1、2016年湖南省岳阳市中考真题数学 一、选择题 (本大题 8 道小题，每小题 3分，满分 24分 ) 1.下列各数中为无理数的是 ( ) A.-1 B.3.14 C. D.0 解析： 是圆周率，是无限不循环小数，所以是无理数 .是无限不循环小数， 是无理数 . 答案 ： C. 2.下列运算结果正确的是 ( ) A.a2+a3=a5 B.(a2)3=a6 C.a2 a3=a6 D.3a-2a=1 解析： A、 a2与 a3不是同类项，不能合并，故错误； B、 (a2)3=a6，正确，符合题意； C、 a2 a3=a5，故错误； D、 3a-2a=a，故错误 . 答案 ： B. 3.函数 y= 4
2、x 中自变量 x的取值范围是 ( ) A.x 0 B.x 4 C.x 4 D.x 4 解析： 根据二次根式有意义的条件可得出 x-4 0，解该不等式即可得出结论 . x-4 0， x 4. 答案 ： D. 4.某小学校足球队 22 名队员年龄情况如下： 则这个队队员年龄的众数和中位数分别是 ( ) A.11， 10 B.11， 11 C.10， 9 D.10， 11 解析： 年龄是 11 岁的人数最多，有 10 个人，则众数是 11； 把这些数从小到大排列，中位数是第 11， 12个数的平均数，则中位数是 11 11 112 . 答案 ： B. 5.如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是 (
3、 ) A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.长方体 解析：几何体的主视图和俯视图都是宽度相等的长方形，该几何体是一个柱体， 又俯视图是一个圆，该几何体是一个圆柱 . 答案 ： A. 6.下列长度的三根小木棒能构成三角形的是 ( ) A.2cm， 3cm， 5cm B.7cm， 4cm， 2cm C.3cm， 4cm， 8cm D.3cm， 3cm， 4cm 解析： A、因为 2+3=5，所以不能构成三角形，故 A错误； B、因为 2+4 6，所以不能构成三角形，故 B错误； C、因为 3+4 8，所以不能构成三角形，故 C错误； D、因为 3+3 4，所以能构成三角形，故 D正确 . 答案 ： D.
4、 7.下列说法错误的是 ( ) A.角平分线上的点到角的两边的距离相等 B.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 C.菱形的对角线相等 D.平行四边形是中心对称图形 解析：角平分线上的点到角的两边的距离相等，选项 A正确； 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，选项 B正确； 菱形的对角线互相垂直，但是不一定相等，选项 C不正确； 平行四边形是中心对称图形，选项 D正确 . 答案 ： C 8.对于实数 a， b，我们定义符号 maxa， b的意义为：当 a b 时， maxa， b=a；当 a b时， maxa， b=b；如： max4， -2=4， max3， 3=3，若关于 x的函数为 y
5、=maxx+3， -x+1，则该函数的最小值是 ( ) A.0 B.2 C.3 D.4 解析：当 x+3 -x+1，即： x -1时， y=x+3，当 x=-1时， ymin=2， 当 x+3 -x+1，即： x -1时， y=-x+1， x -1， -x 1， -x+1 2， y 2， ymin=2. 答案 ： B 二、填空题 (本大题共 8小题，每小题 4分，满分 32分 ) 9.如图所示，数轴上点 A所表示的数的相反数是 . 解析：数轴上点 A所表示的数是 -2， -2的相反数是 2. 答案： 2 10.因式分解： 6x2-3x= . 解析： 6x2-3x=3x(2x-1). 答案： 3
6、x(2x-1) 11.在半径为 6cm的圆中， 120的圆心角所对的弧长为 cm. 解析： 半径为 6cm的圆中， 120的圆心角所对的弧长为： 120 6180=4 (cm). 答案： 4 . 12.为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资 124000 万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计 2016年建好主体工程，将 124000万元用科学记数法表示为 元 . 解析： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝
