1、高等数学(工本)自考题模拟 36 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：15.00)1.过点(0，2，4)且与平面 x+2z=1 及 y-2z=2 都平行的直线是_ A B C （分数：3.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x+y，x-y)=x 2 -y 2 ，则 f x (x，y)+f y (x，y)=_（分数：3.00）A.2x-2yB.x+yC.2x+2yD.x-y3.设 z=e yx ，则 （分数：3.00）A.B.C.D.4.设曲线 C 是从点 A(1，0)到点 B(-1，2)的直线段，则 c (x+y)dy=_ A0 B
2、2 C D （分数：3.00）A.B.C.D.5.记 ， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I2I1I3C.I2I3I1D.I3I2I1二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：10.00)6.过点(0，-4，6)且垂直于平面 7x-4y+3z+5=0 的直线方程是 1 （分数：2.00）7.设二元函数 z=x 2 -xy+y 2 -2x+y，则 z 的极小值为 1 （分数：2.00）8.设 是由坐标半面和平面 x-y+z=2 所围成的区域，则三重积分 （分数：2.00）9.设三元函数 ，则过点 A(1，1，1)且与方向 l 垂直的平面方程为 1，其中 l 是使 （分数：2.00）10.如
3、果 均收敛，则 （分数：2.00）三、计算题(总题数：12，分数：60.00)11.求 z=sinxcosy 在点 （分数：5.00）_12.设方程 确定了 z 是 x、y 的函数，求 （分数：5.00）_13.把一个正数 a 分为三个正数之和，并且使它们的乘积为最大，求这三个数 （分数：5.00）_14.计算二重积分 （分数：5.00）_15.计算关于弧长的曲线积分 C |y|ds，其中闭曲线 C：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )(x0，常数a0) （分数：5.00）_16.计算对弧长的曲线积分 L (x 2 +y 2 ) n ds，其中 L 为圆周 x=acos
4、t，y=asint(0t2) （分数：5.00）_17.计算关于面积的曲面积分 （分数：5.00）_18.解方程 y“-2xy=e x2 cosx （分数：5.00）_19.求周期函数 f(x)=|sinx|的傅里叶级数展开式 （分数：5.00）_20.判断级数 （分数：5.00）_21.判定级数， （分数：5.00）_22.将函数 f(x)=x-1(0x2)展成周期为 4 的余弦级数 （分数：5.00）_四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设 a n c n b n ，n=1，2，且级数 均收敛,证明级数 （分数：5.00）_24.设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x+y=2，
5、y=x 和 x 轴所围成，它的面密度 (x，y)=x 2 +y 2 ，求该薄片的质量 （分数：5.00）_25.求球面 S 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 位于柱面 S 2 ：x 2 +y 2 =a|x|(a0)之内部分的面积及球 x 2 +y 2 +x 2 a 2 位于柱面 S 2 之内部分的体积 （分数：5.00）_高等数学(工本)自考题模拟 36 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、第一部分 选择题(总题数：5，分数：15.00)1.过点(0，2，4)且与平面 x+2z=1 及 y-2z=2 都平行的直线是_ A B C （分数：3.00）A.B.C. D
6、.解析：解析 设直线的方向向量 v=x，y，z则： 又该直线过(0，2，4)点 直线方程为： 2.已知函数 f(x+y，x-y)=x 2 -y 2 ，则 f x (x，y)+f y (x，y)=_（分数：3.00）A.2x-2yB.x+y C.2x+2yD.x-y解析：解析 因 f(x+y，x-y)=x 2 -y 2 =(x+y)(x-y)故 f(x，y)=xy 从而 f x (x，y)+f y (x，y)=y+x3.设 z=e yx ，则 （分数：3.00）A.B.C.D. 解析：解析 4.设曲线 C 是从点 A(1，0)到点 B(-1，2)的直线段，则 c (x+y)dy=_ A0 B2
7、C D （分数：3.00）A.B. C.D.解析：解析 过点 A 和 B 的直线为 x+y=1，故5.记 ， （分数：3.00）A.I1I2I3B.I2I1I3C.I2I3I1D.I3I2I1 解析：解析 由在 D 1 上 (等号仅在圆周 x 2 -y 2 =1 上取到)知，I 1 0；由在 D 2 上 知-I 2 0；由在 D 3 上 二、第二部分 非选择题(总题数：5，分数：10.00)6.过点(0，-4，6)且垂直于平面 7x-4y+3z+5=0 的直线方程是 1 （分数：2.00）解析： 解析 由于所求直线垂直于平面 7x-4y+3z+5=0 故其方向向量可取为 v=7，-4，3 又直
8、线过点(0，-4，6)，从而其对称式方程为 7.设二元函数 z=x 2 -xy+y 2 -2x+y，则 z 的极小值为 1 （分数：2.00）解析：-1 解析 z 的定义域为 xOy 平面，它的可能极值点为方程组 即 8.设 是由坐标半面和平面 x-y+z=2 所围成的区域，则三重积分 （分数：2.00）解析：解析 9.设三元函数 ，则过点 A(1，1，1)且与方向 l 垂直的平面方程为 1，其中 l 是使 （分数：2.00）解析：x+y+4z=6 解析 因为使 为最大的方向是 所以，所求的平面方程为 10.如果 均收敛，则 （分数：2.00）解析：收敛 解析 因 收敛，故 收敛，从而 三、计
