1、2016年湖南省衡阳市中考 真题数学 一、选择题 (共 12小题，每小题 3分，满分 36 分 ) 1. -4的相反数是 ( ) A. 14B.14C.-4 D.4 解析：直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案 . -4的相反数是： 4. 答案： D. 2.如果分式 31x有意义，则 x的取值范围是 ( ) A.全体实数 B.x 1 C.x=1 D.x 1 解析：分式 31x有意义， x-1 0， 解得： x 1. 答案： B. 3.如图，直线 AB CD， B=50， C=40，则 E等于 ( ) A.70 B.80 C.90 D.100 解析：如图 AB C
2、D， 1= B=50， C=40， E=180 - B- 1=90 . 答案： C. 4.下列几何体中，哪一个几何体的三视图完全相同 ( ) A. B. C. D. 解析：根据各个几何体的三视图的图形易求解 . A、球体的三视图都是圆，故此选项正确； B、圆柱的主视图和俯视图都是矩形，但左视图是一个圆形，故此选项错误； C、四棱柱的主视图和左视图是一个三角形，俯视图是一个四边形，故此选项错误； D、圆锥的主视图和左视图是相同的，都为一个三角形，但是俯视图是一个圆形，故此选项错误 . 答案： A. 5.下列各式中，计算正确的是 ( ) A.3x+5y=8xy B.x3 x5=x8 C.x6 x3
3、=x2 D.(-x3)3=x6 解析：分别利用同底数幂的乘除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案 . A、 3x+5y，无法计算，故此选项错误； B、 x3 x5=x8，故此选项正确； C、 x6 x3=x3，故此选项错误； D、 (-x3)3=-x9，故此选项错误 . 答案： B. 6.为缓解中低收入人群和新参加工作的大学生住房的需求，某市将新建保障住房 3600000套，把 3600000用科学记数法表示应是 ( ) A.0.36 107 B.3.6 106 C.3.6 107 D.36 105 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 1
4、0， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值大于 10时， n是正数；当原数的绝对值小于 1时， n是负数 . 3600000=3.6 106. 答案： B. 7.要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的( ) A.平均数 B.中位数 C.众数 D.方差 解析：根据方差的 意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立 .标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最
5、近连续几次数学考试成绩的方差 . 答案： D 8.正多边形的一个内角是 150，则这个正多边形的边数为 ( ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析： 一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数 ： 180 -150 =30 . 根据任何多边形的外角和都是 360度，利用 360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数 ： 360 30 =12. 则这个正多边形是正十二边形 . 答案 ： C. 9.随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止 2015年底某市汽车拥有量为 1
6、6.9万辆 .己知 2013年底该市汽车拥有量为 10 万辆，设 2013 年底至 2015 年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x，根据题意列方程得 ( ) A.10(1+x)2=16.9 B.10(1+2x)=16.9 C.10(1-x)2=16.9 D.10(1-2x)=16.9 解析：设 2013年底至 2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为 x， 根据题意，可列方程： 10(1+x)2=16.9. 答案： A. 10.关于 x的一元二次方程 x2+4x+k=0有两个相等的实根，则 k的值为 ( ) A.k=-4 B.k=4 C.k -4 D.k 4 解析：一元二次方程 x2+4x+k