7、对值 1 时， n 是负数 .124000 万 =124000 0000=1.24 109. 答案： 1.24 109. 13.如图，四边形 ABCD 为 O的内接四边形，已知 BCD=110，则 BAD= 度 . 解析： 四边形 ABCD 为 O 的内接四边形， BCD+ BAD=180 (圆内接四边形的对角互补 )； 又 BCD=110， BAD=70 . 答案： 70. 14.如图，一山坡的坡度为 i=1： 3 ，小辰从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 200米到达点 B，则小辰上升了 米 . 解析：根据题意得 tan A= 1333BCAC ，所以 A=30，所以 BC=12AB=12
8、200=100(m). 答案 ： 100. 15.如图，一次函数 y=kx+b(k、 b 为常数，且 k 0)和反比例函数 y=4x(x 0)的图象交于 A、B两点，利用函数图象直接写出不等式 4x kx+b的解集是 . 解析：由图象可知： A(1， 4)， B(4， 1)， x 0，不等式 4x kx+b的解集为 1 x 4. 答案： 1 x 4. 16.如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为 1个单位长， P1， P2， P3，均在格点上，其顺序按图中“”方向排列，如： P1(0， 0)， P2(0， 1)， P3(1， 1)， P4(1， -1)，P5(-1， -1)， P6(
9、-1， 2)根据这个规律，点 P2016的坐标为 . 解析：由规律可得， 2016 4=504，点 P2016的在第四象限的角平分线上， 点 P4(1， -1)，点 P8(2， -2)，点 P12(3， -3)，点 P2016(504， -504). 答案 ： (504， -504). 三、解答题 (本大题共 8道小题，满分 64分 ) 17.计算： (13)-1- 12 +2tan60 -(2- 3 )0. 解析： 原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =3-2 3 +2 3 -1=2. 18.已知：如图，在矩形 ABCD
10、中，点 E在边 AB 上，点 F在边 BC 上，且 BE=CF， EF DF，求证： BF=CD. 解析：由四边形 ABCD 为矩形，得到四个角为直角，再由 EF与 FD 垂直，利用平角定义得到一对角互余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用 ASA得到三角形 BEF 与三角 形 CFD全等，利用全等三角形对应边相等即可得证 . 答案：四边形 ABCD 是矩形， B= C=90， EF DF， EFD=90， EFB+ CFD=90， EFB+ BEF=90， BEF= CFD， 在 BEF和 CFD中， B E F C F DB E C FBC ， BEF CFD(ASA)， BF=CD.
11、 19.已知不等式组 34.4233xxxx ，(1)求不等式组的解集，并写出它的所有整数解； (2)在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率 . 解析： (1)首先分别解不等式，然后求得不等式组的解集，继而求得它的所有整数解； (2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与积为正数的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)由得： x -2， 由得： x 2，不等式组的解集为： -2 x 2， 它的所有整数解为： -1， 0， 1， 2. (2)画树状图得： 共有 12种等可能的结果，积为正数的有 2种情况， 积为正
12、数的概率为： 2112 6. 20. 我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动 .已知学校与君山岛相距 24 千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的 2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了 3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米 /小时 . 解析：设学生步行的平均速度是每小时 x千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时 2.5x千米，根据学校与君山岛距离为 24 千米，服务人员所花时间比学生少用了 3.6 小时，可列方 求解 . 答案：设学生步行的平均速度是每小时 x千
