1、2016年海南省三亚四中高考模拟数学文 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1. 已知集合 A=x|x| 1，集合 B=Z，则 A B=( ) A.0 B.x|-1 x 1 C.-1， 0， 1 D. 解析：集合 A=x|x| 1=x|-1 x 1，集合 B=Z， 则 A B=-1， 0， 1. 答案： C. 2. 设 i是虚数单位，复数 z 1+11 ii在复平面上所表示的点为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：复数 z 1+11 ii 21 i 1-i. z所对应的点
2、为 (1， -1)，在第四象限 . 答案： D. 3. 已知向量 a (m， -2)， b (4， -2m)，条件 p： a b ，条件 q： m=2，则 p是 q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要 解析：若 a b，则 -2m2+8=0，解得： m= 2， P： m= 2，而 q： m=2， p是 q的必要不充分条件 . 答案： B. 4. 函数 f(x)=12cos2x+ 3 sinxcosx的一个对称中心是 ( ) A.(3， 0) B.(6， 0) C.(-6， 0) D.(-12， 0) 解析： f(x)=12cos2x+ 3 si
3、nxcosx=12cos2x+ 32sin2x=sin(2x+6)， 由 2x+6=k， k Z可解得： x=2k-12， k Z，故有，当 k=0时， x=-12. 函数 f(x)=12cos2x+ 3 sinxcosx的一个对称中心是： (-12， 0). 答案： D. 5. 定义运算“ *”为： a*b= 020abab aa ， ，若函数 f(x)=(x+1)*x，则该函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 解析：由题意， f(x)=(x+1)*x= 11121xxx x xx ， ， 由题意作出其函数图象如下， 答案： D. 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是
4、 ( ) A.( 32+2) B.( 33+4) C.( 36+2) D.( 33+2) 解析：该几何体为圆柱与半个圆锥组成， 其中圆柱的体积为 12 2=2， 半个圆锥的体积为 12 13 12 221 = 36； 故该几何体的体积是 ( 36+2) . 答案： C. 7. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是 ( ) A.6 B.8 C.10 D.15 解析：第一次运行， i=2，满足条件 i 5， s=1+2=3， i=3， 第二次运行， i=3，满足条件 i 5， s=3+3=6， i=4， 第三次运行， i=4，满足条件 i 5， s=6+4=10， i=5， 此时不满足条件 i
5、5，程序终止，输出 s=10. 答案： C. 8. 如图所示，为了测量某湖泊两侧 A， B 间的距离，李宁同学首先选定了与 A， B 不共线的一点 C，然后给出了三种测量方案： ( ABC的角 A， B， C所对的边分别记为 a， b， c)： 测量 A， C， b 测量 a， b， C 测量 A， B， a 则一定能确定 A， B间距离的 所有方案的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析：对于，利用内角和定理先求出 C= -A-B，再利用正弦定理 bcsinB sinC解出 c， 对于，直接利用余弦定理 cosC= 2 2 22a b cab即可解出 c， 对于，先利用内角和定
6、理求出 C= -A-B，再利用正弦定理解出 c. 答案： A. 9. 已知 a 0， x， y满足约束条件 1 3 3xxyy a x，若 z=2x+y的最小值为 32，则 a=( ) A.14B.12C.1 D.2 解析：作出不等式对应的平面区域， (阴影部分 ) 由 z=2x+y，得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z，由图象可知当直线 y=-2x+z经过点 A时，直线 y=-2x+z的截距最小，此时 z最小 . 由 32 21xyx ，解得 1 12xy， 即 A(1， -12)， 点 A也在直线 y=a(x-3)上， -12 a(1-3) -2a， 解得 a=14. 答案： A
