1、2016年贵州省黔东南州中考真题数学 一、选择题 (每个小题 4分， 10个小题共 40 分 ) 1.-2的相反数是 ( ) A.2 B.-2 C.12D.-12解析：根据相反数的定义， -2的相反数是 2. 答案 ： A 2.如图，直线 a b，若 1=40， 2=55，则 3等于 ( ) A.85 B.95 C.105 D.115 解析 ：直线 a b， 4= 3， 1+ 2= 4， 3= 1+ 2=95 . 答案 ： B 3.已知一元二次方程 x2-2x-1=0的两根分别为 m、 n，则 m+n的值为 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 解析 ： 方程 x2-2x-1=0的两根分
2、别为 m、 n， m+n=-ba=2. 答案 ： D. 4.如图，在菱形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O，若 AB=2， ABC=60，则 BD的长为( ) A.2 B.3 C. 3 D.2 3 解析 ：四边形 ABCD 菱形， AC BD， BD=2BO， ABC=60， ABC是正三角形， BAO=60， BO=sin60 AB=2 32 3， BD=2 3 . 答案 ： D. 5.小明在某商店购买商品 A、 B共两次，这两次购买商品 A、 B的数量和费用如表： 若小丽需要购买 3个商品 A和 2个商品 B，则她要花费 ( ) A.64元 B.65元 C.66元 D.67元
3、解析 ：设商品 A的标价为 x元，商品 B的标价为 y元， 根据题意，得 4 3 936 6 162xyxy，解得： 1215xy，商品 A的标价为 12元，商品 B的标价为 15 元； 所以 3 12+2 15=66 元 . 答案： C 6.已知一次函数 y1=ax+c和反比例函数 y2=bx的图象如图所示，则二次函数 y3=ax2+bx+c的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 解析：一次函数 y1=ax+c 图象过第一、二、四象限， a 0， c 0， 二次函数 y3=ax2+bx+c开口向下，与 y轴交点在 x轴上方； 反比例函数 y2=bx的图象在第二、四象限， b 0， -2
4、ba 0，二次函数 y3=ax2+bx+c对称轴在 y轴左侧 . 满足上述条件的函数图象只有 B选项 . 答案： B. 7.不等式组3xax ，的整数解有三个，则 a的取值范围是 ( ) A.-1 a 0 B.-1 a 0 C.-1 a 0 D.-1 a 0 解析 ：不等式组3xax ，的解集为 a x 3， 由不等式组的整数解有三个，即 x=0， 1， 2，得到 -1 a 0. 答案： A 8.2002 年 8 月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是 13，小正方形的面积为 1，
5、直角三角形的较短直角边长为 a，较长直角边长为 b，那么(a+b)2的值为 ( ) A.13 B.19 C.25 D.169 解析 ：根据题意得： c2=a2+b2=13， 4 12ab=13-1=12，即 2ab=12， 则 (a+b)2=a2+2ab+b2=13+12=25. 答案： C 9.将一个棱长为 1的正方体水平放于桌面 (始终保持正方体的一个面落在桌面上 )，则该正方体正视图面积的最大值为 ( ) A.2 B. 2 +1 C. 2 D.1 解析 ：正方体正视图为正方形或矩形 . 正方体的棱长为 1，边长为 1.每个面的对角线的长为 = 2 . 正方体的正视图 (矩形 )的长的最大
6、值为 2 . 始终保持正方体的一个面落在桌面上， 正视图 (矩形 )的宽为 1.最大值面积 =1 2 = 2 . 答案 ： C. 10.如图，在等腰直角 ABC 中， C=90，点 O 是 AB 的中点，且 AB= 6 ，将一块直角三角板的直角顶点放在点 O 处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与 AC、 BC 相交，交点分别为 D、 E，则 CD+CE=( ) A.2 B.3 C.2 D.6 解析：连接 OC， 等腰直角 ABC中， AB= 6 ， B=45， cos B=BCAB， BC= 6 cos45 = 6 322， 点 O是 AB 的中点， OC=12AB=OB， OC AB，
7、COB=90， DOC+ COE=90， COE+ EOB=90， DOC= EOB， 同理得 ACO= B， ODC OEB， DC=BE， CD+CE=BE+CE=BC= 3 . 答案 B. 二、填空题 (每个小题 4分， 6个小题共 24 分 ) 11.tan60= . 解析 ： tan60的值为 3 . 答案： 3 . 12.分解因式： x3-x2-20x= . 解析 ：原式 =x(x2-x-20)=x(x+4)(x-5). 答案： x(x+4)(x-5) 13.在一个不透明的箱子中装有 4 件同型号的产品，其中合格品 3件、不合格品 1件，现在从这 4件产品中随机抽取 2件检测，则抽
