1、 2016 年福建省漳州市高考二模 数学 文 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的 1.已知集合 A=x|a-2 x a+2， B=x|x -2 或 x 4，则 AB 的充要条件是 ( ) A.0 a 2 B.-2 a 2 C.0 a 2 D.0 a 2 解析：法一：当 a=0 时，符合，所以排除 C D，再令 a=2，符合，排除 B，故选 A； 法二：根据题意，分析可得， 2224aa ， 解可得， 0 a 2； 答案： A 2.已知复数 312aii是纯虚数，则实数 a=( ) A.-2 B.4 C.-6 D.6
2、解析：化简可得复数 3 1 2 6 2 331 2 51 2 1 2a i i a a iai i ii ，由纯虚数的定义可得a-6=0， 2a+3 0， 解得 a=6 答案： D 3.已知双曲线 C： 2222 1 0 0yx abab （ ， ）的一条渐近线过点 (-1， 2)，则 C 的离心率为 ( ) A. 5 B. 3 C. 52D. 32解析：由题意， 2ba， b=2a， 22 5c a b a ， 5cea 答案： A 4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 ( ) A.64 B.73 C.512 D.585 解析：经过第一次循环得到
3、 301S ，不满足 S 50， x=2， 执行第二次循环得到 3312S ，不满足 S 50， x=4， 执行第三次循环得到 3331 2 4 7 3S ， 满足判断框的条件，退出循环，执行“是”，输出 S=73 答案： B 5.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 ( ) A.8 B.62 C.10 D. 82 解析：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为： 8， 6， 62， 10， 显然面积的最大值， 10 答案： C 6.要得到函数 y=sin2x 的图象，只需将函数 23y sin x （ ）的图象 ( ) A.向右平移6个单位长度 B.向左
4、平移6个单位长度 C.向右平移3个单位长度 D.向左平移3个单位长度 解 析 ： 把 函 数 y=sin2x 的 图 象 向 右 平 移6个 单 位 即 可 得 到 函 数2263y s i n x s i n x （ ） （ ）的图象，故要得到函数 y=sin2x 的函数图象，可将函数2 3y sin x （ ）的图象向左至少平移 6 个单位即可 . 答案 ： B 7.已知两个单位向量12ee，的夹角为，则下列结论不正确的是 ( ) A.12ee在方向上的投影为 cos B. 2212=eeC.1 2 1 2e e e e （ ） （ ）D.12=1ee 解析：两个单位向量12ee，的夹角为
5、， 则121ee 则12ee在方向上的投影为1cos e cos，故 A 正确； 2212=ee，故 B 正确； 221 2 1 2 1 2 1 2 1 2-0e e e e e e e e e e （ ） （ ） ， 故 （ ） （ ），故 C 正确； 1 2 1 2e e e e c o s ，故 D 错误； 答案： D 8.已知点 4 31A（ ， ） ，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转6至 OB，设 C(1， 0)， COB=，则tan =( ) A. 312B. 33C.10 311D. 5311解析：由题意，设直线 OA 的倾斜角为，则 3 5 3611 2 6 6 1 143
6、 16t a n t a nt a n t a n t a nt a n t a n ， ， （ ） 答案： D 9.设 x， y 满足约束条件 13yxxyym ，若 z=x+3y 的最大值与最小值的差为 7，则实数 m=( ) A.32B. 32-C.14D. 14 解析：由约束条件 13yxxyym 作出可行域如图， 联立 13yxxy，解得 A(1， 2)， 联立1ymyx，解得 B(m-1， m)， 化 z=x+3y，得33x zy 由图可知，当直线33x zy 过 A 时， z 有最大值为 7， 当直线33x zy 过 B 时， z 有最大值为 4m-1， 由题意， 7-(4m-1
