1、2016年浙江省宁波市中考真题数学 一、选择题 (每小题 4分，满分 48 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ) 1.6的相反数是 ( ) A.-6 B.16C. 16D.6 解析： 6的相反数是 -6. 答案： A. 2.下列计算正确的是 ( ) A.a3+a3=a6 B.3a-a=3 C.(a3)2=a5 D.a a2=a3 解析：根据同类项合并、幂的乘方和同底数幂的乘法计算即可 . A、 a3+a3=2a3，错误； B、 3a-a=2a，错误； C、 (a3)2=a6，错误； D、 a a2=a3，正确 . 答案： D. 3.宁波栎社国际机场三期扩建工程建设总投资 84
2、.5亿元，其中 84.5亿元用科学记数法表示为 ( ) A.0.845 1010元 B.84.5 108元 C.8.45 109元 D.8.45 1010元 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值是易错点，由于 84.5亿有 10 位，所以可以确定 n=10-1=9. 84.5亿元用科学记数法表示为 8.45 109元 . 答案： C. 4.使二次根式 1x 有意义的 x的取值范围是 ( ) A.x 1 B.x 1 C.x 1 D.x 1 解析：根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式即可 . 由题意得， x-1 0，
3、 解得 x 1. 答案： D. 5.如图所示的几何体的主视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：主视图，即从几何体的正面观察得出视图 . 几何体的主视图为： . 答案： B. 6.一个不透明布袋里装有 1个白球、 2个黑球、 3个红球，它们除颜色外均相同 .从中任意摸出一个球，则是红球的概率为 ( ) A.16B.13C.12D.23解析： 1 个白球、 2 个黑球、 3 个红球一共是 1+2+3=6 个，从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是 3 6=12. 答案： C. 7.某班 10名学生的校服尺寸与对应人数如表所示： 则这 10 名学生校服尺寸的众数和中位数分别为 ( )
4、A.165cm， 165cm B.165cm， 170cm C.170cm， 165cm D.170cm， 170cm 解析：由表格可知，这 10名学生校服尺寸的众数是 165cm， 这 10名学生校服尺寸按从小到大排列是： 160、 165、 165、 165、 170、 170、 175、 175、 180、180， 故这 10 名学生校服尺寸的中位数是： 170 170 1702 cm. 答案： B. 8.如图，在 ABC中， ACB=90， CD AB， ACD=40，则 B的度数为 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 解析： CD AB， ACD=40， A= ACD=4
5、0， 在 ABC中， ACB=90， B=90 - A=50 . 答案： B. 9.如图，圆锥的底面半径 r为 6cm，高 h为 8cm，则圆锥的侧面积为 ( ) A.30 cm2 B.48 cm2 C.60 cm2 D.80 cm2 解析： h=8， r=6， 可设圆锥母线长为 l， 由勾股定理， 228 6 10l ， 圆锥侧面展开图的面积为： S 侧 =12 2 6 10=60， 所以圆锥的侧面积为 60 cm2. 答案： C. 10.能说明命题“对于任何实数 a， |a| -a”是假命题的一个反例可以是 ( ) A.a=-2 B.a=13C.a=1 D.a= 2 解析：反例就是符合已知
6、条件但不满足结论的例子 .可据此判断出正确的选项 . 说明命题“对于任何实数 a， |a| -a”是假命题的一个反例可以是 a=-2. 答案： A. 11.已知函数 y=ax2-2ax-1(a 是常数， a 0)，下列结论正确的是 ( ) A.当 a=1时，函数图象过点 (-1， 1) B.当 a=-2时，函数图象与 x轴没有交点 C.若 a 0，则当 x 1 时， y随 x的增大而减小 D.若 a 0，则当 x 1 时， y随 x的增大而增大 解析： A、当 a=1， x=-1时， y=1+2-1=2，函数图象不经过点 (-1， 1)，故错误； B、当 a=-2时， =42-4 (-2) (
7、-1)=8 0，函数图象与 x轴有两个交点，故错误； C、抛物线的对称轴为直线 2 12 ax a ，若 a 0，则当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大，故错误； D、抛物线的对称轴为直线 2 12 ax a ，若 a 0，则当 x 1 时， y 随 x 的增大而增大，故正确 . 答案： D. 12.如图是一个由 5 张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为 S1，另两张直角三角形纸片的面积都为 S2，中间一张正方形纸片的面积为 S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为 ( ) A.4S1 B.4S2 C.4S2+S3 D.3S1+4S
