1、2016年湖南省邵阳市中考真题数学 一、选择题：本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分 1.- 2 的相反数是 ( ) A. 2 B.- 22C.- 2 D.-2 解析： 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 .- 2 的相反数是 2 . 答案 ： A. 2. 下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； B、是中心对称图形，故本选项错误； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确 . 答案 ： D. 3.如图所示，直线 AB、 CD被直线 EF所截，
2、若 AB CD， 1=100，则 2的大小是 ( ) A.10 B.50 C.80 D.100 解析 ： AB CD， 3= 1=100， 2=180 - 3=80 . 答案 ： C. 4.在学校演讲比赛中， 10名选手的成绩统计图如图所示，则这 10名选手成绩的众数是 ( ) A.95 B.90 C.85 D.80 解析 ：根据折线统计图可得： 90 分的人数有 5个，人数最多，则众数是 90. 答案 ： B. 5.一次函数 y=-x+2的图象不经过的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析 ： 一次函数 y=-x+2中 k=-1 0， b=2 0，该函数
3、图象经过第一、二、四象限 . 答案 ： C. 6.分式方程 341xx 的解是 ( ) A.x=-1 B.x=1 C.x=2 D.x=3 解析 ： 两边都乘以 x(x+1)得： 3(x+1)=4x， 去括号，得： 3x+3=4x， 移项、合并，得： x=3， 经检验 x=3是原分式方程的解 . 答案 ： D. 7.一元二次方程 2x2-3x+1=0 的根的情况是 ( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 解析 ： =b2-4ac=(-3)2-4 2 1=1 0，该方程有两个不相等的实数根 . 答案 ： B. 8.如图所示，点 D是 ABC的边
4、 AC 上一点 (不含端点 )， AD=BD，则下列结论正确的是 ( ) A.AC BC B.AC=BC C. A ABC D. A= ABC 解析 ： AD=BD， A= ABD， ABC A，所以 C选项和 D选项错误； AC BC，所以 A选项正确； B选项错误 . 答案 ： A. 9.如图所示， AB是 O 的直径，点 C为 O外一点， CA， CD是 O的切线， A， D为切点，连接 BD， AD.若 ACD=30，则 DBA的大小是 ( ) A.15 B.30 C.60 D.75 解析 ：连接 OD， CA， CD是 O的切线， OA AC， OD CD， OAC= ODC=90，
5、 ACD=30， AOD=360 - C- OAC- ODC=150， OB=OD， DBA= ODB=12 AOD=75 . 答案 ： D. 10.如图所示，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中 y与 n之间的关系是 ( ) A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.y=2n+n+1 解析 ：观察可知：左边三角形的数字规律为： 1， 2， n， 右边三角形的数字规律为： 2， 22， 2n， 下边三角形的数字规律为： 1+2， 2+22， n+2n， y=2n+n. 答案 ： B. 二、填空题：本大题共 8小题，每小题 3分，共 24
6、分 11.将多项式 m3-mn2因式分解的结果是 . 解析 ： 原式 =m(m2-n2)=m(m+n)(m-n). 答案： m(m+n)(m-n) 12.学校射击队计划从甲、乙两人中选拔一人参加运动会射击比赛，在选拔过程中，每人射击 10次，计算他们的平均成绩及方差如下表： 请你根据上表中的数据选一人参加比赛，最适合的人选是 . 解析 ：因为 S 甲 2=0.035 S 乙 2=0.015，方差小的为乙，所以本题中成绩比较稳定的是乙 . 答案 ： 乙 . 13.将等边 CBA绕点 C顺时针旋转得到 CB A，使得 B， C， A三点在同一直线上，如图所示，则的大小是 . 解析 ： 三角形 AB
7、C是等边三角形， ACB=60， 等边 CBA绕点 C顺时针旋转得到 CB A，使得 B， C， A三点在同一直线上， BCA=180， BCA=60， ACB=60， =60 +60 =120， 答案： 120 . 14.已知反比例函数 y=kx(k 0)的图象如图所示，则 k的值可能是 (写一个即可 ). 解析 ： 双曲线的两支分别位于第二、第四象限， k 0， k可取 -1. 答案 ： -1. 15.不等式组 105 3 4xxx ，的解集是 . 解析 ： 105 3 4xxx ， ，由得， x 1，由得， x -2，故不等式组的解集为： -2 x 1. 答案 ： -2 x 1. 16.