8、到的都是合格品的概率是 . 解析 ：画树状图得： 共有 12种等可能的结果，抽到的都是合格品的有 6种情况， 抽到的都是合格品的概率是： 612 12. 答案： 12. 14.如图，在 ACB 中， BAC=50， AC=2， AB=3，现将 ACB 绕点 A 逆时针旋转 50得到 AC1B1，则阴影部分的面积为 . 解析 ：11ABC AB CSS， 125 0 53 6 0 4ABBS S A B 阴 影 扇 形 . 答案： 54 15.如图，点 A 是反比例函数 y1=1x(x 0)图象上一点，过点 A 作 x 轴的平行线，交反比例函数 y2=kx(x 0)的图象于点 B，连接 OA、
9、OB，若 OAB的面积为 2，则 k的值为 . 解析：延长 BA，与 y轴交于点 C， AB x轴， BC y 轴， A是反比例函数 y1=1x(x 0)图象上一点， B为反比例函数 y2=kx(x 0)的图象上的点， S AOC=12， S BOC=2k， S AOB=2，即 122k=2，解得： k=5. 答案： 5 16.如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形 OABC的边 OA、 OC分别在 x轴和 y轴上， OC=3，OA=2 6 ， D是 BC 的中点，将 OCD沿直线 OD折叠后得到 OGD，延长 OG 交 AB 于点 E，连接 DE，则点 G的坐标为 . 解析：过点 G作 GF
10、 OA于点 F，根据全等直角三角形的判定定理 (HL)证出 Rt DGE Rt DBE，从而得出 BE=GE，根据勾股定理可列出关于 AE长度的方程，解方程可得出 AE 的长度，再根据平行线的性质即可得出比例关系 O F G F O GO A E A O E，代入数据即可求出点 G 的坐标 . 答案：过点 G作 GF OA于点 F，如图所示 . 点 D为 BC 的中点， DC=DB=DG， 四边形 OABC是矩形， AB=OC， OA=BC， C= OGD= ABC=90 . 在 Rt DGE和 Rt DBE 中， DB DGDE DE， Rt DGE Rt DBE(HL)， BE=GE. 设
11、 AE=a，则 BE=3-a， DE= 2 2 224O A A E a ， OG=OC=3， OE=OG+GE，即 224 a =3+3-a，解得： a=1， AE=1， OE=5. GF OA， EA OA， GF EA， O F G F O GO A E A O E， OF= 3 2 6 6 655O G O AOE， GF= 3 1 355O G E AOE，点 G的坐标为 (665， 35). 答案 ： (665， 35). 三、解答题 (8个小题，共 86分 ) 17.计算： (12)-2+( -3.14)0-| 3 -2|-2cos30 . 解析： 本题涉及零指数幂、负整数指数幂
12、、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则计算 . 答案 ：原式 = 34 1 2 2 5 223 3 3 =3. 18.先化简： 221 1 121xx xx x x x ，然后 x 在 -1， 0， 1， 2四个数中选一个你认为合适的数代入求值 . 解析： 利用分解因式、完全平方公式以及通分法化简原分式，再分析给定的数据中使原分式有意义的 x的值，将其代入化简后的算式中即可得出结论 . 答案 ：原式 = 2211 111xx xxxxx = 111xxxxx=x+1. 在 -1， 0， 1， 2四个数中，使原式有意义的值只有
13、 2， 当 x=2时，原式 =2+1=3. 19.解方程：21411xxx =1. 解析：观察可得最简公分母是 (x-1)(x+1)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解 . 答案：方程的两边同乘 (x-1)(x+1)，得 (x+1)2-4=(x-1)(x+1)，解得 x=1. 检验：把 x=1代入 (x-1)(x+1)=0.所以原方程的无解 . 20.黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为 A， B， C， D四个等级，设学生时间为 t(小时 )， A： t 1， B：1 t 1.5， C： 1.5 t 2，
14、D： t 2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图 .请你根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整； (2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？ (3)表示 B等级的扇形圆心角的度数是多少？ (4)在此次问卷调查中，甲班有 2 人平均每天课外学习时间超过 2小时，乙班有 3人平均每天课外学习时间超过 2 小时，若从这 5人中任选 2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的 2人来自不同班级的概率 . 解析： (1)根据 B类的人数和所占的百分比即可求出总数；求出 C的人数从而补全统计图； (2)根据中位数定义：将一组数
