1、2015 年内蒙古赤峰市中考真题数学 一、选择题 (每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑，每小题 3 分，共 24 分 ) 1. -2 的相反数是 ( ) A.2 B.12C. 2 D.|-2| 解析 ： -2 的相反数是 2. 答案： A 2.为了加速内蒙古经济建设，国家计划投资 204.4 亿元修建赤峰市至喀左的“高铁”， 204.4亿用科学记数法表示正确的是 ( ) A.0.2044 1011 B.20.44 109 C.2.044 108 D.2.044 1010 解析 ： 204.4 亿 =20440000000=2.044 10
2、10. 答案： D 3.下面四个“艺术字”中，轴对称图形的个数是 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析 ： 由轴对称图形的性质可知，四个字中的轴对称图形有：美、赤 . 答案： B 4.如图，直线 AB CD，一个含 60角的直角三角板 EFG( E=60 )的直角顶点 F 在直线 AB上，斜边 EG 与 AB 相交于点 H， CD 与 FG相交于点 M.若 AHG=50，则 FMD等于 ( ) A.10 B.20 C.30 D.50 解析 ： 直线 AB CD， AHG=50， AKG= XKG=50 . CKG 是 KMG 的外角， KMG= CKG- G=50 -3
3、0 =20 . KMG 与 FMD 是对顶角， FMD= KMG=20 . 答案： B. 5.解不等式组 2 3 11 32xxx ，的解集在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 2 3 11 3,2xxx ，解不等式 ，得 x -1.解不等式 ，得 x -3， 则原不等式组的解集为： -3 x -1. 答案 ： C 6.为了了解某校学生的课外阅读情况，随机抽查了 10 学生周阅读用时数，结果如下表： 则关于这 10 名学生周阅读所用时间，下列说法正确的是 ( ) A.中位数是 6.5 B.众数是 12 C.平均数是 3.9 D.方差是 6 解析 ：这 10 名学生周阅
4、读所用时间从大到小排列，可得 4、 4、 4、 5、 5、 5、 5、 8、 8、 12， 这 10 名学生周阅读所用时间的中位数是： (5+5) 2=10 2=5，选项 A 不正确； 这 10 名学生周阅读所用时间出现次数最多的是 5 小时，这 10 名学生周阅读所用时间的众数是 5，选项 B 不正确； (4 3+5 4+8 2+12) 10=6010=6 ， 这 10 名学生周阅读所用时间的平均数是 6，选项 C 不正确； 110 (4-6)2+(4-6)2+(4-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(8-6)2+(8-6)2+(12-6)2= 1104+4+4
5、+1+1+1+1+4+4+36 =11060 =6. 这 10 名学生周阅读所用时间的方差是 6，选项 D 正确 . 答案 ： D. 7.如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解析 ：如图为正六棱柱与圆锥组成的几何体，其俯视图是 D. 答案 ： D 二、填空题 (请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 24 分 ) 8.抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数 y=ax+b 与反比例函数 y=cx在同一平面直角坐标系内的图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析 ： 由抛物线可知， a 0， b 0， c 0，一次函数
6、 y=ax+b 的图象经过第一、三、四象限，反比例函数 y=cx的图象在第二、四象限 . 答案 ： B 二、填空题 (请把答案填写在答题卡相应的横线上，每小题 3 分，共 24 分 ) 9.因式分解： 3a2-6a= . 解析 ： 3a2-6a=3a(a-2). 答案： 3a(a-2). 10. 若关于 x 的一元二次方程 x2-(a+5)x+8a=0 的两个实数根分别为 2和 b，则 ab= . 解析 ： 关于 x 的一元二次方程 x2-(a+5)x+8a=0 的两个实数根分别是 2、 b， 由韦达定理，得 2528baba ，解得 14ab， ab=1 4=4. 答案 ： 4. 11.在分
7、别写有 -1， 0， 1， 2 的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于 1 的概率为 . 解析 ： 因为 -1， 0， 1， 2 的四张卡片中随机抽取一张，所抽取的数字平方后等于 1有 2 张， 所以所抽取的数字平方后等于 1 的概率为 2142. 答案： 1212.如图， M、 N 分别是正方形 ABCD边 DC、 AB 的中点，分别以 AE、 BF 为折痕，使点 D、点 C落在 MN 的点 G 处，则 ABG 是 三角形 . 解析 ： 由折叠的性质可知 AG=AD， BG=BC， 四边形 ABCD 是正方形， AD=AB=BC. AG=AB=BG. ABG 是等边三角形 . 答案
