1、 2016 年甘肃省兰州市中考真题数学 (A 卷 ) 一、选择题 (每题 2 分，共 30 分 ) 1.如图是由 5 个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：观察图形可知，该几何体的主视图是 . 答案： A. 2.反比例函数是 2yx的图象在 ( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、三象限 D.第二、四象限 解析：反比例函数是 2yx中， k=2 0， 此函数图象的两个分支分别位于一、三象限 . 答案： B. 3.已知 ABC DEF，若 ABC 与 DEF 的相似比为 34，则 ABC 与 DEF 对应中线的比为( ) A.3
2、4 B.43C. 916D.169解析： ABC DEF， ABC 与 DEF 的相似比为 34， ABC 与 DEF 对应中线的比为 34. 答案： A. 4.在 Rt ABC 中， C=90， sinA=35， BC=6，则 AB=( ) A.4 B.6 C.8 D.10 解析：在 Rt ABC 中， C=90， 35BCsinA AB， BC=6， 61035BCAB s in A ， 答案： D 5.一元二次方程 x2+2x+1=0 的根的情况 ( ) A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根 解析： =22-4 1 1=0， 一元二次方程 x
3、2+2x+1=0 有两个相等的实数根； 答案： B. 6.如图，在 ABC 中， DE BC，若 23ADDB，则 AEEC=( ) A.13B.25C.23D.35解析： DE BC， 23AE ADEC DB， 答案： C. 7.如图，在 O 中，若点 C 是 AB 的中点， A=50，则 BOC=( ) A.40 B.45 C.50 D.60 解析： A=50， OA=OB， OBA= OAB=50， AOB=180 -50 -50 =80， 点 C 是 AB 的中点， BOC=12 AOB=40 . 答案： A. 8.二次函数 y=x2-2x+4 化为 y=a(x-h)2+k 的形式，
4、下列正确的是 ( ) A.y=(x-1)2+2 B.y=(x-1)2+3 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-2)2+4 解析： y=x2-2x+4 配方，得 y=(x-1)2+3， 答案： B. 9.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花 (如图 )，原空地一边减少了 1m，另一边减少了 2m，剩余空地的面积为 18m2，求原正方形空地的边长 .设原正方形的空地的边长为 xm，则可列方程为 ( ) A.(x+1)(x+2)=18 B.x2-3x+16=0 C.(x-1)(x-2)=18 D.x2+3x+16=0 解析：设原正方形的边长为 xm，依题意有 (x-1)(
5、x-2)=18， 答案： C. 10.如图，四边形 ABCD 内接于 O，若四边形 ABCO 是平行四边形，则 ADC 的大小为 ( ) A.45 B.50 C.60 D.75 解析：设 ADC 的度数 =， ABC 的度数 =； 四边形 ABCO 是平行四边形， ABC= AOC； ADC=12， AOC=；而 + =180， 18012， 解得： =120， =60， ADC=60， 答案： C. 11.点 P1(-1， y1)， P2(3， y2)， P3(5， y3)均在二次函数 y=-x2+2x+c 的图象上，则 y1， y2， y3 的大小关系是 ( ) A.y3 y2 y1 B.
6、y3 y1=y2 C.y1 y2 y3 D.y1=y2 y3 解析： y=-x2+2x+c， 对称轴为 x=1， P2(3， y2)， P3(5， y3)在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而减小， 3 5， y2 y3， 根据二次函数图象的对称性可知， P1(-1， y1)与 (3， y1)关于对称轴对称， 故 y1=y2 y3， 答案： D. 12.如图，用一个半径为 5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点 P 旋转了 108，假设绳索 (粗细不计 )与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ( ) A. cm B.2 cm C.3 cm D.5 cm 解析：根据题意得： l=108 5180=
7、3 cm， 则重物上升了 3 cm， 答案： C 13.二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴是直线 x=-1，有以下结论： abc 0；4ac b2； 2a+b=0； a-b+c 2.其中正确的结论的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：抛物线开口向下， a 0， 抛物线的对称轴为直线 x=2ba=-1， b=2a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， abc 0，所以正确； 抛物线与 x 轴有 2 个交点， =b2-4ac 0，所以正确； b=2a， 2a-b=0，所以错误； 抛物线开口向下， x=-1 是对称轴，所以 x=-1 对应的 y