15、据按照从小到大 (或从大到小 )的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案； (3)用 B的人数除以总人数再乘以 360，即可得 到圆心角的度数； (4)先设甲班学生为 A1， A2，乙班学生为 B1， B2， B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可 . 答案： (1)共调查的中学生数是： 80 40%=200(人 )， C类的人数是： 200-60-80-20=40(人 )，如图： (2)本次抽样调查中，学习时间的中位数落在 C等级内； (3)根据题意得： = 30200 360 =54， (4)设甲班学生为 A1， A2，乙班学生为 B1，
16、 B2， B3， 一共有 20 种等可能结果，其中 2 人来自不同班级共有 12 种， P(2 人来自不同班级 )=12 320 5 . 21.黔东南州某校吴老师组织九 (1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高 .已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子 (折线 BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在 D 处测得电线杆顶端 A 的仰角为 30，在 C 处测得电线杆顶端 A得仰角为 45，斜坡与地面成 60角， CD=4m，请你根据这些数据求电线杆的高 (AB). (结果精确到 1m，参考数据： 2 1.4， 3 1.7) 解析：延长 AD交 BC 的延长线于
17、 G，作 DH BG于 H，由三角函数求出求出 CH、 DH的长，得出 CG，设 AB=xm，根据正切的定义求出 BG，得出方程，解方程即可 . 答案：延长 AD交 BC的延长线于 G，作 DH BG 于 H，如图所示： 在 Rt DHC中， DCH=60， CD=4， 则 CH=CD cos DCH=4 cos60 =2， DH=CD sin DCH=4 sin60 =2 3 ， DH BG， G=30， HG= 2ta n ta n 3 03DH G =6， CG=CH+HG=2+6=8， 设 AB=xm， AB BG， G=30， BCA=45， BC=x， BG= 3t a n t a
18、 n 3 0A B x xG ， BG-BC=CG， 3 x-x=8，解得： x 11(m). 答：电线杆的高为 11m. 22.如图， AB 是 O的直径，点 P在 BA 的延长线上，弦 CD AB，垂足为 E，且 PC2=PE PO. (1)求证： PC 是 O的切线 . (2)若 OE： EA=1： 2， PA=6，求 O的半径 . 解析： (1)连结 OC，如图，由 PC2=PE PO和公共角可判断 PCE POC，则 PEC= PCO=90，然后根据切线的判定定理可判断 PC是 O的切线； (2)设 OE=x，则 EA=2x， OA=OC=3x，证明 OCE OPC，利用相似比可表示
19、出 OP，则可列方程 3x+6=9x，然后解出 x即可得到 O的半径 . 答案： (1)连结 OC，如图， CD AB， PEC=90， PC2=PE PO， PC： PO=PE： PC，而 CPE= OPC， PCE POC， PEC= PCO=90， OC PC， PC是 O的切线 . (2)设 OE=x，则 EA=2x， OA=OC=3x， COE= POC， OEC= OCP， OCE OPC， OC： OP=OE： OC，即 3x： OP=x： 3x，解得 OP=9x， 3x+6=9x，解得 x=1， OC=3，即 O的半径为 3. 23.凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价 12
20、元，售价 20 元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价 0.1 元，例如：某人买 18 只计算器，于是每只降价 0.1 (18-10)=0.8(元 )，因此所买的 18 只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为 16元 . (1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？ (2)求写出该文具店一次销售 x(x 10)只时，所获利润 y(元 )与 x(只 )之间的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围； (3)一天，甲顾客购买了 46 只，乙顾客购买了 50 只，店主发现卖 46 只赚的钱反而比卖 50只赚的钱多，