8、：等边 . 13.如图， AB 是 O 的直径， OB=3， BC 是 O 的弦， ABC 的平分线交 O 于点 D，连接 OD，若 BAC=20，则 弧 AD 的长等于 . 解析 ： AB 是 O 的直径， ACB=90， BAC=20， ABC=90 -20 =70， ABC 的平分线交 O 于点 D， ABD=12 ABC=12 70 =35， AOD=2 ABD=2 35 =70， 弧 AD 的长 =70 3180=76 . 答案： 76 . 14.如图，平行四边形 ABCD 中， AB=AC=4， AB AC， O 是对角线的交点，若 O 过 A、 C 两点，则图中阴影部分的面积之和
9、为 . 解析 ： AOB= COD， S 阴影 =S AOB. 四边形 ABCD 是平行四边形， OA=12AC=12 4=2. AB AC， S 阴影 =S AOB=12OA AB=12 2 4=4. 答案： 4 15.如图，四边形 ABCD 中， AD BC， E是 DC 上一点，连接 BE 并延长交 AD 延长线于点 F，请你只添加一个条件： 使得四边形 BDFC 为平行四边形 . 解析 ： AD BC，当 BD FC 时，四边形 BDFC 为平行四边形 . 答案： BD FC. 16. “梅花朵朵迎春来”，下面四个图形是由小梅花摆成的一组有规律的图案，按图中规律，第 n 个图形中小梅花
10、的个数是 . 解析 ： 第一个图案是由 2 个梅花组成：即为： 2=1 2； 第二个图案是由 9 个梅花组成：即为： 9=3 3； 第 3 个图案是由 5 4=20 个梅花组成：即为： 20=5 4； 第 4 个图案是由 35 个梅花组成：即为： 35=7 5； 以此类推：第 n 个图案 ， 梅花的个数： (2n-1)(n+1). 答案： (2n-1)(n+1). 三、解答题 (在答题卡上解答，在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，共 10 题，满分 102 分 ) 17.计算： |-12|-( 6 - )0-sin30 +(-12)-2. 解析： 先分别根据绝对值的
11、性质、 0 指数幂及负整数幂的计算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数的值，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： 原式 =12-1-12+4=3. 18.解二元一次方程组： 273 2 0xyxy， . 解析： 方程组利用加减消元法求出解即可 . 答案： 273 2 0xyxy， 2+得： 7x=14，即 x=2， 把 x=2 代入得： y=-3，则方程组的解为 23xy，19.如图，在平面直角坐标系中， ABC 的三个顶点坐标为 A(-3， 4)， B(-4， 2)， C(-2， 1)，且 A1B1C1与 ABC 关于原点 O 成中心对称 . (1)画出 A1B1C1，并写出
12、A1的坐标； (2)P(a， b)是 ABC 的 AC 边上一点， ABC 经平移后点 P 的对称点 P (a+3， b+1)，请画出平移后的 A2B2C2. 解析： (1)首先作出 A、 B、 C 的对应点，然后顺次连接即可求得； (2)把 ABC 的三个顶点分别向右平移 3 个单位长度，向上平移 1 个单位长度即可得到对应点，然后顺次连接即可 . 答案 ： (1)如图所示： A1的坐标是 (3， -4). (2) A2B2C2是所求的三角形 . 20.如图，在一个 18 米高的楼顶上有一信号塔 DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的 A 处测的信号塔下端 D 的仰角为 30，然后他正
13、对塔的方向前进了 18 米到达地面的 B处，又测得信号塔顶端 C 的仰角为 60， CD AB 与点 E， E、 B、 A 在一条直线上 .请你帮李明同学计算出信号塔 CD 的高度 (结果保留整数， 3 1.7， 2 1.4 ) 解析： 利用 30的正切值即可求得 AE 长，进而可求得 CE 长 .CE 减去 DE 长即为信号塔 CD的高度 . 答案 ：根据题意得： AB=18， DE=18， A=30， EBC=60， 在 Rt ADE 中， AE=tan30DE=1833=18 3 ， BE=AE-AB=18 3 -18， 在 Rt BCE 中， CE=BE tan60 =(18 3 -1
14、8) 3 =54-18 3 ， CD=CE-DE=54-18 3 -18 5 米 . 21.中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名学生上学带手机的目的，分为四种类型： A 接听电话； B 收发短信； C 查阅资料； D 游戏聊天 .并将调查结果绘制成图 1和图 2的统计图 (不完整 )，请根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)此次抽样调查中，共调查了 名学生； (2)将图 1、图 2 补充完整； (3)现有 4 名学生，其中 A 类两名， B 类两名，从中任选 2 名学生，求这两名学生为同一类型的概率 (用列表法或树状图法 ). 解析： (1)用 A
