1、2016年湖北省孝感市中考真题数学 一、选择题 (共 10小题，每小题 3分，满分 30 分 ) 1.下列各数中，最小的数是 ( ) A.5 B.-3 C.0 D.2 解析 ： -3 0 2 5，则最小的数是 -3. 答案 ： B. 2.如图，直线 a， b被直线 c所截，若 a b， 1=110，则 2等于 ( ) A.70 B.75 C.80 D.85 解析 ： a b， 1+ 3=180， 3=180 - 1=70， 2= 3=70 . 答案 ： A. 3.下列运算正确的是 ( ) A.a2+a2=a4 B.a5-a3=a2 C.a2 a2=2a2 D.(a5)2=a10 解析 ： A、
2、 a2+a2=2a2，故此选项错误； B、 a5-a3，无法计算，故此选项错误； C、 a2 a2=a4，故此选项错误； D、 (a5)2=a10，正确 . 答案 ： D. 4.如图是由四个相同的小正方体组成的几何体，则这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：观察该几何体发现：从正面看到的应该是三个正方形，上面 1个，下面 2个 . 答案 ： C. 5.不等式组 118 4 1xxx ，的解集是 ( ) A.x 3 B.x 3 C.x 2 D.x 2 解析 ： 118 4 1xxx ， ，解得： x 2， 解得： x 3， 则不等式的解集是： x 3. 答案 ： A. 6
3、.将含有 30角的直角三角板 OAB 如图放置在平面直角坐标系中， OB 在 x 轴上，若 OA=2，将三角板绕原点 O顺时针旋转 75，则点 A的对应点 A的坐标为 ( ) A.( 3 ， -1) B.(1， - 3 ) C.( 2 ， - 2 ) D.(- 2 ， 2 ) 解析：如图所示：过点 A作 A C OB. 将三角板绕原点 O顺时针旋转 75， AOA =75， OA =OA. COA =45 . OC=2 22= 2 ， CA =2 22= 2 . A的坐标为 ( 2 ， - 2 ). 答案 ： C 7.在 2016 年体育中考中，某班一学习小组 6 名学生的体育成绩如下表，则这
4、组学生的体育成绩的众数，中位数，方差依次为 ( ) A.28， 28， 1 B.28， 27.5， 1 C.3， 2.5， 5 D.3， 2， 5 解析 ：这组数据 28出现的次数最多，出现了 3次，则这组数据的众数是 28； 把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是 (28+28) 2=28，则中位数是 28； 这组数据的平均数是： (27 2+28 3+30) 6=28， 则方差是： 16 2 (27-28)2+3 (28-28)2+(30-28)2=1. 答案 ： A. 8.“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现 .科学证实：近视眼镜的度数 y(度 )与镜片焦距 x(m)
5、成反比例 .如果 500度近视眼镜片的焦距为 0.2m，则表示 y与 x函数关系的图象大致是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：根据题意近视眼镜的度数 y(度 )与镜片焦距 x(米 )成反比例，设 y=kx， 由于点 (0.2， 500)在此函数解析式上， k=0.2 500=100， y=100x. 答案 ： B. 9.在平行四边形 ABCD 中， AD=8， AE平分 BAD交 BC于点 E， DF平分 ADC交 BC 于点 F，且EF=2，则 AB 的长为 ( ) A.3 B.5 C.2或 3 D.3或 5 解析 ： 如图 1，在平行四边形 ABCD中， BC=AD=8， BC A
6、D， CD=AB， CD AB， DAE= AEB， ADF= DFC， AE平分 BAD交 BC 于点 E， DF平分 ADC交 BC 于点 F， BAE= DAE， ADF= CDF， BAE= AEB， CFD= CDF， AB=BE， CF=CD， EF=2， BC=BE+CF=2AB-EF=8， AB=5. 在平行四边形 ABCD 中， BC=AD=8， BC AD， CD=AB， CD AB， DAE= AEB， ADF= DFC， AE平分 BAD交 BC 于点 E， DF平分 ADC交 BC 于点 F， BAE= DAE， ADF= CDF， BAE= AEB， CFD= CD
7、F， AB=BE， CF=CD， EF=2， BC=BE+CF=2AB+EF=8， AB=3； 综上所述： AB的长为 3或 5. 答案 ： D. 10.如图是抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的部分图象，其顶点坐标为 (1， n)，且与 x 轴的一个交点在点 (3， 0)和 (4， 0)之间 .则下列结论： a-b+c 0； 3a+b=0； b2=4a(c-n)； 一元二次方程 ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根 . 其中正确结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：抛物线与 x 轴的一个交点在点 (3， 0)和 (4， 0)之间，而抛物线的对称轴为直线 x=
