1、2016年辽宁省丹东市中考真题数学 一、选择题 (下列各题的备选答案中，只有一个是正确的 .每小题 3分，共 24分 ) 1.-3的倒数是 ( ) A.3 B.13C.-13D.-3 解析 ： -3 (-13)=1， -3的倒数是 -13. 答案： C. 2.2016 年 1 月 19 日，国家统计局公布了 2015 年宏观经济数据，初步核算，全年国内生产总值为 676000亿元 .676000 用科学记数法表示为 ( ) A.6.76 106 B.6.76 105 C.67.6 105 D.0.676 106 解析 ： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为
2、整数 .确定 n的值时，整数位数减 1即可 .当原数绝对值 10 时， n是正数；当原数的绝对值 1时， n是负数 .将676000用科学记数法表示为 6.76 105. 答案： B. 3.如图所示几何体的左视图为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形 . 答案： A. 4.一组数据 8， 3， 8， 6， 7， 8， 7的众数和中位数分别是 ( ) A.8， 6 B.7， 6 C.7， 8 D.8， 7 解析 ： 把这组数据从小到大排列： 3， 6， 7， 7， 8， 8， 8， 8出现了 3次，出现的次数最多，则众数是
3、 8； 最中间的数是 7， 则这组数据的中位数是 7. 答案： D. 5.下列计算结果正确的是 ( ) A.a8 a4=a2 B.a2 a3=a6 C.(a3)2=a6 D.(-2a2)3=8a6 解析 ： A、 a8 a4=a4，故 A错误； B、 a2 a3=a5，故 B错误； C、 (a3)2=a6，故 C正确； D、 (-2a2)3=-8a6，故 D 错误 . 答案： C. 6.二元一次方程组 524xyxy， 的解为 ( ) A. 14xyB. 23xyC. 32xyD. 41xy解析： 524xyxy ， ， +，得 3x=9，解得 x=3， 把 x=3代入，得 3+y=5， y=
4、2， 所以原方程组的解为 32xy，答案： C. 7.如图，在平行四边形 ABCD中， BF 平分 ABC，交 AD于点 F， CE平分 BCD，交 AD于点 E，AB=6， EF=2，则 BC长为 ( ) A.8 B.10 C.12 D.14 解析 ：四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， DC=AB=6， AD=BC， AFB= FBC， BF平分 ABC， ABF= FBC，则 ABF= AFB， AF=AB=6， 同理可证： DE=DC=6， EF=AF+DE-AD=2， 即 6+6-AD=2，解得： AD=10. 答案： B. 8.如图，在 ABC中， AD和 BE是高， A
5、BE=45，点 F是 AB的中点， AD 与 FE、 BE分别交于点 G、 H， CBE= BAD.有下列结论： FD=FE； AH=2CD； BC AD= 2 AE2； S ABC=4S ADF.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4个 解析：在 ABC中， AD和 BE是高， ADB= AEB= CEB=90， 点 F是 AB 的中点， FD=12AB， ABE=45， ABE是等腰直角三角形， AE=BE， 点 F是 AB 的中点， FE=12AB， FD=FE，正确； CBE= BAD， CBE+ C=90， BAD+ ABC=90， ABC= C， AB=AC
6、， AD BC， BC=2CD， BAD= CAD= CBE， 在 AEH和 BEC中， A E H C E BA E B EE A H C B E ， AEH BEC(ASA)， AH=BC=2CD，正确； BAD= CBE， ADB= CEB， ABD BCE， BC BEAB AD，即 BC AD=AB BE， 2 AE2=AB AE=AB BE， BC AD=AC BE=AB BE， BC AD= 2 AE2；正确； F是 AB的中点， BD=CD， S ABC=2S ABD=4S ADF.正确 . 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 24分 ) 9.分解因式： xy2-x