8、 值是最大值， a-b+c 2，所以正确 . 答案： C. 14.如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O， CE BD， DE AC， AD=23， DE=2，则四边形 OCED 的面积 ( ) A.23 B.4 C.43 D.8 解析：连接 OE，与 DC 交于点 F， 四边形 ABCD 为矩形， OA=OC， OB=OD，且 AC=BD，即 OA=OB=OC=OD， OD CE， OC DE， 四边形 ODEC 为平行四边形， OD=OC， 四边形 ODEC 为菱形， DF=CF， OF=EF， DC OE， DE OA，且 DE=OA， 四边形 ADEO 为平行四边
9、形， AD=23， DE=2， OE=23，即 OF=EF= 3 ， 在 Rt DEF 中，根据勾股定理得： DF= 43 =1，即 DC=2， 则 S 菱形 ODEC= 11 2 3 2 2 322O E D C . 答案： A 15.如图， A， B 两点在反比例函数 1kyx的图象上， C、 D 两点在反比例函数 2kyx的图象上， AC x 轴于点 E， BD x 轴于点 F， AC=2， BD=3， EF=103，则 k2-k1=( ) A.4 B.143 C.163D.6 解析：设 A(m， 1km)， B(n， 1kn)则 C(m， 2km)， D(n， 2kn)， 由题意：12
10、2110323nmkkmkkn 解得 k2-k1=4. 答案： A. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分 ) 16.二次函数 y=x2+4x-3 的最小值是 . 解析： y=x2+4x-3=(x+2)2-7， a=1 0， x=-2 时， y 有最小值 =-7. 答案： -7. 17.一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有 6 个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述实验后发现，摸到黄球的频率稳定在 30%，由此估计口袋中共有小球 个 . 解析：摸到黄球的频率稳定在 30%， 在大量重复上述实验下，可估计摸到黄
11、球的概率为 30%=0.3， 而袋中黄球只有 6 个， 推算出袋中小球大约有 6 0.3=20(个 )， 答案： 20. 18.双曲线 1myx在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 . 解析：双曲线 1myx在每个象限内，函数值 y 随 x 的增大而增大， m-1 0， 解得： m 1. 答案： m 1. 19.ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC BD，请添加一个条件： . 解析： ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，且 AC BD， ABCD 是菱形， 当 BAD=90时， ABCD 为正方形 . 答案： BAD=90 .
12、 20.对于一个矩形 ABCD 及 M 给出如下定义：在同一平面内，如果矩形 ABCD 的四个顶点到 M 上一点的距离相等，那么称这个矩形 ABCD 是 M 的“伴侣矩形” .如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l： 33yx交 x 轴于点 M， M 的半径为 2，矩形 ABCD 沿直线运动 (BD 在直线 l 上 )， BD=2， AB y 轴，当矩形 ABCD 是 M 的“伴侣矩形”时，点 C 的坐标为 . 解析：如图所示，矩形在这两个位置时就是 M 的“伴侣矩形”， 根据直线 l： 33yx得： OM= 3 ， ON=3， 由勾股定理得： MN= 2 23 3 2 3， 矩形在 x
13、 轴下方时，分别过 A、 D 作两轴的垂线 AH、 DG， 由 cos ABD=cos ONM= ON ABMN BD， 3223AB， AB= 3 ，则 AD=1， DG y 轴， MDG MON， DG DMON MN， 213 23DG ， 32DG， 3 3 3322CG ， 同理可得： DNDHOM MN， 2 3 13 2 3DH ， 132DH ， C( 331322，)； 矩形在 x 轴上方时，同理可得： C( 33322 ，)； 答案 ： ( 331322，)或 ( 33322 ，). 三、解答题 (共 8 小题，满分 70 分 ,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
14、 ) 21.计算 . (1) 1018 2 4 5 2 0 1 62 c o s （ ） （ ）(2)2y2+4y=y+2. 解析： (1)原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用利用零指数幂法则计算即可得到结果； (2)先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程 . 答案： (1) 1018 2 4 5 2 0 1 62 c o s （ ） （ ）= 22 2 2 2 12 = 2 +1； (2)2y2+4y=y+2， 2y2+3y-2=0， (2y-1)(y+2)=0， 2y-1=0 或 y+2=0， 所以 y1=12， y2=-2. 22.如图，已知 O
