1、2016年 辽宁省沈阳市 中考真题数学 一、选择题 (下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题 2分，共 20分 ) 1.下列各数是无理数的是 ( ) A.0 B.-1 C. 2 D.37解析：根据无理数是无限不循环小数可知： 0， -1， 37是有理数， 2 是无理数 . 答案： C. 2.如图是由 4个大小相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：画出从上往下看的图形即可 . 这个几何体的俯视图为 . 答案： A. 3.在我市 2016 年春季房地产展示交易会上，全市房地产开发企业提供房源的参展面积达到5400000平方米，将数据 5
2、400000用科学记数法表示为 ( ) A.0.54 107 B.54 105 C.5.4 106 D.5.4 107 解析：科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1 |a| 10， n为整数 .确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值大于 10时， n是正数；当原数的绝对值小于 1时， n是负数 . 5400000用科学记数法表示为 5.4 106. 答案： C. 4.如图，在平面直角坐标系中，点 P是反比例函数 kyx(x 0)图象上的一点，分别过点 P作 PA x轴于点 A， PB y轴于点 B.若四边形
3、OAPB的面积为 3，则 k的值为 ( ) A.3 B.-3 C.32D. 32解析：点 P是反比例函数 kyx(x 0)图象上的一点，分别过点 P作 PA x轴于点 A， PB y轴于点 B.若四边形 OAPB的面积为 3， 矩形 OAPB的面积 S=|k|=3， 解得 k= 3. 又反比例函数的图象在第一象限， k=3. 答案： A. 5.“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是 ( ) A.确定事件 B.必然事件 C.不可能事件 D.不确定事件 解析：“射击运动员射击一次，命中靶心”这个事件是随机事件，属于不确定事件 . 答案： D. 6.下列计算正确的是 ( ) A.x4+x4=2x
4、8 B.x3 x2=x6 C.(x2y)3=x6y3 D.(x-y)(y-x)=x2-y2 解析：先计算出各个选项中式子的正确结果，即可得到哪个选项是正确的，本题得以解决 . x4+x4=2x4，故选项 A 错误； x3 x2=x5，故选项 B 错误； (x2y)3=x6y3，故选项 C正确； (x-y)(y-x)=-x2+2xy-y2，故选项 D错误 . 答案： C. 7.已知一组数据： 3， 4， 6， 7， 8， 8，下列说法正确的是 ( ) A.众数是 2 B.众数是 8 C.中位数是 6 D.中位数是 7 解析：数据： 3， 4， 6， 7， 8， 8的众数为 8，中位数为 6.5.
5、 答案： B. 8.一元二次方程 x2-4x=12的根是 ( ) A.x1=2， x2=-6 B.x1=-2， x2=6 C.x1=-2， x2=-6 D.x1=2， x2=6 解析：方程整理得： x2-4x-12=0， 分解因式得： (x+2)(x-6)=0， 解得： x1=-2， x2=6. 答案： B 9.如图，在 Rt ABC中， C=90， B=30， AB=8，则 BC的长是 ( ) A.433B.4 C.8 3 D.4 3 解析：在 Rt ABC中， C=90， B=30， AB=8， BCcosB AB ， 即 308BCcos ， 3 3284BC . 答案： D. 10.在
6、平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+2x-3的图象如图所示，点 A(x1， y1)， B(x2， y2)是该二次函数图象上的两点，其中 -3 x1 x2 0，则下列结论正确的是 ( ) A.y1 y2 B.y1 y2 C.y的最小值是 -3 D.y的最小值是 -4 解析：根据抛物线解析式求得抛物线的顶点坐标，结合函数图象的增减性进行解答 . y=x2+2x-3=(x+3)(x-1)， 则该抛物线与 x轴的两交点横坐标分别是 -3、 1. 又 y=x2+2x-3=(x+1)2-4， 该抛物线的顶点坐标是 (-1， -4)，对称轴为 x=-1. A、无法确定点 A、 B离对称轴 x=-1的远近，