7、=0有两个相等的实根， =42-4k=0， 解得： k=4. 答案： B. 11.下列命题是假命题的是 ( ) A.经过两点有且只有一条直线 B.三角形的中位线平行且等于第三边的一半 C.平行四边形的对角线相等 D.圆的切线垂直于经过切点的半径 解析：根据直线公理、三角形中位线定理、切线性质定理即可判断 A、 B、 D正确 . A、经过两点有且只有一条直线，正确 . B、三角形的中位线平行且等于第三边的一半，正确 . C、平行四边形的对角线相等，错误 .矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等 . D、圆的切线垂直于经过切点的半径，正确 . 答案： C. 12.如图，已知 A， B是反比
8、例函数 kyx(k 0， x 0)图象上的两点， BC x轴，交 y轴于点 C，动点 P从坐标原点 O出发，沿 O A B C(图中“”所示路线 )匀速运动，终点为 C，过 P作 PM x轴，垂足为 M.设三角形 OMP的面积为 S， P点运动时间为 t，则 S关于 x的函数图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析：设 AOM=，点 P运动的速度为 a， 当点 P从点 O运动到点 A的过程中， 22( ) ( ) 12 2a t c o s a t s i nS a c o s s i n t ， 由于及 a均为常量，从而可知图象本段应为抛物线，且 S随着 t的增大而增大； 当点 P从
9、 A运动到 B时，由反比例函数性质可知 OPM的面积为 12k，保持不变， 故本段图象应为与横轴平行的线段； 当点 P从 B运动到 C过程中， OM 的长在减少， OPM 的高与在 B点时相同， 故本段图象应该为一段下降的线段 . S关于 x的函数图象大致为 . 答案： A. 二、填空题 (共 6小题，每小题 3分，满分 18分 ) 13.因式分解： a2+ab= . 解析：直接把公因式 a 提出来即可 . a2+ab=a(a+b). 答案： a(a+b). 14.计算： 111xxx. 解析：由于两分式的分母相同，分子不同，故根据同分母的分式相加减的法则进行计算即可 . 原式 1 11xx.
10、 答案： 1. 15.点 P(x-2， x+3)在第一象限，则 x的取值范围是 . 解析：点 P(x-2， x+3)在第一象限， 2030xx， 解得： x 2. 答案： x 2. 16.若 ABC与 DEF相似且面积之比为 25： 16，则 ABC与 DEF的周长之比为 . 解析： 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比求解 . ABC与 DEF相似且面积之比为 25： 16， ABC与 DEF的相似比为 5： 4； ABC与 DEF的周长之比为 5： 4. 答案 ： 5:4. 17.若圆锥底面圆的周长为 8，侧面展开图的圆心角为 90，则该圆锥
11、的母线长为 . 解析：设该圆锥的母线长为 l， 根据题意得 908180l ，解得 l=16， 即该圆锥的母线长为 16. 答案： 16. 18.如图所示， 1条直线将平面分成 2个部分， 2条直线最多可将平面分成 4个部分， 3条直线最多可将平面分成 7 个部分， 4条直线最多可将平面分成 11个部分 .现有 n条直线最多可将平面分成 56个部分，则 n的值为 . 解析：依题意有 12n(n+1)+1=56， 解得 x1=-11(不合题意舍去 )， x2=10. 答： n的值为 10. 答案： 10. 三、解答题 (共 8小题，满分 66分 ) 19.先化简，再求值： (a+b)(a-b)+
12、(a+b)2，其中 a=-1， b=12. 解析：原式利用平方差公式、完全平方公式展开后再合并同类项即可化简，将 a、 b 的值代入求值即可 . 答案：原式 =a2-b2+a2+2ab+b2=2a2+2ab， 当 a=-1， b=12时， 原式 =2 (-1)2+2 (-1) 12=2-1=1. 20.为庆祝建党 95周年，某校团委计划在“七一”前夕举行“唱响红歌”班级歌咏比赛，要确定一首喜欢人数最多的歌曲为每班必唱歌曲 .为此提供代号为 A， B， C， D四首备选曲目让学生选择，经过抽样调查，并将采集的数据绘制如下两幅不完整的统计图 .请根据图，图所提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽
13、样调查中，选择曲目代号为 A的学生占抽样总数的百分比为 . 解析： (1)根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比 . 由题意可得， 本次抽样调查中，选择曲目代号为 A 的学生占抽样总数的百分比为： 36 (30 60 360 ) 100%=20%. 答案： (1)20%. (2)请将图补充完整 . 解析： (2)根据条形统计图和扇形统计图可以求得选择 C的人数，从而可以将图补充完整 . 答案： (2)由题意可得， 选择 C的人数有： 603 0 3 6 3 0 4 4 7 0360 (人 ). 故补全的图如下图所示 . (3)若该校共有 1530名学生，
