1、 2016 年浙江省衢州市中考真题数学 一、选择题 (本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分 ) 1.在 2 ， -1， -3， 0 这四个实数中，最小的是 ( ) A. 2 B.-1 C.-3 D.0 解析： -3 -1 0 2 ， 最小的实数是 -3， 答案： C. 2.据统计， 2015 年“十 一”国庆长假期间，衢州市共接待国内外游客约 319 万人次，与2014 年同比增长 16.43%，数据 319 万用科学记数法表示为 ( ) A.3.19 105 B.3.19 106 C.0.319 107 D.319 106 解析： 319 万 =3 190 000=3.19 10
2、6. 答案： B. 3.如图，是由两个相同的小正方体和一个圆锥体组成的立体图形，其俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从上面看，圆锥看见的是：圆和点，两个正方体看见的是两个正方形 . 答案： C. 4.下列计算正确的是 ( ) A.a3-a2=a B.a2 a3=a6 C.(3a)3=9a3 D.(a2)2=a4 解析： A、 a3， a2 不能合并，故 A 错误； B、 a2 a3=a5，故 B 错误； C、 (3a)3=27a3，故 C 错误； D、 (a2)2=a4，故 D 正确 . 答案： D. 5.如图，在 平行四边形 ABCD 中， M 是 BC 延长线上的一点，若 A
3、=135，则 MCD 的度数是 ( ) A.45 B.55 C.65 D.75 解析：四边形 ABCD 是平行四边形， A= BCD=135， MCD=180 - DCB=180 -135 =45 . 答案： A. 6.在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有 7 名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前 3 名，他不仅要了解自己的成绩，还要了解这 7 名学生成绩的 ( ) A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数 解析：因为 7 名学生参加决赛的成绩肯定是 7 名学生中最高的，而且 7 个不同的分数按从小到大排序后，中位数之后的共有 3 个数，故只要知道自己
4、的成 绩和中位数就可以知道是否进入前 3 名 . 答案： D. 7.二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)图象上部分点的坐标 (x， y)对应值列表如下： X -3 -2 -1 0 1 Y -3 -2 -3 -6 -11 则该函数图象的对称轴是 ( ) A.直线 x=-3 B.直线 x=-2 C.直线 x=-1 D.直线 x=0 解析： x=-3 和 -1 时的函数值都是 -3 相等， 二次函数的对称轴为直线 x=-2. 答案 ： B. 8.已知关于 x的一元二次方程 x2-2x-k=0 有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围是 ( ) A.k 1 B.k 1 C.k -1 D.k -1
5、 解析：关于 x 的一元二次方程 x2-2x-k=0 有两个不相等的实数根， =(-2)2+4k 0， 解得 k -1. 答案： D. 9.如图， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的点，过点 C 作 O 的切线交 AB 的延长线于点 E，若 A=30，则 sin E 的值为 ( ) A.12B. 22C. 32D. 33解析：连接 OC， CE 是 O 切线， OC CE， A=30， BOC=2 A=60， E=90 - BOC=30， sin E=sin30 =12. 答案： A. 10.如图，在 ABC 中， AC=BC=25， AB=30， D 是 AB 上的一点 (不与 A、
6、B 重合 )， DE BC，垂足是点 E，设 BD=x，四边形 ACED 的周长为 y，则下列图象能大致反映 y 与 x 之间的函数关系的是 ( ) A. B. C. D. 解析：如图，作 CM AB 于 M. CA=CB， AB=30， CM AB， AM=BM=15， 22 20C M A C B M DE BC， DEB= CMB=90， B= B， DEB CMB， B D D E E BB C C M B M， 25 20 15x D E EB， 3455D E x E B x， 四边形 ACED 的周长为 3 442 5 2 5 3 0 8 05 5 5y x x x x （ ）.
