1、 2016 年辽宁省大连市中考真题数学 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 1.-3 的相反数是 ( ) A.13B. 13C.3 D.-3 解析： (-3)+3=0. 答案： C. 2.在平面直角坐标系中，点 (1， 5)所在的象限是 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：点 (1， 5)所在的象限是第一象限 . 答案： A. 3.方程 2x+3=7 的解是 ( ) A.x=5 B.x=4 C.x=3.5 D.x=2 解析： 2x+3=7， 移项合并得： 2x=4， 解得： x=2， 答案： D 4.如图，直线 AB CD， AE 平
2、分 CAB.AE 与 CD 相交于点 E， ACD=40，则 BAE 的度数是 ( ) A.40 B.70 C.80 D.140 解析： AB CD， ACD+ BAC=180， ACD=40， BAC=180 -40 =140， AE 平分 CAB， BAE=12 BAC=12 140 =70， 答案： B. 5.不等式组 2232xxxx 的解集是 ( ) A.x -2 B.x 1 C.-1 x 2 D.-2 x 1 解析： 2232xxxx ， 解得 x -2， 解得 x 1， 则不等式组的解集是： -2 x 1. 答案： D. 6.一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号
3、为 1， 2， 3， 4 随机摸出一个小球，不放回，再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是 ( ) A.16B. 516C.13D.12解析：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，两次摸出的小球标号的积小于 4 的有 4 种情况， 两次摸出的小球标号的积小于 4 的概率是： 4=1213. 答案： C. 7.某文具店三月份销售铅笔 100 支，四、五两个月销售量连续增长 .若月平均增长率为 x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是 ( ) A.100(1+x) B.100(1+x)2 C.100(1+x2) D.100(1+2x) 解析：若月平均增长率为 x，则该文具店五
4、月份销售铅笔的支数是： 100(1+x)2， 答案： B. 8.如图，按照三视图确定该几何体的全面积是 (图中尺寸单位： cm)( ) A.40 cm2 B.65 cm2 C.80 cm2 D.105 cm2 解析：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥； 根据三视图知：该圆锥的母线长为 8cm，底面半径为 10 2=5cm， 故表面积 = rl+ r2= 5 8+ 52=65 cm2. 答案： B. 二、填空题：本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分 9.因式分解： x2-3x= . 解析： x2-3x=x(x-3). 答案： x(x-3)
5、 10.若反比例函数 kyx的图象经过点 (1， -6)，则 k 的值为 解析：反比例函数 kyx的图象经过点 (1， -6)， k=1 (-6)=-6. 答案 ： -6. 11.如图，将 ABC 绕点 A 逆时针旋转的到 ADE，点 C 和点 E 是对应点，若 CAE=90，AB=1，则 BD= . 解析：将 ABC 绕点 A 逆时针旋转的到 ADE，点 C 和点 E 是对应点， AB=AD=1， BAD= CAE=90， 2 2 2 21 1 2B D A B A D . 答案： 2 . 12.下表是某校女子排球队队员的年龄分布 年龄 /岁 13 14 15 16 频数 1 1 7 3 则
6、该校女子排球队队员的平均年龄是 .岁 . 解析：根据题意得： (13 1+14 1+15 7+16 3) 12=15(岁 )， 即该校女子排球队队员的平均年龄为 15 岁 . 答案： 15. 13.如图，在菱形 ABCD 中， AB=5， AC=8，则菱形的面积是 . 解析：连接 BD，交 AC 于点 O， 四边形 ABCD 是菱形， AC BD， AO=CO=4， 22 3B O A B A O ， 故 BD=6， 则菱形的面积是： 12 6 8=24. 答案： 24. 14.若关于 x 的方程 2x2+x-a=0 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是 . 解析：关于 x 的方程