15、类的人数除以该类所占的百分比即可得到总人数； (2)分别计算出 B、 D 两类人数和 C、 D 两类所占百分比，然后补全统计图； (3)先画树状图展示所有有 12 种等可能的结果数，再找出两名学生为同一类型的结果数，然后根据概率公式求解 . 答案： (1)100 50%=200，所以调查的总人数为 200 名 . (2)B 类人数 =200 25%=50(名 )； D 类人数 =200-100-50-40=10(名 )； C 类所占百分比 = 40200 100%=20%， D 类所占百分比 = 10200 100%=5%，如图： (3)画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中两名学生
16、为同一类型的结果数为 4， 所以这两名学生为同一类型的概率 = 4112 3. 22.如图， AB 为 O 的直径， PD 切 O 于点 C，与 BA 的延长线交于点 D， DE PO 交 PO 延长线于点 E，连接 PB， EDB= EPB. (1)求证： PB 是的切线 . (2)若 PB=6， DB=8，求 O 的半径 . 解析： (1)由已知角相等，及对顶角相等得到三角形 DOE 与三角形 POB 相似，利用相似三角形对应角相等得到 OBP 为直角，即可得证； (2)在直角三角形 PBD 中，由 PB 与 DB 的长，利用勾股定理求出 PD 的长，由切线长定理得到PC=PB，由 PD-
17、PC 求出 CD 的长，在直角三角形 OCD 中，设 OC=r，则有 OD=8-r，利用勾股定理列出关于 r 的方程，求出方程的解得到 r 的值，即为圆的半径 . 答案 (1)在 DEO 和 PBO 中， EDB= EPB， DOE= POB， OBP= E=90， OB 为圆的半径， PB 为圆 O 的切线 . (2)在 Rt PBD 中， PB=6， DB=8，根据勾股定理得： PD= 2268 =10， PD 与 PB 都为圆的切线， PC=PB=6， DC=PD-PC=10-6=4， 在 Rt CDO 中，设 OC=r，则有 DO=8-r， 根据勾股定理得： (8-r)2=r2+42，
18、解得： r=3，则圆的半径为 3. 23.如图，直线 y=-2x+4 与坐标轴分别交于 C、 B 两点，过点 C 作 CD x 轴，点 P是 x 轴下方直线 CD 上的一点，且 OCP 与 OBC 相似，求过点 P 的双曲线解析式 . 解析： 由直线 y=-2x+4 与坐标轴分别交于 C、 B 两点，易得 OC=2， OB=4，再分两种情况当 OBC= COP 时， OCP 与 OBC 相似，当 OBC= CPO 时， OCP 与 OBC 相似分别求出点的坐标，再求出过点 P 的双曲线解析式 . 答案 ：直线 y=-2x+4 与坐标轴分别交于 C、 B 两点， 令 y=0，可得 -2x+4=0
19、，解得 x=2，即 C(2， 0)， OC=2， 令 x=0，可得 y=4，即 B(0， 4)， OB=4， 如图，当 OBC= COP 时， OCP BOC， OB OCOC CP，即 422 CP，解得 CP=1， P(2， -1)， 设过点 P 的双曲线解析式 y=kx，把 P 点代入解得 k=-2， 过点 P 的双曲线解析式 y=-2x， 如图，当 OBC= CPO 时， OCP COB， 在 OCP 和 COB 中， O B C C P OC O B O C PO C C O ， OCP COB(AAS) CP=BO=4， P(2， -4). 设过点 P 的双曲线解析式 y=kx，把
20、 P 点代入得 -4=2k，解得 k=-8， 过点 P 的双曲线解析式 y= 8x. 综上可得，过点 P 的双曲线的解析式为 y=-2x或 y= 8x. 24.李老师家距学校 1900 米，某天他步行去上班，走到路程的一半时发现忘带手机，此时离上班时间还有 23 分钟，于是他立刻步行回家取手机，随后骑电瓶车返回学校 .已知李老师骑电瓶车到学校比他步行到学校少用 20 分钟，且骑电瓶车的平均速度是步行速度的 5 倍，李老师到家开门、取手机、启动电瓶车等共用 4 分钟 . (1)求李老师步行的平均速度； (2)请你判断李老师能否按时上班，并说明理由 . 解析： (1)设李老师步行的平均速度为 xm
21、/分钟，骑电瓶车的平均速度为 5xm/分钟，根据题意可得，骑电瓶车走 1900 米所用的时间比步行少 20 分钟，据此列方程求解； (2)计算出李老师从步行回家到骑车回到学校所用的总时间，然后和 23 进行比较即可 . 答案 ： (1)设李老师步行的平均速度为 xm/分钟，骑电瓶车的平均速度为 5xm/分钟， 由题意得， 1 9 0 0 1 9 0 0 205xx，解得： x=76， 经检验， x=76 是原分式方程的解，且符合题意，则 5x=76 5=380， 答：李老师步行的平均速度为 76m/分钟， 骑电瓶车的平均速度为 380m/分 . (2)由 (1)得，李老师走回家需要的时间为：
22、19002 76=12.5(分钟 )， 骑车走到学校的时间为： 1900380=5， 则李老师走到学校所用的时间为： 12.5+5+4=21.5 23， 答：李老师能按时上班 . 25.如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、 BA(或它们的延长线 )于点 E、 F， EDF=60，当 CE=AF 时，如图 1 小芳同学得出的结论是 DE=DF. (1)继续旋转三角形纸片，当 CE AF 时，如图 2 小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由