14、根据抽样调查的结果估计全校共有多少学生选择此必唱歌曲？(要有解答过程 ). 解析： (3)根据条形统计图和扇形统计图可以估计全校选择此必唱歌曲的人数 . 答案： (3)由题意可得， 全校选择此必唱歌曲共有： 701 5 3 0 5 9 56030 360(人 ). 即全校共有 595名学生选择此必唱歌曲 . 21.如图，点 A、 C、 D、 B四点共线，且 AC=BD， A= B， ADE= BCF，求证： DE=CF. 解析：求出 AD=BC，根据 ASA推出 AED BFC，根据全等三角形的性质得出即可 . 答案： AC=BD， AC+CD=BD+CD， AD=BC， 在 AED和 BFC
15、中， ABA D B CA D E B C F， AED BFC(ASA)， DE=CF. 22.在四张背面完全相同的纸牌 A、 B、 C、 D，其中正面分别画有四个不同的几何图形 (如图 )，小华将这 4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸一张 . (1)用树状图 (或列表法 )表示两次摸牌所有可能出现的结果 (纸牌可用 A、 B、 C、 D表示 ). 解析： (1)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果 . 答案： (1)画树状图得： 则共有 16种等可能的结果 . (2)求摸出两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率 . 解析： (2)由
16、既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4 种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案： (2)既是中心对称又是轴对称图形的只有 B、 C， 既是轴对称图形又是中心对称图形的有 4种情况， 既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为： 41614. 23.为保障我国海外维和部队官兵的生活，现需通过 A港口、 B港口分别运送 100 吨和 50吨生活物资 .已知该物资在甲仓库存有 80吨，乙仓库存有 70 吨，若从甲、乙两仓库运送物资到港口的费用 (元 /吨 )如表所示： (1)设从甲仓库运送到 A港口的物资为 x吨，求总运费 y(元 )与 x(吨 )之间的函数关系式，并写出 x的取值范围 .
17、解析： (1)根据题意表示出甲仓库和乙仓库分别运往 A、 B 两港口的物资数，再由等量关系：总运费 =甲仓库运往 A港口的费用 +甲仓库运往 B港口的费用 +乙仓库运往 A港口的费用 +乙仓库运往 B港口的费用列式并化简；最后根据不等式组 080 030 0100 0xxxx 得出 x的取值 . 答案： (1)设从甲仓库运 x吨往 A港口，则从甲仓库运往 B港口的有 (80-x)吨， 从乙仓库运往 A港口的有 (100-x)吨，运往 B港口的有 50-(80-x)=(x-30)吨， 所以 y=14x+20(100-x)+10(80-x)+8(x-30)=-8x+2560， x的取值范围是 30
18、 x 80. (2)求出最低费用，并说明费用最低时的调配方案 . 解析： (2)因为所得的函数为一次函数，由增减性可知： y 随 x 增大而减少，则当 x=80 时，y最小，并求出最小值，写出运输方案 . 答案： (2)由 (1)得 y=-8x+2560y随 x增大而减少，所以当 x=80时总运费最小， 当 x=80时， y=-8 80+2560=1920， 此时方案为：把甲仓库的全部运往 A 港口，再从乙仓库运 20 吨往 A 港口，乙仓库的余下的全部运往 B港口 . 24.在某次海上军事学习期间，我军为确保 OBC 海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在 O、B、 C 处监控 OBC 海域，在
19、雷达显示图上，军舰 B 在军舰 O 的正东方向 80 海里处，军舰 C在军舰 B 的正北方向 60 海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为 r的圆形区域 .(只考虑在海平面上 的探测 ) (1)若三艘军舰要对 OBC海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径 r至少为多少海里？ 解析： (1)求出 OC，由题意 r 12OC，由此即可解决问题 . 答案： (1)在 RT OBC 中， BO=80， BC=60， OBC=90， 2 2 2 28 0 6 0 1 0 0O C O B B C ， 11221 0 0 5 0OC 雷达的有效探测半径 r至少为 50海里 .
