1、2016年湖北省荆州市中考真题数学 一、选择题 (每小题 3 分，共 30分 ) 1.比 0小 1的有理数是 ( ) A.-1 B.1 C.0 D.2 解析 ：由题意可得： 0-1=-1，故比 0小 1的有理数是： -1. 答案 ： A. 2.下列运算正确的是 ( ) A.m6 m2=m3 B.3m2-2m2=m2 C.(3m2)3=9m6 D.12m 2m2=m2 解析 ： A、 m6 m2=m4，故此选项错误； B、 3m2-2m2=m2，正确； C、 (3m2)3=27m6，故此选项错误； D、 12m 2m2=m3，故此选项错误 . 答案 ： B. 3.如图， AB CD，射线 AE交
2、 CD于点 F，若 1=115，则 2的度数是 ( ) A.55 B.65 C.75 D.85 解析 ： AB CD， 1+ F=180， 1=115， AFD=65， 2和 AFD是对顶角， 2= AFD=65 . 答案 ： B. 4.我市气象部门测得某周内七天的日温差数据如下： 4， 6， 6， 5， 7， 6， 8(单位： )，这组数据的平均数和众数分别是 ( ) A.7， 6 B.6， 5 C.5， 6 D.6， 6 解析 ： 平均数为： 4 6 6 7 6 87 =6，数据 6 出现了 3次，最多，故众数为 6， 答案 ： D. 5.互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台
3、上一件商品标价为 200元，按标价的五折销售，仍可获利 20元，则这件商品的进价为 ( ) A.120元 B.100元 C.80元 D.60元 解析 ： 设该商品的进价为 x元 /件， 依题意得： (x+20) 510=200，解得： x=80.该商品的进价为 80元 /件 . 答案 ： C. 6.如图，过 O外一点 P引 O的两条切线 PA、 PB，切点分别是 A、 B， OP 交 O于点 C，点D 是优弧 ABC 上不与点 A、点 C 重合的一个动点，连接 AD、 CD，若 APB=80，则 ADC的度数是 ( ) A.15 B.20 C.25 D.30 解析 ： 如图， 由四边形的内角和
4、定理，得 BOA=360 -90 -90 -80 =100， 由 AC BC ，得 AOC= BOC=50 . 由圆周角定理，得 ADC=12 AOC=25 . 答案 ： C. 7.如图，在 4 4 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点， ABC 的顶点都在格点上，则图中 ABC的余弦值是 ( ) A.2 B.255C.12D. 55解析 ：由图可知， AC2=22+42=20， BC2=12+22=5， AB2=32+42=25， ABC是直角三角形，且 ACB=90， cos ABC= 55BCAB. 答案 ： D. 8.如图，在 Rt ABC中， C=90， CAB的平分线交 BC
5、 于 D， DE是 AB的垂直平分线，垂足为 E.若 BC=3，则 DE 的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 ： DE 垂直平分 AB， DA=DB， B= DAB， AD平分 CAB， CAD= DAB， C=90， 3 CAD=90， CAD=30， AD平分 CAB， DE AB， CD AC， CD=DE=12BD， BC=3， CD=DE=1. 答案 ： A. 9.如图，用黑白两种颜色的菱形纸片，按黑色纸片数逐渐增加 1的规律拼成下列图案，若第n个图案中有 2017个白色纸片，则 n的值为 ( ) A.671 B.672 C.673 D.674 解析 ：第 1个图案
6、中白色纸片有 4=1+1 3张； 第 2个图案中白色纸片有 7=1+2 3张； 第 3个图案中白色纸片有 10=1+3 3张； 第 n个图案中白色纸片有 1+n 3=3n+1(张 )， 根据题意得： 3n+1=2017，解得： n=672. 答案 ： B. 10.如图，在 Rt AOB中，两直角边 OA、 OB分别在 x轴的负半轴和 y轴的正半轴上，将 AOB绕点 B 逆时针旋转 90后得到 A O B.若反比例函数 y=kx的图象恰好经过斜边 A B 的中点 C， S ABO=4， tan BAO=2，则 k的值为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 解析 ：设点 C坐标为 (x， y)
7、，作 CD BO交边 BO于点 D， tan BAO=2， BOAO=2， S ABO=12 AO BO=4， AO=2， BO=4， ABO A O B， AO=A 0 =2， BO=BO =4， 点 C为斜边 A B的中点， CD BO， CD=12A 0 =1， BD=12BO =2， x=BO-CD=4-1=3， y=BD=2， k=x y=3 2=6. 答案 ： C. 二、填空题 (每小题 3 分，共 24分 ) 11.将二次三项式 x2+4x+5化成 (x+p)2+q的形式应为 . 解析 ： x2+4x+5=x2+4x+4+1=(x+2)2+1. 答案 ： (x+2)2+1. 12
