1、 2016 年湖南省岳阳一中高考模拟 数学 一、选择题 (本大题 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 ). 1.一个年级有 12 个班，每个班的同学从 1 至 50 排学号，为了交流学习经验，要求每班学号为 14 的同学留下进行交流，这里运用的是 ( ) A.系统抽样 B.分层抽样 C.抽签抽样 D.随机抽样 解析：当总体容量 N 较大时，采用系统抽样 .将总体分段，分段的间隔要求相等，这时间隔一般为预先制定的，在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号 . 本题中，把每个班级学生从 1
2、 到 50 号编排，要求每班编号为 14 的同学留下进行交流， 这样选出的样本是采用系统抽样的方法 . 答案： A. 2.设全集 U=R，集合 A=x|x 2， B=x|0 x 5，则集合 A B=( ) A.x|0 x B.x|0 x 2 C.x|0 x 2 D.x|2 x 5 解析：全集 U=R，集合 A=x|x 2， B=x|0 x 5， A B=x|2 x 5， 答案： D. 3.已知 a、 b 是两条异面直线， c a，那么 c 与 b 的位置关系 ( ) A.一定是异面 B.一定是相交 C.不可能平行 D.不可能垂直 解析： a、 b 是两条异面直线， c a，那么 c 与 b 异
3、面和相交均有可能，但不会平行 . 因为若 c b，因为 c a，由平行公理得 a b，与 a、 b 是两条异面直线矛盾 . 答案： C 4.已知函数 3020xlo g x xfxx， ，则 19ff=( ) A.12B.14 C.16D.18解析：因为 19 0，所以 113299f lo g （ ），又 -2 0，所以 222 14f （ ）； 答案： B. 5.已知倾斜角为的直线，与直线 x-3y+1=0 垂直，则 tan =( ) A.13B.3 C.-3 D. 13解析：倾斜角为的直线，与直线 x-3y+1=0 垂直， 113 tan ， 解得 tan =-3. 答案： C. 6.设
4、 M=2a(a-2)， N=(a+1)(a-3)，则有 ( ) A.M N B.M N C.M N D.M N 解析： M-N 2a(a-2)-(a+1)(a-3) =(a-1)2+2 0， M N. 答案： A. 7.在 ABC 中， A： B： C=1： 2： 3，则 a： b： c 等于 ( ) A.1： 2： 3 B.3： 2： 1 C.1 32： ： D.2 31： ： 解析：在 ABC 中，若 A： B： C=1： 2： 3，又 A+ B+ C= 所以6 3 2A B C ， ，. 由正弦定理可知： 1 3 26 3 2a b c s i n A s i n B s i n C s
5、 i n s i n s i n ： ： ： ： ： ： ： ：. 答案： C. 8.已知函数 1 2 02 1 0xxxfxx ， ， ，则该函数是 ( ) A.非奇非偶函数，且单调递增 B.偶函数，且单调递减 C.奇函数，且单调递增 D.奇函数，且单调递减 解析：此函数的定义域是 R 当 x 0 时，有 f(x)+f(-x)=1-2-x+2-x-1=0 当 x 0 时，有 f(-x)+f(x)=1-2x+2x-1=0 由上证知，此函数是一个奇函数， 又 x 0 时，函数 1-2-x 是一个增函数，最小值是 0； x 0 时，函数 2x-1 是一个增函数，最大值为 0， 所以函数函数 1 2
6、 02 1 0xxxfxx ， ， 在定义域上是增函数 综上，函数 1 2 02 1 0xxxfxx ， ， 在定义域上是增函数，且是奇函数 答案： C 9.如图，在 ABC 中，已知 2BD DC ，则 AD =( ) A. 3122AB ACB. 3122AB ACC. 1233AB ACD. 1233AB AC解析：根据平面向量的运算法则及题给图形可知： 2 2 1 23 3 3 3A D A B B D A B B C A B B A A C A B A C . 答案： C. 10.已知函数 f(x)=2sin( x+ )( 0， 0 )的图象上相邻两个最高点的距离为 .若将函数 f(
7、x)的图象向左平移6个单位长度后，所得图象关于 y轴对称 .则函数 P的解析式为 ( ) A.f(x)=2sin(x+6) B.f(x)=2sin(x+3) C.f(x)=2sin(2x+6) D.f(x)=2sin(2x+3) 解析：函数的图象上相邻两个最高点的距离为， 函数周期 T=，即 2T ，即 =2， 即 f(x)=2sin(2x+ )， 若 将 函 数 f(x) 的图象向左平移6个 单 位 长 度 后 ， 得22 3 226f x s i n x s i n x （ ） （ ） ） （ ）， 若图象关于 y 轴对称 . 则32k ， 即6 k k Z ， 0， 当 k=0 时， =
8、6， 即 f(x)=2sin(2x+6)， 答案： C. 二、填空题 (本小题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 ) 11.如图是一个算法的流程图，则当输入的值为 5 时，输出的值是 . 解析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出分段函数 22152 2 5xxy ， ，的值， 当 x=5 时， y=2 52+2=52， 答案： 52 12.如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，棱 BB1 长为 2 ，则二面角 B1-AC-B 的大小是 度 . 解析：连接 BD 交 AC 于 O，连接 B1O， 底面 ABCD
