1、2016年浙江省六校联考高考模拟试卷数学理 一、选择题：本大题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的 . 1.已知集合 A=x|x2-4x+3 0， B=x|2 x 4，则 A B=( ) A.(1， 3) B.(1， 4) C.(2， 3) D.(2， 4) 解析 ：因为 A=x|x2-4x+3 0=x|1 x 3， B=x|2 x 4，所以 A B=x|2 x 3. 答案 ： C 2.已知直线 l1： (3+m)x+4y=5-3m与 l2： 2x+(5+m)y=8，则“ l1 l2”是“ m=-7”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分
2、条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：“ l1 l2”，直线 l1： (3+m)x+4y=5-3m与 l2： 2x+(5+m)y=8， 分别化为： y= 3 5 344mmx ， y= 2855xmm. 3245m m ， 5 3 845m m ，解得： m=-7.则“ l1 l2”是“ m=-7”的充要条件 . 答案 ： C 3.已知空间两条不同的直线 m， n和平面，则下列命题中正确的是 ( ) A.若 m， n，则 m n B.若 m， n，则 m n C.若 m， n，则 m n D.若 m ， n，则 m n 解析： A.若 m，因为 n，所以必有 m n，所以 A正确
3、 . B.垂直于同一个平面的两条直线平行，所以 B错误 . C.若 m， n，则根据平行于同一个平面的两条直线位置关系不确定，所以 C错误 . D.若 m ， n，由于直线 m， n不一定在一个平面内，所以 m， n不一定平行 .所以 D错误 . 答案 ： A 4.将函数 y=sin(4x+3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍，再向右平移6个单位，得到的函数的图象的一个对称中心为 ( ) A.(2， 0) B.(4， 0) C.(9， 0) D.(16， 0) 解析：将函数 y=sin(4x+3)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍，可得函数 y=sin(2x+3)的图象， 再向右平
4、移6个单位，得到函数 y=sin2(x-6)+3=sin2x 的图象 . 令 2x=k，可得 x=2k， k z. 故所得函数的对称中心为 (2k， 0)， k z. 答案 ： A 5.等差数列 an的公差为 d，关于 x的不等式 dx2+2a1x 0的解集为 0， 9，则使数列 an的前 n项和 Sn最大的正整数 n的值是 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析：关于 x的不等式 dx2+2a1x 0的解集为 0， 9， 0， 9分别是一元二次方程 dx2+2a1x 0的两个实数根，且 d 0. 12ad=9，可得： 2a1+9d=0， a1= 92d. an=a1+(n-1)d=(n
5、-112)d， 可得： a5=-12d 0， a6=12d 0.使数列 an的前 n项和 Sn最大的正整数 n的值是 5. 答案 ： B. 6.已知 O为坐标原点，双曲线 22xyab=1(a 0， b 0)的右焦点 F，以 OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点 O的两点 A、 B，若 (AO + AF ) OF =0，则双曲线的离心率 e为 ( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 解析：设 OF 的中点为 C，则 AO +AF =2AC ， 由题意得， 12AC OF =0， AC OF， AO=AF， 又 c=OF， OA： y=bax， A的横坐标等于 C的横坐标2c， 所以 A
6、(2c，2bca)，且 AO= 22c， AO2= 2 2 2244c b ca ，所以 a=b，则双曲线的离心率 e为 22 2c a baa. 答案 ： C. 7.设 m 为不小于 2 的正整数，对任意 n Z，若 n=qm+r(其中 q， r Z，且 0 r m)，则记fm(n)=r，如 f2(3)=1， f3(8)=2，下列关于该映射 fm： Z Z的命题中，不正确的是 ( ) A.若 a， b Z，则 fm(a+b)=fm(a)+fm(b) B.若 a， b， k Z，且 fm(a)=fm(b)，则 fm(ka)=fm(kb) C.若 a， b， c， d Z，且 fm(a)=fm(
