1、2015 年云南省昆明市中考真题数学 一、选择题 (共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分 ) 1. -5 的绝对值是 ( ) A.5 B.-5 C.15D. 5 解析 ： -5 的绝对值是： |-5|=5. 答案： A 2.某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了 7 名同学的参赛成绩如下 (单位：分 )： 80， 90， 70， 100， 60， 80， 80.则这组数据的中位数和众数分别是 ( ) A.90， 80 B.70， 80 C.80， 80 D.100， 80 解析 ：在这一组数据中 80 是出现次数最多的，故众数是 80；排序后处于中间位置的那个数是
2、 80，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 80. 答案： C 3.由 5 个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 几何体的俯视图有 3 列，每行小正方形数目分别为 1， 3，且第一行的一个在第二行的最左边，由此得出答案即可 . 答案： C 4.如图，在 ABC 中， B=40，过点 C 作 CD AB， ACD=65，则 ACB 的度数为 ( ) A.60 B.65 C.70 D.75 解析 ： CD AB， A= ACD=65， ACB=180 - A- B=180 -65 -40 =75 ， 即 ACB 的度数为 75
3、. 答案： D 5.下列运算正确的是 ( ) A. 23 =-3 B.a2 a4=a6 C.(2a2)3=2a6 D.(a+2)2=a2+4 解析 ： A、 23 =3，故错误： B、正确； C、 (2a2)3=8a6，故正确； D、 (a+2)2=a2+4a+4，故错误； 答案： B 6.不等式组 1112xx x ，的解集在数轴上表示为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 不等式组 1112xx x ，的解集为： -3 x 1. 答案： A 7.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD相交于点 O，下列结论： AC BD； OA=OB； ADB= CDB； ABC 是等边三角
4、形，其中一定成立的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 根据菱形的对角线互相垂直平分可得：正确；错误；根据菱形的对角线平分一组内角可得正确 .错误 . 答案： D 8.如图，直线 y=-x+3 与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y=kx(k 0)的图象交于点 C，过点 C作 CB x 轴于点 B， AO=3BO，则反比例函数的解析式为 ( ) A.y=4xB.y=-4xC.y=2xD.y=-2x解析 ： 直线 y=-x+3 与 y 轴交于点 A， A(0， 3)，即 OA=3， AO=3BO， OB=1，点 C 的横坐标为 -1， 点 C 在直线 y=-x+3 上，点 C(-1， 4
5、)，反比例函数的解析式为： y=-4x. 答案： B 二、填空题 (共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分 ) 9.若二次根式 1x 有意义，则 x 的取值范围是 . 解析 ： 根据二次根式有意义的条件， x-1 0， x 1. 答案： x 1 10.据统计，截止 2014年 12 月 28 日，中国高铁运营总里程超过 16000 千米，稳居世界高铁里程榜首，将 16000 千米用科学记数法表示为 千米 . 解析 ： 将 16000 用科学记数法表示为： 1.6 104. 故答案为： 1.6 104 11.如图，在 ABC 中， AB=8，点 D、 E 分别是 BC、 CA 的中点，连接
6、 DE，则 DE= . 解析 ： 在 ABC 中，点 D、 E 分别是 BC、 CA 的中点， AB=8， DE 是 ABC 的中位线， DE=12 AB=12 8=4. 答案： 4. 12.计算：2 2 2 232a b aa b a b = . 解析 ： 原式 =2232a b aab = 2 aba b a b= 2ab. 答案： 2ab13.关于 x 的一元二次方程 2x2-4x+m-1=0 有两个相等的实数根，则 m 的值为 . 解析 ： 方程有两个相等的实数根， =0，即 42-4 2 (m-1)=0，解得 m=3. 答案： 3 14.如图， ABC 是等边三角形，高 AD、 BE