7、故无法判断 y1与 y2的大小，故本选项错误； B、无法确定点 A、 B离对称轴 x=-1的远近，故无法判断 y1与 y2的大小，故本选项错误； C、 y的最小值是 -4，故本选项错误； D、 y的最小值是 -4，故本选项正确 . 答案： D. 二、填空题 (每小题 3 分，共 18分 ) 11.分解因式： 2x2-4x+2= . 解析：先提取公因数 2，再利用完全平方公式进行二次分解 .完全平方公式： (a b)2=a22ab+b2. 2x2-4x+2， =2(x2-2x+1)， =2(x-1)2. 答案： 2(x-1)2. 12.若一个多边形的内角和是 540，则这个多边形是 边形 . 解
8、析： 根据多边形的内角和公式求出边数即可 . 设多边形的边数是 n，则 (n-2) 180 =540， 解得 n=5. 即这个多边形是五边形 . 答案 ：五 . 13.化简： 1111 mm . 解析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果 . 原式 11 11m mmm . 答案： m 14.三个连续整数中， n是最大的一个，这三个数的和为 . 解析：由题意得，这三个连续整数位 n-2， n-1和 n，这三个数的和为 n-2+n-1+n=3n-3. 答案： 3n-3. 15.在一条笔直的公路上有 A， B， C 三地， C地位于 A， B两地之间，甲，乙两车分别从
9、 A， B两地出发，沿这条公路匀速行驶至 C地停止 .从甲车出发至甲车到达 C 地的过程，甲、乙两车各自与 C 地的距离 y(km)与甲车行驶时间 t(h)之间的函数关系如图表示，当甲车出发 h时，两车相距 350km. 解析：由题意，得 AC=BC=240km， 甲的速度 240 4=60km/h，乙的速度 240 30=80km/h. 设甲出发 x小时甲乙相距 350km，由题意，得 60x+80(x-1)+350=240 2， 解得 32x， 答：甲车出发 32h时，两车相距 350km， 答案： 32. 16.如图，在 Rt ABC 中， A=90， AB=AC， BC=20， DE
10、是 ABC 的中位线，点 M 是边 BC上一点， BM=3，点 N 是线段 MC 上的一个动点，连接 DN， ME， DN 与 ME 相交于点 O.若 OMN是直角三角形，则 DO 的长是 . 解析：如图作 EF BC 于 F， DN BC 于 N交 EM于点 O，此时 MN O =90， DE是 ABC中位线， DE BC， DE=12BC=10， DN EF， 四边形 DEFN是平行四边形， EFN =90， 四边形 DEFN是矩形， EF=DN， DE=FN =10， AB=AC， A=90， B= C=45， BN =DN =EF=FC=5， ED DOMN O N ， 1025DOD
11、O ， 256DO. 当 MON=90时， DOE EFM， DO EDEF EM， 22 13E M E F M F ， 5013DO. 即 DO的长为 256或 5013. 答案： 256或 5013. 三、解答题 17.计算： 20 1( ) |4 3 0 22 7|6t a n . 解析：直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、二次根式的性质分别化简求出答案 . 答案：原式 1 3 4 33 3 32 . 18.为了传承优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有论语，三字经，弟子规 (分别用字母 A， B， C依次表示这三个诵读材料
12、)，将 A， B， C这三个字母分别写在 3 张完全相同的不透明卡片的正面上，把这 3 张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上 .小明和小亮参加诵读比赛，比赛时小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的内容，放回后洗匀，再由小亮从中随机抽取一张卡片，选手按各自抽取的卡片上的内容进行诵读比赛 . (1)小明诵读论语的概率是 . 解析： (1)利用概率公式直接计算即可 . 答案： (1)诵读材料有论语，三字经，弟子规三种， 小明诵读论语的概率 =13. 故答案为： 13. (2)请用列表法或画树状图 (树形图 )法求小明和小亮诵读两个不同材料的概率 . 解析： (2)列举出所有情况，看小明和小亮诵读两个不