13、米 . 服务人员骑自行车的平均速度是每小时 2.5x千米， 根据题意： 24 242.5xx=3.6，解得： x=3， 经检验， x=3是所列方程的解，且符合题意 . 答：学生步行的平均速度是每小时 3千米 . 21.某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年 365天中随机抽取了 80天的空气质量指数 (AQI)数据，绘制出三幅不完整的统计图表 .请根据图表中提供的信息解答下列问题： (1)统计表中 m= ， n= .扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %； (2)补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？ (3)据调查，严重
14、污染的 2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合 理化建议 . 解析： (1)由 A占 25%，即可求得 m的值，继而求得 n的值，然后求得空气质量等级为“良”的天数占的百分比； (2)首先由 (1)补全统计图，然后利用样本估计总体的知识求解即可求得答案； (3)提出合理建议，比如不燃放烟花爆竹或少燃放烟花爆竹等 . 答案： (1) m=80 25%=20， n=80-20-44-4-2-2=8， 空气质量等级为“良”的天数占： 4480 100%=55%. (2)估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共： 365 (25%+55%)=292
15、(天 )， 答：估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共 292天； 补全统计图： (3)建议不要燃放烟花爆竹 . 22.已知关于 x的方程 x2-(2m+1)x+m(m+1)=0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为 x=0，求代数式 (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5的值 (要求先化简再求值 ). 解析： (1)找出 a， b及 c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于 0，即可得证 . (2)把 x=0代入方程即可求 m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可 . 答案： (1)关于 x的一元二次方程 x2-(2m+1)x+m(
16、m+1)=0. =(2m+1)2-4m(m+1)=1 0，方程总有两个不相等的实数根； (2) x=0是此方程的一个根，把 x=0代入方程中得到 m(m+1)=0， m=0或 m=-1， 把 m=0或 m=-1代入 (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=4m2-4m+1+9-m2+7m-5=3m2+3m+5， 可得： (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=5，或 (2m-1)2+(3+m)(3-m)+7m-5=3-3+5=5. 23.数学活动 -旋转变换 (1)如图，在 ABC 中， ABC=130，将 ABC 绕点 C 逆时针旋转 50得到 A B C，连接 BB，求 A
17、 B B的大小； (2)如图，在 ABC中， ABC=150， AB=3， BC=5，将 ABC绕点 C逆时针旋转 60得到 A B C，连接 BB，以 A为圆心， A B长为半径作圆 . ( )猜想：直线 BB与 A的位置关系，并证明你的结论； ( )连接 A B，求线段 A B的长度； (3)如图，在 ABC中， ABC= (90 180 )， AB=m， BC=n，将 ABC 绕点 C逆时针旋转 2角度 (0 2 180 )得到 A B C，连接 A B和 BB，以 A为圆心， AB长为半径作圆，问：角与角满足什么条件时，直线 BB与 A相切，请说明理由，并求此条件下线段 A B 的长度
18、 (结果用角或角的三角函数及字母 m、 n所组成的式子表示 ) 解析： (1)根据 A B B= A B C- BB C，只要求出 A B B即可 . (2)( )结论：直线 BB、是 A的切线 .只要证明 A B B=90即可 .( )在 RT ABB中，利用勾股定理计算即可 . (3)如图中，当 + =180时，直线 BB、是 A的切线 .只要证明 A B B=90即可解决问题 .在 CBB中求出 BB，再在 RT A B B中利用勾股定理即可 . 答案： (1)如图中， A B C是由 ABC旋转得到， A B C= ABC=130， CB=CB， CBB = CB B， BCB =50