8、2015年 7月，第四十五届“世界超级计算机 500 强排行榜”榜单发布，我国国防科技大学研制的“天河二号”以每秒 3386 1013次的浮点运算速度第五次蝉联冠军，若将 33861013用科学记数法表示成 a 10n的形式，则 n的值是 . 解析 ： 3386 1013=3.386 1016，则 n=16. 答案： 16. 17.如图所示，四边形 ABCD的对角线相交于点 O，若 AB CD，请添加一个条件 (写一个即可 )，使四边形 ABCD是平行四边形 . 解析 ： 可以添加： AD BC(答案不唯一 ). 答案： AD BC. 18.如图所示，在 3 3 的方格纸中，每个小方格都是边长
9、为 1的正方形，点 O， A， B均为格点，则扇形 OAB的面积大小是 . 解析 ：每个小方格都是边长为 1的正方形， OA=OB= 221 2 5， S 扇形 OAB= 29 0 5 9 0 5 53 6 0 3 6 0 4 . 答案 ： 54. 三、解答题：本大题共 3小题，每小题 8分，共 24 分 19.计算： (-2)2+2cos60 -( 10 - )0. 解析： 原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂法则计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =4+2 12-1=4+1-1=4. 20.先化简，再求值： (m-n)2-m(m-2n)，其中 m= 3 ， n= 2 . 解
10、析： 原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把 m与 n的值代入计算即可求出值 . 答案 ： 原式 =m2-2mn+n2-m2+2mn=n2，当 n= 2 时，原式 =2. 21.如图所示，点 E， F 是平行四边形 ABCD对角线 BD 上的点， BF=DE，求证： AE=CF. 解析：根据平行四边形的性质可得 AD BC， AD=BC，根据平行线的性质可得 EDA= FBC，再加上条件 ED=BF可利用 SAS判定 AED CFB，进而可得 AE=CF. 答案：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， AD=BC， EDA= FBC，在 AED和
11、 CFB中， A D B CA D E C B FB F D E ， AED CFB(SAS)， AE=CF. 四、解答题：本大题共 3小题，每小题 8分，共 24 分 22.如图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂 AO 长为 40cm，与水平面所形成的夹角 OAM 为 75 .由光源 O 射出的边缘光线 OC， OB 与水平面所形成的夹角 OCA， OBA分别为 90和 30，求该台灯照亮水平面的宽度 BC(不考虑其他因素，结果精确到 0.1cm.温馨提示： sin75 0.97， cos75 0.26， 3 1.73). 解析：根据 sin75 =40OC OCOA，求出 OC的长
12、，根据 tan30 =OCBC，再求出 BC的长，即可求解 . 答案：在直角三角形 ACO中， sin75 =40OC OCOA 0.97，解得 OC 38.8， 在直角三角形 BCO中， tan30 = 3 8 .8 1 .7 33OCB C B C，解得 BC 67.3. 答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 大约是 67.3cm. 23.为了响应“足球进校园”的目标，某校计划为学校足球队购买一批足球，已知购买 2 个A品牌的足球和 3个 B 品牌的足球共需 380元；购买 4个 A品牌的足球和 2个 B品牌的足球共需 360元 . (1)求 A， B两种品牌的足球的单价 . (2)求该校购买
13、 20个 A 品牌的足球和 2个 B品牌的足球的总费用 . 解析： (1)设一个 A品牌的足球需 x元，则一个 B品牌的足球需 y元，根据“购买 2个 A品牌的足球和 3个 B品牌的足球共需 380元；购买 4个 A品牌的足球和 2个 B品牌的足球共需360元”列出方程组并解答； (2)把 (1)中的数据代入求值即可 . 答案 ： (1)设一个 A品牌的足球需 x元，则一个 B 品牌的足球需 y元， 依题意得： 2 3 3804 2 360xyxy，解得 40100xy，答：一个 A品牌的足球需 40元，则一个 B品牌的足球需 100元 . (2)依题意得： 20 40+2 100=280(元