8、3 解析：设等腰直角三角形的直角边为 a，正方形边长为 c， 则 S1=12a2， S3=c2， 222 1 1 12 2 2S a c a c a c ， S2=S1- 12S3， S3=2S1-2S2， 平行四边形面积 =2S1+2S2+S3=2S1+2S2+2S1-2S2=4S1. 答案： A. 二、填空题 (每小题 4 分，满分 24 分 ) 13.实数 -27 的立方根是 . 解析： 由立方根的定义和乘方的关系容易得出结果 . (-3)3=-27， 实数 -27的立方根是 -3. 答案 ： -3. 14.分解因式： x2-xy= . 解析：根据观察可知公因式是 x，因此提出 x即可得
9、出答案 . x2-xy=x(x-y). 答案： x(x-y) 15.下列图案是用长度相同的火柴棒按一定规律拼搭而成，图案需 8 根火柴棒，图案需15根火柴棒，按此规律，图案需 根火柴棒 . 解析：图案需火柴棒： 8根； 图案需火柴棒： 8+7=15根； 图案需火柴棒： 8+7+7=22 根； 图案 n需火柴棒： 8+7(n-1)=7n+1根； 当 n=7时， 7n+1=7 7+1=50， 图案需 50根火柴棒 . 答案： 50. 16.如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆 10m的 A 处测得旗杆顶端 B 的仰角为 60，测角仪高 AD 为 1m，则旗杆高 BC为 m(结果保留根号
10、). 解析：如图，过点 A作 AE DC，交 BC 于点 E，则 AE=CD=10m， CE=AD=1m， 在 Rt BAE中， BAE=60， BE=AE tan60 =10 3 (m)， BC=CE+BE=10 3 +1(m). 旗杆高 BC 为 10 3 +1m. 答案： 10 3 +1. 17.如图，半圆 O的直径 AB=2，弦 CD AB， COD=90，则图中阴影部分的面积为 . 解析：弦 CD AB， S ACD=S OCD， 229 0 23 6 0 2 3 6 0 2 4C O DC O D A BSS 阴 影 扇 形. 答案：4. 18.如图，点 A 为函数 9yx(x 0
11、)图象上一点，连结 OA，交函数 1yx(x 0)的图象于点 B，点 C是 x轴上一点，且 AO=AC，则 ABC的面积为 . 解析：设点 A的坐标为 (a， 9a)，点 B的坐标为 (b， 1b)， 点 C是 x轴上一点，且 AO=AC， 点 C的坐标是 (2a， 0)， 设过点 O(0， 0)， A(a， 9a)的直线的解析式为： y=kx， 9 kaa， 解得，29k a ， 又点 B(b， 1b)在29yxa 上， 219bba ，解得， 3ab 或 3ab (舍去 ). 9122 1 8 6 9 3 62 2 2 2A B C A O C O B CaaabS S S . 答案： 6
12、. 三、解答题 (本大题有 8小题，满分 78 分 ) 19.先化简，再求值： (x+1)(x-1)+x(3-x)，其中 x=2. 解析： 利用平方差公式和单项式乘多项式将原式展开，再合并同类项即可化简，把 x的值代入计算即可 . 答案 ：原式 =x2-1+3x-x2=3x-1. 当 x=2时，原式 =3 2-1=5. 20.下列 3 3网格图都是由 9个相同的小正方形组成，每个网格图中有 3个小正方形已涂上阴影，请在余下的 6个空白小正方形中，按下列要求涂上阴影： (1)选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个轴对称图形，但不是中心对称图形 . 解析： (1)根据轴对称定义，在最上一
13、行中间一列涂上阴影即可 . 答案： (1)如图 1所示 . (2)选取 1个涂上阴影，使 4个阴影小正方形组成一个中心对称图形，但不是轴对称图形 . 解析： (2)根据中心对称定义，在最下一行、最右一列涂上阴影即可 . 答案： (2)如图 2所示 . (3)选取 2个涂上阴影，使 5个阴影小正方形组成一个轴对称图形 . (请将三个小题依次作答在图 1、图 2、图 3中，均只需画出符合条件的一种情形 ) 解析： (3)在最上一行、中间一列，中间一行、最右一列涂上阴影即可 . 答案： (3)如图 3所示 . 21.为深化义务教育课程改革，某校积极开展拓展性课程建设，计划开设艺术、体育、劳技、文学等