7、b)， fm(c)=fm(d)，则 fm(a+c)=fm(b+d) D.若 a， b， c， d Z，且 fm(a)=fm(b)， fm(c)=fm(d)，则 fm(ac)=fm(bd) 解析：根据题意， fm(n)=r表示的意义是 n被 m整除所得的余数 r； 对于 A，当 m=3， a=4， b=5时， f3(4+5)=0， f3(4)=1， f3(5)=2， f3(4+5) f3(4)+f3(5)； A错误； 对于 B，当 fm(a)=m(b)时，即 a=q1m+r， b=q2m+r， ka=kq1m+kr， kb=kq2m+kr， 即 fm(ka)=fm(kb)； B 正确； 对于 C
8、，当 fm(a)=fm(b)， fm(c)=fm(d)时，即 a=q1m+r1， b=q2m+r1， c=p1m+r2， d=p2m+r2， a+c=(q1+p1)m+(r1+r2)， b+d=(q2+p2)m+(r1+r2)， 即 fm(a+c)=fm(b+d)； C正确； 对于 D，当 fm(a)=fm(b)， fm(c)=fm(d)时， 即 a=q1m+r1， b=q2m+r1， c=p1m+r2， d=p2m+r2， ac=q1p1m2+(r2q1+r1p1)m+r1r2， bd=q2p2m2+(r2q2+r1p2)m+r1r2， 即 fm(ac)=fm(bd)； D 正确 . 答案
9、： A 8.如图，在等腰梯形 ABCD 中， AB=2， CD=4， BC= 5 ，点 E， F 分别为 AD， BC 的中点 .如果对于常数，在等腰梯形 ABCD 的四条边长，有且只有 8 个不同的点 P，使得 PE PF =成立，那么的取值范围是 ( ) A.(-54， -920) B.(-920， 114) C.(-920， -14) D.(-54， 114) 解析：以 DC 所在直线为 x轴， DC 的中垂线为 y轴建立平面直角坐标系， 则梯形的高为 2 25 1 =2， A(-1， 2)， B(1， 2)， C(2， 0)， D(-2， 0)， E(-32， 1)，F(32， 1).
10、 (1)当 P在 DC上时，设 P(x， 0)(-2 x 2)，则 PE =(-32-x， 1)， PF =(32-x， 1). 于是 PE PF =(-32-x)(32-x)+1=x2-54=， 当 =-54时，方程有一解，当 -54 114时，有两解； (2)当 P在 AB上时，设 P(x， 2)(-1 x 1)，则 PE=(-32-x， -1)PF=(32-x， -1). 于是 PE PF =(-32-x)(32-x)+1=x2-54=， 当 =-54时，方程有一解，当 -54 -14时，有两解； (3)当 P在 AD上时，直线 AD方程为 y=2x+4， 设 P(x， 2x+4)(-2
11、 x -1)，则 PE =(-32-x， -2x-3)， PF =(32-x， -2x-3). 于是 PE PF =(-32-x)(32-x)+(-2x-3)2=5x2+12x+274= . 当 =-920或 -14 94时，方程有一解，当 -920 -14时，方程有两解； (4)当 P在 BC上时，直线 BC的方程为 y=-2x+4， 设 P(x， -2x+4)(1 x 2)，则 PE=(-32-x， 2x-3)PF=(32-x， 2x-3). 于是 PE PF =(-32-x)(32-x)+(2x-3)2=5x2-12x+274= . 当 =-920或 -14 94时，方程有一解，当 -9
12、20 -14时，方程有两解； 综上，若使梯形上有 8 个不同的点 P满足 PE PF =成立， 则的取值范围是 (-54， 114 (-54， -14 (-920， -14) (-920， -14)=(-920， -14). 答案 ： C. 二、填空题：本大题共小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分 9.某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为 ，表面积为 . 解析：由三视图可知几何体为圆锥的 12，底面半径为 1，高为 2.母线为 5 . 几何体的体积 V=12 13 12 2=3. 几何体的表面积 S=12 12+12 2 2+12 1 5 =2+125 . 答案 ：3， 2+125 .