8、.当 a= 2 +1， b= 2 -1时，代数式 22222a ab bab 的值是 . 解析 ： a= 2 +1， b= 2 -1， a+b= 2 +1+ 2 -1=2 2 ， a-b= 2 +1- 2 +1=2， 222222222aba a b b a ba b a b a b a b . 答案： 22. 13.若 12xm-1y2与 3xyn+1是同类项，点 P(m， n)在双曲线 y= 1ax上，则 a的值为 . 解析 ： 12xm-1y2与 3xyn+1是同类项， m-1=1， n+1=2，解得 m=2， n=1， P(2， 1). 点 P(m， n)在双曲线 y= 1ax上， a
9、-1=2，解得 a=3. 答案 ： 3. 14.若点 M(k-1， k+1)关于 y轴的对称点在第四象限内，则一次函数 y=(k-1)x+k 的图象不经过第 象限 . 解析 ：点 M(k-1， k+1)关于 y轴的对称点在第四象限内， 点 M(k-1， k+1)位于第三象限， k-1 0且 k+1 0，解得： k -1， y=(k-1)x+k经过第二、三、四象限，不经过第一象限 . 答案：一 . 15.全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外 .如图，张三同学在东门城墙上 C处测得塑像底部 B处的俯角为 18 48，测得塑像顶部 A处的仰角为 45，点 D在观测点 C正下方城墙底的地面上，若 C
10、D=10 米，则此塑像的高 AB约为 米 (参考数据： tan78 12 4.8). 解析 ：如图所示：由题意可得： CE AB于点 E， BE=DC， ECB=18 48， EBC=78 12， 则 tan78 12 =10EC ECBE=4.8，解得： EC=48(m)， AEC=45，则 AE=EC，且 BE=DC=10m，此塑像的高 AB约为： AE+EB=58(米 ). 答案： 58. 16.如图是一个几何体的三视图 (图中尺寸单位： cm)，根据图中所示数据计算这个几何体的表面积为 cm2. 解析 ：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；
11、 根据三视图知：该圆锥的母线长为 3cm，底面半径为 1cm， 故表面积 = rl+ r2= 1 3+ 12=4 cm2. 答案 ： 4 . 17.请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形 (只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记 ). 解析 ： 沿 AB 的中点 E 和 BC 的中点 F剪开，然后拼接成平行四边形即可 . 答案： 如图所示 . AE=BE， DE=EF， AD=CF. 18.若函数 y=(a-1)x2-4x+2a的图象与 x轴有且只有一个交点，则 a的值为 . 解析 ： 函数 y=(a-1)x2-4x+2a的
12、图象与 x轴有且只有一个交点， 当函数为二次函数时， b2-4ac=16-4(a-1) 2a=0，解得： a1=-1， a2=2， 当函数为一次函数时， a-1=0，解得： a=1. 答案： -1或 2或 1. 三、解答题 (本大题共 7小题，共 66分 ) 19.计算： 1 0112 ( )2 4129 . 解析 ： 直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质、零指数幂的性质化简，进而求出答案 . 答案 ：原式 = 2 +3 2-2 22-1= 2 +6- 2 -1=5. 20.为了弘扬荆州优秀传统文化，某中学举办了荆州文化知识大赛，其规则是：每位参赛选手
13、回答 100道选择题，答对一题得 1分，不答或错答为得分、不扣分，赛后对全体参赛选手的答题情况进行了相关统计，整理并绘制成如下图表： 请根据以图表信息，解答下列问题： (1)表中 m= ， n= ； (2)补全频数分布直方图； (3)全体参赛选手成绩的中位数落在第几组； (4)若得分在 80 分以上 (含 80 分 )的选手可获奖，记者从所有参赛选手中随机采访 1人，求这名选手恰好是获奖者的概率 . 解析： (1)根据表格可以求得全体参赛选手的人数，从而可以求得 m的值， n的值； (2)根据 (1)中的 m的值，可以将补全频数分布直方图； (3)根据表格可以求得全体参赛选手成绩的中位数落在第
14、几组； (4)根据表格中的数据可以求得这名选手恰好是获奖者的概率 . 答案： (1)由表格可得， 全体参赛的选手人数有： 30 0.1=300， 则 m=300 0.4=120， n=60 300=0.2. (2)补全的频数分布直方图如 图所示， (3) 35+45=75， 75+60=135， 135+120=255， 全体参赛选手成绩的中位数落在 80 x 90这一组 . (4)由题意可得， 1 2 0 4 5 0 .5 5300 ， 即这名选手恰好是获奖者的概率是 0.55. 21.如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD剪开，得到 ACD，再将 ACD沿 DB方
