1、高等数学(工本)自考题模拟 33及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.与向量-1，1，-1垂直的单位向量是_ A0，0，0 B C D （分数：3.00）A.B.C.D.2.设函数 z=x 2 +xy+y，则全微分 dz=_（分数：3.00）A.2xdx+xdyB.(2x+y)dx+xdyC.ydx+(x+1)dyD.(2x+y)dx+(x+1)dy3.设空间闭区域 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，z0， 1 为区域 2 在第一卦限的区域，则有_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.4.微分方
2、程 yy+2y-3y=4e x 的一个特解为_ A.4xex B.3x2ex C.xex D.x3ex（分数：3.00）A.B.C.D.5.下列无穷级数中绝对收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设向量 a=-1，2，3)，=2，1，-1)，则 = 1. （分数：2.00）7.已知方程 4x 2 -xy+z 2 +1=0，则 （分数：2.00）8.设积分区域 D是 y=-x，y=0 及 x=-1围成，则二重积分 （分数：2.00）9.微分方程 y-2y+y=2e x 的一个特解为 y * = 1. （分数：2.00）
3、10.无穷级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求直线 （分数：5.00）_12.求曲线 x=2t，y=t 2 ，z=t 2 +t+1，在点(4，4，7)处的切线方程 （分数：5.00）_13.已知函数 z=sinxy，求 （分数：5.00）_14.已知函数 f(x，y，z)=x 2 +2y 2 +3z 2 +xy-2x+2y-3z，求 f(x，y，z)在点 f(x，y，z)处的梯度 （分数：5.00）_15.计算二重积分 （分数：5.00）_16.计算三重积分 （分数：5.00）_17.计算对弧长的曲线积分 C (x-y)ds，其中 C是直线 y-x=2上
4、(-2，0)，(0，2)间的线段 （分数：5.00）_18.验证(x-y)dx+(y-x)dy 在整个 Oxy平面内是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求 u(x，y) （分数：5.00）_19.求微分方程 xy+y=x 2 满足初始条件 y(1)=1的特解 （分数：5.00）_20.求微分方程 y-3y+2y=0 的通解 （分数：5.00）_21.判断级数 （分数：5.00）_22.设 f(x)是以 2 为周期的周期函数，它在(-，)上的表达式为 f(x)=x 2 +x，求 f(x)的傅里叶级数展开式 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y
5、)=e x (2x+y 2 -2y)的极值点 （分数：5.00）_24.求曲面 z=x 2 +y 2 及曲面 z=2(x+y)所围成的立体体积 （分数：5.00）_25.将函数 f(x)=xarctan(x-1)-arctan(x-1)展开为 x-1的幂级数 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 33答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：5，分数：15.00)1.与向量-1，1，-1垂直的单位向量是_ A0，0，0 B C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为向量之间的关系 利用代入法，可求得 B选项正确2.
6、设函数 z=x 2 +xy+y，则全微分 dz=_（分数：3.00）A.2xdx+xdyB.(2x+y)dx+xdyC.ydx+(x+1)dyD.(2x+y)dx+(x+1)dy 解析：解析 本题主要考查的知识点为全微分 函数 z=x 2 +xy+y，则 z x =2x+y，z y =x+1，故全微分 dz=(2x+y)dx+(x+1)dy.3.设空间闭区域 1 =(x，y，z)|x 2 +y 2 +z 2 1，z0， 1 为区域 2 在第一卦限的区域，则有_ A B C D （分数：3.00）A. B.C.D.解析：解析 本题主要考查的知识点为三重积分的对称奇偶性 积分区域 关于 Ozy对称
7、，三重积分 的被积函数 x是奇函数，故 ，同理 ，而 4.微分方程 yy+2y-3y=4e x 的一个特解为_ A.4xex B.3x2ex C.xex D.x3ex（分数：3.00）A.B.C. D.解析：解析 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程的特解 利用代入法，可求得只有 C选项正确5.下列无穷级数中绝对收敛的无穷级数是_ A B C D （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 本题主要考查的知识点为绝对收敛和条件收敛 选项 A 是交错级数，设 ，则 ，且 u n u n+1 ，故 收敛，但 是 P级数，且 P1，故 发散，因此 是条件收敛，选项 B ，设 ， ，
8、故 发散；选项 C 设 ， ，故 发散；选项 D ，因 是几何级数且 q1，故 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)6.设向量 a=-1，2，3)，=2，1，-1)，则 = 1. （分数：2.00）解析：-3 解析 本题主要考查的知识点为向量的数量积 由向量 =-1，2，3，=2，1，-1，则 =-12+21+3(-1)=-2+2-3=-3.7.已知方程 4x 2 -xy+z 2 +1=0，则 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为隐函数求偏导数. 设 F(x，y，z)=4x 2 -xy+z 2 +1，则有 Fx=8x-y，Fy=-x， 故 8.设积分区域 D是 y=-x