14、多个类别的拓展性课程，要求每一位学生都自主选择一个类别的拓展性课程 .为了了解学生选择拓展性课程的情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图 (部分信息未给出 )： 根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)求本次被调查的学生人数 . 解析： (1)根据条形统计图和扇形统计图可知选择劳技的学生 60 人，占总体的 30%，从而可以求得调查学生人数 . 答案： (1)60 30%=200(人 )， 即本次被调查的学生有 200 人 . (2)将条形统计图补充完整 . 解析： (2)根据文学的百分比和 (1)中求得的学生调查数可以求得文学的有多少人，从而可以求得体育的多少人，进
15、而可以将条形统计图补充完整 . 答案： (2)选择文学的学生有： 200 15%=30(人 )， 选择体育的学生有： 200-24-60-30-16=70(人 )， 补全的条形统计图如下图所示 (3)若该校共有 1600名学生，请估计全校选择体育类的学生人数 . 解析： (3)根据调查的选择体育的学生所占的百分比可以估算出全校选择体育类的学生人数 . 答案： (3) 701 6 0 0 5 6 0200 (人 ). 即全校选择体育类的学生有 560人 . 22.如图，已知抛物线 y=-x2+mx+3与 x轴交于 A， B 两点，与 y轴交于点 C，点 B的坐标为 (3，0) (1)求 m的值及
16、抛物线的顶点坐标 . 解析： (1)首先把点 B 的坐标为 (3， 0)代入抛物线 y=-x2+mx+3，利用待定系数法即可求得 m的值，继而求得抛物线的顶点坐标 . 答案： (1)把点 B的坐标为 (3， 0)代入抛物线 y=-x2+mx+3得： 0=-32+3m+3， 解得： m=2， y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， 顶点坐标为： (1， 4). (2)点 P是抛物线对称轴 l上的一个动点，当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标 . 解析： (2)首先连接 BC 交抛物线对称轴 l于点 P，则此时 PA+PC的值最小，然后利用待定系数法求得直线 BC 的解析式，继而求得答案
17、. 答案： (2)连接 BC交抛物线对称轴 l于点 P，则此时 PA+PC的值最小， 设直线 BC的解析式为： y=kx+b， 点 C(0， 3)，点 B(3， 0)， 033kbb， 解得： 13kb， 直线 BC的解析式为： y=-x+3， 当 x=1时， y=-1+3=2， 当 PA+PC的值最小时，求点 P的坐标为： (1， 2). 23.如图，已知 O的直径 AB=10，弦 AC=6， BAC 的平分线交 O于点 D，过点 D作 DE AC交 AC的延长线于点 E. (1)求证： DE 是 O的切线 . 解析： (1)连接 OD，欲证明 DE是 O的切线，只要证明 OD DE 即可
18、. 答案： (1)连接 OD， AD平分 BAC， DAE= DAB， OA=OD， ODA= DAO， ODA= DAE， OD AE， DE AC， OD DE， DE是 O切线 . (2)求 DE的长 . 解析： (2)过点 O 作 OF AC 于点 F，只要证明四边形 OFED 是矩形即可得到 DE=OF，在 RTAOF中利用勾股定理求出 OF 即可 . 答案： (2)过点 O作 OF AC 于点 F， AF=CF=3， 2 2 2 25 3 4O F A O A F . OFE= DEF= ODE=90， 四边形 OFED是矩形， DE=OF=4. 24.某商场销售 A， B两种品牌
19、的教学设备，这两种教学设备的进价和售价如表所示 该商场计划购进两种教学设备若干套，共需 66 万元，全部销售后可获毛利润 9万元 . (1)该商场计划购进 A， B两种品牌的教学设备各多少套？ 解析： (1)首先设该商场计划购进 A， B两种品牌的教学设备分别为 x套， y套，根据题意即可列方程组 1 .5 1 .2 6 60 .1 5 0 .2 9xy，解此方程组即可求得答案 . 答案： (1)设该商场计划购进 A， B两种品牌的教学设备分别为 x套， y套， 1 .5 1 .2 6 60 .1 5 0 .2 9xy， 解得： 2030xy. 答：该商场计划购进 A， B两种品牌的教学设备分
20、别为 20套， 30 套 . (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少 A种设备的购进数量，增加 B 种设备的购进数量，已知 B 种设备增加的数量是 A 种设备减少的数量的 1.5 倍 .若用于购进这两种教学设备的总资金不超过 69万元，问 A种设备购进数量至多减少多少套？ 解析： (2)首先设 A种设备购进数量减少 a套，则 A种设备购进数量增加 1.5a套，根据题意即可列不等式 1.5(20-a)+1.2(30+1.5a) 69，解此不等式组即可求得答案 . 答案： (2)设 A种设备购进数量减少 a套，则 A种设备购进数量增加 1.5a套， 1.5(20-a)+1.2(30+