7、 0 x 30， 图象是 D. 答案： D. 二、填空题 (本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分 ) 11.当 x=6 时，分式 51 x的值等于 . 解析：当 x=6 时， 55 11 1 6x . 答案： -1. 12.二次根式 3x 中字母 x 的取值范围是 . 解析：当 x-3 0 时，二次根式 3x 有意义， 则 x 3； 答案： x 3. 13.某中学随机地调查了 50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间 (小时 ) 5 6 7 8 人数 10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 小时 . 解析： 5 1 0 6
8、1 5 7 2 0 8 5 6 . 450 . 答案： 6.4. 14.已知直角坐标系内有四个点 O(0， 0)， A(3， 0)， B(1， 1)， C(x， 1)，若以 O， A， B， C 为顶点的四边形是平行四边形，则 x= . 解析：根据题意画图如下： 以 O， A， B， C 为顶点的四边形是平行四边形，则 C(4， 1)或 (-2， 1)， 则 x=4 或 -2； 答案： 4 或 -2. 15.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙 (墙长 50m)，中间用两道墙隔开 (如图 ).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值
9、为 m2. 解析：如图，设设总占地面积为 S(m2)， CD 的长度为 x(m)， 由题意知： AB=CD=EF=GH=x， BH=48-4x， 0 BH 50， CD 0， 0 x 12， S=AB BH=x(48-4x)=-4(x-6)2+144 x=6 时， S 可取得最大值，最大值为 S=144. 16.如图，正方形 ABCD 的顶点 A， B 在函数 kyx(x 0)的图象上，点 C， D 分别在 x 轴， y轴的正半轴上，当 k 的值改变时，正方形 ABCD 的大小也随之改变 . (1)当 k=2 时，正方形 A B C D的边长等于 . (2)当变化的正方形 ABCD与 (1)中
10、的正方形 A B C D有重叠部分时， k的取值范围是 . 解析： (1)如图，过点 A作 AE y 轴于点 E，过点 B x 轴于点 F，则 A ED =90 . 四边形 A B C D为正方形， A D =D C， A D C =90， OD C + ED A =90 . OD C + OC D =90， ED A = OC D . 在 A ED和 D OC中， 90E D A O C DA E D D O CA D D C ， A ED D OC (AAS). OD =EA， OC =ED . 同理 B FC C OD . 设 OD =a， OC =b，则 EA =FC =OD =a，
11、ED =FB =OC =b， 即点 A (a， a+b)，点 B (a+b， b). 点 A、 B在反比例函数 2yx的图象上， 22a a bb a b，解得： 11ab或 11ab - -(舍去 ). 在 Rt C OD中， C OD =90， OD =OC =1， 22 2C D O C O D . 答案： 2 . (2)设直线 A B解析式为 y=k1x+b1，直线 C D解析式为 y=k2+b2， 点 A (1， 2)，点 B (2， 1)，点 C (1， 0)，点 D (0， 1)， 有 1111212kbkb和 22201kbb， 解得： 1113kb和 2211kb. 直线 A
12、 B解析式为 y=-x+3，直线 C D解析式为 y=-x+1. 设点 A 的坐标为 (m， 2m)，点 D 坐标为 (0， n). 当 A 点在直线 C D上时，有 2m=-m+1，解得： m=13， 此时点 A 的坐标为 (1233，)， 1293 23k ； 当点 D 在直线 A B上时，有 n=3， 此时点 A 的坐标为 (3， 6)， k=3 6=18. 综上可知：当变化的正方形 ABCD 与 (1)中的正方形 A B C D有重叠部分时， k 的取值范围为 29 x 18. 故答案为： 29 x 18. 三、解答题 (本题有 8 小题，第 17-19 小题每小题 6 分，第 20-