7、2x2+x-a=0 有两个不相等的实数根， =12-4 2 (-a)=1+8a 0， 解得： a 18. 答案： a 18. 15.如图，一艘渔船位于灯塔 P 的北偏东 30方向，距离灯塔 18 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 55方向上的 B 处，此时渔船与灯塔 P 的距离约为 .海里 (结果取整数 )(参考数据： sin55 0.8， cos55 0.6， tan55 1.4). 解析：如图，作 PC AB 于 C， 在 Rt PAC 中， PA=18， A=30， PC=12PA=12 18=9， 在 Rt PBC 中， PC=9， B=55， 9
8、 110 .8PCPB s in B ， 答：此时渔船与灯塔 P 的距离约为 11 海里 . 答案： 11. 16.如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴相交于点 A、 B(m+2， 0)与 y 轴相交于点 C，点 D 在该抛物线上，坐标为 (m， c)，则点 A 的坐标是 . 解析：由 C(0， c)， D(m， c)，得函数图象的对称轴是 x=2m， 设 A 点坐标为 (x， 0)，由 A、 B 关于对称轴 x=2m，得 222x m m ， 解得 x=-2， 即 A 点坐标为 (-2， 0)， 答案： (-2， 0). 三、解答题：本大题共 4 小题， 17、 18、 19 各
9、9 分 20 题 12 分，共 39 分 17.计算： 0 35 1 5 1 2 2 7 （ ） （ ） （ ）. 解析： 本题涉及平方差公式、零指数幂、三次根式化简 3 个考点 .在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： ( 0 35 1 5 1 2 2 7 （ ） （ ） （ ） =5-1+1-3 =2. 18.先化简，再求值： (2a+b)2-a(4a+3b)，其中 a=1， b= 2 解析： 原式利用完全平方公式，单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与 b 的值代入计算即可求出值 . 答案：原式 =4a2+4ab+b2-
10、4a2-3ab=ab+b2， 当 a=1， b= 2 时，原式 = 2 +2. 19.如图， BD 是 ABCD 的对角线， AE BD， CF BD，垂足分别为 E、 F，求证： AE=CF. 解析： 根据平行四边形的性质得出 AB=CD， AB CD，根据平行线的性质得出 ABE= CDF，求出 AEB= CFD=90，根据 AAS 推出 ABE CDF，得出对应边相等即可 . 答案：四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD， AB CD， ABE= CDF， AE BD， CF BD， AEB= CFD=90， 在 ABE 和 CDF 中， A E B C F DA B E C D
11、FA B C D， ABE CDF(AAS)， AE=CF. 20.为了解某小区某月家庭用水量的情况，从该小区随机抽取部分家庭进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分 分组 家庭用水量 x/吨 家庭数 /户 A 0 x 4.0 4 B 4.0 x 6.5 13 C 6.5 x 9.0 D 9.0 x 11.5 E 11.5 x 14.0 6 F x 4.0 3 根据以上信息，解答下列问题 (1)家庭用水量在 4.0 x 6.5 范围内的家庭有 .户，在 6.5 x 9.0 范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 .%； (2)本次调查的家庭数为 .户，家庭用水量在 9.0 x 11.
12、5 范围内的家庭数占被调查家庭数的百分比是 .%； (3)家庭用水量的中位数落在 .组； (4)若该小区共有 200 户家庭，请估计该月用水量不超过 9.0 吨的家庭数 . 解析： (1)观察表格和扇形统计图就可以得出结果； (2)利用 C 组所占百分比及户数可算出调查家庭的总数，从而算出 D 组的百分比； (3)从第二问知道调查户数为 50，则中位数为第 25、26 户的平均数，由表格可得知落在 C 组； (4)计算调查户中用水量不超过 9.0 吨的百 分比，再乘以小区内的家庭数就可以算出 . 答案： (1)观察表格可得 4.0 x 6.5 的家庭有 13 户， 6.5 x 9.0 范围内的
