1、2016年重庆市中考真题 (A 卷 )数学 一、选择题 (本题共 12 个小题，每小题 4分，共 48 分 ) 1.在实数 -2， 2， 0， -1中，最小的数是 ( ) A.-2 B.2 C.0 D.-1 解析 ：在实数 -2， 2， 0， -1中，最小的数是 -2. 答案 ： A 2.下列图形中是轴对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，对称轴有两条，符合题意 . 答案 ： D. 3.计算 a3 a2正确的是 ( ) A.a B.a5 C.a6 D.a9
2、解析 ： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .a3 a2=a3+2=a5. 答案 ： B. 4.下列调查中，最适合采用全面调查 (普查 )方式的是 ( ) A.对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查 B.对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查 C.对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查 D.对重庆电视台“天天 630”栏目收视率的调查 解析 ： A、对重庆市辖区内长江流域水质情况的调查，应采用抽样调查； B、对乘坐飞机的旅客是否携带违禁物品的调查，应采用全面调查； C、对一个社区每天丢弃塑料袋数量的调查，应采用抽样调查； D、对重庆电视台“天天 630”栏目收视率的调查，应采用抽样调查 . 答案 ：
3、 B. 5.如图， AB CD，直线 l交 AB于点 E，交 CD于点 F，若 2=80，则 1等于 ( ) A.120 B.110 C.100 D.80 解析 ： AB CD， 1+ DFE=180， DFE= 2=80， 1=180 -80 =100 . 答案 ： C. 6.若 a=2， b=-1，则 a+2b+3 的值为 ( ) A.-1 B.3 C.6 D.5 解析 ： 当 a=2， b=-1时，原式 =2-2+3=3. 答案 ： B 7.函数 y= 12x中， x的取值范围是 ( ) A.x 0 B.x -2 C.x -2 D.x -2 解析 ： 根据题意得： x+2 0，解得 x
4、-2. 答案 ： D. 8. ABC与 DEF的相似比为 1： 4，则 ABC与 DEF的周长比为 ( ) A.1： 2 B.1： 3 C.1： 4 D.1： 16 解析 ： ABC与 DEF的相似比为 1： 4， ABC与 DEF的周长比为 1： 4. 答案 ： C. 9.如图，以 AB 为直径，点 O 为圆心的半圆经过点 C，若 AC=BC= 2 ，则图中阴影部分的面积是 ( ) A.4B.12 4C.2D.12 2解析： AB 为直径， ACB=90， AC=BC= 2 ， ACB为等腰直角三角形， OC AB， AOC和 BOC都是等腰直角三角形， S AOC=S BOC， OA= 2
5、2AC=1， S 阴影部分 =S 扇形 AOC= 290 1360 4. 答案 ： A. 10.下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第个图形中一共有 4 个小圆圈，第个图形中一共有 10 个小圆圈，第个图形中一共有 19 个小圆圈，按此规律排列，则第个图形中小圆圈的个数为 ( ) A.64 B.77 C.80 D.85 解析：通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第一个图形为： 21 2 2 12 =4， 第二个图形为： 21 3 3 22 =6， 第三个图形为： 21 4 4 32 =10， 第四个图形为： 21 5 5 42 =15， ， 所以第 n个图形为： 2212nn
6、 n， 当 n=7时， 27 2 7 1 72=85. 答案 ： D. 11.某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD高度的综合实践活动，如图，在点 A 处测得直立于地面的大树顶端 C 的仰角为 36，然后沿在同一剖面的斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处，然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处，斜面 AB 的坡度 (或坡比 )i=1： 2.4，那么大树CD的高度约为 (参考数据： sin36 0.59， cos36 0.81， tan36 0.73)( ) A.8.1米 B.17.2米 C.19.7米 D.25.5米 解析：作 BF AE 于 F，如图所示： 则 FE=BD=6米，