7、)=7，解得： 14m 答案： C 10.已知0x是函数 121xfx x（ ）的一个零点若1 0 2 01x x x x （ ， ） ， （ ， ），则( ) A.1 0 2 0f x f x（ ） ， （ ） B.1 0 2 0f x f x（ ） ， （ ） C.1 0 2 0f x f x（ ） ， （ ） D.1 0 2 0f x f x（ ） ， （ ） 解析：0x是函数 121xfx x（ ）的一个零点 f(0x)=0 121xfx x（ ）是单调递增函数，且1 0 2 01x x x x （ ， ） ， （ ， ）， 1 0 20f x f x f x（ ） （ ） （ ）答案
8、： B 11.已知函数 2 23f x x x （ ） ，若在区间 -4， 4上任取一个实数 x0，则使0 0fx（ ）成立的概率为 ( ) A. 425B.12C.23D.1 解析：已知区间 -4， 4长度为 8， 满足0 0fx（ ）， 20 0 02 3 0f x x x （ ），解得013x ，对应区间长度为 4， 由几何概型公式可得，使0 0fx（ ）成立的概率是 41=82 答案 ： B 12.数列 na满足1 1a，对任意的 n N*都有11nna a a n ，则1 2 2 0 1 61 1 1a a a =( ) A. 20152016B. 40322017C 4034201
9、7D. 20162015解析：1a=1， 由11nna a a n ，得 1 1nna a n ， 则212aa， 323aa， 1 2nna a n n （ ） 累加得： 112 3 1 2 22nnna a n n n （ ） 当 n=1 时，上式成立， 12n nna 则 1 2 1 12 11na n nnn 1 2 2 0 1 6 40321 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 12 2 3 3 4() 2 0 1 6 2 0 1 7 2 0 1 7 2 0 1 7a a a 答案： B 二、填空题：本大题共 4 题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题卡的相应位
10、置上 13.抛物线 2 4yx 上的点 P 到它的焦点 F 的最短距离为 . 解析：设抛物线 2 4yx 上的点 P 为0 0 0 0x y x （ ， ） ， 且 （ ）， 则焦点的坐标为 F(1， 0)， 点 P 到焦点 F 的距离为 |PF|， 根据焦半径公式得0 11PF x 答案： 1 14.已知数列 na满足1 3nnaa ，且2 4 6 5 7 919 3a a a l o g a a a ， （ ）则= . 解析：1 3nnaa ， 数列 na是以 3 为公比的等比数列， 又2 4 6 9aaa ， 3 3 55 7 9 2 4 6= 9 3 3a a a q a a a （
11、）， 则 55 7 911 = 3 = 533l o g a a a l o g （ ） 答案： -5 15.将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到四面体 A-BCD，则四面体A-BCD 的外接球的体积为 . 解析：由题意可知，直角三角形斜边的中线是斜边的一半， 长宽分别为 3 和 4 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起二面角，得到四面体 A-BCD， 则四面体 A-BCD 的外接球的半径，是 5122AC所求球的体积为： 35 1 2 543 2 6 答案： 1256 16.已知函数 2030xlo g x xfxx ， （ ），且关于 x 的方程
12、f(x)+x-a=0 有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是 . 解析：由 f(x)+x-a=0 得 f(x)=-x+a， 2030xlo g x xfxx ， （ ）， 作出函数 f(x)和 y=-x+a 的图象， 则由图象可知，要使方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根， 则 a 1， 答案： (1， + ) 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.如图，在 ABC 中， ABC=90， 23AB ， BC=2， P 为 ABC 内一点， BPC=90 ( )若 PB=1，求 PA； ( )若 APB=150，求 tan PBA