13、家庭数占被调查家庭数的百分比为 30%； (2)调查的家庭数为： 13 26%=50， 6.5 x 9.0 的家庭数为： 50 30%=15， D 组 9.0 x 11.5 的家庭数为： 50-4-13-6-3-15=9， 9.0 x 11.5 的百分比是： 9 50 100%=18%； (3)调查的家庭数为 50 户，则中位数为第 25、 26 户的平均数，从表格观察都落在 C 组； 故答案为： (1)13， 30； (2)50， 18； (3)C； (4)调查家庭中不超过 9.0 吨的户数有： 4+13+15=32， 3250 200=128(户 )， 答：该月用水量不超过 9.0 吨的家
14、庭数为 128 户 . 四、解答题：本大题共 3 小题， 21、 22 各 9 分 23 题 10 分，共 28 分 21.A、 B 两地相距 200 千米，甲车从 A 地出发匀速开往 B 地，乙车同时从 B 地出发匀速开往A 地，两车相遇时距 A 地 80 千米 .已知乙车每小时比甲车多行驶 30 千米，求甲、乙两车的速度 . 解析： 根据题意，可以设出甲、乙的速度，然后 根据题目中的关系，列出相应的方程，本题得以解决 . 答案：设甲车的速度是 x 千米 /时，乙车的速度为 (x+30)千米 /时， 80 200 8030xx 解得， x=60， 经检验， x=60 是分式方程的根， 则 x
15、+30=90， 即甲车的速度是 60 千米 /时，乙车的速度是 90 千米 /时 . 22.如图，抛物线 2 534y x x 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C，点 D 是直线BC 下方抛物线上一点，过点 D 作 y 轴的平行线，与直线 BC 相交于点 E (1)求直线 BC 的解析式； (2)当线段 DE 的长度最大时，求点 D 的坐标 . 解析： (1)利用坐标轴上点的特点求出 A、 B、 C 点的坐标，再用待定系数法求得直线 BC 的解析式； (2)设点 D 的横坐标为 m，则纵坐标为 (m， 2 534mm)， E 点的坐标为 (m， 1524m)，可得两点间的
16、距离为 2 52d m m，利用二次函数的最值可得 m，可得点 D 的坐标 . 答案： (1)抛物线 2 534y x x 与 x 轴相交于 A、 B 两点，与 y 轴相交于点 C， 令 y=0，可得 x=12或 x=52， A(12， 0)， B(52， 0)； 令 x=0，则 y=54， C 点坐标为 (0， 54)， 设直线 BC 的解析式为： y=kx+b，则有， 5 0254kbb ， 解得：1254kb ， 直线 BC 的解析式为： 1524yx； (2)设点 D 的横坐标为 m，则坐标为 (m， 2 534mm)， E 点的坐标为 (m， 1524m)， 设 DE 的长度为 d，
17、 点 D 是直线 BC 下方抛物线上一点， 则 21 5 532 4 4d m m m （ ）， 整理得， 2 52d m m， a=-1 0， 当 5522 2 1 4bma 时， 2 2504 2 544 4 1 6a c bda 最 大， D 点的坐标为 ( 5 254 16， -). 23.如图， AB 是 O 的直径，点 C、 D 在 O 上， A=2 BCD，点 E 在 AB 的延长线上，AED= ABC (1)求证： DE 与 O 相切； (2)若 BF=2， DF= 10 ，求 O 的半径 . 解析： (1)连接 OD，由 AB 是 O 的直径，得到 ACB=90，求得 A+
18、ABC=90，等量代换得到 BOD= A，推出 ODE=90，即可得到结论； (2)连接 BD，过 D 作 DH BF 于 H，由弦且角定理得到 BDE= BCD，推出 ACF 与 FDB 都是等腰三角形，根据等腰直角三角形的性质得到 FH=BH=12BF=1，则 FH=1，根据勾股定理得到 HD= 22DF FH =3，然后根据勾股定理列方程即可得到结论 . 答案： (1)证明：连接 OD， AB 是 O 的直径， ACB=90， A+ ABC=90， BOD=2 BCD， A=2 BCD， BOD= A， AED= ABC， BOD+ AED=90， ODE=90， 即 OD DE， DE
19、 与 O 相切； (2)解：连接 BD，过 D 作 DH BF 于 H， DE 与 O 相切， BDE= BCD， AED= ABC， AFC= DBF， AFC= DFB， ACF 与 FDB 都是等腰三角形， FH=BH=12BF=1，则 FH=1， HD= 22DF FH =3， 在 Rt ODH 中， OH2+DH2=OD2， 即 (OD-1)2+32=OD2， OD=5， O 的半径是 5. 五、解答题：本大题共 3 小题， 24 题 11 分， 25、 26 各 12 分，共 35 分 24.如图 1， ABC 中， C=90，线段 DE 在射线 BC 上，且 DE=AC，线段 D