13、 10.已知 f(x)= 3 sin2xcos2x-cos22x，则 f(x)的最小正周期为 ，单调递减区间为 . 解析：由三角函数公式化简可得： f(x)= 32 2sin2xcos2x-12(1+cosx)= 32sinx-12cosx-12=sin(x-6)-12， f(x)的最小正周期为 T=2， 令 2k +2 x-6 2k +32可解得 2k +23 x 2k +53， 函数的单调递减区间为 (2k +23， 2k +53)k Z， 答案： 2 ； (2k +23， 2k +53)k Z. 11.设函数 f(x)= 2 1 282 (24x xxx ， ， ， ， ，则 f(log
14、23)= ，若 f(f(t) 0， 1，则实数 t的取值范围是 . 解析： f(log23)= 2log32 =3， 画出函数 f(x)的图象，如图示： 若 f(x)=0， x=4，若 f(x)=1，则 2x=1或 8-2x=1，解得： x=0或 x=72， 只需7227822tt ， 即可，解得：2log 72 t 94， t=4时： f(4)=0， f(0)=1. 答案： 2log 72， 94或 4. 12.动直线 l： (3 +1)x+(1- )y+6-6 =0 过定点 P，则点 P 的坐标为 (0， -6)(0， -6)， 若直线 l与不等式组 0022xyxy ， 表示的平面区域有
15、公共点，则实数的取值范围是 . 解析：由 (3 +1)x+(1- )y+6-6 =0得： (3x-y-6)+(x+y+6)=0， 由 3 6 060xyxy ， 得 06xy，即直线恒过定点 P(0， -6). 作出不等式组对应的平面区域如图： 当 1- =0时， =1，此时直线方程为 x=0，满足直线和平面区域有公共点， 当 1时，直线方程为 y= 3 1 6 611x， 则满足直线的斜率 k 0，且点 A(1， 0)在直线的下方或在直线上， 即 311 0且 y 3 1 6 611x， 即 311 0且 0 311 1+ 6 6 7 311，即由得 1或 -13， 由得 1 73， 由得
16、1 73， 答案： (0， -6)； 1 7313.在 ABC 中，点 D 满足 BD =23BC ，点 E 是线段 AD 上的一动点， (不含端点 )，若B E A B A C，则 1 = . 解析： BD =23BC ， 32BC BD， 32A C B C B A B D A B ， ( ) (2 )33 2B E A B A C A B B D B A B D . A， D， E三点共线， - - +32=1， +1=2. 121 . 答案： 12. 14.如图，在边长为 2的正方形 ABCD中， E为正方形边上的动点，现将 ADE所在平面沿 AE折起，使点 D在平面 ABC上的射影
17、H在直线 AE 上，当 E从点 D运动到 C，再从 C运动到 B，则点 H所形成轨迹的长度为 . 解析：由题意，在平面 AED 内过点 D作 DH AE， H为垂足，由翻折的特征知，连接 DH. 则 DHA=90， 当 E从点 D运动到 C，再从 C运动到 B，故 H点的轨迹是以 AD为直径的半圆弧， 根据边长为 2的正方形 ABCD知圆半径是 1， 所以其所对的弧长为， 答案： 15.设 a， b， c R，对任意满足 |x| 1 的实数 x，都有 |ax2+bx+c| 1，则 |a|+|b|+|c|的最大可能值为 . 解析：任意满足 |x| 1的实数 x，都有 |ax2+bx+c| 1，
18、若 x=0，则 |c| 1， 可取 c=-1， b=0，可得 |ax2-1| 1， 由于 0 x2 1，可得 a 最大取 2， 可得 |a|+|b|+|c| 3，即有 |a|+|b|+|c|的最大可能值为 3. 答案： 3. 三、解答题：本大题共 5小题，共 74 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 16.如图所示，在四边形 ABCD中， D=2 B，且 AD=1， CD=3， cosB= 33. (I)求 ACD的面积； ( )若 BC=2 3 ，求 AB的长 . 解析： (1)利用已知条件求出 D角的正弦函数值，然后求 ACD的面积； (2)利用余弦定理求出 AC，通过 BC