13、同材料的情况数占总情况数的多少即可 . 答案： (2)列表得： 由表格可知，共有 9种等可能性结果，其中小明和小亮诵读两个不同材料结果有 6种 . 所以小明和小亮诵读两个不同材料的概率 269 3 . 19.如图， ABC ABD，点 E在边 AB 上， CE BD，连接 DE.求证： (1) CEB= CBE. 解析： (1)欲证明 CEB= CBE，只要证明 CEB= ABD， CBE= ABD即可 . 答案： (1) ABC ABD， ABC= ABD， CE BD， CEB= DBE， CEB= CBE. (2)四边形 BCED是菱形 . 解析： (2)先证明四边形 CEDB是平行四边
14、形，再根据 BC=BD即可判定 . 答案： (2) ABC ABD， BC=BD， CEB= CBE， CE=CB， CE=BD CE BD， 四边形 CEDB是平行四边形， BC=BD， 四边形 CEDB是菱形 . 20.我市某中学决定在学生中开展丢沙包、打篮球、跳大绳和踢毽球四种项目的活动，为了解学生对四种项目的喜欢情况，随机调查了该校 m 名学生最喜欢的一种项目 (每名学生必选且只能选择四种活动项目的一种 )，并将调查结果绘制成如下的不完整的统计图表： 根据图表中提供的信息，解答下列问题： (1)m= ， n= ， p= . 解析： (1)利用 20 10%=200，即可得到 m 的值；
15、用 200 40%即可得到 n 的值，用 60 200即可得到 p的值 . m=20 10%=200； n=200 40%=80； 60 200=30%， p=30. 答案： (1)200， 80， 30. (2)请根据以上信息直接补全条形统计图 . 解析： (2)根据 n的值即可补全条形统计图 . 答案： (2)如图， (3)根据抽样调查结果，请你估计该校 2000名学生中有多少名学生最喜欢跳大绳 . 解析： (3)根据用样本估计总体， 2000 40%，即可解答 . 答案： (3)2000 40%=800(人 )， 答：估计该校 2000名学生中有 800名学生最喜欢跳大绳 . 21.如图
16、，在 ABC中，以 AB为直径的 O分别于 BC， AC相交于点 D， E， BD=CD，过点 D作 O的切线交边 AC于点 F. (1)求证： DF AC. 解析： (1)连接 OD，由切线的性质即可得出 ODF=90，再由 BD=CD， OA=OB可得出 OD 是ABC 的中位线，根据三角形中位线的性质即可得出，根据平行线的性质即可得出 CFD=ODF=90，从而证出 DF AC. 答案： (1)连接 OD，如图所示 . DF是 O的切线， D 为切点， OD DF， ODF=90 . BD=CD， OA=OB， OD是 ABC的中位线， OD AC， CFD= ODF=90， DF AC
17、. (2)若 O的半径为 5， CDF=30，求 BD 的长 (结果保留 ). 解析： (2)由 CDF=30以及 ODF=90即可算出 ODB=60，再结合 OB=OD 可得出 OBD是等边三角形，根据弧长公式即可得出结论 . 答案： (2) CDF=30， 由 (1)得 ODF=90， ODB=180 - CDF- ODF=60 . OB=OD， OBD是等边三角形， BOD=60， BD 的长 6 0 5 51 8 0 1 8 0 3nR . 22.倡导健康生活，推进全民健身，某社区要购进 A， B 两种型号的健身器材若干套， A， B两种型号健身器材的购买单价分别为每套 310元， 4
18、60元，且每种型号健身器材必须整套购买 . (1)若购买 A， B两种型号的健身器材共 50 套，且恰好支出 20000元，求 A， B两种型号健身器材各购买多少套？ 解析： (1)设购买 A种型号健身器材 x套， B型器材健身器材 y套，根据：“ A， B两种型号的健身器材共 50套、共支出 20000元”列方程组求解可得 . 答案： (1)设购买 A种型号健身器材 x套， B型器材健身器材 y套， 根据题意，得： 503 1 0 4 6 0 2 0 0 0 0xyxy， 解得： 2030xy， 答：购买 A种型号健身器材 20套， B型器材健身器材 30套 . (2)若购买 A， B两种型