14、 ). 答：该校购买 20 个 A 品牌的足球和 2个 B品牌的足球的总费用是 280元 . 24.为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学教学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图 . 请结合图中信息，解决下列问题： (1)求此次调查中接受调查的人数 . (2)求此次调查中结果为非常满意的人数 . (3)兴趣小组准备从调查结果为不满意的 4 位市民中随机选择 2 为进行回访，已知 4 为市民中有 2位来自甲区，另 2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率 . 解
15、析： (1)由满意的有 20人，占 40%，即可求得此次调查中接受调查的人数 . (2)由 (1)，即可求得此次调查中结果为非常满意的人数 . (3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自甲区的情况，再利用概率公式即可求得答案 . 答案： (1)满意的有 20人，占 40%， 此次调查中接受调查的人数： 20 40%=50(人 ). (2)此次调查中结果为非常满意的人数为： 50-4-8-20=18(人 )； (3)画树状图得： 共有 12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有 2种情况， 选择的市民均来自甲区的概率为： 2112 6. 五、综合题：本大题
16、共 2小题，其中 25题 8分， 26 题 10 分，共 18 分 25.尤秀同学遇到了这样一个问题：如图 1 所示，已知 AF， BE 是 ABC 的中线，且 AF BE，垂足为 P，设 BC=a， AC=b， AB=c.求证： a2+b2=5c2. 该同学仔细分析后，得到如下解题思路： 先连接 EF，利用 EF为 ABC的中位线得到 EPF BPA，故 12EP PF EFBP PA BA，设 PF=m，PE=n，用 m， n把 PA， PB分别表示出来，再在 Rt APE， Rt BPF中利用勾股定理计算，消去 m， n即可得证 . (1)请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程 .
17、(2)利用题中的结论，解答下列问题： 在边长为 3的菱形 ABCD中， O为对角线 AC， BD的交点， E， F分别为线段 AO， DO的中点，连接 BE， CF 并延长交于点 M， BM， CM分别交 AD于点 G， H，如图 2所示，求 MG2+MH2的值 . 解析： (1)设 PF=m， PE=n，连结 EF，如图 1，根据三角形中位线性质得 EF AB， EF=12c，则可判断 EFP BPA，利用相似比得到 PB=2n， PA=2m，接着根据勾股定理得到 n2+4m2=14b2， m2+4n2=14a2，则 5(n2+m2)=14(a2+b2)，而 n2+m2=EF2=14c2，所
18、以 a2+b2=5c2； (2)利用 (1)的结论得 MB2+MC2=5BC2=5 32=45，再利用 AEG CEB 可计算出 AG=1，同理可得 DH=1，则 GH=1，然后利用 GH BC，根据平行线分线段长比例定理得到 MB=3GM， MC=3MH，然后等量代换后可得 MG2+MH2=5. 答案： (1)设 PF=m， PE=n，连结 EF，如图 1， AF， BE是 ABC的中线， EF为 ABC的中位线， AE=12b， BF=12a， EF AB， EF=12c， EFP BPA， 12E P P F E FB P P A B A，即 nPB=mPA=12， PB=2n， PA=
