1、陕西省专升本考试高等数学模拟 8 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，sin(x 2 +2x)是 x 的_（分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小2.设函数 ，则 dy=_ A B （分数：5.00）A.B.C.D.3.若 ，则下列各式中不成立的是_ Af(x)=g(x) Bf“(x)=g“(x) Cd(f(x)=d(g(x) D （分数：5.00）A.B.C.D.4.幂级数 （分数：5.00）A.(0，2)B.(0，2C.0，2)D.0，25.设 D=(x，y)|
2、0x2，0y1，则 （分数：5.00）A.B.C.D.二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）7.极限 （分数：5.00）8.过点(1,2,-1)与直线 （分数：5.00）9.微分方程 y“-2y“+y=x-2 的通解为 1 （分数：5.00）10.设函数 u=x 2 +2y 2 +3z 2 +3x-2y，则 gradu| (1,1,2) = 1 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.已知函数 （分数：8.00）_12.设 y=y(x)由方程 y=x(sinx) cosx 确定，求 y“ （分数：8.00）_13.已知函
3、数 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值为 3，最小值为-13，又有 a0，求 a、b 的值 （分数：8.00）_14.求定积分 （分数：8.00）_15.设 z 为由方程 f(x+y，y+z)=0 所确定的函数，求偏导数 z x （分数：8.00）_16.计算 （分数：8.00）_17.将函数 （分数：8.00）_18.设 z=xe xy ，求 （分数：8.00）_19.计算 （分数：8.00）_20.求微分方程 xy“-2y“=x 3 +x 的通解 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求由曲线 y=x 2 与直线 x=1，
4、x=2 及 y=0 围成平面图形的面积 S 以及该图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 （分数：10.00）_22.证明：方程 ln(1+x 2 )=x-1 有且仅有一个实根 （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学模拟 8 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：25.00)1.当 x0 时，sin(x 2 +2x)是 x 的_（分数：5.00）A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价无穷小 解析：解析 因 x0 时，sin(x 2 +2x)x 2 +2x，而 x 2 +2x 与 x 是 x0 时的同阶无穷小，但
5、非等价无穷小，故 sin(x 2 +2x)是 x 的同阶无穷小，但非等价无穷小2.设函数 ，则 dy=_ A B （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 因为 ，则3.若 ，则下列各式中不成立的是_ Af(x)=g(x) Bf“(x)=g“(x) Cd(f(x)=d(g(x) D （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 由4.幂级数 （分数：5.00）A.(0，2)B.(0，2C.0，2)D.0，2 解析：解析 这四个选项中，区间端点相同，故只需验证级数在区间端点是否收敛即可得答案对于x=0，对应的数项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛；对于 x=2，对
6、应的数项级数为：5.设 D=(x，y)|0x2，0y1，则 （分数：5.00）A. B.C.D.解析：解析 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：25.00)6.定积分 （分数：5.00）解析：2(e 2 +1) 解析 7.极限 （分数：5.00）解析：e 6 解析 8.过点(1,2,-1)与直线 （分数：5.00）解析：x-3y-z+4=0 解析 n=s=-1，3，1，过点(1，2，-1) 由点法式，得 x-3y-z+4=09.微分方程 y“-2y“+y=x-2 的通解为 1 （分数：5.00）解析：y=(C 1 +C 2 x)e x +x 解析 先求对应齐次方程 y“-2y“+y=0
7、的通解，因特征方程为：r 2 -2r+1=0，r=1 为重根，所以齐次方程的通解为 Y=(C 1 +C 2 x)e x 设 y*=Ax+B 为原方程的特解则 y*“=A，y*“=0，将 y*、y*“、y*“代入原方程有：-2A+(Ax+B)=x-2，所以A=1，B=0，于是 y*=x，原方程的通解为 y=(C 1 +C 2 x)e x +x10.设函数 u=x 2 +2y 2 +3z 2 +3x-2y，则 gradu| (1,1,2) = 1 （分数：5.00）解析：5i+2j+12k 解析 由题意得， 由梯度计算公式得 三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.已知函数 （分数：8.
8、00）_正确答案：()解析：由题意可得， 又因为函数 12.设 y=y(x)由方程 y=x(sinx) cosx 确定，求 y“ （分数：8.00）_正确答案：()解析：lny=lnx+cosxlnsinx 两端 y 对 x 求导得： ，所以13.已知函数 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在区间-1，2上的最大值为 3，最小值为-13，又有 a0，求 a、b 的值 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 f(x)=ax 3 -6ax 2 +b 在-1，2上有定义，f“(x)=3ax 2 -12ax=3ax(x-4)，令 f“(x)=0，得驻点 x 1 =0，x 2 =4由题意得，
9、4 14.求定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：15.设 z 为由方程 f(x+y，y+z)=0 所确定的函数，求偏导数 z x （分数：8.00）_正确答案：()解析：由隐函数求导公式知，16.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：17.将函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：首先将 f(x)化为含“x-3”的表达式，然后把“x-3”作为整体变量展开幂级数 因 ，所以，有 18.设 z=xe xy ，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以 故 19.计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：直线段 AB 的方程是 ，化为参数方程得 x=3t，
10、y=2t，z=t，t 从 1 变到 0 所以 20.求微分方程 xy“-2y“=x 3 +x 的通解 （分数：8.00）_正确答案：()解析：微分方程 xy“-2y“=x 3 +x 属 y“=f(x，y“)型 令 p=y“，方程可整理为 利用公式法解此一阶线性微分方程 ，则 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.求由曲线 y=x 2 与直线 x=1，x=2 及 y=0 围成平面图形的面积 S 以及该图形绕 x 轴旋转一周形成的旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：曲线 y=x 2 与直线 x=1，x=2 及 y=0 围成的平面图形如图 所求面积： 所求旋转体的体积： 22.证明：方程 ln(1+x 2 )=x-1 有且仅有一个实根 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明 由方程：ln(1+x 2 )=x-1 知，变量的取值范围为：x1 令 f(x)=ln(1+x 2 )-x+1，于是 ，故 f(x)为严格递减函数 又 ，而