13、解析： ( )由已知得 PBC=60，可得 PBA=30，在 PBA 中，由余弦定理即可得出 (II) 设 PBA= ，由已知得 PCB= ， PB=2sin ，在 PBA 中，由正弦定理得 23 2150 30s ins in s in ，化简整理即可得出 答案： ( )由已知得 PBC=60， PBA=30， 在 PBA 中，由余弦定理得 22 2 3 1 2 2 3 1 3 0 7 7P A c o s P A ， ( )设 PBA=，由已知得 PCB=， PB=2sin， 在 PBA 中，由正弦定理得 23 2150 30s ins in s in ，化简得 3334 44c o s
14、s i n t a n t a n P B A ， ， 18.为了解某市的交通状况，现对其 6 条道路进行评估，得分分别为： 5， 6， 7， 8， 9， 10规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如表 (1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计该市的总体交通状况等级； (2)用简单随机抽样方法从这 6 条道路中抽取 2 条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超 0.5 的概率 解析： (1)由已知中对其 6 条道路进行评估，得分分别为： 5， 6， 7， 8， 9， 10，计算出得分的平均分，然后将所得答 案与表中数据进行比较，即可得到答案 (2)我们列
15、出从这 6 条道路中抽取 2 条的所有情况，及满足样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超 0.5 情况，然后代入古典概型公式即可得到答案 答案： (1)6 条道路的平均得分为 5 6 7 8 9 1 0 7 . 56 该市的总体交通状况等级为合格 (2)设 A 表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5” 从 6 条道路中抽取 2 条的得分组成的所有基本事件为： (5， 6)， (5， 7)， (5， 8)， (5， 9)， (5， 10) (6， 7)， (6， 8)， (6， 9)， (6， 10)， (7， 8) (7， 9)， (7， 10)， (8， 9)， (8
16、， 10)， (9， 10)，共 15 个基本事件 事件 A 包括 (5， 9)， (5， 10)， (6， 8)， (6， 9)， (6， 10)， (7， 8)， (7， 9)共 7 个基本事件， 715PA（ ）答：该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为 715 19.如图，四边形 PCBM 是直角梯形， PCB=90， PM BC， PM=1， BC=2，又 AC=1， ACB=120，AB PC， AM=2 ( )求证：平面 PAC平面 ABC； ( )求三棱锥 P-MAC 的体积 解析： ( )由已知得 PC CB，结合 AB PC，由线面垂直的判定得 PC平
17、面 ABC，再由面面垂直的判定得平面 PAC平面 ABC； ( )在平面 PCBM 内，过 M 做 MN BC 交 BC 于 N，连结 AN，则 CN=PM=1，又 PM BC，得四边形 PMNC 为平行四边形，得 PC MN，且 PC=MN，由 ( )得 MN平面 ABC，然后求解三角形得 3AN ，进一步求解直角三角形得 PC=MN=1在平面 ABC 内，过 A 做 AH BC交 BC 于 H，则 AH平面 PMC，求解直角三角形得 AH，然后利用等积法求得三棱锥 P-MAC的体积 答案： ( )证明：由 PCB=90，得 PC CB， 又 AB PC， AB BC=B， AB， BC?平
18、面 ABC， PC平面 ABC 又 PC 平面 PAC， 平面 PAC平面 ABC； ( )在平面 PCBM 内，过 M 做 MN BC 交 BC 于 N，连结 AN，则 CN=PM=1， 又 PM BC，得四边形 PMNC 为平行四边形， PC MN，且 PC=MN， 由 ( )得， PC平面 ABC， MN平面 ABC， 在 ACN 中， 2 2 2 2 1 2 0 3A N A C C N A C C N c o s ，即 3AN 又 AM=2 在 Rt AMN 中，有 PC=MN=1 在平面 ABC 内，过 A 做 AH BC 交 BC 于 H，则 AH平面 PMC， AC=CN=1，
19、 ACB=120， ANC=30 在 Rt AHN 中，有 3122A H A N ， 而 111122P M CS ， 33113 2 2 1 2P M A C A P M CVV 20.已知椭圆 2222 1 0 0yx abab （ ， ）的左、右焦点分别是点 12FF， ，其离心率 12e ，点 P 为椭圆上的一个动点，12PFF面积的最大值为 43 ( )求椭圆的方程； ( ) 若 A ， B ， C ， D 是 椭 圆 上 不 重 合 的 四 个 点 ， AC 与 BD 相 交 于 点1 0F A C B D A C B D ， ， 求的取值范围 解析： ( )容易知道当 P 点为