15、向平移到 A C D的位置，若平移开始后点 D未到达点 B时， A C交 CD于 E，D C交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD F为菱形时，试探究 A DE的形状，并判断 A DE 与 EFC是否全等？请说明理由 . 解析： 当四边形 EDD F 为菱形时， A DE 是等腰三角形， A DE EFC .先证明CD=DA=DB，得到 DAC= DCA，由 AC A C即可得到 DA E= DEA由此即可判断 DAE 的形状 .由 EF AB 推出 CEF= EA D， EFC= A D C= A DE，再根据 A D=DE=EF即可证明 . 答案 ：当四边形 EDD F为菱形时，
16、 A DE 是等腰三角形， A DE EFC . 理由： BCA是直角三角形， ACB=90， AD=DB， CD=DA=DB， DAC= DCA， A C AC， DA E= A， DEA = DCA， DA E= DEA， DA =DE， A DE是等腰三角形 . 四边形 DEFD是菱形， EF=DE=DA， EF DD， CEF= DA E， EFC= CD A， CD C D， A DE= A D C= EFC， 在 A DE和 EFC中， E A D C E FA D E FA D E E F C ， A DE EFC . 22.为更新果树品种，某果园计划新购进 A、 B两个品种的果
17、树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共 45棵，其中 A种苗的单价为 7元 /棵，购买 B种苗所需费用 y(元 )与购买数量 x(棵 )之间存在如图所示的函数关系 . (1)求 y与 x的函数关系式； (2)若在购买计划中， B 种苗的数量不超过 35棵，但不少于 A种苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用 . 解析： (1)利用得到系数法求解析式，列出方程组解答即可； (2)根据所需费用为 W=A种树苗的费用 +B种树苗的费用，即可解答 . 答案： (1)设 y与 x的函数关系式为： y=kx+b， 把 (20， 160)， (40， 288)代入 y=kx+b得： 20 1
18、6040 288kbkb，解得： 6.432kb， y=6.4x+32. (2) B种苗的数量不超过 35棵，但不少于 A种苗的数量， 3545xxx， 22.5 x 35， 设总费用为 W元，则 W=6.4x+32+7(45-x)=-0.6x+347， k=-0.6， y随 x的增大而减小， 当 x=35时， W总费用最低， W最低 =-0.6 35+347=137(元 ). 23.如图， A、 F、 B、 C 是半圆 O 上的四个点，四边形 OABC 是平行四边形， FAB=15，连接 OF交 AB于点 E，过点 C作 OF的平行线交 AB的延长线于点 D，延长 AF交直线 CD于点 H.
19、 (1)求证： CD 是半圆 O 的切线； (2)若 DH=6-3 3 ，求 EF 和半径 OA的长 . 解析： (1)连接 OB，根据已知条件得到 AOB 是等边三角形，得到 AOB=60，根据圆周角定理得到 AOF= BOF=30，根据平行线的性质得到 OC CD，由切线的判定定理即可得到结论； (2)根据平行线的性质得到 DBC= EAO=60，解直角三角形得到 BD=12BC=12AB，推出 AE=13 AD，根据相似三角形的性质得到 EF AEDH AD ，求得 EF=2- 3 ，根据直角三角形的性质即可得到结论 . 答案： (1)连接 OB， OA=OB=OC， 四边形 OABC是
20、平行四边形， AB=OC， AOB是等边三角形， AOB=60， FAD=15， BOF=30， AOF= BOF=30， OF AB， CD OF， CD AD， AD OC， OC CD， CD 是半圆 O的切线 . (2) BC OA， DBC= EAO=60， BD=12BC=12AB， AE=13AD， EF DH， AEF ADH， EF AEDH AD， DH=6-3 3 ， EF=2- 3 ， OF=OA， OE=OA-(2- 3 )， AOE=30， 2 3 32OAOEO A O A，解得： OA=2. 24.已知在关于 x 的分式方程 11kx=2和一元二次方程 (2-k
21、)x2+3mx+(3-k)n=0中， k、 m、n均为实数，方程的根为非负数 . (1)求 k的取值范围； (2)当方程有两个整数根 x1、 x2， k为整数，且 k=m+2， n=1时，求方程的整数根； (3)当方程有两个实数根 x1、 x2，满足 x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k)，且 k为负整数时，试判断 |m| 2是否成立？请说明理由 . 解析： (1)先解出分式方程的解，根据分式的意义和方程的根为非负数得出 k的取值； (2)先把 k=m+2， n=1代入方程化简，由方程有两个整数实根得是完全平方数，列等式得出关于 m的等式，由根与系数的关系和两个整数根 x