7、= . 解析 ： xy2-x=x(y2-1)=x(y-1)(y+1). 答案 ： x(y-1)(y+1). 10.不等式组 12623xxx ，的解集为 . 解析 ： 12623xxx ， ，由得， x 2，由得， x 6，故不等式组的解集为： 2 x 6. 答案 ： 2 x 6. 11.一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同 .从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 . 解析 ： 一个袋中装有两个红球、三个白球， 球的总数 =2+3=5，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率 =25. 答案： 25. 12.反比例函数 y= 1kx的图象经过点 (2， 3)，则 k= . 解析 ：
8、反比例函数 y= 1kx的图象经过点 (2， 3)， k-1=2 3，解得： k=7. 答案： 7. 13.某公司今年 4 月份营业额为 60 万元， 6 月份营业额达到 100 万元，设该公司 5、 6 两个月营业额的月均增长率为 x，则可列方程为 . 解析 ： 设平均每月的增长率为 x，根据题意可得： 60(1+x)2=100. 答案： 60(1+x)2=100. 14.观察下列数据： -2， 52， -103， 174， -265，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第 11个数据是 . 解析 ： -2=-21， 52， -103， 174， -265，第 11个数据是： 21 1 1
9、1 2 21 1 1 1 . 答案 ： -12211. 15.如图，正方形 ABCD 边长为 3，连接 AC， AE平分 CAD，交 BC的延长线于点 E， FA AE，交 CB延长线于点 F，则 EF 的长为 . 解析 ： 四边形 ABCD 为正方形，且边长为 3， AC=3 2 ， AE平分 CAD， CAE= DAE， AD CE， DAE= E， CAE= E， CE=CA=3 2 ， FA AE， FAC+ CAE=90， F+ E=90， FAC= F， CF=AC=3 2 ， EF=CF+CE=3 2 +3 2 =6 2 ， 答案： 6 2 . 16.如图，在平面直角坐标系中，
10、A、 B两点分别在 x轴、 y轴上， OA=3， OB=4，连接 AB.点 P在平面内，若以点 P、 A、 B为顶点的三角形与 AOB全等 (点 P与点 O不重合 )，则点 P的坐标为 . 解析：如图所示： OA=3， OB=4， P1(3， 4)； 连结 OP2， 设 AB的解析式为 y=kx+b，则 304kbb，解得 434kb ，故 AB的解析式为 y=- 43x+4，则 OP2的解析式为 y=34x， 联立方程组得 y=-43x+4y=34x，解得48253625xy ，则 P2(9625， 7225)； 连结 P2P3， (3+0) 2=1.5， (0+4) 2=2， E(1.5，
11、 2)， 1.5 2-9625=-2125， 2 2-9625=2825， P3(-2125， 2825). 故点 P的坐标为 (3， 4)或 (9625， 7225)或 (-2125， 2825). 答案 ： (3， 4)或 (9625， 7225)或 (-2125， 2825). 三、解答题 (每小题 8 分，共 16分 ) 17.计算： 4sin60 +|3- 12 |-(12)-1+( -2016)0. 解析： 根据实数的运算顺序，首先计算乘方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式 4sin60+|3- 12 |-(12)-1+( -2016)0的值是多少即可 . 答案 ： 4sin6
12、0 +|3- 12 |-(12)-1+( -2016)0=4 32+2 3 -3-2+1=2 3 +2 3 -4=4 3-4. 18.在平面直角坐标系中， ABC的位置如图所示 (每个小方格都是边长为 1个单位长度的正方形 ). (1)将 ABC沿 x轴方向向左平移 6个单位，画出平移后得到的 A1B1C1； (2)将 ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的 AB2C2，并直接写出点 B2、 C2的坐标 . 解析： (1)利用点平移的规律写出点 A、 B、 C 的对应点 A1、 B1、 C1的坐标，然后描点即可得到 A1B1C1； (2)利用网格特点和旋转的性质画出点 B、 C