13、21 小题每小题 9 分，第 22-23小题每小题 9 分，第 24 小题 12 分，共 66 分，请务必写出解答过程 ) 17.计算： 203 9 1 12 （ ） （ ）. 解析： 根据绝对值和算术平方根、乘方以及零指数幂的定义进行计算，即可得出结果 . 答案： 203 9 1 12 （ ） （ ） =3+3-1+1 =6. 18.如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线 . (1)用直尺和圆规作线段 BD 的垂直平分线，分别交 AD、 BC 于 E、 F(保留作图痕迹，不写作法和证明 ). (2)连结 BE， DF，问四边形 BEDF 是什么四边形？请说明理由 . 解析： (1)分别
14、以 B、 D 为圆心，比 BD 的一半长为半径画弧，交于两点，确定出垂直平分线即可； (2)连接 BE， DF，四边形 BEDF 为菱形，理由为：由 EF 垂直平分 BD，得到 BE=DE， DEF= BEF，再由 AD 与 BC 平行，得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到 BE=BF，再由 BF=DF，等量代换得到四条边相等，即可得证 . 答案： (1)如图所示， EF 为所求直线； (2)四边形 BEDF 为菱形，理由为： 证明： EF 垂直平分 BD， BE=DE， DEF= BEF， AD BC， DEF= BFE， BEF= BFE， BE=BF， BF=DF， BE=ED=
15、DF=BF， 四边形 BEDF 为菱形 . 19.光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资 4 万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电 30 度，其它天气平均每天可发电 5 度，已知某月 (按 30 天计 )共发电 550度 . (1)求这个月晴天的天数 . (2)已知该家庭每月平均用电量为 150 度，若按每月发电 550 度计，至少需要几年才能收回成本 (不计其它费用，结果取整数 ). 解析： (1)设这个月有 x 天晴天，根据总电量 550 度列出方程即可解决问题 . (2)需要 y 年才可以收回成本，根据电费 40000，列出不等式即可解决问题 . 答案： (1)设这个月有
16、 x 天晴天，由题意得 30x+5(30-x)=550， 解得 x=16， 故这个月有 16 个晴天 . (2)需要 y 年才可以收回成本，由题意得 (550-150) (0.52+0.45) 12y 40000， 解得 y 8.6， y 是整数， 至少需要 9 年才能收回成本 . 20.为深化义务教育课程改革，满足学生的个性化学习需求，某校就“学生对知识拓展，体育特长、艺术特长和实践活动四类选课意向”进行了抽样调查 (每人选报一类 )，绘制了如图所示的两幅统计图 (不完整 )，请根据图中信息，解答下列问题： (1)求扇形统计图中 m 的值，并补全条形统计图； (2)在被调查的学生中，随机抽一
17、人，抽到选“体育特长类”或“艺术特长类”的学生的概率是多少？ (3)已知该校有 800 名学生，计划开设“实践活动类”课程每班安排 20 人，问学校开设多少个“实践活动类”课程的班级比较合理？ 解析： (1)根据 C 类人数有 15 人，占总人数的 25%可得出总人数，求出 A 类人数，进而可得出结论； (2)直接根据概率公式可得出结论； (3)求出“实践活动类”的总人数，进而可得出结论 . 答案： (1)总人数 =15 25%=60(人 ). A 类人数 =60-24-15-9=12(人 ). 12 60=0.2=20%， m=20. 条形统计图如图； (2)抽到选“体育特长类”或“艺术特长
18、类”的学生的概率 = 24 3 1160 20 ； (3) 800 25%=200， 200 20=10， 开设 10 个“实验活动类”课程的班级数比较合理 . 21.如图， AB 为 O 的直径，弦 CD AB，垂足为点 P，直线 BF 与 AD 的延长线交于点 F，且 AFB= ABC. (1)求证：直线 BF 是 O 的切线 . (2)若 CD=23， OP=1，求线段 BF 的长 . 解析： (1)欲证明直线 BF 是 O 的切线，只要证明 AB BF 即可 . (2)连接 OD，在 RT ODE 中，利用勾股定理求出由 APD ABF， AP PDAB BF，由此即可解决问题 . 答