7、 DE=BF， 斜面 AB的坡度 i=1： 2.4， AF=2.4BF， 设 BF=x米，则 AF=2.4x米， 在 Rt ABF中，由勾股定理得： x2+(2.4x)2=132，解得： x=5， DE=BF=5米， AF=12米， AE=AF+FE=18米， 在 Rt ACE中， CE=AE tan36 =18 0.73=13.14米， CD=CE-DE=13.14米 -5米 8.1米 . 答案 ： A. 12.从 -3， -1， 12， 1， 3这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a使关于 x的不等式组 33 21 70xxa ，无解，且使关于 x的分式方程 2 133xaxx 有
8、整数解，那么这 5个数中所有满足条件的 a 的值之和是 ( ) A.-3 B.-2 C.-32D.12解析：解 33 21 70xxa ，得 1xxa ， ，不等式组 33 21 70xxa ，无解， a 1，解方程 2 133xaxx 得 x=52a， x=52a为整数， a 1， a=-3或 1，所有满足条件的 a的值之和是 -2. 答案 ： B. 二、填空题 (本题 6个下题，每小题 4分，共 24 分 ) 13.据报道， 2015年某市城镇非私营单位就业人员年平均工资超过 60500元，将数 60500用科学计数法表示为 . 解析： 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1
9、|a| 10， n为整数 .确定 n的值是易错点，由于 60500有 5位，所以可以确定 n=5-1=4. 60500=6.05 104. 答案： 6.05 104. 14.计算： 4+(-2)0= . 解析： 4+(-2)0=2+1=3. 答案 ： 3. 15.如图， OA， OB 是 O 的半径，点 C 在 O 上，连接 AC， BC，若 AOB=120，则 ACB= 度 . 解析： 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半 . AOB=120， ACB=120 12=60 . 答案： 60. 16.从数 -2， -12， 0， 4中任取一个数
10、记为 m，再从余下的三个数中，任取一个数记为 n，若k=mn，则正比例函数 y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 . 解析：根据题意画图如下： 共有 12 种情况， 正比例函数 y=kx的图象经过第三、第一象限， k 0， k=mn， mn 0，符合条件的情况数有 2种， 正比例函数 y=kx的图象经过第三、第一象限的概率是 21216. 答案 ： 1617.甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步 1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发 30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离 y(米 )与甲出发的时间 x(秒 )之间的关系如图所示，
11、则乙到终点时，甲距终点的距离是 米 . 解析：根据题意得，甲的速度为： 75 30=2.5米 /秒， 设乙的速度为 m米 /秒，则 (m-2.5) 150=75， 解得： m=3米 /秒， 则乙的速度为 3米 /秒， 乙到终点时所用的时间为： 15003=500(秒 )， 此时甲走的路程是： 2.5 (500+30)=1325(米 )， 甲距终点的距离是 1500-1325=175(米 ). 答案： 175. 18.正方形 ABCD中，对角线 AC， BD相交于点 O， DE平分 ADO交 AC于点 E，把 ADE沿 AD翻折，得到 ADE，点 F是 DE的中点，连接 AF， BF， E F.
12、若 AE= 2 .则四边形 ABFE的面积是 . 解析：如图，连接 EB、 EE，作 EM AB于 M， EE交 AD于 N. 四边形 ABCD是正方形， AB=BC=CD=DA， AC BD， AO=OB=OD=OC， DAC= CAB= DAE =45， 根据对称性， ADE ADE ABE， DE=DE， AE=AE， AD垂直平分 EE， EN=NE， NAE= NEA= MAE= MEA=45， AE= 2 ， AM=EM=EN=AN=1， ED平分 ADO， EN DA， EO DB， EN=EO=1， AO= 2 +1， AB= 2 AO=2+ 2 ， S AEB=S AED=S
13、 ADE =12 1(2+ 2 )=1+ 22， S BDE=S ADB-2S AEB=1+ 2 ， DF=EF， S EFB=12 2， S DEE =2S ADE-S AEE = 2 +1， S DFE =12S DEE = 2 12， S 四边形 AEFE =2S ADE-S DFE =32 2， S 四边形 ABFE =S 四边形 AEFE +S AEB+S EFB=632 2. 答案 ： 632 2. 三、解答题 (本题共 2 个小题，每小题 7分，共 14分 ) 19.如图，点 A， B， C， D在同一条直线上， CE DF， EC=BD， AC=FD.求证： AE=FB. 解析