23、； (2)再次旋转三角形纸片，当点 E、 F 分别在 CB、 BA 的延长线上时，如图 3 请直接写出 DE与 DF 的数量关系； (3)连 EF，若 DEF 的面积为 y， CE=x，求 y与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时， y 有最小值，最小值是多少？ 解析： (1)如答图 1，连接 BD.根据题干条件首先证明 ADF= BDE，然后证明 ADFBDE(ASA)，得 DF=DE； (2)如答图 2，连接 BD.根据题干条件首先证明 ADF= BDE，然后证明 ADF BDE(ASA)，得 DF=DE； (3)根据 (2)中的 ADF BDE 得到： S ADF=S BDE， AF=
24、BE.所以 DEF 的面积转化为： y=S BEF+S ABD.据此列出 y 关于 x 的二次函数，通过求二次函数的最值来求 y 的最小值 . 答案 ： (1)DF=DE.理由如下：如答图 1，连接 BD. 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB. 又 DAB=60， ABD 是等边三角形， AD=BD， ADB=60， DBE= DAF=60 EDF=60， ADF= BDE.在 ADF与 BDE中， A D F B D EA D B DD A F D B E ， ADF BDE(ASA)， DF=DE. (2)DF=DE.理由如下：如答图 2，连接 BD.四边形 ABCD 是菱形， AD=
25、AB. 又 DAB=60， ABD 是等边三角形， AD=BD， ADB=60， DBE= DAF=60 EDF=60， ADF= BDE. 在 ADF 与 BDE 中， A D F B D EA D B DD A F D B E ， ADF BDE(ASA)， DF=DE. (3)由 (2)知， DE=DF，又 EDF=60， DEF 是等边三角形， 四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， DH= 3 ， BF=CE=x， AF=x-2， FH=AF+AH=x-2+1=x-1， DF= 213x = 2 24xx， DG= 32 2 24xx， y=S DEF=12 EF DG=12 2
26、24xx 32 2 24xx= 34(x-1)2+334. 当 x=1 时， y 最小值 =334. 26.已知二次函数 y=ax2+bx-3a 经过点 A(-1， 0)、 C(0， 3)，与 x 轴交于另一点 B，抛物线的顶点为 D. (1)求此二次函数解析式； (2)连接 DC、 BC、 DB，求证： BCD 是直角三角形； (3)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点 P，使得 PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)将 A(-1， 0)、 B(3， 0)代入二次函数 y=ax2+bx-3a 求得 a、 b 的值即可确定二次函数的解析
27、式； (2)分别求得线段 BC、 CD、 BD 的长，利用勾股定理的逆定理进行判定即可； (3)分以 CD为底和以 CD为腰两种情况讨论 .运用两点间距离公式建立起 P点横坐标和纵坐标之间的关系，再结合抛物线解析式即可求解 . 答案 ： (1)二次函数 y=ax2+bx-3a 经过点 A(-1， 0)、 C(0， 3)， 根据题意，得 3033a b aa ，解得 12ab，抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3. (2)由 y=-x2+2x+3 得， D 点坐标为 (1， 4)， CD= 221 0 4 3 = 2 ， BC= 2233 =3 2 ， BD= 223 1 4 0 =2 5 ，
28、 CD2+BC2=( 2 )2+(3 2 )2=20， BD2=(2 5 )2=20， CD2+BC2=BD2， BCD 是直角三角形 . (3)存在 . y=-x2+2x+3 对称轴为直线 x=1. 若以 CD 为底边，则 P1D=P1C， 设 P1点坐标为 (x， y)，根据勾股定理可得 P1C2=x2+(3-y)2， P1D2=(x-1)2+(4-y)2， 因此 2+(3-y)2=(x-1)2+(4-y)2，即 y=4-x. 又 P1点 (x， y)在抛物线上， 4-x=-x2+2x+3， 即 x2-3x+1=0，解得 x1=352， x2=352 1，应舍去， x= 352， y=4-x=552， 即点 P1坐标为 (352， 552). 若以 CD 为一腰， 点 P2在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点 P2与点 C 关于直线 x=1对称， 此时点 P2坐标为 (2， 3). 符合条件的点 P 坐标为 (352， 552)或 (2， 3).