7、 相交于点 H， BC=4 3 ，在 BE 上截取 BG=2，以GE 为边作等边三角形 GEF，则 ABH 与 GEF 重叠 (阴影 )部分的面积为 . 解析 ： 如图所示： 由 ABC 是等边三角形，高 AD、 BE 相交于点 H， BC=4 3 ，得 AD=BE= 32BC=6， ABG= HBD=30 . 由直角三角的性质，得 BHD=90 - HBD=60 . 由对顶角相等，得 MHE= BHD=60 由 BG=2，得 EG=BE-BG=6-2=4. 由 GE 为边作等边三角形 GEF，得 FG=EG=4， EGF= GEF=60， MHE 是等边三角形； S ABC=12AC BE=
8、12AC EH 3， EH=13BE=13 6=2. 由三角形外角的性质，得 BIF= FGE- IBG=60 -30 =30， 由 IBG= BIG=30，得 IG=BG=2， 由线段的和差，得 IF=FG-IG=4-2=2， 由对顶角相等，得 FIN= BIG=30， 由 FIN+ F=90，得 FNI=90， 由锐角三角函数，得 FN=1， IN= 3 . S 五边形 NIGHM=S EFG-S EMH-S FIN= 34 42- 34 22-12 3 1=532. 答案： 532三、解答题 (共 9 小题，满分 58 分 ) 15.计算： 9 +(-1)2015+(6- )0-(-12
9、)-2. 解析 ： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =3-1+1-4=-1. 16.如图，点 B、 E、 C、 F 在同一条直线上， A= D， B= DEF， BE=CF.求证： AC=DF. 解析 ： 根据 BE=CF，求出 BC=EF，根据 AAS 推出 ABC DEF，根据全等三角形的性质推出即可 . 答案 ： BF=EC(已知 )， BF+FC=EC+CF，即 BC=EF， 在 ABC 和 DEF 中， ADB D EFBC EF ， ABC DEF(AAS)， A
10、C=DF(全等三角形对应边相等 ) 17.如图， ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2， 4)， B(1， 1)， C(4， 3). (1)请画出 ABC 关于 x 轴对称的 A1B1C1，并写出点 A1的坐标； (2)请画出 ABC 绕点 B 逆时针旋转 90后的 A2BC2； (3)求出 (2)中 C 点旋转到 C2点所经过的路径长 (记过保留根号和 ). 解析 ： (1)利用关于 x 轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点 A1、 B1、 C1的坐标，然后画出图形即可； (2)利用旋转的性质可确定出点 A2、 C2的坐标； (3)利用弧长公式进行计算即可 . 答案 ： (1)根
11、据关于 x 轴对称点的坐标特点可知： A1(2， -4)， B1(1， -1)， C1(4， -3)， 如 下图：连接 A1、 B1、 C1即可得到 A1B1C1. (2)如图： (3)由两点间的距离公式可知： BC= 223 2 13 ， 点 C 旋转到 C2 点的路径长 = 90 1 3 1 3 1 8 0 2 . 18. 2015 年 4 月 25 日，尼泊尔发生了里氏 8.1 级地震，某中学组织了献爱心捐款活动，该校教学兴趣小组对本校学生献爱心捐款额做了一次随机抽样调查，并绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图 (每组含前一个边界值，不含后一个边界值 ).如图所示： 捐款额 (元 )
12、 频数 百分比 5 x 0 5 10% 10 x 15 a 20% 15 x 20 15 30% 20 x 25 14 b 25 x 30 6 12% 总计 100% (1)填空： a= ， b= ； (2)补全频数分布直方图； (3)该校共有 1600 名学生，估计这次活动中爱心捐款额不低于 20 元的学生有多少人？ 解析 ： (1)先利用第一组的频数与频率计算出样本容量，再利用样本容量乘以 20%即可得到 a的值，用 14 除以样本容量得到 b 的值； (2)第二组的频数为 10，则可补全频数统计图； (3)根据样本可得爱心捐款额不低于 20 元的百分比为 28%+12%=40%，然后用总
13、人数乘以 40%即可估计出爱心捐款额不低于 20 元的学生数 . 答案 ： (1)5 10%=50， a=50 20=10； b=1450 100%=28%； (2)如图， (3)1600 (28%+12%)=640(人 ). 答：估计这次活动中爱心捐款额不低于 20 元的学生有 640 人 . 19.小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字 1， 2 的不透明卡片，背面完全相同；转盘被平均分成 3 个相等的扇形，并分别标有数字 -1， 3， 4(如图所示 )，小云把卡片背面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指针所在区域的数字 (若指针在分格线