20、椭圆的上下顶点时，12PFF面积最大，再根据 椭圆的离心率为 12可得到关于 a， c 的方程组 22 4312a c cca ，解该方程组即可得到 a， c， b，从而得出椭圆的方程 22 116 12yx ； ( )先容易求出 AC， BD 中有一条直线不存在斜率时 14A C B D ，当直线 AC 存在斜率k 且不为 0 时，写出直线 AC 的方程 y=k(x+2) ，联立椭圆的方程消去 y 得到2 2 2 23 4 1 6 1 6 4 8 0k x k x k （ ） ， 根 据 韦 达 定 理 及 弦 长 公 式 即 可 求 得 222 4 134kACk，把 k 换上 1k即可得
21、到 222 4 143kBDk所以用 k 表示出 2221( 3 46) ( 4 3 )18 kA C B Dkk ，这时候设 2 11k t t， ， 从 而 得 到2168 112 t tA C B D ，根据导数求出21tt的范围，从而求出 AC BD 的取值范围 答案： ( )由题意知，当 P 是椭圆的上下顶点时12PFF的面积取最大值； 1 2 4 32 cb； 即 22 43a c c ； 由离心率为 12e得： 12ca ； 联立解得 a=4， c=2， 2 12b ； 椭圆的方程为 22 116 12yx ； ( )由 ( )知1F(-2， 0)； 0AC BD， AC BD；
22、 (1)当直线 AC， BD 中一条直线斜率不存在时， 8 6 1 4A C B D ； (2)当直线 AC 斜率为 k， k 0 时，其方程为 y=k(x+2)，将该方程带入椭圆方程并整理得： 2 2 2 23 4 1 6 1 6 4 8 0k x k x k （ ） ； 若设 221 1 2 2 1 2 1 21 483 4 36 1 6 4kkA x y B x y x x x x （ ， ） ， （ ， ） ， ： ， 则； 2221 2 1 2 22 4 11434kA C k x x x xk ； 直线 BD 的方程为 1 2yxk ，同理可得 222 4 143kBDk； 222
23、1( 3 46) ( 4 3 )18 kA C B Dkk ； 令 2 11k t t， ； 22221 6 8 1 6 8 1 6 8( 4 1 ) ( 3 1 ) 11 2 1 12tttA C Btt tD ； 设23112f t t f ttt （ ） ， （ ） ， （ ）； t (1， 2)时， f (t) 0， t (2， + )时， f (t) 0； t=2 时， f(t)取最大值 14，又 f(t) 0； 2 10 41tt ； 96 174)A C B D ，； 综上得 AC BD 的取值范围为 967 )14， 21.设函数 2 10f x a x l n x b x x
24、 （ ） （ ） （ ），曲线 y=f(x)过点 2 1e e e（ ， ） ，且在点 (1，0)处的切线方程为 y=0 ( )求 a， b 的值； ( )证明：当 x 1 时， 21f x x（ ） （ ） ； ( )若当 x 1 时， 21f x m x（ ） （ ）恒成立，求实数 m 的取值范围 解析： ( )求出函数的 f (x)，通过 21 0 1f a b f e e e （ ） ， （ ），求出 a， b ( )求出 f(x)的解析式，设 22 1g x x l n x x x x （ ） ， （ ），求出导数，二次求导，判断 g(x)的单调性，然后证明 21f x x（ ） （
25、 ） ( ) 设 2211h x x l n x x m x （ ） （ ）， 求 出 h (x) ，利用 ( ) 中知221 1 1x l n x x x x x （ ） （ ），推出 h (x) 3(x-1)-2m(x-1)，当 32m 时，当32m 时，求解 m 的范围 答案： ( )函数 2 10f x a x l n x b x x （ ） （ ） （ ），可得 f (x)=2alnx+ax+b， 2 2 21 0 1 1 1 1 1f a b f e a e b e a e e e e a b （ ） ， （ ） （ ） （ ） ， ( ) 2 1f x x ln x x （ ）