7、. 10. 已知点 An(n， an)(n N*)都在函数 f(x)=logax(a 0 且 a 1)的图象上，则 a2+a10与 2a6的大小关系为 ( ) A.a2+a10 2a6 B.a2+a10 2a6 C.a2+a10=2a6 D.a2+a10与 2a6的大小与 a有关 解析：点 An(n， an)(n N*)都在函数 f(x)=logax(a 0且 a 1)的图象上， an=logan， a2+a10=loga2+loga10=loga20， 2a6=2loga6=loga36， 当 0 a 1时， loga36 loga20，即 a2+a10 2a6， 当 a 1时， loga3
8、6 loga20，即 a2+a10 2a6， 故 a2+a10与 2a6的大小与 a有关 . 答案： D 11. 若函数 f(x)=2x3-3mx2+6x在区间 (2， + )上为增函数，则实数 m的取值范围是 ( ) A.(-， 2) B.(-， 2 C.(-， 52) D.(-， 52 解析： f (x)=6x2-6mx+6； 由已知条件知 x (2， + )时， f (x) 0恒成立； 设 g(x)=6x2-6mx+6，则 g(x) 0在 (2， + )上恒成立； (1)若 =36(m2-4) 0，即 -2 m 2，满足 g(x) 0在 (2， + )上恒成立； (2)若 =36(m2-
9、4) 0，即 m -2，或 m 2，则需： 22 3 0 1220mgm ； 解得 m 52； m -2，或 2 m 52； 综上得 m 52； 实数 m的取值范围是 (-， 52. 答案： D. 12. P 为双曲线 22 19 16xy的右支上一点， M， N 分别是 (x+5)2+y2=4 圆和 (x-5)2+y2=1 上的点，则 |PM|-|PN|的最大值为 ( ) A.8 B.9 C.10 D.7 解析：双曲线 22 19 16xy，如图： a=3， b=4， c=5， F1(-5， 0)， F2(5， 0)， |PF1|-|PF2|=2a=6， |MP| |PF1|+|MF1|，
10、|PN| |PF2|-|NF2|， -|PN| -|PF2|+|NF2|， 所以， |PM|-|PN| |PF1|+|MF1|-|PF2|+|NF2| =6+1+2 =9. 答案： B. 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 . 13. 高三某学习小组对两个相关变量收集到 6组数据如下表： 由最小二乘法得到回归直线方程 y =0.82x+11.3，发现表中有两个数据模糊不清，则这两个数据的和是 _. 解析：由表中数据得： x =35， y =16(151+m+n)， 由于由最小二乘法求得回归方程 y =0.82x+11.3， 将 x =35， y =16(151+m+n)，代入回归直线方
11、程， 得 m+n=89. 答案： 89 14. 直三棱柱 ABC-A1B1C1的顶点在同一个球面上， AB=3， AC=4， AA1=2 6 ， BAC=90，则球的表面积 _. 解析：如图，由于 BAC=90，连接上下底面外心 PQ， O 为 PQ 的中点， OP平面 ABC，则球的半径为 OB， 由题意， AB=3， AC=4， BAC=90，所以 BC=5， 因为 AA1=2 6 ，所以 OP= 6 ， 所以 OB= 25 7642所以球的表面积为： 4 OB2=49 . 答案： 49 . 15. 设抛物线 x2=4y的焦点为 F，经过点 P(1， 4)的直线 l与抛物线相交于 A、 B
12、两点，且点P恰为 AB的中点，则 |AF |+|BF |=_. 解析： |AF |+|BF |=AE+BD=2Pd 抛物线 x2=4y故，准线方程为 y=-1 故点 P到准线的距离是 5， 所以， |AF |+|BF |=AE+BD=2Pd=10 答案： 10. 16. 观察下列等式： (1+1)=2 1 (2+1)(2+2)=22 1 3 (3+1)(3+2)(3+3)=23 1 3 5 照此规律，第 n个等式可为 _. 解析：题目中给出的前三个等式的特点是第一个等式的左边仅含一项，第二个等式的左边含有两项相乘，第三个等式的左边含有三项相乘，由此归纳第 n个等式的左边含有 n项相乘，由括号内