14、上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止 ). (1)请用列表或树状图的方法 (只选其中一种 )，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； (2)求出两个数字之积为负数的概率 . 解析 ： (1)首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果； (2)由 (1)列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案 . 答案： (1)列表如下： 0 -1 3 4 1 1， -1 1， 3 1， 4 2 2， -1 2， 3 2， 4 (2)两数之积为负数的情况共有 2 种可能： (1， -1)， (2， -1)， P(两数之积为负数 )= 2163. 20.如图，两幢建筑物 AB 和 C
15、D， AB BD， CD BD， AB=15cm， CD=20cm， AB和 CD 之间有一景观池，小南在 A点测得池中喷泉处 E点的俯角为 42，在 C点测得 E点的俯角为 45 (点 B、E、 D 在同一直线上 )，求两幢建筑物之间的距离 BD(结果精确到 0.1m).(参考数据： sin42 0.67， cos42 0.74， tan42 0.90) 解析 ： 在 RT ABE 中，根据正切函数可求得 BE，在 RT DEC 中，根据等腰直角三角形的性质求得 ED，然后根据 BD=BE+ED 求解即可 . 答案 ：由题意得： AEB=42， DEC=45， AB BD， CD BD， 在
16、 RT ABE 中， ABE=90， AB=15， AEB=42， tan AEB=ABBE， BE= 15tan42 15 0.90=503， 在 RT DEC 中， CDE=90， DEC= DCE=45， CD=20， ED=CD=20， BD=BE+ED=503+20 36(m). 答：两幢建筑物之间的距离 BD 约为 36.7m 21.某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长 3600米道路的任务，按原计划完成总任务的 13后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了 50%，一共用了 10 小时完成任务 . (1)按原计划完成总
17、任务的 13时，已抢修道路 米； (2)求原计划每小时抢修道路多少米？ 解析 ： (1)按原计划完成总任务的 13时，列式计算即可； (2)设原计划每天修道路 x 米 .根据原计划工作效率用的时间 +实际工作效率用的时间 =10 等量关系列出方程 . 答案 ： (1)按原计划完成总任务的 13时，已抢修道路 3600 13=1200 米 . (2)设原计划每小时抢修道路 x 米， 根据题意得： 1 2 0 0 3 6 0 0 1 2 0 01 5 0 %xx =10，解得： x=280， 经检验： x=280 是原方程的解 . 答：原计划每小时抢修道路 280 米 . 22.如图， AH 是
18、O 的直径， AE 平分 FAH，交 O 于点 E，过点 E 的直线 FG AF，垂足为 F，B 为直径 OH 上一点，点 E、 F 分别在矩形 ABCD 的边 BC 和 CD 上 . (1)求证：直线 FG 是 O 的切线； (2)若 CD=10， EB=5，求 O 的直径 . 解析 ： (1)连接 OE，证明 FG 是 O 的切线，只要证明 OEF=90即可； (2)设 OA=OE=x，则 OB=10-x，在 Rt OBE 中， OBE=90， BE=5，由勾股定理得： OB2+BE2=OE2，即 (10-x)2+52=x2，求出 x 的值，即可解答 . 答案 ： (1)如图 1，连接 O
19、E， OA=OE， EAO= AEO， AE 平分 FAH， EAO= FAE， FAE= AEO， AF OE， AFE+ OEF=180， AF GF， AFE= OEF=90， OE GF， 点 E 在圆上， OE 是半径， GF 是 O 的切线 . (2)四边形 ABCD 是矩形， CD=10， AB=CD=10， ABE=90， 设 OA=OE=x，则 OB=10-x，在 Rt OBE 中， OBE=90， BE=5， 由勾股定理得： OB2+BE2=OE2， (10-x)2+52=x2， x=254， AH=2 254=252， O 的直径为 252. 23.如图，在平面直角坐标系