22、1、 x2得出 m=1和 -1，分别代入方程后解出即可 . (3)根据 (1)中 k 的取值和 k 为负整数得出 k=-1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出 m的值，做出判断 . 答案： (1)关于 x的分式方程 11kx=2的根为非负数， x 0且 x 1， 又 x= 12k 0，且 12k 1，解得 k -1且 k 1， 又一元二次方程 (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0中 2-k 0， k 2， 综上可得： k -1且 k 1且 k 2； (2)一元二次方程 (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0有两个整数根 x1、 x2，且 k=m+2， n=1 时， 把 k=m
23、+2， n=1代入原方程得： -mx2+3mx+(1-m)=0，即： mx2-3mx+m-1=0， 0，即 =(-3m)2-4m(m-1)，且 m 0， =9m2-4m(m-1)=m(5m+4)， x1、 x2是整数， k、 m都是整数， x1+x2=3， x1 x2= 111mmm ， 1-1m为整数， m=1或 -1， 把 m=1代入方程 mx2-3mx+m-1=0得： x2-3x+1-1=0， x2-3x=0， x(x-3)=0， x1=0， x2=3； 把 m=-1代入方程 mx2-3mx+m-1=0得： -x2+3x-2=0， x2-3x+2=0， (x-1)(x-2)=0， x1=
24、1， x2=2； (3)|m| 2不成立，理由是： 由 (1)知： k -1且 k 1且 k 2， k是负整数， k=-1， (2-k)x2+3mx+(3-k)n=0 且方程有两个实数根 x1、 x2， x1+x2= 3322mmkk=-m， x1x2= 4332 kk ， x1(x1-k)+x2(x2-k)=(x1-k)(x2-k)， x12-x1k+x22-x2k=x1x2-x1k-x2k+k2， x12+x22=x1x2+k2， (x1+x2)2-2x1x2-x1x2=k2， (x1+x2)2-3x1x2=k2， (-m)2-3 43=(-1)2， m2-4=1， m2=5， m= 5
25、， |m| 2不成立 . 25.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线” .例如，点 M(1， 3)的特征线有： x=1， y=3， y=x+2，y=-x+4. 问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形 OABC，点 B 在第一象限， A、 C 分别在 x轴和 y轴上，抛物线 y=14(x-m)2+n经过 B、 C两点，顶点 D在正方形内部 . (1)直接写出点 D(m， n)所有的特征线； (2)若点 D有一条特征线是 y=x+1，求此抛物线的解析式； (3)点 P 是 AB 边上除点 A 外的任意一点，连接 OP，将
26、 OAP 沿着 OP 折叠，点 A 落在点 A的位置，当点 A在平行于坐标轴的 D 点的特征线上时，满足 (2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在 OP上？ 解析： (1)根据特征线直接求出点 D的特征线； (2)由点 D的一条特征线和正方形的性质求出点 D 的坐标，从而求出抛物线解析式； (3)分平行于 x轴和 y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可 . 答案： (1)点 D(m， n)， 点 D(m， n)的特征线是 x=m， y=n， y=x+n-m， y=-x+m+n； (2)点 D有一条特征线是 y=x+1， n-m=1， n=m+1 抛物线解析式为 y=14(x-m)2+n，
27、 y=14(x-m)2+m+1， 四边形 OABC是正方形，且 D点为正方形的对称轴， D(m， n)， B(2m， 2m)， 14(2m-m)2+n=2m，将 n=m+1带入得到 m=2， n=3； D(2， 3)，抛物线解析式为 y=14(x-2)2+3. (3)如图，当点 A在平行于 y轴的 D点的特征线时， 根据题意可得， D(2， 3)， OA =OA=4， OM=2， A OM=60， A OP= AOP=30， MN= 2 33 3OM ， 抛物线需要向下平移的距离 =3-2 33=9 2 33. 当点 A在平行于 x轴的 D点的特征线时， 顶点落在 OP上， A与 D重合， A (2， 3)， 设 P(4， c)(c 0)，由折叠有， PD=PA， 243c =c， c=136， P(4， 136)， 直线 OP解析式为 y=1324， N(2， 1312)，抛物线需要向下平移的距离 =3-1312=2312， 即：抛物线向下平移 9 2 33或 2312距离，其顶点落在 OP上 .