14、： 根据 CE DF，可得 ACE= D，再利用 SAS证明 ACE FDB，得出对应边相等即可 . 答案 ： CE DF， ACE= D， 在 ACE和 FDB中， AC FDAC E DEC BD ， ACE FDB(SAS)， AE=FB. 20.为响应“全民阅读”号召，某校在七年级 800 名学生中随机抽取 100名学生，对概念机学生在 2015 年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，学生阅读中外名著的本数，最少的有 5本，最多的有 8本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的条形统计图，其中阅读了 6本的人数占被调查人数的 30%，根据图中提供的信息，补全条形统计图并估
15、计该校七年级全体学生在 2015年全年阅读中外名著的总本数 . 解析：由阅读了 6本的人数占被调查人数的 30%可求得阅读 6本的人数，将总人数减去阅读数是 5、 6、 8本的人数可得阅读 7本人数 ，据此补全条形图可得；根据样本计算出平均每人的阅读量，再用平均数乘以七年级学生总数即可得答案 . 答案：根据题意，阅读了 6本的人数为 100 30%=30(人 )， 阅读了 7本的人数为： 100-20-30-15=35(人 )， 补全条形图如图： 平均每位学生的阅读数量为： 5 2 0 6 3 0 7 3 5 8 1 5100 =6.45(本 )， 估计该校七年级全体学生在 2015年全年阅读
16、中外名著的总本数为 800 6.45=5160 本， 答：估计该校七年级全体学生在 2015年全年阅读中外名著的总本数约为 5160本 . 四、解答题 (本题共 4 个下题，每小题 10分，共 40分 ) 21.计算： (1)(a+b)2-b(2a+b) (2)(221xx+x-1) 21xxx. 解析： (1)根据完全平方公式和单项式乘多项式的法则计算即可； (2)根据分式的混合运算法则进行计算 . 答案： (1)(a+b)2-b(2a+b)=a2+2ab+b2-2ab-b2=a2； (2) 222212 2 2 2 1 1 1 111 1 1 1 1xx x x x x x x xxx x
17、 x x x x x x x . 22.在平面直角坐标系中，一次函数 y=ax+b(a 0)的图形与反比例函数 y=kx(k 0)的图象交于第二、四象限内的 A、 B两点，与 y轴交于 C点，过点 A作 AH y轴，垂足为 H， OH=3，tan AOH=43，点 B的坐标为 (m， -2). (1)求 AHO的周长； (2)求该反比例函数和一次函数的解析式 . 解析： (1)根据正切函数，可得 AH 的长，根据勾股定理，可得 AO的长，根据三角形的周长，可得答案； (2)根据待定系数法，可得函数解析式 . 答案： (1)由 OH=3， tan AOH=43，得 AH=4.即 A(-4， 3)
18、. 由勾股定理，得 AO= 22OH AH =5， AHO的周长 =AO+AH+OH=3+4+5=12. (2)将 A点坐标代入 y=kx(k 0)，得 k=-4 3=-12，反比例函数的解析式为 y= 12x； 当 y=-2时， -2= 12x，解得 x=6，即 B(6， -2). 将 A、 B点坐标代入 y=ax+b，得 4362abab ，解得 121ab ，一次函数的解析式为 y=-12x+1. 23.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注 .当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格 . (1)从今年年初至 5月 20日，猪肉价格不断走高，
19、 5月 20日比年初价格上涨了 60%.某市民在今年 5月 20日购买 2.5千克猪肉至少要花 100 元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？ (2)5月 20日，猪肉价格为每千克 40元 .5月 21 日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克 40 元的基础上下调 a%出售 .某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克 40 元的情况下，该天的两种猪肉总销量比 5 月 20 日增加了 a%，且储备猪肉的销量占总销量的 34，两种猪肉销售的总金额比 5 月 20 日提高了 110a%，求 a 的值 . 解析： (1)设今年年初猪肉价格为每千克 x 元；根
20、据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； (2)设 5月 20日两种猪肉总销量为 1；根据题意列出方程，解方程即可 . 答案： (1)设今年年初猪肉价格为每千克 x元； 根据题意得： 2.5 (1+60%)x 100，解得： x 25. 答：今年年初猪肉的最低价格为每千克 25 元； (2)设 5月 20日两种猪肉总销量为 1； 根据题意得： 40(1-a%) 34(1+a%)+40 14(1+a%)=40(1+110a%)， 令 a%=y，原方程化为： 40(1-y) 34(1+y)+40 14(1+y)=40(1+110y)， 整理得： 5y2-y=0，解得： y=0.2，或 y=0(舍去