8、1， 抛物线与 x轴的另一个交点在点 (-2， 0)和 (-1， 0)之间 . 当 x=-1时， y 0， 即 a-b+c 0，所以正确； 抛物线的对称轴为直线 x=-2ba=1，即 b=-2a， 3a+b=3a-2a=a，所以错误； 抛物线的顶点坐标为 (1， n)， 244ac ba=n， b2=4ac-4an=4a(c-n)，所以正确； 抛物线与直线 y=n有一个公共点，抛物线与直线 y=n-1有 2个公共点， 一元二次方程 ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以正确 . 答案 ： C. 二、填空题 (共 6小题，每小题 3分，满分 18分 ) 11.若代数式 2x 有意义，
9、则 x的取值范围是 . 解析： 代数式 2x 有意义， x-2 0， x 2. 答案 ： x 2. 12.分解因式： 2x2-8y2= . 解析： 2x2-8y2=2(x2-4y2)=2(x+2y)(x-2y). 答案 ： 2(x+2y)(x-2y). 13.若一个圆锥的底面圆半径为 3cm，其侧面展开图的圆心角为 120，则圆锥的母线长是 cm. 解析： 设母线长为 l，则 120180l=2 3， 解得： l=9. 答案： 9 14.九章算术是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何 .”其意思为：“今有直角三角形，勾 (短直角边 )长为 8 步，股 (长直
10、角边 )长为 15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步 .”该问题的答案是 步 . 解析： 根据勾股定理得：斜边为 228 15 =17， 则该直角三角形能容纳的圆形 (内切圆 )半径 r=8 15 172=3(步 )，即直径为 6步， 答案： 6. 15.如图，已知双曲线 y=kx与直线 y=-x+6相交于 A， B两点，过点 A作 x轴的垂线与过点 B作 y轴的垂线相交于点 C，若 ABC的面积为 8，则 k的值为 . 解析 ：6yyxkx ，解得： 113939xkyk ，223939xkyk ，即点 A的坐标为 (3- 9 k ， 3+ 9 k )， 点 B的坐标为 (3+ 9 k
11、， 3- 9 k )，则 AC=2 9 k ， BC=2 9 k ， S ABC=8， 12AC BC=8，即 2(9-k)=8，解得： k=5. 答案： 5. 16.如图示我国汉代数学家赵爽在注解周脾算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形 ABCD的面积是小正方形 EFGH面积的 13倍，那么 tan ADE的值为 . 解析：设小正方形 EFGH面积是 a2，则大正方形 ABCD的面积是 13a2， 小正方形 EFGH边长是 a，则大正方形 ABCD的面积是 13 a， 图中的四个直角三角形是全等的， AE=DH， 设 AE=DH=x，在 Rt AED中， AD
12、2=AE2+DE2，即 13a2=x2+(x+a)2， 解得： x1=2a， x2=-3a(舍去 )， AE=2a， DE=3a， tan ADE= 23 23AE aDE a， 答案： 23. 三、解答题 (共 8小题，满分 72分 ) 17.计算： 9 +|-4|+2sin30 -32. 解析： 直接利用特殊角的三角函数值以及结合绝对值、二次根式的性质分别化简求出答案 . 答案 ： 9 +|-4|+2sin30 -32=3+4+1-9=-1. 18.如图， BD AC 于点 D， CE AB 于点 E， AD=AE.求证： BE=CD. 解析： 要证明 BE=CD，只要证明 AB=AC 即
13、可，由条件可以求得 AEC 和 ADB 全等，从而可以证得结论 . 答案： BD AC 于点 D， CE AB于点 E， ADB= AEC=90， 在 ADB和 AEC中， A D B A E CA D A EAA ， ADB AEC(ASA)， AB=AC， 又 AD=AE， BE=CD. 19.为弘扬中华优秀传统文化，我市教育局在全市中小学积极推广“太极拳”运动 .弘孝中学为争创“太极拳”示范学校，今年 3月份举行了“太极拳”比赛，比赛成绩评定为 A， B， C，D， E五个等级，该校七 (1)班全体学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图 .请根据图中信息，解答下列