19、=2 3 ，利用正弦定理求解 AB的长 . 答案： ( )cosD=cos2B=2cos2B-1=-13， 因为 D (0， )，所以 sinD=223， 所以 ACD的面积 S=12AD CD sinD=12 1 3 223= 2 . ( )在 ACD中， AC2=AD2+DC2-2AD DC cosD=12，所以 AC=2 3 . 在 ABC中， BC=2 3 ，sin sinA C A BB A C B ， 把已知条件代入并化简得： 3(2s i n s i n 2 s) i3 n22A B A BBB B，所以 AB=4. 17.如图 (1)，在等腰梯形 CDEF 中， CB， DA
20、是梯形的高， AE=BF=2， AB=2 2 ，现将梯形沿CB， DA折起，使 EF AB且 EF=2AB，得一简单组合体 ABCDEF如图 (2)示，已知 M， N分别为AF， BD 的中点 . ( )求证： MN平面 BCF； ( )若直线 DE 与平面 ABFE 所成角的正切值为 22，则求平面 CDEF 与平面 ADE 所成的锐二面角大小 . 解析： (I)连结 AC，通过证明 MN CF，利用直线与平面平行的判定定理证明 MN平面 BCF. (II)先由线面垂直的判定定理可证得 AD平面 ABFE，可知 DEA 就是 DE 与平面 ABFE 所成的角，解 Rt DAE，可得 AD 及
21、 DE 的长，分别以 AB， AP， AD 所在的直线为 x， y， z 轴建立空间直角坐标系，求出平面 ADE与平面 CDFE的法向量，代入向量夹角公式，可得答案 . 答案： ( )连 AC， 四边形 ABCD是矩形， N为 BD中点， N为 AC 中点 . 在 ACF中， M为 AF中点，故 MN CF. CF 平面 BCF， MN 平面 BCF， MN平面 BCF. ( )依题意知 DA AB， DA AE且 AB AE=A AD平面 ABFE， DE在面 ABFE上的射影是 AE. DEA就是 DE 与平面 ABFE所成的角 . 故在 Rt DAE中： tan DEA= 22 2D A
22、 D AAE ， AD= 2 ， DE= 6 . 设 P EF且 AP EF，分别以 AB， AP， AD所在的直线为 x， y， z轴建立空间直角坐标系， 则 A(0， 0， 0)， D(0， 0， 2 )， E(- 2 ， 2 ， 0)， F(3 2 ， 2 ， 0) AD =(0， 0， 2 )， AE =(- 2 ， 2 ， 0)， DE =(- 2 ， 2 ， - 2 )， DC =(2 2 ，0， 0) 设 m =(x， y， z)， n =(r， s， t)分别是平面 ADE与平面 CDFE的法向量 令 00m ADm AE，00n DCn DE ，即 22200zxy ，202
23、 0222xx y z ，取 m =(1， 1， 0)， n =(0， 1， 1)则 cos m ， n =mnmn =12 . 平面 ADE与平面 CDFE所成锐二面角的大小为3. 18.已知函数 f(x)=2axxb (a 0， b 1)，满足： f(1)=1，且 f(x)在 R上有最大值 324 . (I)求 f(x)的解析式； ( )当 x 1， 2时，不等式 f(x) 2 32mx x m恒成立，求实数 m的取值范围 . 解析 (I)根据条件建立方程和不等式关系即可求 f(x)的解析式； ( )求出 f(x)的解析式，将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可 . 答案： (I)
24、f(x)=2axxb (a 0， b 1)，满足： f(1)=1， f(1)= 1ab=1，即 a=1+b， f(x)=22a a ab bbx xx x ， f(x)在 R上有最大值 324. 3224ab .即 2a=3 2b ， 由得 a=3， b=2，即 f(x)的解析式 f(x)=23 2xx ； ( )依题意，若 x 1， 2时有意义，则 m 2或 m 1， 则当 x=1时，不等式也成立，即 1 33 1 1mm， 即 m |m-1|，平方得 m2 m2-2m+1，得 m 12， 当 x=2时，不等式也成立，即 1 366mm，即 m 2|2-m|， 平方得 3m2-16m+16