20、E 沿射线 BC 运动，开始时，点 D 与点 B 重合，点 D 到达点 C 时运动停止，过点 D 作 DF=DB，与射线 BA相交于 点 F，过点 E 作 BC 的垂线，与射线 BA 相交于点 G.设 BD=x，四边形 DEGF 与 ABC重叠部分的面积为 S， S 关于 x 的函数图象如图 2 所示 (其中 0 x 1， 1 x m， m x 3时，函数的解析式不同 ) (1)填空： BC 的长是 .； (2)求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围 . 解析： (1)由图象即可解决问题 . (2)分三种情形如图 1 中，当 0 x 1 时，作 DM AB 于 M，根据 S=S
21、 ABC-S BDF-S 四边形 ECAG即可解决 . 如图 2 中，作 AN DF 交 BC 于 N，设 BN=AN=x，在 RT ANC 中，利用勾股定理求出 x，再根据 S=S ABC-S BDF-S 四边形 ECAG 即可解决 . 如图 3 中，根据 S=12CD CM，求出 CM 即可解决问题 . 答案： (1)由图象可知 BC=3. 故答案为 3. (2)如图 1 中，当 0 x 1 时，作 DM AB 于 M， 由题意 BC=3， AC=2， C=90， 22 13A B A C B C ， B= B， DMB= C=90， BMD BCA， D M B M D BA C B C
22、 A B， 213xDM ， 313xBM ， BD=DF， DM BF， BM=MF， 2613BDFSx ， EG AC， EG BEAC BC， 223EG x ， EG=23(x+2)， 122 2 123E C A GS x x 四 边 形 （ ） （ ）， 226 1 2 5 4 43 2 2 11 3 2 3 9 3 3 3A B C B D F E C A GS S S S x x x x x 四 边 形 （ ） （ ）. 如图中，作 AN DF 交 BC 于 N，设 BN=AN=x， 在 RT ANC 中， AN2=CN2+AC2， x2=22+(3-x)2， x=136，
23、当 1 x 136时， S=S ABC-S BDF=3- 613x2， 如图 3 中，当 136 x 3 时， DM AN， CD CMCN CA， 313 236x CM ， CM=125(3-x)， 216 325S C D C M x （ ）， 综上所述 2225 4 4013 9 3 36 1 3311 3 66 1 33356()()()x x xS x xxx . 25.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图 1， ABC 中， AB=AC，点 D 在 BC 边上， DAB= ABD， BE AD，垂足为 E，求证： BC=2AE. 小明经探究发现，过点 A 作 AF BC，垂
24、足为 F，得到 AFB= BEA，从而可证 ABF BAE(如图 2)，使问题得到解决 . (1)根据阅读材料回答： ABF 与 BAE 全等的条件是 AAS(填“ SSS”、“ SAS”、“ ASA”、“ AAS”或“ HL”中的一个 ) 参考小明思考问题的方法，解答下列问题： (2)如图 3， ABC 中， AB=AC， BAC=90， D 为 BC 的中点， E 为 DC 的中点，点 F 在 AC的延长线上，且 CDF= EAC，若 CF=2，求 AB 的长； (3)如图 4， ABC 中， AB=AC， BAC=120，点 D、 E 分别在 AB、 AC 边上，且 AD=kDB(其中
25、0 k 33)， AED= BCD，求 AEEC的值 (用含 k 的式子表示 ). 解析： (1)作 AF BC，判断出 ABF BAE(AAS)，得出 BF=AE，即可； (2)先求出 tan DAE=12，再由 tan F=tan DAE，求出 CG，最后用 DCG ACE 求出 AC； (3)构造含 30角的直角三角形，设出 DG，在 Rt ABH， Rt ADN， Rt ABH 中分别用 a， k表示出 AB=2a(k+1)， BH= 3 a(k+1)， BC=2BH=23a(k+1)， CG= 3 a(2k+1)， DN= 3 ka，最后用 NDE GDC，求出 AE， EC 即可