19、号的健身器材共 50套，且支出不超过 18000元，求 A种型号健身器材至少要购买多少套？ 解析： (2)设购买 A型号健身器材 m套，根据： A型器材总费用 +B 型器材总费用 18000，列不等式求解可得 . 答案： (2)设购买 A型号健身器材 m套， 根据题意，得： 310m+460(50-m) 18000， 解得： 1333m， m为整数， m的最小值为 34. 答： A种型号健身器材至少要购买 34 套 . 23.如图，在平面直角坐标系中， AOB 的顶点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (4， 0)，点 B的坐标为 (0， 1)，点 C为边 AB的中点，正方形 OBDE 的顶点
20、 E在 x轴的正半轴上，连接 CO，CD， CE. (1)线段 OC的长为 . 解析： (1)由点 A的坐标为 (4， 0)，点 B的坐标为 (0， 1)，利用勾股定理即可求得 AB的长，然后由点 C 为边 AB 的中点，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，可求得线段 OC的长 . 点 A的坐标为 (4， 0)，点 B的坐标为 (0， 1)， OA=4， OB=1， AOB=90， 22 17A B O A O B ， 点 C为边 AB的中点， 17212O C A B. 答案： (1) 172. (2)求证： CBD COE. 解析： (2)由四边形 OBDE 是正方形，直角三角形斜边的
21、中线等于斜边的一半，易得 BD=OE，BC=OC， CBD= COE，即可证得： CBD COE. 答案： (2) AOB=90，点 C是 AB的中点， OC=BC=12AB， CBO= COB， 四边形 OBDE是正方形， BD=OE， DBO= EOB=90， CBD= COE， 在 CBD和 COE中， C B C OC B D C O EB D O E， CBD COE(SAS). (3)将正方形 OBDE沿 x 轴正方向平移得到正方形 O1B1D1E1，其中点 O， B， D， E的对应点分别为点 O1， B1， D1， E1，连接 CD， CE，设点 E 的坐标为 (a， 0)，其
22、中 a 2， CD1E1的面积为S. 当 1 a 2时，请直接写出 S与 a之间的函数表达式； 在平移过程中，当 S=14时，请直接写出 a的值 . 解析： (3)首先根据题意画出图形，然后过点 C 作 CH D1E1于点 H，可求得 CD1E1的高与底，继而求得答案； 分别从 1 a 2与 a 2去分析求解即可求得答案 . 答案： (3) 过点 C作 CH D1E1于点 H， C是 AB边的中点， 点 C的坐标为： (2， 12) 点 E的坐标为 (a， 0)， 1 a 2， CH=2-a， 111 1 122 1 2 12S D E C H a a . 当 1 a 2时， 11124Sa
23、， 解得： 32a； 当 a 2时，同理： CH=a-2， 111 1 12 2 21 2 1S D E C H a a ， 11241Sa ， 解得： 52a. 综上可得：当 14S时， 32a或 52. 24.在 ABC中， AB=6， AC=BC=5，将 ABC绕点 A按顺时针方向旋转，得到 ADE，旋转角为 (0 180 )，点 B的对应点为点 D，点 C的对应点为点 E，连接 BD， BE. (1)如图，当 =60时，延长 BE 交 AD于点 F. 求证： ABD是等边三角形 . 求证： BF AD， AF=DF. 请直接写出 BE 的长 . 解析： (1)由旋转性质知 AB=AD，
24、 BAD=60即可得证；由 BA=BD、 EA=ED 根据中垂线性质即可得证；分别求出 BF、 EF 的长即可得 . 答案： (1) ABC绕点 A顺时 针方向旋转 60得到 ADE， AB=AD， BAD=60， ABD是等边三角形； 由得 ABD是等边三角形， AB=BD， ABC绕点 A顺时针方向旋转 60得到 ADE， AC=AE， BC=DE， 又 AC=BC， EA=ED， 点 B、 E在 AD的中垂线上， BE是 AD的中垂线， 点 F在 BE 的延长线上， BF AD， AF=DF； 由知 BF AD， AF=DF， AF=DF=3， AE=AC=5， EF=4， 在等边三角形
