1、陕西省专升本考试高等数学真题 2012 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：25.00)1.x=0 是函数 （分数：5.00）A.可去间断点B.连续点C.无穷间断点D.跳跃间断点2.设 ，则不定积分 _ A2e x +c B C （分数：5.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：5.00）A.可导且 f“(1)=2B.不可导C.不连续D.不能判定是否可导4.设级数 收敛于 S，则级数 （分数：5.00）ASB.2SC.2S+u1D.2S-u15.微分方程 （分数：5.00）A.ey+ex=CB.ey-ex=CC.e-y+ex=CD.e-y
2、-ex=C二、填空题(总题数：5，分数：25.00)6.设函数 （分数：5.00）7.设函数 f(x)在点 x 0 处可导，且 f“(x 0 )=2，则 （分数：5.00）8.设函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则函数 f(x，y，z)在点(1，1，-1)处的梯度 gradf(1，1，-1)为 1 （分数：5.00）9.设方程 确定函数 y=y(x)，则 （分数：5.00）10.曲面 z=x 2 +2y 2 -1 在点(1，1，2)处的切平面方程为 1 （分数：5.00）三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_12.设参数方程 确定函数
3、 y=y(x)，求 （分数：8.00）_13.设函数 （分数：8.00）_14.设函数 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：8.00）_15.计算定积分 （分数：8.00）_16.计算二重积分 ，其中 D 是由圆 （分数：8.00）_17.将函数 展开为(x-1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数 （分数：8.00）_18.设函数 （分数：8.00）_19.设 L 为取正向的圆周 x 2 +y 2 =4，计算曲线积分 （分数：8.00）_20.求微分方程 y“-y=3e 2x 满足初始条件 （分数：8.00）_四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.设曲线方程 y
4、=1-x 2 ， (1)求该曲线及其在点(1，0)和点(-1，0)处的法线所围成的平面图形的面积； (2)求上述平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_22.设函数 f(x)在0，1上连续，且 ，证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_陕西省专升本考试高等数学真题 2012 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：25.00)1.x=0 是函数 （分数：5.00）A.可去间断点 B.连续点C.无穷间断点D.跳跃间断点解析：解析 2.设 ，则不定积分 _ A2e x +c B C （分数：5.00）
5、A.B.C. D.解析：解析 由 ，得3.函数 （分数：5.00）A.可导且 f“(1)=2 B.不可导C.不连续D.不能判定是否可导解析：解析 由题可求得 x=1 处左导数为 2，右导数也为 2，故 A 正确4.设级数 收敛于 S，则级数 （分数：5.00）ASB.2SC.2S+u1D.2S-u1 解析：解析 5.微分方程 （分数：5.00）A.ey+ex=CB.ey-ex=C C.e-y+ex=CD.e-y-ex=C解析：解析 由 二、填空题(总题数：5，分数：25.00)6.设函数 （分数：5.00）解析：-1解析 7.设函数 f(x)在点 x 0 处可导，且 f“(x 0 )=2，则
6、（分数：5.00）解析：4解析 8.设函数 f(x，y，z)=x 2 +y 2 +z 2 ，则函数 f(x，y，z)在点(1，1，-1)处的梯度 gradf(1，1，-1)为 1 （分数：5.00）解析：2(i+j-k)解析 9.设方程 确定函数 y=y(x)，则 （分数：5.00）解析： 解析 方程两边对 x 求导，得 即 ，即 10.曲面 z=x 2 +2y 2 -1 在点(1，1，2)处的切平面方程为 1 （分数：5.00）解析：2x+4y-z-4=0 解析 令 F=x 2 +2y 2 -z-1， 三、计算题(总题数：10，分数：80.00)11.求极限 （分数：8.00）_正确答案：(
7、)解析：12.设参数方程 确定函数 y=y(x)，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 又 所以 13.设函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 令 f“(x)=0，得驻点 ，f(x)在 x=0 处不可导， 当 x0 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0；当 时，f“(x)0， 故函数 f(x)在区间(-，0和 内单调增加， 内单调减少 函数 f(x)在 x=0 取得极大值 f(0)=0，在 处取得极小值 14.设函数 ，其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：15.计算定积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：16.计算二重积分 ，其
8、中 D 是由圆 （分数：8.00）_正确答案：()解析：17.将函数 展开为(x-1)的幂级数，指出展开式成立的区间，并求级数 （分数：8.00）_正确答案：()解析： 即-1x3，当 x=0 时，得 18.设函数 （分数：8.00）_正确答案：()解析：19.设 L 为取正向的圆周 x 2 +y 2 =4，计算曲线积分 （分数：8.00）_正确答案：()解析：20.求微分方程 y“-y=3e 2x 满足初始条件 （分数：8.00）_正确答案：()解析：特征方程 r 2 -1=0,r 1,2 =1， 对应齐次方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e -x ， 求出其一个特解为 y * =
9、e 2x ， 其通解为：y=C 1 e x +C 2 e -x +e 2x ， 由 四、应用题与证明题(总题数：2，分数：20.00)21.设曲线方程 y=1-x 2 ， (1)求该曲线及其在点(1，0)和点(-1，0)处的法线所围成的平面图形的面积； (2)求上述平面图形绕 y 轴旋转一周所得旋转体的体积 （分数：10.00）_正确答案：()解析：y“=-2x， 曲线在点(1，0)处的法线方程为 ，即 曲线在点(-1，0)处的法线方程为 ，即 (1)所求面积为 (2)所求体积为 方法一 方法二 22.设函数 f(x)在0，1上连续，且 ，证明：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证明设 则 F(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 F(0)=F(1)=0， 由 Rolle 定理知，至少存在一点 (0，1)，得使 即