21、1.5a) 69， 解得： a 10. 答： A种设备购进数量至多减少 10套 . 25.从三角形 (不是等腰三角形 )一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线 . (1)如图 1，在 ABC 中， CD 为角平分线， A=40， B=60，求证： CD 为 ABC 的完美分割线 . 解析： (1)根据完美分割线的定义只要证明 ABC不是等腰三角形， ACD是等腰三角形， BDC BCA即可 . 答案： (1)如图 1中， A=40， B=60，
22、ACB=80， ABC不是等腰三角形， CD平分 ACB， ACD= BCD=12 ACB=40， ACD= A=40， ACD为等腰三角形， DCB= A=40， CBD= ABC， BCD BAC， CD是 ABC的完美分割线 . (2)在 ABC中， A=48， CD是 ABC的完美分割线，且 ACD为等腰三角形，求 ACB的度数 . 解析： (2)分三种情形讨论即可如图 2，当 AD=CD时，如图 3中，当 AD=AC时，如图 4中，当 AC=CD时，分别求出 ACB即可 . 答案： (2)当 AD=CD 时，如图 2， ACD= A=45， BDC BCA， BCD= A=48， A
23、CB= ACD+ BCD=96 . 当 AD=AC时，如图 3 中， 1 8 0 4 8 662A C D A D C ， BDC BCA， BCD= A=48， ACB= ACD+ BCD=114 . 当 AC=CD时，如图 4 中， ADC= A=48， BDC BCA， BCD= A=48， ADC BCD，矛盾，舍弃 . ACB=96或 114 . (3)如图 2， ABC中， AC=2， BC= 2 ， CD是 ABC 的完美分割线，且 ACD是以 CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线 CD 的长 . 解析： (3)设 BD=x，利用 BCD BAC，得 BC BDBA BC，列出
24、方程即可解决问题 . 答案： (3)由已知 AC=AD=2， BCD BAC， BC BDBA BC，设 BD=x， 22 2xx， x 0， x= 3 -1， BCD BAC， 321C D B DA C B C ， 3 6221 2CD . 26.如图，在平面直角坐标系中， O为坐标原点，点 A的坐标为 (5， 0)，菱形 OABC 的顶点 B，C 都在第一象限， tan AOC=43，将菱形绕点 A 按顺时针方向旋转角 (0 AOC)得到菱形 FADE(点 O的对应点为点 F)， EF 与 OC交于点 G，连结 AG. (1)求点 B的坐标 . 解析： (1)如图 1，过点 B作 BH
25、x轴于点 H，构建直角 ABH，所以利用菱形的四条边相等的性质和解该直角三角形得到 AH、 BH 的长度，则易求点 B的坐标 . 答案： (1)如图 1， 过点 B作 BH x轴于点 H， 四边形 OABC为菱形， OC AB， BAH= COA. tan AOC=43， tan BAH=43. 又在直角 BAH中， AB=5， BH=45AB=4， AH=35AB=3， OH=OA+AH=5+3=8， 点 B的坐标为 (8， 4). (2)当 OG=4时，求 AG 的长 . 解析： (2)如图 1，过点 A作 AM OC于点 M，构建直角 OAM和直角 AMG，通过解直角 OAM求得直角边
26、AM的长度，然后结合图形和勾股定理来求 AG的长度 . 答案： (2)如图 1， 过点 A作 AM OC 于点 M， 在直角 AOM中， tan AOC=43， OA=5， AM=45OA=4， OM=35OA=3， OG=4， GM=OG-OM=4-3=1， 2 2 2 24 1 1 7A G A M G M . (3)求证： GA 平分 OGE. 解析： (3)如图 1，过点 A作 AM OC于点 M，构建全等三角形： AOM AFN(ASA)，利用该全等三角形的对应边相等得到 AM=AN，最后结合角平分线的性质证得结论 . 答案： (3)如图 1， 过点 A作 AN EF 于点 N， 在
27、 AOM与 AFN中， 90A O M FO A F AA M O A N F ， AOM AFN(ASA)， AM=AN， GA平分 OGE. (4)连结 BD并延长交 x 轴于点 P，当点 P的坐标为 (12， 0)时，求点 G的坐标 . 解析： (4)如图 2，过点 G作 GQ x轴于点 Q，构建相似三角形： GOA BAP，根据该相似三角形的对应边成比例得到求得 GQ的长度 .结合已知条件 tan AOC=43，来求边 OQ的长度，即可得到点 G的坐标 . 答案： (4)如图 2， 过点 G作 GQ x轴于点 Q， 由旋转可知： OAF= BAD= . AB=AD， 1802ABP ， AOT= F， OTA= GTF， 1802O G A E G A ， OGA=ABP， 又 GOA= BAP， GOA BAP， GQ OABH AP， 5 2 0477GQ . tan AOC=43， 2 0 1 57734OQ ， G(157， 207).