9、，y=0 及 x=-1围成，则二重积分 （分数：2.00）解析： 解析 本题主要考查的知识点为二重积分的计算. 积分区域 D，如下图所示.则 9.微分方程 y-2y+y=2e x 的一个特解为 y * = 1. （分数：2.00）解析：y * =x 2 e x 解析 本题主要考查的知识点为二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式 f(x)=2e x 属于 e x P m (x)型(m=0，=1)，原非齐次微分方程对应的齐次微分方程特征方程为 r 2 -2r+1=0，其特征根为 r 1 =r 2 =1，故 =1 是对应齐次方程的特征根，且为二重根，因此设特解为 y * =b 0 x 2 e x ，
10、代入微分方程得 2b 0 e x =2e x ，故 b 0 =1，于是原微分方程的一个特解为 y * =x 2 e x .10.无穷级数 （分数：2.00）解析：解析 本题主要考查的知识点为无穷级数的通项三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：主要考查的知识点为求直线与平面的交点 将直线方程 写成参数式方程 12.求曲线 x=2t，y=t 2 ，z=t 2 +t+1，在点(4，4，7)处的切线方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为空间曲线的切线方程 由题意可知 t=2，则 x(2)=2，y(2)=4，z(2
11、)=5，所以曲线在点(4，4，7)的切向量为(2，4，5)，故所求切线方程为 13.已知函数 z=sinxy，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为高阶偏导数 ， 14.已知函数 f(x，y，z)=x 2 +2y 2 +3z 2 +xy-2x+2y-3z，求 f(x，y，z)在点 f(x，y，z)处的梯度 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为函数的梯度 f x =2x+y-2，f y =4y+x+2，f z =6z-3，于是 ， 15.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为二重积分的计算 积分区域 D，
12、如下图所示于是 16.计算三重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为直角坐标下三重积分的计算 积分区域 (如下图所示)：0x1，0y1-x，0z1-x-y，则有 17.计算对弧长的曲线积分 C (x-y)ds，其中 C是直线 y-x=2上(-2，0)，(0，2)间的线段 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为对弧长的曲线积分 曲线 C：y-x=2，则 dy=dx.因此 18.验证(x-y)dx+(y-x)dy 在整个 Oxy平面内是某个二元函数 u(x，y)的全微分，并求 u(x，y) （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的
13、知识点为二元函数的全微分求积 令 P(x，y)=x-y，Q(x，y)=y-x， 则 所以(x-y)dx+(y-x)dy 是某函数 u(x，y)的全微分 取 19.求微分方程 xy+y=x 2 满足初始条件 y(1)=1的特解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为一阶线性微分方程的特解 原微分方程可化为 由一阶线性微分方程的通解公式有 由初始条件 y(1)=1，可得 ，故所求特解为 20.求微分方程 y-3y+2y=0 的通解 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为二阶常系数线性齐次微分方程的通解 此微分方程的特征方程为 r 2 -3r+2=0，
14、其特征根为 r 1 =2，r 2 =1，是两个不相等的实根，因此所求的通解为 y=C 1 e 2x +C 2 e x .21.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为根式判别法 因 ，由柯西判别法得， 22.设 f(x)是以 2 为周期的周期函数，它在(-，)上的表达式为 f(x)=x 2 +x，求 f(x)的傅里叶级数展开式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为傅里叶级数展开式 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.求函数 f(x，y)=e x (2x+y 2 -2y)的极值点 （分数：5.00）_正确答案：()解析：主要考
15、查的知识点为函数的极值点 解 得驻点 由于 f xx =e x (2x+y 2 -2y+4)， f xy =e x (2y-2)， f yy =2e x ， 则 所以点 24.求曲面 z=x 2 +y 2 及曲面 z=2(x+y)所围成的立体体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为重积分的应用 两曲面所围成的空间体在 Oxy坐 标面上投影为 D：(x-1) 2 +(y-1) 2 2故所求体积 25.将函数 f(x)=xarctan(x-1)-arctan(x-1)展开为 x-1的幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：本题主要考查的知识点为幂级数的展开式.