15、，用尺规作 O 的内接正四边形 ABCD.(写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑 ) 解析： 画圆的一条直径 AC，作这条直径的中垂线交 O 于点 BD，连结 ABCD 就是圆内接正四边形 ABCD. 答案： 如图所示，四边形 ABCD 即为所求： 23.小明和小军两人一起做游戏，游戏规则如下：每人从 1， 2， 8 中任意选择一个数字，然后两人各转动一次如图所示的转盘 (转盘被分为面积相等的四个扇形 )，两人转出的数字之和等于谁事先选择的数，谁就获胜；若两人转出的数字之和不等于他们各自选择的数，就在做一次上述游戏，直至决出胜负 .若小军事先选择的数是 5，用列表或画
16、树状图的方法求他获胜的概率 . 解析： 列表得出所有等可能的情况数，找出两指针所指数字的和为 5 情况数，即可确定小军胜的概率 . 答案：列表如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 所有等可能的情况有 16 种，其中两指针所指数字的和为 5 的情况有 4 种， 所以小军获胜的概率 = 4116 4. 24.如图，一垂直于地面的灯柱 AB 被一钢筋 CD 固定， CD 与地面成 45夹角 ( CDB=45 )，在 C 点上方 2 米处加固另一条钢线 ED， ED 与地面成 53夹角 ( EDB=53 )，那么钢线 ED的长度约为多少
17、米？ (结果精确到 1 米，参考数据： sin53 0.80， cos53 0.60， tan53 1.33) 解析： 根据题意，可以得到 BC=BD，由 CDB=45， EDB=53，由三角函数值可以求得BD 的长，从而可以求得 DE 的长 . 答案：设 BD=x 米，则 BC=x 米， BE=(x+2)米， 在 Rt BDE 中， tan EDB= 2xBEDB x， 即 2xx 1.33， 解得， x 6.06， sin EDB= BEDB， 即 8.060.8ED， 解得， ED 10 即钢线 ED 的长度约为 10 米 . 25.阅读下面材料： 在数学课上，老师请同学思考如下问题：如
18、图 1，我们把一个四边形 ABCD 的四边中点 E， F，G， H 依次连接起来得到的四边形 EFGH 是平行四边形吗？ 小敏在思考问题是，有如下思路：连接 AC. 结合小敏的思路作答 (1)若只改变图 1 中四边形 ABCD 的形状 (如图 2)，则四边形 EFGH 还是平行四边形吗？说明理由；参考小敏思考问题方法解决一下问题： (2)如图 2，在 (1)的条件下，若连接 AC， BD. 当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形，写出结论并证明； 当 AC 与 BD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形，直接写出结论 . 解析： (1)如图 2，连接 AC，根据三角形
19、中位线的性质得到 EF AC， EF=12AC，然后根据平行四边形判定定理即可得到结论； (2)由 (1)知，四边形 EFGH 是平行四边形，且 FG=12BD， HG=12AC，于是得到当 AC=BD 时，FG=HG，即可得到结论； (3)根据平行线的性质得到 GH BD， GH GF，于是得到 HGF=90，根据矩形的判定定理即可得到结论 . 答案： (1)是平行四边形， 证明：如图 2，连接 AC， E 是 AB 的中点， F 是 BC 的中点， EF AC， EF=12AC， 同理 HG AC， HG=12AC， 综上可得： EF HG， EF=HG， 故四边形 EFGH 是平行四边形
20、； (2)AC=BD. 理由如下： 由 (1)知，四边形 EFGH 是平行四边形，且 FG=12BD， HG=12AC， 当 AC=BD 时， FG=HG， 平行四边形 EFGH 是菱形， (3)当 AC BD 时，四边形 EFGH 为矩形； 理由如下： 同 (2)得：四边形 EFGH 是平行四边形， AC BD， GH AC， GH BD， GF BD， GH GF， HGF=90， 四边形 EFGH 为矩形 . 26.如图，在平面直角坐标系中， OA OB， AB x 轴于点 C，点 A( 3 ， 1)在反比例函数 kyx的图象上 . (1)求反比例函数 kyx的表达式； (2)在 x 轴
21、的负半轴上存在一点 P，使得 S AOP=12S AOB，求点 P 的坐标； (3)若将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60得到 BDE.直接写出点 E 的坐标，并判断点 E是否在该反比例函数的图象上，说明理由 . 解析： (1)将点 A( 3 ， 1)代入 kyx，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； (2)先由射影定理求出 BC=3，那么 B( 3 ， -3)，计算求出 S AOB= 1 3 4 2 32 .则1 32A O P A O BSS.设点 P 的坐标为 (m， 0)，列出方程求解即可； (3)先解 OAB，得出 ABO=30，再根据旋转的性质求出 E 点坐标为 (-