14、问题： (1)该校七 (1)班共有 名学生；扇形统计图中 C 等级所对应扇形的圆心角等于 度；并补全条形统计图； (2)A等级的 4名学生中有 2名男生， 2名女生，现从中任意选取 2名学生作为全班训练的示范者，请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选到 1名男生和 1名女生的概率 . 解析： (1)由 A的人数和其所占的百分比即可求出总人数； C的人数可知，而总人数已求出，进而可求出其所对应扇形的圆心角的度数；根据求出的数据即可补全条形统计图； (2)列表得出所有等可能的情况数，找出刚好抽到一男一女的情况数，即可求出所求的概率 . 答案： (1)由题意可知总人数 =4 8%=50人；扇形统计
15、图中 C等级所对应扇形的圆心角 =2050 100% 360 =144； 补全条形统计图如图所示： 故答案为： 50， 144； (2)列表如下： 得到所有等可能的情况有 12种，其中恰好抽中一男一女的情况有 8种， 所以恰好选到 1名男生和 1名女生的概率 = 812 23. 20.如图，在 Rt ABC 中， ACB=90 . (1)请用直尺和圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹： 作 ACB的平分线，交斜边 AB 于点 D； 过点 D作 AC的垂线，垂足为点 E. (2)在 (1)作出的图形中，若 CB=4， CA=6，则 DE= . 解析： (1)以 C为圆心，任意长为半径画弧，交 BC，
16、 AC 两点，再以这两点为圆心，大于这两点的线段的一半为半径画弧，过这两弧的交点与 C 在直线交 AB于 D 即可，根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法可作出垂线即可； (2)根据平行线的性质和角平分线的性质推出 ECD= EDC，进而证得 DE=CE，由 DE BC，推出 ADE ABC，根据相似三角形的性质即可推得结论 . 答案： (1)如图所示 . (2) DC 是 ACB的平分线， BCD= ACD， DE AC， BC AC， DE BC， EDC= BCD， ECD= EDC， DE=CE， DE BC， ADE ABC， DE AEBC AC， 设 DE=CE=x，则 AE=6
17、-x， 646xx，解得： x=125，即 DE=125. 答案： 125. 21.已知关于 x的一元二次方程 x2-2x+m-1=0有两个实数根 x1， x2. (1)求 m的取值范围； (2)当 x12+x22=6x1x2时，求 m 的值 . 解析： (1)根据一元二次方程 x2-2x+m-1=0有两个实数根，可得 0，据此求出 m的取值范围； (2)根据根与系数的关系求出 x1+x2， x1 x2的值，代入 x12+x22=6x1x2求解即可 . 答案： (1)原方程有两个实数根， =(-2)2-4(m-1) 0，整理得： 4-4m+4 0，解得： m 2. (2) x1+x2=2， x
18、1 x2=m-1， x12+x22=6x1x2， (x1+x2)2-2x1 x2=6x1 x2，即 4=8(m-1)，解得： m=32. m=32 2，符合条件的 m的值为 32. 22. 孝感市在创建国家级园林城市中，绿化档次不断提升 .某校计划购进 A， B 两种树木共100棵进行校园绿化升级，经市场调查：购买 A种树木 2棵， B种树木 5棵，共需 600元；购买 A种树木 3棵， B 种树木 1棵，共需 380元 . (1)求 A种， B种树木每棵各多少元？ (2)因布局需要，购买 A种树木的数量不少于 B种树木数量的 3倍 .学校与中标公司签订的合同中规定：在市场价格不变的情况下 (
19、不考虑其他因素 )，实际付款总金额按市场价九折优惠，请设计一种购买树木的方案，使实际所花费用最省，并求出最省的费用 . 解析： (1)设 A种树每棵 x元， B种树每棵 y元，根据“购买 A种树木 2棵， B 种树木 5棵，共需 600元；购买 A种树木 3棵， B种树木 1棵，共需 380元”列出方程组并解答； (2)设购买 A种树木为 a棵，则购买 B种树木为 (100-a)棵，根据“购买 A种树木的数量不少于 B 种树木数量的 3 倍”列出不等式并求得 a 的取值范围，结合实际付款总金额 =0.9(A 种树的金额 +B 种树的金额 )进行解答 . 答案： (1)设 A种树每棵 x元， B
20、种树每棵 y元， 依题意得： 2 5 6003 380xyxy，解得 10080xy，答： A种树每棵 100元， B种树每棵 80 元 . (2)设购买 A种树木为 a棵，则购买 B种树木为 (100-a)棵， 则 a 3(100-a)，解得 a 75. 设实际付款总金额是 y 元，则 y=0.9100a+80(100-a)，即 y=18a+7200. 18 0， y随 a的增大而增大，当 a=75时， y最小 . 即当 a=75时， y 最小值 =18 75+7200=8550(元 ). 答：当购买 A种树木 75棵， B种树木 25棵时，所需费用最少，最少为 8550元 . 23.如图，