21、 )，则 a%=0.2， a=20. 答： a的值为 20. 24.我们知道，任意一个正整数 n都可以进行这样的分解： n=p q(p， q是正整数，且 p q)，在 n的所有这种分解中，如果 p， q两因数之差的绝对值最小，我们就称 p q是 n的最佳分解 .并规定： F(n)=pq.例如 12 可以分解成 1 12， 2 6或 3 4，因为 12-1 6-2 4-3，所有 3 4是 12的最佳分解，所以 F(12)=34. (1)如果一个正整数 a 是另外一个正整数 b的平方，我们称正整数 a是完全平方数 .求证：对任意一个完全平方数 m，总有 F(m)=1； (2)如果一个两位正整数 t
22、， t=10x+y(1 x y 9， x， y为自然数 )，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为 18，那么我们称这个数 t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中 F(t)的最大值 . 解析： (1)根据题意可设 m=n2，由最佳分解定义可得 F(m)=nn=1； (2)根据“吉祥数”定义知 (10y+x)-(10x+y)=18，即 y=x+2，结合 x的范围可得 2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的 F(t)，比较后可得最大值 . 答案： (1)对任意一个完全平方数 m，设 m=n2(n为正整数 )， |n-n|=0， n n是 m的最佳分解， 对任意一个完全
23、平方数 m，总有 F(m)=nn=1. (2)设交换 t的个位上的数与十位上的数得到的新数为 t，则 t =10y+x， t为“吉祥数”， t -t=(10y+x)-(10x+y)=9(y-x)=18， y=x+2， 1 x y 9， x， y为自然数， “吉祥数”有： 13， 24， 35， 46， 57， 68， 79， F(13)=113， F(24)=46 23， F(35)=57， F(46)=223， F(57)=319， F(68)=417， F(79)=179， 57 23 417 319 223 113 179，所有“吉祥数”中， F(t)的最大值是 57. 五、解答题 (本
24、题 2个小题，每小题 12 分，共 24分 )解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上 . 25.在 ABC 中， B=45， C=30，点 D 是 BC 上一点，连接 AD，过点 A 作 AG AD，在AG上取点 F，连接 DF.延长 DA至 E，使 AE=AF，连接 EG， DG，且 GE=DF. (1)若 AB=2 2 ，求 BC的长； (2)如图 1，当点 G在 AC上时，求证： BD=12CG； (3)如图 2，当点 G在 AC的垂直平分线上时，直接写出 ABCG的值 . 解析： (1)如图 1中，过点 A作 AH BC 于
25、 H，分别在 RT ABH， RT AHC中求出 BH、 HC 即可 . (2)如图 1中，过点 A 作 AP AB交 BC于 P，连接 PG，由 ABD APG推出 BD=PG，再利用30度角性质即可解决问题 . (3)如图 2中，作 AH BC于 H， AC 的垂直平分线交 AC 于 P，交 BC 于 M.则 AP=PC，作 DK AB于 K，设 BK=DK=a，则 AK= 3 a， AD=2a，只要证明 BAD=30即可解决问题 . 答案： (1)如图 1中，过点 A作 AH BC于 H. AHB= AHC=90， 在 RT AHB中， AB=2 2 ， B=45， BH=AB cosB
26、=2 2 22=2， AH=AB sinB=2， 在 RT AHC中， C=30， AC=2AH=4， CH=AC cosC=2 3 ， BC=BH+CH=2+2 3 . (2)如图 1中，过点 A 作 AP AB交 BC 于 P，连接 PG， AG AD， DAF= EAC=90， 在 DAF和 GAE中， AF AEDF EG， DAF GAE， AD=AG， BAP=90 = DAG， BAD= PAG， B= APB=45， AB=AP， 在 ABD和 APG中， A B A PB A D P A GA D A G ， ABD APG， BD=PG， B= APG=45， GPB= G
27、PC=90， C=30， PG=12GC， BD=12CG. (3)如图 2中，作 AH BC于 H， AC的垂直平分线交 AC于 P，交 BC于 M.则 AP=PC， 在 RT AHC中， ACH=30， AC=2AH， AH=AP， 在 RT AHD和 RT APG 中， AH APAD AG， AHD APG， DAH= GAP， GM AC， PA=PC， MA=MC， MAC= MCA= MAH=30， DAM= GAM=45， DAH= GAP=15， BAD= BAH- DAH=30， 作 DK AB于 K，设 BK=DK=a，则 AK= 3 a， AD=2a， 3 1223A