9、是边长为 2 的正方形， BO AC， 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中， B1B平面 ABCD AC平面 BBB1O， AC B1O， B1OB 是二面角 B1-AC-B 的平面角， 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，棱 BB1 长为 2 ， OB= 2 ， 则11 2 12BBt a n B O B BO ， 则 B1OB=45， 即二面角 B1-AC-B 的大小是 45， 答案： 45 . 13.已知 A、 B、 C 为 ABC 的三内角，若 12cos B C ，则 A= . 解析： ABC 中， 12c o s B C c o s A ，即 12cosA -， 23A
10、， 答案： 23. 14.若变量 x， y 满足约束条件 111xyyxx ，则 z=2x-y 的最小值为 . 解析：由约束条件 111xyyxx 作出可行域如图， 由图可知，最优解为 A， 联立 =1=1xyyx，解得 A(0， 1). z=2x-y 的最小值为 2 0-1=-1. 答案： -1. 15.方程 |x2-a|-x+2=0(a 0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 . 解析：方程 |x2-a|-x+2=0(a 0)有两个不等的实数根， 函数 y=|x2-a|(a 0)与函数 y=x-2 的图象有两个交点， 作函数 y=|x2-a|(a 0)与函数 y=x-2 的图象如
11、下， 结合图象可得， 存在 x 2 时， x2-a=0， 故 a 4； 答案： a 4. 三、解答题 (本大题共 5 小题，满分 40 分，解答须写出文字说明、证明过程或演算过程 ) 16.已知二次函数 f(x)=ax2-4x+c.若 f(x) 0 的解集是 (-1， 5) (1)求实数 a， c 的值； (2)求函数 f(x)在 x 0， 3上的值域 . 解析： (1)由不等式 f(x) 0 的解集是 (-1， 5)，可知二次不等式对应的方程的根，利用根与系数关系列式求 a 和 c 的值； (2)求出函数 f(x)的解析式后，借助于其图象分析函数在 0， 3上的单调性，运用单调性求函数 f(
12、x)在 x 0， 3上的值域 . 答案： (1)由 f(x) 0，得： ax2-4x+c 0， 不等式 ax2-4x+c 0 的解集是 (-1， 5)， 故方程 ax2-4x+c=0 的两根是 x1=-1， x2=5. 所以1 2 1 24 45cx x x xaa ， 所以 a=1， c=-5. (2)由 (1)知， f(x)=x2-4x-5=(x-2)2-9. x 0， 3， f(x)在 0， 2上为减函数，在 2， 3上为增函数 . 当 x=2 时， f(x)取得最小值为 f(2)=-9. 而当 x=0 时， f(0)=(0-2)2-9=-5，当 x=3 时， f(3)=(3-2)2-9
13、=-8 f(x)在 0， 3上取得最大值为 f(0)=-5. 函数 f(x)在 x 0， 3上的值域为 -9， -5. 17.已知向量 ( ) )2 2 2(332x x x xa c o s s i n b c o s s i n ， ， ，. (1)已知 /ab且 20x ，求 x； (2)若 f(x) ab ，写出 f(x)的单调递减区间 . 解析： (1)由 /ab，根据平行向量的坐标关系以及两角差的正弦公式即可得出 sinx=0，这样根据 x 的范围便可得出 x 的值； (2)进行向量数量积的坐标运算，根据两角差的余弦公式便可得出 f(x)=cosx，从而可以写出余弦函数的单调递减区
14、间 . 答案： (1) /ab； 33 =2 2 2 2x x x xc o s s i n s i n c o s 0，即 sinx=0； 20x ，； x=0； (2) 332 2 2 2x x x xf x a b c o s c o s s i n s i n c o s x （ ）； f(x)的单调递减区间为 2k， 2k + ， k Z. 18.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教，期中甲校 2 男 1 女，乙校 1 男 2 女 . ( )若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名，写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师性别相同的概率； ( )若从报名的 6 名教师中任选 2 名，
15、写出所有可能的结果，并求选出的 2 名教师来自同一学校的概率 . 解析：首先根据题意，将甲校的男教师用 A、 B 表示，女教师用 C 表示，乙校的男教师用 D表示，女教师用 E、 F 表示， ( )依题意，列举可得“从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名”以及“选出的 2 名教师性别相同”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案； ( )依题意，列举可得“从报名的 6 名教师中任选 2 名”以及“选出的 2 名教师同一个学校的有 6 种”的情况数目，由古典概型的概率公式计算可得答案 . 答案：甲校的男教师用 A、 B 表示，女教师用 C 表示，乙校的男教师用 D 表示，女教师用 E、F 表