22、 3 ， -1)，即可求解 . 答案： (1)点 A( 3 ， 1)在反比例函数 kyx的图象上， 3 1 3k ， 反比例函数的表达式为 3yx； (2) A( 3 ， 1)， AB x 轴于点 C， OC= 3 ， AC=1， 由射影定理得 OC2=AC BC，可得 BC=3， B( 3 ， -3)， S AOB= 1 3 4 2 32 . 1 32A O P A O BSS. 设点 P 的坐标为 (m， 0)， 1 132 m ， 23m ， P 是 x 轴的负半轴上的点， m=-23， 点 P 的坐标为 (-23， 0)； (3)点 E 在该反比例函数的图象上，理由如下： OA OB，
23、 OA=2， OB=23， AB=4， sin ABO= 2142OAAB， ABO=30， 将 BOA 绕点 B 按逆时针方向旋转 60得到 BDE， BOA BDE， OBD=60， BO=BD=23， OA=DE=2， BOA= BDE=90， ABD=30 +60 =90， 而 BD-OC= 3 ， BC-DE=1， E(- 3 ， -1)， - 3 (-1)= 3 ， 点 E 在该反比例函数的图象上 . 27.如图， ABC 是 O 的内接三角形， AB 是 O 的直径， OD AB 于点 O，分别交 AC、 CF于点 E、 D，且 DE=DC. (1)求证： CF 是 O 的切线；
24、 (2)若 O 的半径为 5， BC= 10 ，求 DE 的长 . 解析： (1)连接 OC，欲证明 CF 是 O 的切线，只要证明 OCF=90 . (2)作 DH AC 于 H，由 AEO ABC，得 AO AEAC AB求出 AE， EC，再根据 sin A=sin EDH，得到 BC EHAB DE，求出 DE 即可 . 答案：证明：连接 OC， OA=OC， A= OCA， OD AB， A+ AEO=90， DE=DC， DEC= DCE， AEO= DEC， AEO= DCE， OCE+ DCE=90， OCF=90， OC CF， CF 是 O 切线 . (2)作 DH AC
25、于 H，则 EDH= A， DE=DC， EH=HC=12EC， O 的半径为 5， BC= 10 ， AB=10， AC=3 10 ， AEO ABC， AO AEAC AB， 5 1 05 1 033 1 0AE ， EC=AC-AE= 4 103， 2 1 0123E H E C， EDH= A， sin A=sin EDH， BC EHAB DE， 2 1 010 3 2 0310A B E HDEBC . 28.如图 1，二次函数 y=-x2+bx+c 的图象过点 A(3， 0)， B(0， 4)两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A B 的方向以每秒 2 个单位长度的
26、速度运动，过点 P 作 PD y 于点 D，交抛物线于点 C.设运动时间为 t(秒 ). (1)求二次函数 y=-x2+bx+c 的表达式； (2)连接 BC，当 56t时，求 BCP 的面积； (3)如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O A 的方向以 1 个单位长度的速度运动 .当点 P 与 B 重合时， P、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ， PQ，将 DPQ沿直线 PC 折叠得到 DPE.在运动过程中，设 DPE 和 OAB 重合部分的面积为 S，直接写出S 与 t 的函数关系及 t 的取值范围 . 解析： (1)直接将 A、 B 两点
27、的坐标代入列方程组解出即可； (2)如图 1，要想求 BCP 的面积，必须求对应的底和高，即 PC 和 BD；先求 OD，再求 BD，PC 是利用点 P 和点 C 的横坐标求出，要注意符号； (3)分两种情况讨论： DPE 完全在 OAB 中时，即当 15017t时，如图 2 所示，重合部 分的面积为 S 就是 DPE 的面积； DPE 有一部分在 OAB 中时，当 1517 t 2.5 时，如图 4 所示， PDN 就是重合部分的面积 S. 答案： (1)把 A(3， 0)， B(0， 4)代入 y=-x2+bx+c 中得： 9 3 04bcc 解得 534bc， 二次函数 y=-x2+bx
28、+c 的表达式为： 2 5 43y x x ； (2)如图 1，当 t=56时， AP=2t， PC x 轴， OB ABOD AP， 542OD t， 8 8 5 45 5 6 3tOD ， 当 y=43时， 2 54 433xx ， 3x2-5x-8=0， x1=-1， x2=83， C(-1， 43)， 由 BD PDOB OA得 44 343PD ， 则 PD=2， 811 342 2 3B C PS P C B D ； (3)如图 3， 当点 E 在 AB 上时， 由 (2)得 OD=QM=ME=85t， EQ=165t， 由折叠得： EQ PD，则 EQ y 轴 EQ AQOB O
29、A， 165343t t ， t=1517， 同理得： PD=3-65t， 当 0 t 1517时， S=S PDQ= 6811 32 2 5 5ttP D M Q （ ）， 22 4 1 22 5 5S t t ； 当 1517 t 2.5 时， 如图 4， P D =3-65t， 点 Q 与点 E 关于直线 P C对称，则 Q(t， 0)、 E(t， 165t)， AB 的解析式为： y=-43x+4， D E 的解析式为： 8855y x t， 则交点 N(15 6 8 2411 11tt，)， S=S P D N= 6 8 2 4 811 32 2 5 1 1 5t t tP D F N （ ） （ ）， 2 361 4 4 1 4 42 7 5 5 5 1 1S t t .