9、算题(总题数：12，分数：60.00)11.求 z=sinxcosy 在点 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：若曲面方程为 z=f(x，y)，则曲面上点 P 处法线的方向数为 点 处， 故点 P 处法线的方向数为 ，从而点 P 处切平面方程为 即 法线方程为 12.设方程 确定了 z 是 x、y 的函数，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：x=zlnz-zlny 令 F(x，y，z)=zlnz-zlny-x，F x =-1， ，F x =lnz+1-lny 13.把一个正数 a 分为三个正数之和，并且使它们的乘积为最大，求这三个数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：
10、解：设所求这三个数分别为 x，y，a-x-y依题意，这三个数的乘积为 u=xy(a-x-y)(其中 x0，y0，a-x-y0) 令 解方程组 得： 即得 u 在域(x，y)|x0，y0，x+ya内惟一驻点 又 故在点 处， 从而 又 ，从而在点 处 u 取得极大值即点 为 u 的最大值点 此时 14.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设 D 1 =(x，y)|x 2 +y 2 4， D 2 =(x，y)|(x+1) 2 +y 2 1 由对称性知 故 15.计算关于弧长的曲线积分 C |y|ds，其中闭曲线 C：(x 2 +y 2 ) 2 =a 2 (x 2 -y 2 )
11、(x0，常数a0) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：C 的极坐标方程为 r 2 =a 2 cos2，其中 所以 16.计算对弧长的曲线积分 L (x 2 +y 2 ) n ds，其中 L 为圆周 x=acost，y=asint(0t2) （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：17.计算关于面积的曲面积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： (是下半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)的上侧) (D xy =(x，y)|x 2 +y 2 a 2 是在 xOy 平面的投影) 其中 将代入，得 18.解方程 y“-2xy=e x2 cosx （分数：5.0
12、0）_正确答案：()解析：解：y=e 2xdx e x2 cosxe (-2x)dx dx+C =e x2 (cosxdx+C) =e x2 (sinx+C)19.求周期函数 f(x)=|sinx|的傅里叶级数展开式 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：f(x)=|sinx|是周期为 的周期函数由于 f(x)在 上是偶函数，所以 因此由傅里叶级的收敛定理，得 f(x)的傅里叶级数展开式： 20.判断级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解： 21.判定级数， （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：由于 而调和级数 发散，所以根据正项级数的比较判别法， 22.将函数 f(x
13、)=x-1(0x2)展成周期为 4 的余弦级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：b n =0(n=1，2，) 故 四、综合题(总题数：3，分数：15.00)23.设 a n c n b n ，n=1，2，且级数 均收敛,证明级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：因为 c n =c n -a n +a n ， 从而 所以要证明 收敛，只需证明 收敛 由题设 0c n -a n b n -a n 由于 均收敛，从而 收敛 故由正项级数比较法知 收敛 所以 收敛，于是 24.设平面薄片所占的闭区域 D 由直线 x+y=2，y=x 和 x 轴所围成，它的面密度 (x，y)=x
14、2 +y 2 ，求该薄片的质量 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：设薄片的质量为 M，则质量元素 dM=(x，y)d=(x 2 +y 2 )d 25.求球面 S 1 ：x 2 +y 2 +z 2 =a 2 位于柱面 S 2 ：x 2 +y 2 =a|x|(a0)之内部分的面积及球 x 2 +y 2 +x 2 a 2 位于柱面 S 2 之内部分的体积 （分数：5.00）_正确答案：()解析：解：(1)记 S 1 位于 S 2 之内部分为由于它在各个卦限的面积相等，所以 S 的面积为 A=8A 1 (其中 A 1 为在第一卦限部分 1 的面积) 由于 1 的方程为 ，其中 D xy 是 1 在 xOy 平面上的投影区域，即 D xy =(x，y)|x 2 +y 2 ax，y0，所以 由此得到 (2)记球 x 2 +y 2 +z 2 a 2 位于柱面内的体为 ，则 的体积为 V=8V 1 (其中 V 1 是 位于第一卦限部分 1 的体积) 由于 所以