20、中，抛物线 y=ax2+32x+c(a 0)与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的右侧 )，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为 (4， 0)，抛物线的对称轴是直线 x=32. (1)求抛物线的解析式； (2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点 M 作 MG x 轴于点 G，交 AC 于点 H，当线段CM=CH 时，求点 M 的坐标； (3)在 (2)的条件下，将线段 MG绕点 G顺时针旋转一个角 (0 90 )，在旋转过程中，设线段 MG 与抛物线交于点 N，在线段 GA 上是否存在点 P，使得以 P、 N、 G 为顶点的三角形与 ABC 相似？如果存在，请求出点 P
21、 的坐标；如果不存在，请说明理由 . 解析： (1)首先利用对称轴公式求出 a 的值，然后把点 A 的坐标与 a 的值代入抛物线的解析式，求出 c 的值，即可确定出抛物线的解析式 . (2)首先根据抛物线的解析式确定出点 C 的坐标，再根据待定系数法，确定出直线 AC 解析式为 y=-12x+2；然后设点 M 的坐标为 (m， -12m2+32m+2)， H(m， -12m+2)，求出 MH 的值是多少，再根据 CM=CH， OC=GE=2，可得 MH=2EH，据此求出 m 的值是多少，再把 m 的值代入抛物线的解析式，求出 y 的值，即可确定点 M 的坐标 . (3)首先判断出 ABC 为直
22、角三角形，然后分两种情况：当 1 1 1N P PGAC CB时；当2 2 2N P P GBC CA 时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点 P，使得以 P、 N、 G 为顶点的三角形与 ABC 相似即可 . 答案： (1) x=-2ba=32， b=32， a=-12， 把 A(4， 0)， a=-12代入 y=ax2+32x+c， 可得 (-12) 42+32 4+c=0，解得 c=2，则抛物线解析式为 y=-12x2+32x+2. (2)如图 1，连接 CM，过 C 点作 CE MH 于点 E， y=-12x2+32x+2，当 x=0 时， y=2， C 点的坐标是 (0， 2)，
23、 设直线 AC 解析式为 y=kx+b(k 0)， 把 A(4， 0)、 C(0， 2)代入 y=kx+b， 可得 402kbb， ，解得： 122kb ， ， 直线 AC 解析式为 y=-12x+2， 点 M 在抛物线上，点 H 在 AC 上， MG x 轴， 设点 M 的坐标为 (m， -12m2+32m+2)， H(m， -12m+2)， MH=-12m2+32m+2-(-12m+2)=-12m2+2m， CM=CH， OC=GE=2， MH=2EH=2 2-(-12m+2)=m， 又 MH=-12m2+2m， -12m2+2m=m，即 m(m-2)=0， 解得 m=2 或 m=0(不符
24、合题意，舍去 )， m=2， 当 m=2 时， y=-12 22+32 2+2=3，点 M 的坐标为 (2， 3). (3)存在点 P，使以 P， N， G 为顶点的三角形与 ABC 相似，理由为： 抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点， A(4， 0)， A、 B 两点关于直线 x=32成轴对称， B(-1， 0)， AC= 2242 =2 5 ， BC= 2212 = 5 ， AB=5， AC2+BC2=(2 5 )2+( 5 )2=25， AB2=52=25， AC2+BC2=AB2=25， ABC 为直角三角形， ACB=90， 线段 MG 绕 G 点旋转过程中，与抛物线交于点 N，当
25、 NP x 轴时， NPG=90， 设 P 点坐标为 (n， 0)，则 N 点坐标为 (n， -12n2+32n+2)， 如图 2， 当1 1 1N P PGAC CB时， N1P1G= ACB=90， N1P1G ACB， 213 2 2222 5 5nn n ， 解得： n1=3， n2=-4(不符合题意，舍去 )， 当 n1=3 时， y=-12 32+32 3+2=2， P 的坐标为 (3， 2). 当 2 2 2N P P GBC CA时， N2P2G= BCA=90， N2P2G BCA， 213 2 2225 2 5nn n ， 解得： n1=1+ 7 ， n2=1- 7 (不符合题意，舍去 )， 当 n1=1+ 7 时， y=-12 (1+ 7 )2+32 (1+ 7 )+2= 712， P 的坐标为 (1+ 7 ， 712). 又点 P 在线段 GA 上，点 P 的纵坐标是 0， 不存在点 P，使得以 P、 N、 G 为顶点的三角形与 ABC 相似 .