19、案： (1)证明： AFB= ABC， ABC= ADC， AFB= ADC， CD BF， AFD= ABF， CD AB， AB BF， 直线 BF 是 O 的切线 . (2)解：连接 OD， CD AB， 12 3P D C D， OP=1， OD=2， PAD= BAF， APO= ABF， APD ABF， AP PDAB BF， 334 BF， 433BF. 22.已知二次函数 y=x2+x 的图象，如图所示 (1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程 x2+x=1 的根在图上近似地表示出来 (描点 )，并观察图象，写出方程 x2+x=1 的根 (精确到 0.1). (2)在同
20、一直角坐标系中画出一次函数 3212yx的图象，观察图象写出自变量 x 取值在什么范围时，一次函数的值小于二次函数的值 . (3)如图，点 P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在 P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数 3212yx的图象上，请说明理由 . 解析： (1)令 y=0 求得抛物线与 x 的交点坐标，从而可确定出 1 个单位长度等于小正方形边长的 4 倍，接下来作直线 y=1，找出直线 y=1 与抛物线的交点，直线与抛物线的交点的横坐标即可方程的解； (2)先求得直线上任意两点的坐标，然后画出
21、过这两点的直线即可得到直线 3212yx的函数图象，然后找出一次函数图象位于直线下方部分 x 的取值范围即可； (3)先依据抛物线的顶点坐标和点 P 的坐标，确定出抛物线移动的方向和距离，然后依据抛物线的顶点式写出抛物线的解析式即可，将点 P 的坐标代入函数解析式，如果点 P 的坐标符合函数解析式，则点 P 在直线上，否则点 P 不在直线上 . 答案： (1)令 y=0 得： x2+x=0，解得： x1=0， x2=-1， 抛物线与 x 轴的交点坐标为 (0， 0)， (-1， 0). 作直线 y=1，交抛物线与 A、 B 两点，分别过 A、 B 两点，作 AC x 轴，垂足为 C， BD x
22、 轴，垂足为 D，点 C 和点 D 的横坐标即为方程的根 . 根据图形可知方程的解为 x1 -1.6， x2 0.6. (2)将 x=0 代入 3212yx得 32y，将 x=1 代入得： y=2， 直线 3212yx经过点 (0， 32)， (1， 2). 直线 3212yx的图象如图所示： 由函数图象可知：当 x -1.5 或 x 1 时，一次函数的值小于二次函数的值 . (3)先向上平移 54个单位，再向左平移 12个单位，平移后的顶点坐标为 P(-1， 1). 平移后的表达式为 y=(x+1)2+1，即 y=x2+2x+2. 点 P 在 3212yx的函数图象上 . 理由：把 x=-1
23、 代入得 y=1， 点 P 的坐标符合直线的解析式 . 点 P 在直线 3212yx的函数图象上 . 23.如图 1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 . (1)概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中， AB=AD， CB=CD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由 . (2)性质探究：试探索垂美四边形 ABCD 两组对边 AB， CD 与 BC， AD 之间的数量关系 . 猜想结论： (要求用文字语言叙述 ) 写出证明过程 (先画出图形，写出已知、求证 ). (3)问题解决：如图 3，分别以 Rt ACB 的直角边 AC 和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG 和正
24、方形 ABDE，连接 CE， BG， GE，已知 AC=4， AB=5，求 GE 长 . 解析： (1)根据垂直平分线的判定定理证明即可； (2)根据垂直的定义和勾股定理解答即可； (3)根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合 (2)的结论计算 . 答案： (1)四边形 ABCD 是垂美四边形 . 证明： AB=AD， 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CB=CD， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， AC BD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； (2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等 . 如图 2，已知四边形 ABCD 中， AC