13、的对应点 B2、 C2，从而得到 AB2C2，再写出点 B2、C2的坐标 . 答案 ： (1)如图， A1B1C1即为所求； (2)如图， AB2C2即为所求，点 B2(4， -2)， C2(1， -3). 四、 (每小题 10分，共 20分 ) 19.为了促进学生多样化发展，某校组织开展了社团活动，分别设置了体育类、艺术类、文学类及其它类社团 (要求人人参与社团，每人只能选择一项 ).为了解学生喜爱哪种社团活动，学校做了一次抽样调查 .根据收集到的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，完成下列问题： (1)此次共调查了多少人？ (2)求文学社团在扇形统计图中所占圆心角的度
14、数； (3)请将条形统计图补充完整； (4)若该校有 1500名学生，请估计喜欢体育类社团的学生有多少人？ 解析： (1)根据体育人数 80 人，占 40%，可以求出总人数 . (2)根据圆心角 =百分比 360即可解决问题 . (3)求出艺术类、其它类社团人数，即可画出条形图 . (4)用样本百分比估计总体百分比即可解决问题 . 答案 ： (1)80 40%=200(人 ). 此次共调查 200人 . (2) 60200 360 =108 . 文学社团在扇形统计图中所占 圆心角的度数为 108 . (3)补全如图， (4)1500 40%=600(人 ).估计该校喜欢体育类社团的学生有 60
15、0人 . 20.甲、乙两人进行摸牌游戏 .现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字 2， 3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上 . (1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张 .请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率； (2)若两人抽取的数字和为 2 的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为 5 的倍数，则乙获胜 .这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释 . 解析： (1)利用列表法得到所有可能出现的结果，根据概率公式计算即可； (2)分别求出甲、乙获胜的概率，比较即可 . 答案： (1)所有可能出现的结果如图： 从表格可以看出，总共有 9种结果，每种
16、结果出现的可能性相同，其中两人抽取相同数字的结果有 3种，所以两人抽取相同数字的概率为： 13； (2)不公平 . 从表格可以看出，两人抽取数字和为 2的倍数有 5种，两人抽取数字和为 5的倍数有 3种， 所以甲获胜的概率为： 59，乙获胜的概率为： 13. 59 13，甲获胜的概率大，游戏不公平 . 五、 (每小题 10分，共 20分 ) 21.某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的 2 倍，购买 240 元甲商品的数量比购买 300元乙商品的数量多 15 件，求两种商品单价各为多少元？ 解析： 设甲商品的单价为 x 元，乙商品的单价为 2x 元，根据购买 240元甲商品的数量
17、比购买 300元乙商品的数量多 15件列出方程，求出方程的解即可得到结果 . 答案 ：设甲商品的单价为 x元，乙商品的单价为 2x 元， 根据题意，得 240 3002xx=15， 解这个方程，得 x=6， 经检验， x=6是所列方程的根， 2x=2 6=12(元 )， 答：甲、乙两种商品的单价分别为 6元、 12元 . 22.如图， AB 是 O 的直径，点 C 在 AB 的延长线上， CD 与 O 相切于点 D， CE AD，交 AD的延长线于点 E. (1)求证： BDC= A； (2)若 CE=4， DE=2，求 AD的长 . 解析： (1)连接 OD，由 CD是 O切线，得到 ODC
18、=90，根据 AB为 O的直径，得到 ADB=90，等量代换得到 BDC= ADO，根据等腰直角三角形的性质得到 ADO= A，即可得到结论； (2)根据垂直的定义得到 E= ADB=90，根据平行线的性质得到 DCE= BDC，根据相似三角形的性质得到 CE AEDE CE，解方程即可得到结论 . 答案： (1)证明：连接 OD， CD是 O切线， ODC=90，即 ODB+ BDC=90， AB为 O的直径， ADB=90，即 ODB+ ADO=90， BDC= ADO， OA=OD， ADO= A， BDC= A. (2) CE AE， E= ADB=90， DB EC， DCE= BD