20、 (2)现有一艘敌舰 A从东部接近 OBC海域，在某一时刻军舰 B测得 A位于北偏东 60方向上，同时军舰 C测得 A 位于南偏东 30方向上，求此时敌舰 A离 OBC海域的最短距离为多少海里？ 解析： (2)作 AM BC于 M，求出 AM即可解决问题 . 答案： (2)作 AM BC于 M， ACB=30， CBA=60， CAB=90， 32 01A B B C， 在 RT ABM中， AMB=90， AB=30， BAM=30， 12 51B M A B， 1533A M B M. 此时敌舰 A离 OBC 海域的最短距离为 153海里 . (3)若敌舰 A沿最短距离的路线以 20 2
21、海里 /小时的速度靠近 OBC海域，我军军舰 B沿北偏东 15的方向行进拦截，问 B军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰 A？ 解析： (3)假设 B 军舰在点 N 处拦截到敌舰 .在 BM 上取一点 H，使得 HB=HN，设 MN=x，先列出方程求出 x，再求出 BN、 AN利用不等式解决问题 . 答案： (3)假设 B军舰在点 N处拦截到敌舰 .在 BM上取一点 H，使得 HB=HN，设 MN=x， HBN= HNB=15， MHN= HBN+ HNB=30， HN=HB=2x， MH= 3 x， BM=15， 15= 3 x+2x， x=30-15 3 ， AN=30 3 -30，
22、 22 65 21B N M N B M ，设 B军舰速度为 a海里 /小时， 由题意 15 3062 32 2300a ， a 20. B军舰速度至少为 20海里 /小时 . 25.在平面直角坐标中， ABC三个顶点坐标为 A( 3 ， 0)、 B( 3 ， 0)、 C(0， 3). (1)求 ABC内切圆 D 的半径 . 解析： (1)由 A、 B、 C三点坐标可知 CBO=60，又因为点 D是 ABC的内心，所以 BD 平分 CBO，然后利用锐角三角函数即可求出 OD 的长度 . 答案： (1)连接 BD， B( 3 ， 0)， C(0， 3)， OB= 3 ， OC=3， 3OCta
23、n C B OOB ， CBO=60 点 D是 ABC的内心， BD平分 CBO， DBO=30， ODtan D B OOB， OD=1， ABC内切圆 D的半径为 1. (2)过点 E(0， -1)的直线与 D相切于点 F(点 F在第一象限 )，求直线 EF的解析式 . 解析： (2)根据题意可知， DF 为半径，且 DFE=90，过点 F 作 FG y 轴于点 G，求得 FG和 OG的长度，即可求出点 F 的坐标，然后将 E和 F的坐标代入一次函数解析式中，即可求出直线 EF的解析式 . 答案： (2)连接 DF， 过点 F作 FG y轴于点 G， E(0， -1) OE=1， DE=2
24、， 直线 EF与 D相切， DFE=90， DF=1， DFsin D E FDE， DEF=30， GDF=60， 在 Rt DGF中， DFG=30， 12DG， 由勾股定理可求得： 32GF， F( 32， 12)， 设直线 EF的解析式为： y=kx+b， 13221bkb ， 直线 EF的解析式为： 3 1yx. (3)以 (2)为条件， P为直线 EF上一点，以 P为圆心，以 2 7 为半径作 P.若 P上存在一点到 ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心 P的坐标 . 解析： (3) P上存在一点到 ABC三个顶点的距离相等，该点是 ABC的外接圆圆心，即为点 D，所以 DP=2
25、7 ，又因为点 P 在直线 EF 上，所以这样的点 P 共有 2 个，且由勾股定理可知 PF=3 3 . 答案： (3)如图 P上存在一点到 ABC三个顶点的距离相等， 该点必为 ABC外接圆的圆心， 由 (1)可知： ABC是等边三角形， ABC外接圆的圆心为点 D DP=2 7 ， 设直线 EF与 x轴交于点 H， 令 y=0代入 3 1yx， 33x， H( 33， 0)， 33FH， 当 P在 x轴上方时， 过点 P1作 P1M x轴于 M， 由勾股定理可求得： P1F=33， 111 30 3P H P F F H ， DEF= HP1M=30， 15 3132H M P H， P1