21、请你说明发生这一现象的原因；当 10 x 50 时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？ 解析： (1)设一次购买 x只，由于凡是一次买 10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低 0.10元，而最低价为每只 16元，因此得到 20-0.1(x-10)=16，解方程即可求解； (2)由于根据 (1)得到 x 50，又一次销售 x(x 10)只，因此得到自变量 x的取值范围，然后根据已知条件可以得到 y与 x的函数关 系式； (3)首先把函数变为 y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题 . 答
22、案： (1)设一次购买 x只，则 20-0.1(x-10)=16，解得： x=50. 答：一次至少买 50只，才能以最低价购买； (2)当 10 x 50 时， y=20-0.1(x-10)-12x=-0.1x2+9x， 当 x 50时， y=(16-12)x=4x； 综上所述： 20 . 1 9 1 0 5 045)0 ) .(x x xyxx ，(3)y=-0.1x2+9x=-0.1(x-45)2+202.5， 当 10 x 45时， y 随 x的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大 . 当 45 x 50时， y 随 x的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小 . 且当 x=46时
23、， y1=202.4， 当 x=50时， y2=200.y1 y2. 即出现了卖 46只赚的钱比卖 50只赚的钱多的现象 . 当 x=45时，最低售价为 20-0.1(45-10)=16.5(元 )，此时利润最大 . 24.如图，直线 y=-x+3 与 x轴、 y轴分别相交于点 B、 C，经过 B、 C两点的抛物线 y=ax2+bx+c与 x轴的另一个交点为 A，顶点为 P，且对称轴为直线 x=2. (1)求该抛物线的解析式； (2)连接 PB、 PC，求 PBC的面积； (3)连接 AC，在 x 轴上是否存在一点 Q，使得以点 P， B， Q 为顶点的三角形与 ABC 相似？若存在，求出点
24、Q的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据二次函数的对称性，已知对称轴的解析式以及 B点的坐标，即可求出 A 的坐标，利用抛物线过 A、 B、 C三点，可用待定系数法来求函数的解析式 (2)首先利用各点坐标得出得出 PBC是直角三角形，进而得出答案； (3)本题要先根据抛 物线的解析式求出顶点 P的坐标，然后求出 BP 的长，进而分情况进行讨论： 当 BQ PBBC AB， PBQ= ABC=45时，根据 A、 B的坐标可求出 AB的长，根据 B、 C的坐标可求出 BC的长，已经求出了 PB的长度，那么可根据比例关系式得出 BQ的长，即可得出Q的坐标 . 当 QB PBAB CB，
25、 QBP= ABC=45时，可参照的方法求出 Q的坐标 . 当 Q在 B点右侧，即可得出 PBQ BAC，因此此种情况是不成立的，综上所述即可得出符合条件的 Q的坐标 . 答案： (1)直线 y=-x+3与 x轴相交于点 B， 当 y=0时， x=3， 点 B的坐标为 (3， 0)， y=-x+3过点 C，易知 C(0， 3)， c=3. 又抛物线过 x轴上的 A， B两点，且对称轴为 x=2， 根据抛物线的对称性，点 A的坐标为 (1， 0). 又抛物线 y=ax2+bx+c过点 A(1， 0)， B(3， 0)， 309 3 3 0abab ，解得： 14.ab， 该抛物线的解析式为： y
26、=x2-4x+3； (2)如图 1， y=x2-4x+3=(x-2)2-1， 又 B(3， 0)， C(0， 3)， PC= 222 4 2 0 2 5 ， PB= 2 23 2 1 2 ， BC= 223 3 1 8 3 2 ， 又 PB2+BC2=2+18=20， PC2=20， PB2+BC2=PC2， PBC是直角三角形， PBC=90， S PBC=12PB BC=12 2 3 2 =3. (3)如图 2，由 y=x2-4x+3=(x-2)2-1，得 P(2， -1)， 设抛物线的对称轴交 x 轴于点 M， 在 Rt PBM中， PM=MB=1， PBM=45， PB= 2 . 由点
27、 B(3， 0)， C(0， 3)易得 OB=OC=3，在等腰直角三角形 OBC中， ABC=45， 由勾股定理，得 BC=3 2 . 假设在 x轴上存在点 Q，使得以点 P， B， Q为顶点的三角形与 ABC相似 . 当 BQ PBBC AB， PBQ= ABC=45时， PBQ ABC. 即223 2BQ ，解得： BQ=3，又 BO=3，点 Q与点 O重合， Q1的坐标是 (0， 0). 当 QB PBAB CB， QBP= ABC=45时， QBP ABC.即 22 3 2QB ，解得： QB=23. OB=3， OQ=OB-QB=3-23， Q2的坐标是 (73， 0). 当 Q在 B点右侧，则 PBQ=180 -45 =135， BAC 135， 故 PBQ BAC.则点 Q不可能在 B点右侧的 x轴上， 综上所述，在 x轴上存在两点 Q1(0， 0)， Q2(73， 0)， 能使得以点 P， B， Q为顶点的三角形与 ABC相似 .