28、B a aA D a， AG=CG=AD， 123ABCG . 26.如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y= 2 2133 33xx 与 x轴交于 A， B两点 (点 A在点 B左侧 )，与 y轴交于点 C，抛物线的顶点为点 E. (1)判断 ABC的形状，并说明理由； (2)经过 B， C两点的直线交抛物线的对称轴于点 D，点 P为直线 BC 上方抛物线上的一动点，当 PCD的面积最大时， Q从点 P 出发，先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点 M处，再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到 y轴上的点 N处，最后沿适当的路径运动到点 A处停止 .当点 Q的运动路径最短时，求点 N的坐标及点
29、 Q经过的最短路径的长； (3)如图 2，平移抛物线，使抛物线的顶点 E在射线 AE上移动，点 E平移后的对应点为点 E，点 A 的对应点为点 A，将 AOC 绕点 O 顺时针旋转至 A1OC1的位置，点 A， C 的对应点分别为点 A1， C1，且点 A1恰好落在 AC 上，连接 C1A， C1E， A C1E是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的点 E的坐标；若不能，请说明理由 . 解析： (1)先求出抛物线与 x 轴和 y 轴的交点坐标，再用勾股定理的逆定理判断出 ABC 是直角三角形； (2)先求出 S PCD最大时，点 P(232， 154)，然后判断出所走的路径最短，即最短
30、路径的长为 PM+MN+NA的长，计算即可； (3) A C1E是等腰三角形，分三种情况分别建立方程计算即可 . 答案： (1) ABC为直角三角形， 当 y=0时，即 2 2133 33xx =0， x1=- 3 ， x2=3 3 ， A(- 3 ， 0)， B(3 3 ， 0)， OA= 3 ， OB=3 3 ， 当 x=0时， y=3， C(0， 3)， OC=3， 根据勾股定理得， AC2=OB2+OC2=12， BC2=OB2+OC2=36， AC2+BC2=48， AB2=3 3 -(- 3 )2=48， AC2+BC2=AB2， ABC 是直角三角形， (2)如图， B(3 3
31、， 0)， C(0， 3)，直线 BC 解析式为 y=- 33x+3， 过点 P作 y轴， 设 P(a， 2 2133 33aa )， G(a， - 33a+3)， PG=-13a2+ 3 a， 设点 D的横坐标为 xD， C点的横坐标为 xC， S PCD=12 (xD-xC) PG= 23 3 383629a ， 0 a 3 3 ，当 a=332时， S PCD最大，此时点 P(332， 154)， 将点 P向左平移 3 个单位至 P，连接 AP，交 y轴于点 N，过点 N作 MN抛物线对称轴于点 M， 连接 PM，点 Q沿 P M N A，运动，所走的路径最短，即最短路径的长为 PM+M
32、N+NA 的长， P(332， 154) P (32， 154)， 点 A(- 3 ， 0)，直线 AP的解析式为 y=5 3 562x， 当 x=0时， y=52， N(0， 52)， 过点 P作 P H x轴于点 H， AH=332， P H=154， AP =3 374， 点 Q运动得最短路径长为 PM+MN+AN= 3 3 7 3 3 744 33 4； (3)在 Rt AOC中， tan OAC= 3OCOA， OAC=60， OA=OA1， OAA1为等边三角形， AOA1=60， BOC1=30， OC1=OC=3， C1(332， 32)， 点 A(- 3 ， 0)， E( 3
33、 ， 4)， AE=2 7 ， A E =AE=2 7 ， 直线 AE的解析式为 y=233x+2， 设点 E (a， 233a+2)， A (a-2 3 ， 233a-2)， C1E 2=(a-2 3 )2+(233a+2-32)2=73a2-733a+7， C1A 2=(a-2 3 -332)2+(233a-2-32)2=73a2-a+49， 若 C1A =C1E，则 C1A 2=C1E 2， 即： 227 7 3 7 3 5 33 7 4 93 3 3a a a a ， a=332， E (332， 5)， 若 A C1=A E， A C12=A E 2即： 27 3 5 333 4 9 2 8aa ， a1=5 3 392， a2=5 3 392， E (5 3 392， 7+ 13 )，或 (5 3 392， 7- 13 )， 若 E A =E C1， E A 2=E C12， 即： 27 7 333 7 2 8aa ， a1= 3 392， a2= 3 392(舍 )， E ( 3 392， 3+ 13 )， 即，符合条件的点 E (332， 5)， (5 3 392， 7+ 13 )，或 (5 3 392， 7- 13 )，( 3 392， 3+ 13 ).