25、 ABD中， 633 32B F A B s i n B A F ， 3 3 4B E B F E F . (2)在旋转过程中，过点 D作 DG垂直于直线 AB，垂足为点 G，连接 CE，当 DAG= ACB，且线段 DG 与线段 AE无公共点时，请直接写出 BE+CE的值 . 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 . 解析： (2)由 ACB+ BAC+ ABC=180、 DAG+ DAE+ BAE=180、 DAG= ACB、 DAE= BAC得 BAE= BAC 且 AE=AC，根据三线合一可得 CE AB、 AC=5、 AH=3，继而知 CE=2CH=8、BE=5，
26、即可得答案 . 答案： (2)如图所示， DAG= ACB， DAE= BAC， ACB+ BAC+ ABC= DAG+ DAE+ ABC=180， 又 DAG+ DAE+ BAE=180， BAE= ABC， AC=BC=AE， BAC= ABC， BAE= BAC， AB CE，且 CH=HE=12CE， AC=BC， AH=BH=12AB=3， 则 CE=2CH=8， BE=5， BE+CE=13. 25.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OCDE的顶点 C和 E分别在 y轴的正半轴和 x轴的正半轴上， OC=8， OE=17，抛物线 23 320y x x m 与 y轴相交于点 A，抛物
27、线的对称轴与 x轴相交于点 B，与 CD交于点 K. (1)将矩形 OCDE沿 AB 折叠，点 O恰好落在边 CD 上的点 F处 . 点 B的坐标为 ( 、 )， BK的长是 ， CK的长是 . 求点 F的坐标 . 请直接写出抛物线的函数表达式 . 解析： (1)根据四边形 OCKB是矩形以及对称轴公式即可解决问题 . 在 RT BKF中利用勾股定理即可解决问题 . 设 OA=AF=x，在 RT ACF中， AC=8-x， AF=x， CF=4，利用勾股定理即可解决问题 . 答案： (1)如图 1中， 抛物线 23 320y x x m 的对称轴 102bx a ， 点 B坐标 (10， 0)
28、， 四边形 OBKC是矩形， CK=OB=10， KB=OC=8， 故答案分别为 10， 0， 8， 10. 在 RT FBK中， FKB=90， BF=OB=10， BK=OC=8， 22 6F K B F B K ， CF=CK-FK=4， 点 F坐标 (4， 8). 设 OA=AF=x， 在 RT ACF中， AC2+CF2=AF2， (8-x)2+42=x2， x=5， 点 A坐标 (0， 5)，代入抛物线 23 320y x x m 得 m=5， 抛物线为 23 3520y x x . (2)将矩形 OCDE沿着经过点 E的直线折叠，点 O恰好落在边 CD 上的点 G处，连接 OG，
29、折痕与 OG 相交于点 H，点 M 是线段 EH 上的一个动点 (不与点 H 重合 )，连接 MG， MO，过点 G 作GP OM 于点 P，交 EH 于点 N，连接 ON，点 M 从点 E 开始沿线段 EH 向点 H 运动，至与点 N重合时停止， MOG和 NOG的面积分别表示为 S1和 S2，在点 M的运动过程中， S1 S2(即 S1与 S2的积 )的值是否发生变化？若变化，请直接写出变化范围；若不变，请直接写出这个值 . 温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答 . 解析： (2)不变 .S1 S2=189.由 GHN MHG，得 GH HNMH GH，得到 GH2=H
30、N HM，求出 GH2，根据12 1122S S O G H N O G H M即可解决问题 . 答案： (2)不变 .S1 S2=189. 理由：如图 2中， 在 RT EDG中， GE=EO=17， ED=8， 2 2 2 21 7 8 1 5D G G E D E ， CG=CD-DG=2， 2 2 2 28 2 2 1 7O G O C C G ， CP OM， MH OG， NPN= NHG=90， HNG+ HGN=90， PNM+ PMN=90， HNG= PNM， HGN= NMP， NMP= HMG， GHN= GHM， GHN MHG， GH HNMH GH， GH2=HN HM， 17G H O H， HN HM=17， 212 2 1 7 1 71 1 122 2892S S O G H N O G H M .