21、在 Rt ABC 中， C=90，点 O 在 AB 上，经过点 A 的 O 与 BC 相切于点 D，与AC， AB 分别相交于点 E， F，连接 AD与 EF相交于点 G. (1)求证： AD 平分 CAB； (2)若 OH AD于点 H， FH平分 AFE， DG=1. 试判断 DF 与 DH的数量关系，并说明理由； 求 O的半径 . 解析： (1)连接 OD.先证明 OD AC，得到 CAD= ODA，再根据 OA=OD，得到 OAD= ODA，进而得到 CAD= BAD，即可解答 . (2) DF=DH，利用 FH平分 AFE，得到 AFH= EFH，再证明 DFH= DHF，即可得到
22、DF=DH. 设 HG=x，则 DH=DF=1+x，证明 DFG DAF，得到 DF DGAD DF，即 112 1 1xxx ，求出 x=1，再根据勾股定理求出 AF，即可解答 . 答案： (1)如图，连接 OD， O与 BC 相切于点 D， OD BC， C=90， OD AC， CAD= ODA， OA=OD， OAD= ODA， CAD= BAD， AD平分 CAB. (2) DF=DH，理由如下： FH平分 AFE， AFH= EFH， 又 DFG= EAD= HAF， DFG= EAD= HAF， DFG+ GFH= HAF+ HFA， 即 DFH= DHF， DF=DH. 设 H
23、G=x，则 DH=DF=1+x， OH AD， AD=2DH=2(1+x)， DFG= DAF， FDG= FDG， DFG DAF， DF DGAD DF， 112 1 1xxx ， x=1， DF=2， AD=4， AF为直径， ADF=90， AF= 2 2 2 224D F A D =2 5 ， O的半径为 5 . 24.在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=x2+bx+c 的顶点 M 的坐标为 (-1， -4)，且与 x 轴交于点 A，点 B(点 A在点 B的左边 )，与 y轴交于点 C. (1)填空： b= ， c= ，直线 AC的解析式为 y= ； (2)直线 x=t与 x轴相交于
24、点 H. 当 t=-3时得到直线 AN(如图 1)，点 D为直线 AC 下方抛物线上一点，若 COD= MAN，求出此时点 D的坐标； 当 -3 t -1 时 (如图 2)，直线 x=t 与线段 AC， AM 和抛物线分别相交于点 E， F， P.试证明线段 HE， EF， FP 总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为 35，求此时 t的值 . 解析： (1)根据顶点坐标列出关于 b、 c的方程组求解可得，由抛物线解析式求得 A、 C坐标，利用待定系数法可得直线 AC解析式； (2)设点 D的坐标为 (m， m2+2m-3)，由 COD= MAN得 tan COD=tan MAN，
25、列出关于 m的方程求解可得；求出直线 AM 的解析式，进而可用含 t的式子表示出 HE、 EF、 FP的长度，根据等腰三角形定义即可判定；由等腰三角形底角的余弦值为 35可得 1 325FPEF ，列方程可求得 t的值 . 答案： (1)抛物线 y=x2+bx+c的顶点 M的坐标为 (-1， -4)， 2124 44bcb ，解得： 23bc，抛物线解析式为： y=x2+2x-3， 令 y=0，得： x2+2x-3=0，解得： x1=1， x2=-3， A(-3， 0)， B(1， 0)， 令 x=0，得 y=-3， C(0， -3)， 设直线 AC的解析式为： y=kx+b， 将 A(-3，
26、 0)， C(0， -3)代入， 得： 303kbb ，解得： 13kb，直线 AC 的解析式为： y=-x-3； (2)设点 D的坐标为 (m， m2+2m-3)， COD= MAN， tan COD=tan MAN， 2 2423mmm ，解得： m= 3 ， -3 m 0， m=- 3 ， 故点 D的坐标为 (- 3 ， -2 3 )； 设直线 AM 的解析式为 y=mx+n， 将点 A(-3， 0)、 M(-1， -4)代入， 得： 304mnmn ，解得： 26mn，直线 AM 的解析式为： y=-2x-6， 当 x=t时， HE=-(-t-3)=t+3， HF=-(-2t-6)=2t+6， HP=-(t2+2t-3)， HE=EF=HF-HE=t+3， FP=-t2-4t-3， HE+EF-FP=2(t+3)+t2+4t+3=(t+3)2 0， HE+EF FP， 又 HE+FP EF， EF+FP HE， 当 -3 t -1时，线段 HE， EF， FP总能组成等腰三角形； 由题意得： 1 325FPEF ，即 2 4312335ttt ， 整理得： 5t2+26t+33=0，解得： t1=-3， t2=-115， -3 t -1， t=-115.