16、示， ( )根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名， 有 (AD)， (AE)， (AF)， (BD)， (BE)， (BF)， (CD)， (CE)， (CF)，共 9 种； 其中性别相同的有 (AD)(BD)(CE)(CF)四种； 则选 出的 2 名教师性别相同的概率为 49P； ( )若从报名的 6 名教师中任选 2 名， 有 (AB)(AC)(AD)(AE)(AF)(BC)(BD)(BE)(BF)(CD)(CE)(CF)(DE)(DF)(EF)共 15 种； 其中选出的教师来自同一个学校的有 6 种； 则选出的 2 名教师来自同一学校的概率为 6 215 5P . 19.设数
17、列 an是公比为正数的等比数列， a1=2， a3-a2=12. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列 bn满足：3332nnnb lo g lo g a ，求数列 an+bn的前 n 项和 Sn. 解析： (1)设出等比数列的公比，由已知列式求出公比，直接代入等比数列的通项公式得答案； (2)把 an 2 3n-1 代入3332nnnb lo g lo g a ，化简后得到数列 bn的通项公式，然后利用分组求和求得数列 an+bn的前 n 项和 Sn. 答案： (1)设数列 an的公比为 q，由 a1=2， a3-a2=12， 得 2q2-2q-12=0，即 q2-q-6=0. 解得
18、 q=3 或 q=-2， q 0， q=-2 不合题意舍去， an 2 3n-1； (2)由3332nnnb lo g lo g a ，且 an 2 3n-1，得 1 2 133( 3 32)2 3 12 n nnnb l o g l o g n ， 数列 bn是首项 b1=1，公差 d=2 的等差数列， Sn=(a1+a2+ +an)+(b1+b2+ +bn)=2(3n?1)3?1+n(1+2n?1)2=3n-1+n2. 20.已知圆 O： x2+y2=4 和圆 C： x2+(y-4)2=1. ( )判断圆 O 和圆 C 的位置关系； ( )过圆 C 的圆心 C 作圆 O 的切线 l，求切线
19、 l 的方程； ( )过圆 C 的圆心 C 作动直线 m 交圆 O 于 A， B 两点 .试问：在以 AB 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆 P，使得圆 P 经过点 M(2， 0)？若存在，求出圆 P 的方程；若不存在，请说明理由 . 解析： ( )求出两圆的半径和圆心距，由此能判断两圆的位置关系 . ( )设切线 l 的方程为： y=kx+4，由圆心 O 到直线 l 的距离等于半径，能求出切线 l 的方程 . ( )当直线 m 的斜率不存在时，直线 m 经过圆 O 的圆心 O，由此得到圆 O 是满足题意的圆；当直线 m的斜率存在时，设直线 m： y=kx+4，由 2244xyy kx ，消
20、去 y整理，得 (1+k2)x2+8kx+12=0，由此求出存在以 AB 为直径的圆 P 满足题意 .从而能求出在以 AB 为直径的所有圆中，存在圆P： 5x2+5y2-16x-8y+12=0 或 x2+y2=4，使得圆 P 经过点 M(2， 0). 答案： ( )因为圆 O 的圆心 O(0， 0)，半径 r1=2，圆 C 的圆心 C(0， 4)，半径 r2=1， 所以圆 O 和圆 C 的圆心距 |OC|=|4-0| r1+r2=3， 所以圆 O 与圆 C 相离 . ( )设切线 l 的方程为： y=kx+4，即 kx-y+4=0， 所以 O 到 l 的距离20 0 4 21d k ，解得 3
21、k . 所以切线 l 的方程为 3 4 0 3 4 0x y x y 或 ( ) )当直线 m 的斜率不存在时，直线 m 经过圆 O 的圆心 O， 此时直线 m 与圆 O 的交点为 A(0， 2)， B(0， -2)， AB 即为圆 O 的直径，而点 M(2， 0)在圆 O 上， 即圆 O 也是满足题意的圆 )当直线 m 的斜率存在时，设直线 m： y=kx+4， 由 2244xyy kx ，消去 y 整理，得 (1+k2)x2+8kx+12=0， 由 =64k2-48(1+k2) 0，得 33kk 或 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则有 12 212 281121kxx
22、kxx k - 由得 221 2 1 2 1 2 1 2 21 6 44 4 4 1 6 1 ky y k x k x k x x k x x k ， 1 2 1 2 1 2 284 4 8 1y y k x k x k x x k ， 若存在以 AB 为直径的圆 P 经过点 M(2， 0)，则 MA MB，所以 0MA MB ， 因此 (x1-2)(x2-2)+y1y2=0， 即 x1x2-2(x1+x2)+4+y1y2=0， 则 22 2 21 6 1 6 412 401 1 1kkk k k ，所以 16k+32=0， k=-2，满足题意 . 此时以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0， 即 22 1 6 8 12 05 5 5x y x y ，亦即 5x2+5y2-16x-8y+12=0. 综上，在以 AB 为直径的所有圆中， 存在圆 P： 5x2+5y2-16x-8y+12=0 或 x2+y2=4，使得圆 P 经过点 M(2， 0).