26、M=5， 32OM ， P1(23 ， 5)， 当 P在 x轴下方时， 过点 P2作 P2N x轴于点 N， 由勾股定理可求得：2 33PF， 22 338P H P F F H ， DEF=30 OHE=60 22PNsin O H E PH， P2N=4， 令 y=-4代入 3 1yx， 3x ， P2( 3 ， -4)， 综上所述，若 P 上存在一点到 ABC 三个顶点的距离相等，此时圆心 P 的坐标为 (23 ，5)或 ( 3 ， -4). 26.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 经过 ABC 的三个顶点，与 y 轴相交于 (0， 94)，点 A 坐标为(-1， 2)，点 B是点 A
27、 关于 y轴的对称点，点 C在 x轴的正半轴上 . (1)求该抛物线的函数关系表达式 . 解析： (1)易得抛物线的顶点为 (0， 94)，然后只需运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式 . 答案： (1)点 B是点 A关于 y轴的对称点， 抛物线的对称轴为 y 轴， 抛物线的顶点为 (0， 94)， 故抛物线的解析式可设为 2 94y ax. A(-1， 2)在抛物线 2 94y ax上， 4 29a， 解得 14a， 抛物线的函数关系表达式为 21944yx . (2)点 F为线段 AC上一动点，过 F作 FE x轴， FG y轴，垂足分别为 E、 G，当四边形 OEFG为正方形时
28、，求出 F点的坐标 . 解析： (2)当点 F在第一象限时，如图 1，可求出点 C的坐标，直线 AC的解析式，设正方形 OEFG 的边长为 p，则 F(p， p)，代入直线 AC 的解析式，就可求出点 F 的坐标；当点 F在第二象限时，同理可求出点 F的坐标，此时点 F不在线段 AC 上，故舍去 . 答案： (2)当点 F在第一象限时，如图 1， 令 y=0得， 2 01944x ， 解得： x1=3， x2=-3， 点 C的坐标为 (3， 0). 设直线 AC的解析式为 y=mx+n， 则有 =23 =0mnmn， 解得1232mn ， 直线 AC的解析式为 1322yx . 设正方形 OE
29、FG的边长为 p，则 F(p， p). 点 F(p， p)在直线 1322yx 上， 1322pp ， 解得 p=1， 点 F的坐标为 (1， 1). 当点 F在第二象限时， 同理可得：点 F的坐标为 (-3， 3)， 此时点 F不在线段 AC 上，故舍去 . 综上所述：点 F的坐标为 (1， 1). (3)将 (2)中的正方形 OEFG沿 OC向右平移，记平移中的正方形 OEFG为正方形 DEFG，当点 E和点 C重合时停止运动，设平移的距离为 t，正方形的边 EF 与 AC交于点 M， DG 所在的直线与 AC交于点 N，连接 DM，是否存在这样的 t，使 DMN是等腰三角形？若存在，求
30、t的值；若不存在请说明理由 . 解析： (3)过点 M作 MH DN 于 H，如图 2，由题可得 0 t 2.然后只需用 t的式子表示 DN、DM2、 MN2，分三种情况 ( DN=DM， ND=NM， MN=MD)讨论就可解决问题 . 答案： (3)过点 M作 MH DN 于 H，如图 2， 则 OD=t， OE=t+1. 点 E和点 C重合时停止运动， 0 t 2. 当 x=t时， 1322yt ，则 N(t， 1322t)， 1322D N t . 当 x=t+1时， 1 3 122 121y t t ，则 M(t+1， 1 t+1)， 1 12ME t . 在 Rt DEM中， 22 2 21 241112D M t t t . 在 Rt NHM中， MH=1， 1 3 1 12 2 2 21N H t t ， 22241152MN . DN=DM时， 2213 212 2 4t t t ， 解得 12t； 当 ND=NM时， 1 3 522 245t ， 解得 3 5t ； 当 MN=MD时， 24 2514 tt ， 解得 t1=1， t2=3. 0 t 2， t=1. 综上所述：当 DMN是等腰三角形时， t的值为 12， 3 5 或 1.