25、 BD，垂足为 E， 求证： AD2+BC2=AB2+CD2 证明： AC BD， AED= AEB= BEC= CED=90， 由勾股定理得， AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2， AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2， AD2+BC2=AB2+CD2； (3)连接 CG、 BE， CAG= BAE=90， CAG+ BAC= BAE+ BAC，即 GAB= CAE， 在 GAB 和 CAE 中， A G A CG A B C A EA B A E， GAB CAE， ABG= AEC，又 AEC+ AME=90， ABG+ AME=90，即 CE BG， 四边形 CG
26、EB 是垂美四边形， 由 (2)得， CG2+BE2=CB2+GE2， AC=4， AB=5， BC=3， 4 2 5 2C G B E， ， GE2=CG2+BE2-CB2=73， GE= 73 . 24.如图 1，在直角坐标系 xoy 中，直线 l： y=kx+b 交 x 轴， y 轴于点 E， F，点 B 的坐标是 (2，2)，过点 B 分别作 x 轴、 y 轴的垂线，垂足为 A、 C，点 D 是线段 CO 上的动点，以 BD 为对称轴，作与 BCD 或轴对称的 BC D. (1)当 CBD=15时，求点 C的坐标 . (2)当图 1 中的直线 l 经过点 A，且 k= 33时 (如图
27、2)，求点 D 由 C 到 O 的运动过程中，线段 BC扫过的图形与 OAF 重叠部分的面积 . (3)当图 1 中的直线 l 经过点 D， C时 (如图 3)，以 DE 为对称轴，作于 DOE 或轴对称的DO E，连结 O C， O O，问是否存在点 D，使得 DO E 与 CO O 相似？若存在，求出 k、 b 的值；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用翻折变换的性质得出 CBD= C BD=15， C B=CB=2，进而得出 CH 的长，进而得出答案； (2)首先求出直线 AF 的解析式，进而得出当 D 与 O 重合时，点 C与 A 重合，且 BC扫过的图形与 OAF 重合部分是
28、弓形，求出即可； (3)根据题意得出 DO E 与 COO相似，则 COO必是 Rt，进而得出 Rt BAE RtBC E(HL)，再利用勾股定理求出 EO 的长进而得出答案 . 答案： (1) CBD C BD， CBD= C BD=15， C B=CB=2， CBC =30， 如图 1，作 C H BC 于 H，则 C H=1， HB= 3 ， CH=2- 3 ， 点 C的坐标为： (2- 3 ， 1)； (2)如图 2， A(2， 0)， k= 33， 代入直线 AF 的解析式为： y= 33x+b， b= 233， 则直线 AF 的解析式为： 3 2 333yx ， OAF=30， B
29、AF=60， 在点 D 由 C 到 O 的运动过程中， BC扫过的图形是扇形， 当 D 与 O 重合时，点 C与 A 重合， 且 BC扫过的图形与 OAF 重合部分是弓形， 当 C在直线 3 2 333yx 上时， BC =BC=AB， ABC是等边三角形，这时 ABC =60， 重叠部分的面积是： 2 236 0 2 233 6 0 4 23 ； (3)如图 3，设 OO与 DE 交于点 M，则 O M=OM， OO DE， 若 DO E 与 COO相似，则 COO必是 Rt， 在点 D 由 C 到 O 的运动过程中， COO中显然只能 CO O=90， CO DE， CD=OD=1， b=1， 连接 BE，由轴对称性可知 C D=CD， BC =BC=BA， BC E= BCD= BAE=90， 在 Rt BAE 和 Rt BC E 中 BE BEAB BC， Rt BAE Rt BC E(HL)， AE=C E， DE=DC +C E=DC+AE， 设 OE=x，则 AE=2-x， DE=DC+AE=3-x， 由勾股定理得： x2+1=(3-x)2， 解得： x=43， D(0， 1)， E(43， 0)， 43k+1=0， 解得： k=-34， 存在点 D，使 DO E 与 COO相似，这时 k=-34， b=1.