13、数的特点归纳第 n个等式的左边应为： (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)， 每个等式的右边都是 2 的几次幂乘以从 1开始几个相邻奇数乘积的形式，且 2的指数与奇数的个数等于左边的括号数， 由此可知第 n个等式的右边为 2n 1 3 5 (2n-1). 所以第 n个等式可为 (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)=2n 1 3 5 (2n-1). 答案： (n+1)(n+2)(n+3) (n+n)=2n 1 3 5 (2n-1). 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 17. 已知等差数列 an中， a1=-2，公差 d=3；数列 bn中， Sn为其前 n 项和，
14、满足 2nSn+12n(n N+). (1)记 cn11nnaa，求数列 cn的前 n项和 Tn； (2)求证：数列 bn是等比数列 . 解析： (1)根据等差数列 an的首项与公差确定出通项公式，进而确定出 cn的通项公式，求出数列 cn的前 n项和 Tn即可； (2)根据 2nSn+1=2n，确定出 Sn与 Sn-1，由 bn=Sn-Sn-1，利用等比数列的性质判断即可 . 答案： (1)解： a1=-2， d=3， an=a1+(n-1) d=-2+3(n-1)=3n-5， cn= 1 1 1 11 3 5 3 2 3 5 13 32nna a n n n n ， 则 Tn= 1 1 1
15、 1 1113 2 4 3 5 3 2 32 2nn n n ； (2)证明： 2nSn+1=2n， Sn=1-12n， Sn-1=1-112n(n 2的正整数 )， bn=Sn-Sn-1=112n-12n=112n-12112n=12 (12)n-1(n 2的正整数 )， 当 n=1， b1=S1=1-12=12，满足上述通项公式， 则数列 bn是以 b1=12为首项， q=12为公比的等比数列 . 18. 解放军某部在实兵演练对抗比赛中，红、蓝两个小组均派 6人参加实弹射击，其所得成绩的茎叶图如图所示 . (1)根据射击数据，计算红、蓝两个小组射击成绩的均值与方差，并说明红军还是蓝军的成绩
16、相对比较稳定； (2)若从蓝军 6名士兵中随机抽取两人，求所抽取的两人的成绩之差不超过 2的概率 . 解析： (1)记红、蓝两个小组分别为甲，乙，代入公式分别可得其均值和方差由其意义可得结论； (2)由列举法可得总的基本事件，设 A表示“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”，找出 A包含的基本事件，代入古典概型的概率公式可得 . 答案： (1)记红、蓝两个小组分别为甲，乙，则 x甲 =16 (107+111+111+113+114+122)=113， x乙 =16 (108+109+110+112+115+124)=113， 2S甲 =16 (107-113)2+2(111-113)2+(113
17、-113)2+(114-113)2+(122-113)2=2， 2S乙 =16 (108-113)2+(109-113)2+(110-113)2+(112-113)2+(115-113)2+(124-113)2=883 ， x甲=x乙， 2S甲 2S乙， 红组的射击成绩相对比较稳定； (2)从蓝队 6名士兵中随机抽取两人，共有 15种不同的取法， (108， 109)(108， 110)(108， 112)(108， 115)(108， 124)(109， 110) (109， 112)(109， 115)(109， 124)(110， 112)(110， 115)(110， 124) (11
18、2， 115)(112， 124)(115， 124) 设 A表示“所抽取的两人的成绩之差不超过 2”，则 A包含的基本事件有 4种， (108， 109)(108， 110)， (109， 110)(110， 112)， 故所求的概率为： P(A)=41519. 如图，四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形，侧棱 PA底面 ABCD，且 PA=2， E是侧棱 PA上的动点 . (1)求四棱锥 P-ABCD的体积； (2)如果 E是 PA的中点，求证： PC平面 BDE； (3)是否不论点 E在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE？证明你的结论 . 解析： (1)利用四棱锥的体