26、. 答案： (1)如图 2， 作 AF BC， BE AD， AFB= BEA， 在 ABF 和 BAE 中， A F B B E AD A B A B DA B A B， ABF BAE(AAS)， BF=AE AB=AC， AF BC， BF=12BC， BC=2AE， 故答案为 AAS (2)如图 3， 连接 AD，作 CG AF， 在 Rt ABC 中， AB=AC，点 D 是 BC 中点， AD=CD， 点 E 是 DC 中点， DE=12CD=12AD， 1 122CDDEt a n D A E A D A D ， AB=AC， BAC=90，点 D 为 BC 中点， ADC=90
27、， ACB= DAC=45， F+ CDF= ACB=45， CDF= EAC， F+ EAC=45， DAE+ EAC=45， F= DAE， tan F=tan DAE=12， 12CGCF， CG=12 2=1， ACG=90， ACB=45， DCG=45， CDF= EAC， DCG ACE， DC CGAC CE， CD= 22AC， 1224C E C D A C， 21224ACAC AC ， AC=4； AB=4； (3)如图 4， 过点 D 作 DG BC，设 DG=a， 在 Rt BGD 中， B=30， BD=2a， BG= 3 a， AD=kDB， AD=2ka， A
28、B=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1)， 过点 A 作 AH BC， 在 Rt ABH 中， B=30 . BH= 3 a(k+1)， AB=AC， AH BC， BC=2BH=2 3 a(k+1)， CG=BC-BG= 3 a(2k+1)， 过 D 作 DN AC 交 CA 延长线与 N， BAC=120， DAN=60， ADN=30， AN=ka， DN= 3 ka， DGC= AND=90， AED= BCD， NDE GDC. DN NEDG CG， 3 3 2 1k a N Ea ak， NE=3ak(2k+1)， EC=AC-AE=AB-AE=2a(k+1)-2ak(3k+
29、1)=2a(1-3k2)， 2222 3 1 3132 1 3a k kA E k kE C kak . 26.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2+14与 y 轴相交于点 A，点 B 与点 O 关于点A 对称 (1)填空：点 B 的坐标是 .； (2)过点 B 的直线 y=kx+b(其中 k 0)与 x 轴相交于点 C，过点 C 作直线 l 平行于 y 轴， P 是直线 l 上一点，且 PB=PC，求线段 PB 的长 (用含 k 的式子表示 )，并判断点 P 是否在抛物线上，说明理由； (3)在 (2)的条件下，若点 C 关于直线 BP 的对称点 C恰好落在该抛物线的对称轴上
30、，求此时点 P 的坐标 . 解析： (1)由抛物线解析式可求得 A 点坐标，再利用对称可求得 B 点坐标； (2)可先用 k 表示出 C 点坐标，过 B 作 BD l 于点 D，条件可知 P 点在 x 轴上方，设 P 点纵坐标为 y，可表示出 PD、 PB 的长，在 Rt PBD 中，利用勾股定理可求得 y，则可求出 PB 的长，此时可得出 P 点坐标，代入抛物线解析式可判断 P 点在抛物线上； (3)利用平行线和轴对称的性质可得到 OBC= CBP= C BP=60，则可求得 OC 的长，代入抛物线解析式可求得 P 点坐标 . 答案： (1)抛物线 y=x2+14与 y 轴相交于点 A， A
31、(0， 14)， 点 B 与点 O 关于点 A 对称， BA=OA=14， OB=12，即 B 点坐标为 (0， 12)， 故答案为： (0， 12)； (2) B 点坐标为 (0， 12)， 直线解析式为 y=kx+12，令 y=0 可得 kx+12=0，解得 x= 12k， OC= 12k， PB=PC， 点 P 只能在 x 轴上方， 如图 1，过 B 作 BD l 于点 D，设 PB=PC=m， 则 BD=OC= 12k， CD=OB=12， PD=PC-CD=m-12， 在 Rt PBD 中，由勾股定理可得 PB2=PD2+BD2， 即 2 2 21122mm k （ ） （ ），解得
32、21144m k ， PB21144k ， P 点坐标为 (21 1 12 4 4kk， )， 当 x= 12k时，代入抛物线解析式可得21144y k ， 点 P 在抛物线上； (3)如图 2，连接 CC， l y 轴， OBC= PCB， 又 PB=PC， PCB= PBC， PBC= OBC， 又 C、 C关于 BP 对称，且 C在抛物线的对称轴上，即在 y 轴上， PBC= PBC， OBC= CBP= C BP=60， 在 Rt OBC 中， OB=12，则 BC=1 OC= 32，即 P 点的横坐标为 32，代入抛物 线解析式可得 231124y （ ）， P 点坐标为 ( 32， 1).