19、C， BDC= A， A= DCE， E= E， AEC CED， CE AEDE CE， EC2=DE AE， 16=2(2+AD)， AD=6. 六、 (每小题 10分，共 20分 ) 23.某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB的高度 .他们在 C处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48，再往建筑物的方向前进 6米到达 D处，测得仰角为 64，求建筑物的高度 .(测角器的高度忽略不计，结果精确到 0.1米 ) (参考数据： sin48 710， tan48 1110， sin64 910， tan64 2) 解析： Rt ADB中用 AB 表示出 BD、 Rt ACB中用 AB表示出 BC
20、，根据 CD=BC-BD 可得关于 AB 的方程，解方程可得 . 答案 ：根据题意，得 ADB=64， ACB=48， 在 Rt ADB中， tan64 = ABBD，则 BD=tan 6 124AB AB， 在 Rt ACB中， tan48 =ABCB，则 CB= 10tan 48 11AB AB， CD=BC-BD， 即 6= 1011 21 AB AB，解得： AB=1329 14.7(米 )，建筑物的高度约为 14.7 米 . 24.某片果园有果树 80 棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低 .若该果园每棵果
21、树产果 y(千克 )，增种果树 x(棵 )，它们之间的函数关系如图所示 . (1)求 y与 x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实 6750千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量 w(千克 )最大？最大产量是多少？ 解析： (1)函数的表达式为 y=kx+b，把点 (12， 74)， (28， 66)代入解方程组即可 . (2)列出方程解方程组，再根据实际意义确定 x的值 . (3)构建二次函数，利用二次函数性质解决问题 . 答案： (1)设函数的表达式为 y=kx+b，该一次函数过点 (12， 74)， (28， 66)， 得 12 7
22、428 66kbkb，解得 0.580kb，该函数的表达式为 y=-0.5x+80. (2)根据题意，得， (-0.5x+80)(80+x)=6750，解得， x1=10， x2=70 投入成本最低 . x2=70不满足题意，舍去 . 增种果树 10棵时，果园可以收获果实 6750千克 . (3)根据题意，得 w=(-0.5x+80)(80+x)=-0.5 x2+40 x+6400=-0.5(x-40)2+7200. a=-0.5 0，则抛物线开口向下，函数有最大值 当 x=40时， w最大值为 7200千克 . 当增种果树 40 棵时果园的最大产量是 7200千克 . 七、 (本题 12分
23、) 25.如图， ABC 与 CDE 是等腰直角三角形，直角边 AC、 CD 在同一条直线上，点 M、 N分别是斜边 AB、 DE的中点，点 P为 AD 的中点，连接 AE、 BD. (1)猜想 PM与 PN 的数量关系及位置关系，请直接写出结论； (2)现将图中的 CDE 绕着点 C 顺时针旋转 (0 90 )，得到图， AE 与 MP、 BD分别交于点 G、 H.请判断 (1)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (3)若图中的等腰直角三角形变成直角三角形，使 BC=kAC， CD=kCE，如图，写出 PM 与PN的数量关系，并加以证明 . 解析： (1)由等腰直角三角
24、形的性质易证 ACE BCD，由此可得 AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到 PM=PN，由平行线的性质可得 PM PN； (2)(1)中的结论仍旧成立，由 (1)中的证明思路即可证明； (3)PM=kPN，由已知条件可证明 BCD ACE，所以可得 BD=kAE，因为点 P、 M、 N分别为 AD、AB、 DE 的中点，所以 PM=12BD， PN=12AE，进而可证明 PM=kPN. 答案： (1)PM=PN， PM PN，理由如下： ACB和 ECD是等腰直角三角形， AC=BC， EC=CD， ACB= ECD=90 . 在 ACE和 BCD中 ， 90A C B CA C B