19、2m， 在 Rt AEP中， PE2+PA2=AE2， n2+4m2=14b2， 在 Rt AEP中， PF2+PB2=BF2， m2+4n2=14a2， +得 5(n2+m2)=14(a2+b2)， 在 Rt EFP中， PE2+PF2=EF2， n2+m2=EF2=14c2， 5 14c2=14(a2+b2)， a2+b2=5c2； (2)四边形 ABCD为菱形， BD AC， E， F分别为线段 AO， DO 的中点， 由 (1)的结论得 MB2+MC2=5BC2=5 32=45， AG BC， AEG CEB， 13AG AEBC CE， AG=1，同理可得 DH=1， GH=1， G
20、H BC， 13M G M H G HM B M C B C ， MB=3GM， MC=3MH， 9MG2+9MH2=45， MG2+MH2=5. 26.已知抛物线 y=ax2-4a(a 0)与 x轴相交于 A， B两点 (点 A在点 B的左侧 )，点 P是抛物线上一点，且 PB=AB， PBA=120，如图所示 . (1)求抛物线的解析式 . (2)设点 M(m， n)为抛物线上的一个动点，且在曲线 PA上移动 . 当点 M 在曲线 PB 之间 (含端点 )移动时，是否存在点 M 使 APM 的面积为 532？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明理由 . 当点 M在曲线 BA之间 (含端
21、点 )移动时，求 |m|+|n|的最大值及取得最大值时点 M的坐标 . 解析： (1)先求出 A、 B 两点坐标，然后过点 P作 PC x轴于点 C，根据 PBA=120， PB=AB，分别求出 BC 和 PC的长度即可得出点 P的坐标，最后将点 P的坐标代入二次函数解析式 ； (2)过点 M作 ME x 轴于点 E，交 AP于点 D，分别用含 m的式子表示点 D、 M的坐标，然后代入 APM的面积公式 12DM AC，根据题意列出方程求出 m的值； 根据题意可知： n 0，然后对 m的值进行分类讨论，当 -2 m 0时， |m|=-m；当 0 m 2时， |m|=m，列出函数关系式即可求得
22、|m|+|n|的最大值 . 答案： (1)如图 1，令 y=0代入 y=ax2-4a， 0=ax2-4a， a 0， x2-4=0， x= 2， A(-2， 0)， B(2， 0)， AB=4， 过点 P作 PC x轴于点 C， PBC=180 - PBA=60， PB=AB=4， cos PBC=BCPB， BC=2， 由勾股定理可求得： PC=2 3 ， OC=OC+BC=4， P(4， 2 3 )， 把 P(4， 2 3 )代入 y=ax2-4a， 2 3 =16a-4a， a= 36， 抛物线解析式为； y= 36x2- 233. (2)点 M在抛物线上， n= 36m2- 233，
23、M 的坐标为 (m， 36m2- 233)， 当点 M在曲线 PB之间 (含端点 )移动时， 2 m 4， 如图 2，过点 M作 ME x轴于点 E，交 AP 于点 D， 设直线 AP的解析式为 y=kx+b， 把 A(-2， 0)与 P(4， 2 3 )代入 y=kx+b， 得： 02243kbkb ，解得33233.kb ，直线 AP的解析式为： y= 33x+233， 令 x=m代入 y= 33x+233， y= 33m+233， D的坐标为 (m， 33m+233)， DM=( 33m+233)-( 36m2- 233)=- 36m2+ 33m+4 33， S APM=12DM AE+
24、12DM CE=12DM(AE+CE)=12DM AC=- 32m2+ 3 m+4 3 . 当 S APM=5 32时， 5 32=- 32m2+ 3 m+4 3 ， 解得 m=3或 m=-1， 2 m 4， m=3， 此时， M的坐标为 (3， 536)； 当点 M在曲线 BA之间 (含端点 )移动时， -2 m 2， n 0， 当 -2 m 0时， |m|+|n|=-m-n=- 36m2-m+233=- 36(m+ 3 )2+736， 当 m=- 3 时， |m|+|n|可取得最大值，最大值为 736， 此时， M的坐标为 (- 3 ， - 36)， 当 0 m 2时， |m|+|n|=m-n=- 36m2+m+233=- 36(m-3)2+736， 当 m=3时， |m|+|n|可取得最大值，最大值为 736，此时， M的坐标为 (3， - 36)， 综上所述，当点 M 在曲线 BA 之间 (含端点 )移动时， M的坐标为 ( 3 ， - 36)或 (- 3 ， - 36)时， |m|+|n|的最大值为 736.
