1、陕西省专升本考试高等数学模拟 2 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，下列函数是其他三个函数高阶无穷小量的是_ Ax+x 2 B1-cosx Ca x -1 D （分数：5.00）A.B.C.D.2.极限 _ A B Ce D （分数：5.00）A.B.C.D.3.已知 f“(x)连续，且 f(0)=0，设 ，则 “(0)=_ Af“(0) B C1 D （分数：5.00）A.B.C.D.4.直线 （分数：5.00）A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行5.设 D 是矩形域 3x5，0y1，且 （
2、分数：5.00）A.I1I2B.I1I2C.I1I2D.I1I2二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）7.若 （分数：5.00）8.函数 u=xyz 在点(5，1，2)处沿从点(5，1，2)到(9，4，14)的方向的方向导数为 1 （分数：5.00）9.设 （分数：5.00）10.x=f(x+y，xy)，且 f 可微，则 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_12.设函数 （分数：8.00）_13.求不定积分 （分数：8.00）_14.计算定积分 （分数：8.00）_15.设 z=e u c
3、osv,u=2xy，v=x+y，求 （分数：8.00）_16.求函数 （分数：8.00）_17.求 ，其中区域 D 由 （分数：8.00）_18.计算曲线积分 ，其中 L 为圆周 x=Rcost，y=Rsint 上对应 t 从 0 到 （分数：8.00）_19.已知连续函数 f(x)满足 （分数：8.00）_20.求幂级数 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积 （分数：10.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)
4、内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，证明在(0，1)内至少存在一点 c，使得 （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学模拟 2 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，下列函数是其他三个函数高阶无穷小量的是_ Ax+x 2 B1-cosx Ca x -1 D （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 A 的等价无穷小为 x；B 的等价无穷小为 ；C 的等价无穷小为 xlna；D 的等价无穷小为2.极限 _ A B Ce D （分数：5.00）A.B.C. D.解析：解析 3.已知 f“(x)连续，
5、且 f(0)=0，设 ，则 “(0)=_ Af“(0) B C1 D （分数：5.00）A.B. C.D.解析：解析 为求 “(0)，先判断 (x)在 x=0 处连续， 考虑 所以 (x)在 x=0 处连续， 4.直线 （分数：5.00）A.垂直B.相交但不垂直C.直线在平面上D.平行 解析：解析 直线 化为标准方程5.设 D 是矩形域 3x5，0y1，且 （分数：5.00）A.I1I2 B.I1I2C.I1I2D.I1I2解析：解析 设 u=x+y，则 3u6， lnulne=1，那么 ln 3 uln 2 u， 从而由二重积分的性质知 I 2 I 1 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分
6、数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）解析：解析 7.若 （分数：5.00）解析：0解析 8.函数 u=xyz 在点(5，1，2)处沿从点(5，1，2)到(9，4，14)的方向的方向导数为 1 （分数：5.00）解析： 解析 由题意得，l=9-5，4-1，14-2=4，3，12， 故 9.设 （分数：5.00）解析： 解析 方程两端对 x 求导：f(x 2 +x 3 )(2x+3x 2 )=1，取 x=1，则 10.x=f(x+y，xy)，且 f 可微，则 （分数：5.00）解析： 其中 u=x+y，v=xy 解析 设 u=x+y，v=xy，则 z=f(u，v) 所以 三、计算题(总题
7、数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_正确答案：()解析：该题属“”，我们用倒代换 让其产生分母，然后通分计算之 12.设函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 故 13.求不定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：14.计算定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：令 e -x =sint,则 x=-lnsint， ，且当 x=0 时， ；当 x=ln2 时， ，于是 15.设 z=e u cosv,u=2xy，v=x+y，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：由复合函数求偏导数法则，得 16.求函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析
8、：17.求 ，其中区域 D 由 （分数：8.00）_正确答案：()解析：画出积分区域图 D 考虑到被积函数的情况，先对 x 积分较宜 18.计算曲线积分 ，其中 L 为圆周 x=Rcost，y=Rsint 上对应 t 从 0 到 （分数：8.00）_正确答案：()解析：L 的参数方程为 所以 19.已知连续函数 f(x)满足 （分数：8.00）_正确答案：()解析：方程两端对 x 求导 f“(x)=3f(x)+2e 2x ， 即：y“=3y+2e 2x ，为常系数一阶线性非齐次微分方程，因特征根 r=3，所以齐次方程 y“=3y 的通解为Y=Ce 3x ，设 y*=Ae 2x 为原方程的特解，
9、则 y*“=2Ae 2x ，将 y*，y*“代入方程 y“=3y+2e 2x ，比较系数可得 A=-2，所以 y*=-2e 2x ，故原方程的通解为：y=Ce 3x -2e 2x ，当 x=0 f(x)=1，所以 C=3，所以所求函数为 f(x)=3e 3x -2e 2x 20.求幂级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 的收敛区间中心为 x=1 ，则 R=1 当 x=0 时，级数为 ，发散 当 x=2 时，级数为 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求由曲线 xy=a(a0)及直线 x=a，x=2a，y=0 所围图形的面积，该图形分别绕 x 轴，y 轴旋转一周所生成的立体体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：先作图，当 x=a 时，y=1；x=2a， ，由曲线及直线所围图形的面积为： 该图形绕 x 轴旋转所成的体积为： 该图形绕 y 轴旋转所成的体积为： 22.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，证明在(0，1)内至少存在一点 c，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 令 F(x)=xf(x)，则 F(x)仍在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=F(1)=0， 故必存在一点 c(0，1)，使得 F“(c)=0，即 f(x)+xf“(x)| x=c =0，故