19、， CBB = CB B=65， A B B= A B C- BB C=65 . (2)( )结论：直线 BB、是 A的切线 . 理由：如图中， A B C= ABC=150， CB=CB， CBB = CB B， BCB =60， CBB = CB B=60， A B B= A B C- BB C=90 . AB BB， 直线 BB、是 A的切线 . ( )在 RT ABB中， AB B=90， BB =BC=5， AB =AB=3， A B= 22 34A B B B . (3)如图中，当 + =180时，直线 BB、是 A的切线 . 理由： A B C= ABC=， CB=CB， CBB
20、 = CB B， BCB =2， CBB = CB B=180 22 ， A B B= A B C- BB C= -90 + =180 -90 =90 . AB BB， 直线 BB、是 A的切线 . 在 CBB中 CB=CB =n， BCB =2， BB =2 nsin， 在 RT A BB中， A B= 2 2 2 2 24 s i nB B A B m n . 24.如图，直线 y=43x+4交于 x轴于点 A，交 y轴于点 C，过 A、 C两点的抛物线 F1交 x轴于另一点 B(1， 0). (1)求抛物线 F1所表示的二次函数的表达式； (2)若点 M是抛物线 F1位于第二象限图象上的
21、一点，设四边形 MAOC和 BOC的面积分别为 S四边形 MAOC和 S BOC，记 S=S 四边形 MAOC-S BOC，求 S最大时点 M的坐标及 S的最大值； (3)如图，将抛物线 F1沿 y 轴翻折并“复制”得到抛物线 F2，点 A、 B 与 (2)中所求的点 M的对应点分别为 A、 B、 M，过点 M作 M E x 轴于点 E，交直线 A C 于点 D，在 x轴上是否存在点 P，使得以 A、 D、 P 为顶点的三角形与 AB C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)利用一次函数的解析式求出点 A、 C的坐标，然后再利用 B点坐标即可求出二次函数的解析
22、式； (2)由于 M 在抛物线 F1 上，所以可设 M(a， -43a2-83a+4)，然后分别计算 S 四边形 MAOC和 S BOC，过点 M作 MD x轴于点 D，则 S 四边形 MAOC的值等于 ADM的面积与梯形 DOCM的面积之和 . (3)由于没有说明点 P 的具体位置，所以需要将点 P 的位置进行分类讨论，当点 P 在 A的右边时，此情况是不存在；当点 P在 A的左边时，此时 DA P= CAB，若以 A、 D、 P为顶点的三角形与 AB C相似，则分为以下两种情况进行讨论： DA ACPA AB ； DA ABPA AC. 答案： (1)令 y=0代入 y=43x+4， x=
23、-3， A(-3， 0)， 令 x=0，代入 y=43x+4， y=4， C(0， 4)， 设抛物线 F1 的解析式为： y=a(x+3)(x-1)， 把 C(0， 4)代入上式得， a=-43， y=-43x2-83x+4. (2)如图，设点 M(a， -43a2-83a+4)， 其中 -3 a 0， B(1， 0)， C(0， 4)， OB=1， OC=4， S BOC=12OB OC=2， 过点 M作 MD x轴于点 D， MD=-43a2-83a+4， AD=a+3， OD=-a， S 四边形 MAOC=12AD MD+12(MD+OC) OD =12AD MD+12OD MD+12O
24、D OC =12MD(AD+OD)+12OD OC =12MD OA+12OD OC =12 3(-43a2-83a+4)+12 4 (-a) =-2a2-6a+6， S=S 四边形 MAOC-S BOC =(-2a2-6a+6)-2 =-2a2-6a+4 =-2(a+32)2+172， 当 a=-32时， S有最大值，最大值为 172， 此时， M(-32， 5). (3)如图，由题意知： M (32， 5)， B (-1， 0)， A (3， 0)， AB =2， 设直线 A C的解析式为： y=kx+b， 把 A (3， 0)和 C(0， 4)代入 y=kx+b，得： 403bkb，44
25、3kb ， y=-43x+4， 令 x=32代入 y=-43x+4， y=2 D(32， 2) 由勾股定理分别可求得： AC=5， DA =52， 设 P(m， 0) 当 m 3时，此时点 P 在 A的左边， DA P= CAB， 当 DA ACPA AB 时， DA P CAB， 此时， 52=52(3-m)，解得： m=2， P(2， 0) 当 DA ABPA AC时， DA P B AC，此时， 52=52(3-m)， m=-134， P(-134， 0)， 当 m 3时，此时，点 P在 A右边， 由于 CB O DA E， AB C DA P 此情况， DA P与 B AC不能相似， 综上所述，当以 A、 D、 P为顶点的三角形与 AB C相似时，点 P的坐标为 (2， 0)或 (-134，0).