19、积计算公式即可； (2)利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明； (3)利用线面垂直的判定和性质即可证明 . 答案： (1) PA底面 ABCD， PA 为此四棱锥底面上的高 . V 四棱锥 P-ABCD=13S 正方形 ABCD PA=13 12 2=23. (2)连接 AC交 BD 于 O，连接 OE. 四边形 ABCD是正方形， AO=OC， 又 AE=EP， OE PC. 又 PC 平面 BDE， OE 平面 BDE. PC平面 BDE. (3)不论点 E在侧棱 PA 的任何位置，都有 BD CE. 证明：四边形 ABCD 是正方形， BD AC. PA底面 ABCD， P
20、A BD. 又 PA AC=A， BD平面 PAC. CE 平面 PAC. BD CE. 20. 在平面直角坐标系 xOy 中，以动圆经过点 (1， 0)且与直线 x=-1相切，若该动圆圆心的轨迹为曲线 E. (1)求曲线 E的方程； (2)已知点 A(5， 0)，倾斜角为4的直线 l与线段 OA相交 (不经过点 O或点 A)且与曲线 E交于 M、 N两点，求 AMN面积的最大值，及此时直线 l的方程 . 解析： (1)由抛物线的定义求得抛物线方程 . (2)直线和圆锥曲线联立方程组，构造关于 m的函数，利用导数求得最大值 . 答案： (1)由题意得圆心到 (1， 0)的距离等于直线 x=-1
21、的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程为： y2=4x. (2)由题意，可设 l的方程为 y=x-m，其中， 0 m 5. 由方程组2 4yxmyx ，消去 y，得 x2-(2m+4)x+m2=0， 当 0 m 5时，方程的判别式 =(2m+4)2-4m2=16(1+m) 0成立 . 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则； x1+x2 4+2m， x1x2 m2， |MN| 21 k |x1-x2| 4 21 k 又点 A到直线 l的距离为 d 52m S 2(5-m) 1 m 2 329 1 5 2 5m m m 令 f(m)=m3-9m2+15m+25， (0 m 5) f
22、(m)=3m2-18m+15=3(m-1)(m-5)， (0 m 5) 函数 f(m)在 (0， 1)上单调递增，在 (1， 5)上单调递减 . 当 m=1时， f(m)有最大值 32， 故当直线 l的方程为 y=x-1时， AMN的最大面积为 8 2 21. 已知函数 f(x)=x2+2alnx. ( )若函数 f(x)的图象在 (2， f(2)处的切线斜率为 1，求实数 a的值； ( )求函数 f(x)的单调区间； ( )若函数 g(x) 2x+f(x)在 1， 2上是减函数，求实数 a的取值范围 . 解析： ( )先对函数求导，然后由由已知 f(2)=1，可求 a ( )先求函数 f(x
23、)的定义域为 (0， + )，要判断函数的单调区间，需要判断导数 f (x)2x+2ax 222xax的正负，分类讨论：分 (1)当 a 0时， (2)当 a 0时两种情况分别求解 ( )由 g(x)可求得 g (x)，由已知函数 g(x)为 1， 2上的单调减函数，可知 g(x) 0 在1， 2上恒成立，即 a 1x-x2在 1， 2上恒成立，要求 a 的范围，只要求解 h(x) 1x-x2，在 1， 2上的最小值即可 答案： ( )f (x) 2x+2ax 222xax由已知 f(2)=1，解得 a=-3. ( )函数 f(x)的定义域为 (0， + ). (1)当 a 0时， f(x)
