2，1，0，nk， 所以平面与 z 轴平行，从而垂直于 xOy 面.故应选 C.19.设 a=1，1，-1，b=-1，-1，1，则有_ Aa/ b Bab C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 因为20.平面 2x+y-z-1=0 与平面 x+3y-2x-3=0 的位置关系是_（分数：2.00）A.重合B.平行C.相交但不垂直 D.垂直解析：解析 n 1 =2，1，-1，n 2 =1，3，-2， 由于 n 1 n 2 既不平行又不垂直. 所以两个平面相交但不垂直，故应选 C.21.方程 2x 2 -y 2 =1 表示的二次曲面是_（分数：2.
16、00）A.球面B.旋转抛物面C.柱面 D.圆锥面解析：解析 2X 2 -y 2 =1 是二元方程，在空间直角坐标中，表示母线平行于 x 轴的柱面.故应选 C.22.方程 x+y+x=e z 确定了 z=z(x，y)，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 令 F(x，y，z)=x+y+z-e z ， 则 F x =1，F y =1，Fz=1-e z ， 所以 23.若 f x (x 0 ，y 0 )=0，f y (x 0 ，y 0 )=0，则 f(x，y)在(x 0 ，y 0 )处_（分数：2.00）A.有极值B.无极值C.不一定有极值 D.有极大值解析：解析
17、已知条件仅说明(x 0 ，y 0 )是驻点，而驻点不一定是极值点，故应选 C.24.设 z=e xy +3ln(x+y)，则 dz| (1,2) =_ A.(e2+1)(dx+dy) B.(2e2+1)dx+(e2+1)dy C.e2dx D.e2（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 25.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 选项 A 是条件收敛，选项 B 是绝对收敛，而选项 C 与 D 均为发散，故应选 B.26.若级数 收敛，则下列级数中收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 根据无穷级数的运
18、算性质可以断定27.幂级数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1) D.(-1，0)解析：解析 因为 28. 变换积分次序为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 积分区域(x，y)|1xe，0y，lnx可化为(x，y)|0y1，e y xe， 因此 29.微分方程(e x+y -e x )dx-(e y -e x+y )dy=0 是_（分数：2.00）A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性非齐次微分方程D.一阶线性齐次微分方程解析：解析 e x (e y -1)dx-e y (1-e x )dy=0，从而 30.二阶线性非齐
19、次方程 y“-2y“+5y=2sin2x 的特解为 y * 应设为_ A.y*=Acos2x B.y“=Acos2x+Bsin2x C.y*=x(Acos2x+Bsin2x) D.y*=Axcos2x（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 因为对应齐次方程的特征方程为 r 2 -2r+5=0， 解得特征根为 r 1，2 =12i，从而2i 不是特征根， 所以特解 y * =Acos2x+Bsin2x，故应选 B.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.若 z=x+y+f(x-y)，且当 y=0 时 z=x 2 ，则 f(x)= 1. （分数：2.00）解析：x 2 -x 解析
20、 取 y=0，得 x 2 =x+f(x)，所以 f(x)=x 2 -x.32. （分数：2.00）解析：充要解析 根据极限的定义可知极限存在的充要条件是左、右极限都存在且相等.33.设 f(x)-x(x+1)(x+2)(x+2015)，则 f“(0)= 1. （分数：2.00）解析：2015!解析 34.当 x1 时，有 （分数：2.00）解析： 解析 两边求导得 g(x 2 -1)2x=-1， 即 取 x=2，得 35. （分数：2.00）解析：解析 36.曲线 （分数：2.00）解析： 解析 由方程组 消去 z 得 x 2 +y 2 +x+y=1. 所以所求投影曲线方程为 37.设 （分数
21、：2.00）解析：解析 38.当 x 2 +y 2 0 时， （分数：2.00）解析： 解析 因为 又 f(x，y)在(0，0)处连续，所以 39.级数 （分数：2.00）解析：p0解析 根据交错级数的莱布尼茨判别法可以确定 p0.40.微分方程 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0 的通解为 1. （分数：2.00）解析：tanxtany=C 解析 由 sec 2 xtanydx+sec 2 ytanxdy=0， 得 tanyd(tanx)+tanxd(tany)=0， 即 d(tanxtany)=0，所以 tanxtany=C.三、计算题(总题数：10，分数：50.0
22、0)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 又 所以 42.已知 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 所以 故 43.求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 44.求定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 当 x=9 时 t=3；当 x=4 时，t=2. 45.设 ，其中，f(u，v)可微，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 其中 46.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：选定先对 x 积分，后对 y 积分的次序. D=(x，y)|0y1，y 2 xy 所以原式 47.求函数 y=2x 3 +3x 2 -12x+1 的单调区
23、间. （分数：5.00）_正确答案：()解析：y“=6x 2 +6x-12=6(x 2 +x-2)=6(x+2)(x-1)， 令 y“=0，得 x 1 =-2，x 2 =1.列表讨论如下： x (-，-2) -2 (-2，1) 1 (1，+) y“ + 0 0 + y 由表可知，单调递增区间是(-，-2，1，+)，单调递减区间是-2，1.48.计算 L (y 2 +2xy)dx+(x 2 +2xy)dy，其中，L 是沿曲线 y=arctanx 从点 O(0，0)到 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 P(x，y)=y 2 +2xy，Q(x，y)=x 2 +2xy. 则 ，在平面：xO
24、y 内有 ，所以积分与路径无关， 改变积分路径，取折线 则 OA 的方程为 y=0，(0x1) AB 的方程为 所以 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 2x+1=t，级数化为 级数 的收敛区间为(-1，1)，当 t=1 时，级数化为 50.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程为一阶非齐线性微分方程， 所求的通解为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.用薄板(不计厚度)制成一个容积为 V 的无盖长方体水箱，问如何设计尺寸，才能使所用的材料最省? （分数：7.00）_正确答案：()解析：设水箱长、宽、高各为 x、y、z，表面积为 S，则 S
25、=xy+2yz+2xz， 由 V=xyz，解得 ，于是 解得唯一驻点为 由实际问题的最小值一定存在，所以 当 时，S 取最小值，这时 故当水箱做成底是边长为 的正方形，高为 52.平面图形由抛物线 y 2 =2x 与经过点 （分数：7.00）_正确答案：()解析：平面图形如图所示 设切点为(x 0 ，y 0 )，而 2yy“=2，所以切线斜率为 从而切线方程为 (1)该平面图形的面积为 (2)所求旋转体的体积为 五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.设函数 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)=1，证明，在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()-2=0 成立. （分数：6.00）_正确答案：()解析：【证明】 设 F(x)=xf(x)-x 2 ， 因为 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 所以 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导， 又 x(1)=1， F(0)=0x(0)-0 2 =0，F(1)=1f(1)-1 2 =0， 即 F(0)=F(1)， 故在(0，1)内至少存在一点 使 F“()=0， 即 f()+f“()-2=0 成立.