25、E C DC E C D ， ACE BCD(SAS)， AE=BD， EAC= CBD， 点 M、 N分别是斜边 AB、 DE的中点，点 P为 AD的中点， PM=12BD， PN=12AE， PM=PM， NPD= EAC， MPN= BDC， EAC+ BDC=90， MPA+ NPC=90， MPN=90，即 PM PN. (2) ACB和 ECD是等腰直角三角形， AC=BC， EC=CD， ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. ACE BCD. AE=BD， CAE= CBD. 又 AOC= BOE， CAE= CBD， BHO=
26、ACO=90 . 点 P、 M、 N分别为 AD、 AB、 DE 的中点， PM=12BD， PM BD； PN=12AE， PN AE. PM=PN. MGE+ BHA=180 . MGE=90 . MPN=90 . PM PN. (3)PM=kPN ACB和 ECD是直角三角形， ACB= ECD=90 . ACB+ BCE= ECD+ BCE. ACE= BCD. BC=kAC， CD=kCE， BC CDAC CE=k. BCD ACE. BD=kAE. 点 P、 M、 N分别为 AD、 AB、 DE 的中点， PM=12BD， PN=12AE. PM=kPN. 八、 (本题 14分
27、) 26.如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A(4， 0)， B(1， 3)两点，点 C、 B关于抛物线的对称轴对称，过点 B作直线 BH x轴，交 x轴于点 H. (1)求抛物线的表达式； (2)直接写出点 C的坐标，并求出 ABC的面积； (3)点 P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 ABP的面积为 6时，求出点 P的坐标； (4)若点 M在直线 BH上运动，点 N在 x轴上运动，当以点 C、 M、 N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 CMN的面积 . 解析： (1)利用待定系数法求二次函数的表达式； (2)根据二次函数的对称轴 x=2写出点 C的坐标为 (3， 3)
28、，根据面积公式求 ABC的面积； (3)因为点 P是抛物线上一动点，且位于第四象限，设出点 P的坐标 (m， -m2+4m)，利用差表示 ABP的面积，列式计算求出 m的值，写出点 P的坐标； (4)分别以点 C、 M、 N 为直角顶点分三类进行讨论，利用全等三角形和勾股定理求 CM 或 CN的长，利用面积公式进行计算 . 答案： (1)把点 A(4， 0)， B(1， 3)代入抛物线 y=ax2+bx中， 得 0 16 43abab，解得： 14ab，抛物线表达式为： y=-x2+4x； (2)点 C的坐标为 (3， 3)，又点 B的坐标为 (1， 3)， BC=2， S ABC=12 2
29、3=3. (3)过 P点作 PD BH交 BH于点 D， 设点 P(m， -m2+4m)， 根据题意，得： BH=AH=3， HD=m2-4m， PD=m-1， S ABP=S ABH+S 四边形 HAPD-S BPD， 6=12 3 3+12(3+m-1)(m2-4m)-12(m-1)(3+m2-4m)， 3m2-15m=0， m1=0(舍去 )， m2=5， 点 P坐标为 (5， -5). (4)以点 C、 M、 N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论： 以点 M为直角顶点且 M在 x轴上方时，如图 2， CM=MN， CMN=90， 则 CBM MHN， BC=MH=2， B
30、M=HN=3-2=1， M(1， 2)， N(2， 0)， 由勾股定理得： MC= 222 1 5 ， S CMN= 52 521 5 ； 以点 M为直角顶点且 M在 x轴下方时，如图 3，作辅助线，构建如图所示的两直角三角形：Rt NEM和 Rt MDC，得 Rt NEM Rt MDC， EM=CD=5， MD=ME=2， 由勾股定理得： CM= 222 5 29 ， S CMN= 292 9 212 9 2 ； 以点 N为直角顶点且 N在 y轴左侧时，如图 4， CN=MN， MNC=90，作辅助线， 同理得： CN= 223 5 3 4 ， S CMN= 3 4 72 11 34 ； 以点 N为直角顶点且 N在 y轴右侧时，作辅助线，如图 5，同理得： CN=32+12=10， S CMN= 52 1 0 01 1 ； 以 C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形； 综上所述： CMN的面积为： 52或 292或 17 或 5.