26、， 设 22 1 2 1 2 0g x x l n x x x x g x x l n x x g x l n x （ ） ， （ ） ， （ ） （ （ ） ） ， g(x)在 0， + )上单调递增， g (x) g (1)=0， g(x)在 0， + )上单调递增， g(x) g(1)=021f x x（ ） （ ） ( )设 2211h x x l n x x m x （ ） （ ）， h (x)=2xlnx+x-2m(x-1)-1， ( )中知 221 1 1x l n x x x x x （ ） （ ）， xlnx x-1， h (x) 3(x-1)-2m(x-1)， 当 3-2m
27、 0 即 32m时， h (x) 0， h(x)在 1， + )单调递增， h(x) h(1)=0，成立 当 3-m 0 即 32m时， h (x)=2xlnx-(1-2m)(x-1)， (h (x) =2lnx+3-2m， 令 (h (x)=0，得 2320 21mxe ， 当01xx ， ）时， h (x) h (1)=0， h(x)在 1， x0)上单调递减 h(x) h(1)=0，不成立 综上， 32m 请考生在 (22)、 (23)、 (24)三题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 选修4-
28、1：几何证明选讲 22.如图， AB 是 O 的直径，弦 CA、 BD 的延长线相交于点 E， EF 垂直 BA 的延长线于点 F求证： (1) DEA= DFA； (2) 2A B B E B D A E A C 解析： (1)连接 AD，利用 AB 为圆的直径结合 EF 与 AB 的垂直关系，通过证明 A， D， E， F 四点共圆即可证得结论； (2)由 (1)知， B D B E B A B F ，再利用 ABC AEF 得到比例式，最后利用线段间的关系即求得 2A B B E B D A E A C 答案： (1)连接 AD，因为 AB 为圆的直径， 所以 ADB=90， 又 EF
29、AB， AFE=90， 则 A， D， E， F 四点共圆 DEA= DFA (2)由 (1)知， B D B E B A B F ， 又 ABC AEF ACAB A B A F A E A CA E A F ， 即 2B E B D A E A C B A B F A B A F A B B F A F A B （ ）. 23.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位 相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 =2(cos +sin ) (1)求 C 的直角坐标方程； (2)直线 l：12312xtyt 与曲线 C 交于 A， B 两点，与 y 轴交于 E
30、，求 |EA|+|EB|的值 解析： (1)将极坐标方程两边同乘，进而根据 2 2 2xy ， x= cos， y= sin，可求出 C 的直角坐标方程 ； (2)将直线 l 的参数方程，代入曲线 C 的直角坐标方程，求出对应的 t 值，根据参数 t 的几何意义，求出 |EA|+|EB|的值 答案： (1)曲线 C 的极坐标方程为 =2(cos +sin ) 2 22c o s s in 22 22x y x y 即 221 1 2xy （ ） （ ） (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程， 得 2 10tt ， 所以 21 2 1 2 1 2 1 245E A E B t t
31、 t t t t t t 24.已知函数 f(x)=|2x-a|+|2x+3|， g(x)=|x-1|+2 (1)解不等式 |g(x)| 5； (2)若对任意1 2 1 2x R x R f x g x ， 都 有 ， 使 得 （ ） （ ） 成 立，求实数 a 的取值范围 解析： (1)利用 |x-1|+2| 5，转化为 -7 |x-1| 3，然后求解不等式即可 (2)利用条件说明 | | y y f x y y g x （ ） （ ），通过函数的最值，列出不等式求解即可 答案： (1)由 |x-1|+2| 5，得 -5 |x-1|+2 5 -7 |x-1| 3， 得不等式的解为 -2 x 4 (2)因为任意1 2 1 2x R x R f x g x ， 都 有 ， 使 得 （ ） （ ） 成 立， 所以 | | y y f x y y g x （ ） （ ）， 又 f(x)=|2x-a|+|2x+3| |(2x-a)-(2x+3)|=|a+3|， g(x)=|x-1|+2 2，所以 |a+3| 2，解得 a -1 或 a -5， 所以实数 a 的取值范围为 a -1 或 a -5