24、0， f(x)的单调递增区间为 (0， + )； (2)当 a 0时 f (x) x ( ) ( )2?x a x ax . 当 x变化时， f(x)， f(x)的变化情况如下： 由上表可知，函数 f(x)的单调递减区间是 (0， a )； 单调递增区间是 ( a ， + ). ( )由 g(x) 2x+x2+2alnx得 g (x)22x +2x+2ax ， 由已知函数 g(x)为 1， 2上的单调减函数， 则 g(x) 0在 1， 2上恒成立， 即22x +2x+2ax 0在 1， 2上恒成立 . 即 a 1x-x2在 1， 2上恒成立 . 令 h(x) 1x-x2，在 1， 2上 h (
25、x)21x -2x -(21x +2x) 0， 所以 h(x)在 1， 2为减函数 .h(x) min h(2) 72， 所以 a 72. 22. 选修 4-1：几何证明选讲 切线 AB 与圆切于点 B，圆内有一点 C满足 AB=AC， CAB的平分线 AE交圆于 D， E，延长 EC交圆于 F，延长 DC交圆于 G，连接 FG. ( )证明： AC FG； ( )求证： EC=EG. 解析： ( )通过证明 ACD AEC，推出 ACD= AEC，然后证明 AC FG ( )证明：连接 BD， BE， EG，证明 ABD ACD， ABE ACE，然后证明 BE=EG. 答案： ( )证明：
26、 AB切圆于 B， AB2=AD AE， 又 AB=AC， AC2=AD AE， ACD AEC， ACD= AEC， 又 AEC= DGF， ACD= DGF， AC FG ( )证明：连接 BD， BE， EG 由 AB=AC， BAD= DAC及 AD=AD，知 ABD ACD，同理有 ABE ACE， BDE= CDE， BE=CE BE=EG， EC=EG 23. 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴 .已知点 P 的直角坐标为 (-1， 5)，点 M的极坐标为 (4，2).若直线 l过点 P，且倾斜角为3，圆 C以 M为圆心，半径为 4. ( )求直线 l的参数方
27、程和圆 C的极坐标方程； ( )试判定直线 l和圆 C的位置关系 . 解析： (1)设直线 l 上动点坐标为 Q(x， y)，利用倾斜角与斜率的公式建立关系式得到 x、 y关于 t的方程组，即可得到直线 l的参数方程；由圆的性质和极坐标的定义，利用题中数据可得圆 C的极坐标方程； (2)将直线 l 与圆 C 都化成直角坐标方程，利用点到直线的距离公式加以计算，得到圆心到直线的距离比圆 C半径大，从而得到直线 l和圆 C的位置关系 . 答案： (1)直线 l过点 P(-1， 5)，倾斜角为3， 设 l上动点坐标为 Q(x， y)，则 51yx=tan3= 3 ， 因此，设 35 1ytxt， 得
28、直线 l的参数方程为 513 ytxt(t为参数 ). 圆 C以 M(4，2)为圆心， 4为半径， 圆心坐标为 (0， 4)，圆的直角坐标方程为 x2+(y-4)2=16 2 2 2xyy sin，圆 C的极坐标方程为 =8sin . (2)将直线 l化成普通方程，得 3 x-y+5+ 3 0， 点 C到直线 l的距离 d= 45| 3 |13 12(1+ 3 ) 4=r， 直线 l和圆 C相交 . 24. 已知函数 f(x)=|x-2|+|x+1| ( )解关于 x的不等式 f(x) 4-x； ( )a， b y|y=f(x)，试比较 2(a+b)与 ab+4的大小 . 解析： ( )对 x
29、 讨论，当 x -1 时，当 -1 x 2 时，当 x 2 时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集； ( )由于 f(x) 3，则 a 3， b 3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论 . 答案： ( )当 x -1时， f(x)=1-2x， f(x) 4-x即为 1-2x 4-x，解得 x -3，即为 x -3； 当 -1 x 2时， f(x)=3， f(x) 4-x即为 3 4-x，解得 x 1，即为 1 x 2； 当 x 2时， f(x)=2x-1， f(x) 4-x即为 2x-1 4-x，解得 x 53，即为 x 2. 综上可得， x 1或 x -3. 则解集为 (-， -3 1， + )； ( )由于 f(x) 3，则 a 3， b 3， 2(a+b)-(ab+4)=2a-ab+2b-4=(a-2)(2-b)， 由于 a 3， b 3，则 a-2 0， 2-b 0， 即有 (a-2)(2-b) 0， 则 2(a+b) ab+4.