25、0，即 43 m 4， . 由 f(x) 2 32mx x m， 得 2 2332 2xmx x x m ， 即 x mxm，则 |x-m| mx，即 -mx x-m mx，在 x 1， 2上恒成立 . 当 x=1时，不等式成立，当 x 1时， m 21xx，则 m 4 对于 m 21xx， x (1， 2上恒成立，等价为 m ( 21xx)max， 设 t=x+1，则 x=t-1，则 t (2， 3， 则 21xx= 21tt =t+1t-2，在 (2， 3上递增，则 ( 21xx)max=43，则 m 43. 综上实数 m的取值范围是 2 m 4. 19.如图，椭圆 C1： 22xyab=
26、1 (a b 0)和圆 C2： x2+y2=b2，已知圆 C2将椭圆 C1的长轴三等分，且圆 C2的面积为 .椭圆 C1的下顶点为 E，过坐标原点 O 且与坐标轴不重合的任意直线l与圆 C2相交于点 A， B，直线 EA， EB 与椭圆 C1的另一个交点分别是点 P， M. (I)求椭圆 C1的方程； ( )求 EPM面积最大时直线 l的方程 . 解析： ( )由圆的面积公式可得 b=1，再由三等分可得 a=3， b=3，进而得到椭圆方程； ( )由题意得：直线 PE， ME 的斜率存在且不为 0， PE EM，不妨设直线 PE的斜率为 k(k0)，则 PE： y=kx-1， 代入椭圆方程求得
27、 P， M 的坐标，再由直线和圆方程联立，求得 A的坐标，直线 AB 的斜率，求得 EPM的面积，化简整理，运用基本不等式可得最大值，进而得到所求直线的斜率，可得直线方程 . 答案： ( )由圆 C2的面积为，得： b=1， 圆 C2将椭圆 C1的长轴三等分，可得 a=3， b=3， 所以椭圆方程为： 2 2 19x y； ( )由题意得：直线 PE， ME的斜率存在且不为 0， PE EM， 不妨设直线 PE的斜率为 k(k 0)，则 PE： y=kx-1， 由22199y kxxy，得： 2221819911,9kxkkyk 或 01xy，所以 P(21891kk ， 2291kk )，同
28、理得 M(2189kk ， 2299 kk )， kPM= 2 110k k， 由2211y kxxy，得 A(221 kk ， 22 11kk )，所以： kAB= 2 12k k ， 所以 S EPM=12|PE| |EM|= 342 22116216299 8 2 9 9 8 2kkk kkk kk ， 设 t=k+1k，则 S EPM=21629 64tt = 162649tt 278， 当且仅当 t=k+1k=83时取等号，所以 k-1k= 23 7， 则直线 AB： y= 2 12112k x k xkk ()， 所以所求直线 l方程为： y= 73x. 20.已知数列 an满足：
29、 an+1= 12(an+4na)； (I)若 a3=4120，求 a1的值； ( )若 a1=4，记 bn=|an-2|，数列 bn的前 n项和为 Sn，求证： Sn 83. 解析： (1)由数列 an满足： an+1=12(an+4na)， a3=4120，代入可得 a2， a1. (2)由 a1=4， an+1-2= 12na(an-2)2 0；可得 an 2.an+1-an= 242 nnaa 0， an为单调递减数列 .进而得到 an+1-2=22nnaa (an-2) 14 (an-2)， an-2 (14 )n-1(a1-2)=2 (14)n-1，即可得出 . 答案： (1)数列
30、 an满足： an+1=12(an+4na)， a3=4120， 2 24 1 1 42 0 2 a a，解得 a2=52或 85； 当 a2=52时，解得 a1=1或 4. 当 a2=85时，无解 . a1=1 或 4. (2) a1=4， an+1-2= 12na(an-2)2 0； an 2. an+1-an= 242 nnaa 0， an为单调递减数列 . 2 an 4， 22n naa= 12411 na ， an+1-2= 22n naa(an-2) 14(an-2)， an-2 (14)n-1(a1-2)=2 (14)n-1， Sn=b1+b2+ +bn=(a1-2)+(a2-2)+ +(an-2) 2+24+2 (14)2+ +2 (14)n-1=2+231-(14)n 83.
