1、2015 年内蒙古通辽市中考真题数学 一、 选择题 (本题包括 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题只有一个正确选项 ) 1. 下列调查适合抽样调查的是 ( ) A.审核书稿中的错别字 B.对某社区的卫生死角进行调查 C.对八名同学的身高情况进行调查 D.对中学生目前的睡眠情况进行调查 解析：考查全面调查与抽样调查 .一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，对各选项进行分析判断： A.审核书稿中的错别字，必须准确，故必须普查； B.此种情况数量不是很大，故必须普查； C.人数不多，容
2、易调查，适合普查； D.中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； 答案： D. 2. 4 的算术平方根是 ( ) A.-2 B. 2 C. 2 D.2 解析：考查算术平方根，首先求出 4 的值是 2；然后根据算术平方根的求法，求出 2 的算术平方根： 4 2， 2 的算术平方根是 2 ， 4 的算术平方根是 2 . 答案： C. 3. 实数 tan45， 38 ， 0， 35， 9 ， 13， sin60， 0.3131131113 (相邻两个 3 之间依次多一个 1)，其中无理数的个数是 ( ) A.4 B.2 C.1 D.3 解析：掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的
3、数，结合题意判断：实数 tan45， 38 ， 0， 35， 9 ， 13， sin60， 0.3131131113 (相邻两个 3 之间依次多一个 1)中，无理数有： -35， sin60， 0.3131131113 (相邻两个 3之间依次多一个 1)，共 3 个 . 答案： D. 4. 已知反比例函数 y=kx的图象经过点 (3， 2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是 ( ) A.(3， -2) B.(-2， -3) C.(1， -6) D.(-6， 1) 解析：把已知点坐标代入反比例解析式求出 k 的值，选项中坐标积为 k 的，即为正确答案 . 把 (2， 3)代入反比例解析式
4、得： k=6，反比例解析式为 y=6x，则 (-2， -3)在这个函数图象上 . 答案： B. 5. 下列说法中，正确的是 ( ) A. 34x2的系数是 34B. 232 a的系数是 32C.3ab2的系数是 3a D.25xy2的系数是 25解析：考查单项式的系数，对各选项分析判断： A. 34x2的系数是 34，故本选项错误； B. 232 a的系数是 32，故本选项错误； C. 3ab2的系数是 3，故本选项错误； D. 25xy2的系数 25，故本选项正确 . 答案： D. 6. 如图，由几个相同的小正方体搭成的一个几何体，它的俯视图为 ( ) A. B. C. D. 解析：考查简单
5、组合体的三视图 .找到从上面看所得到的图形即可：从上面向下看，从左到右有三排，且其正方形的个数分别为 2、 3、 1， 答案： D. 7. 一组数据 2， 0， 1， x， 3 的平均数是 2，则这组数据的方差是 ( ) A.2 B.4 C.1 D.3 解析：考查算术平均数和方程 .先根据平均数的定义确定出 x 的值，再根据方差的计算公式2 2 2 2121 ( ) ( ) ( ) nS x x xx x xn 求出这组数据的方差 ： 由平均数的公式得： (0+1+2+3+x) 5=2，解得 x=4； 则方差 =(0-2)2+(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2+(4-2)2 5=2. 答
6、案 ： A. 8. 如图，已知 AB CD，若 A=25， E=40，则 C 等于 ( ) A.40 B.65 C.115 D.25 解析：考查平行线的性质 .根据平行线的性质可求得 EFB= C，在 AEF 中由三角形外角的性质可求得 EFB，进而求得答案： EFB 是 AEF 的一个外角， EFB= A+ E=25 +40=65， AB CD， C= EFB=65， 答案 ： B. 9. 已知边长为 m 的正方形面积为 12，则下列关于 m 的说法中，错误的是 ( ) m 是无理数； m 是方程 m2-12=0 的解； m 满足不等式组 4050mm； m 是 12 的算术平方根 . A.
7、 B. C. D. 解析：对各个选项进行分析判断： 考查算术平方根，无理数： 边长为 m 的正方形面积为 12， m2=12， m=2 3 ， 3 是一个无理数， m 是无理数，结论正确； m2=12， m 是方程 m2-12=0 的解，结论正确； 考察不等式组的解集 .不等式组 4050mm的解集是 4 m 5， m=2 3 2 2=4， m不满足不等式组 4050mm，结论不正确； m2=12，而且 m 0， m 是 12 的算术平方根，结论正确 . 综上所述： 关于 m 的说法中，错误的是 . 答案 ： C. 10. 菱形 ABCD 的一条对角线长为 6，边 AB 的长为方程 y2-7y
8、+10=0 的一个根，则菱形 ABCD的周长为 ( ) A.8 B.20 C.8 或 20 D.10 解析：考查菱形的性质，因式分解发解一元二次方程 .边 AB 的长是方程 y2-7y+10=0 的一个根，解方程求得 x 的值，根据菱形 ABCD 的一条对角线长为 6、三角形的三边关系可得出菱形的边长，进而求得菱形 ABCD 的周长 . 解方程 y2-7y+10=0 得： y=2 或 5，对角线长为 6， 2+2 6，不能构成三角形； 菱形的边长为 5.菱形 ABCD 的周长为 4 5=20. 答案： B. 二、 填空题 (本小题包括 7 小题，每小题 3 分，共 21 分 ) 11. 在数
9、1， 0， -1， |-2|中，最小的数是 解析：考查有理数大小比较，利用绝对值的代数意义化简后 |-2|=2， 1， 0， -1， 2 中，最小的数是 -1，在数 1， 0， -1， |-2|=2 中，最小的数是 -1. 答案： -1. 12.因式分解： x3y-xy= 解析：考查提公因式法与公式法进行因式分解的综合应用 .首先提取公因式 xy，再运用平方差公式进行二次分解： x3y-xy =xy(x2-1) (提取公因式 ) =xy(x+1)(x-1). (平方差公式 ) 答案 ： xy(x+1)(x-1). 13. 函数 13y xx 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析：考查函数自变
10、量的取值范围 .根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，且分母不为 0，可知： x+1 0 且 x+3 0，解得： x -1. 答案： x -1. 14. 如图， O 是 ABC 的外接圆，连接 OA， OB， OBA=48，则 C 的度数为 . 解析：考查圆周角定理，根据三角形的内角和定理求得 AOB 的度数，再进一步根据圆周角定理求解： OA=OB， OBA=48， OAB= OBA=48， AOB=180 -48 2=84， C= 12 AOB=42， 答案： 42 . 15. 某市为处理污水，需要铺设一条长为 5000m 的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工
11、时每天比原计划多铺设 20m，结果提前 15 天完成任务 .设原计划每天铺设管道 x m，则可得方程 . 解析：考查由实际问题抽象出分式方程 . 设原计划每天铺设管道 x m，则实际每天铺设管道 (x+20)m，根据题意可得，实际比原计划少用 15 天完成任务，据此列方程可得： 5 0 0 0 5 0 0 0 1520xx. 答案： 5 0 0 0 5 0 0 0 1520xx. 16. 如图，在一张长为 7cm，宽为 5cm 的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为 4cm 的等腰三角形 (要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上 )，则剪下的等腰三角形的面积为 .
12、 解析：考查勾股定理，等腰三角形的判定，矩形的性质 .因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： (1) AEF 为等腰直角三角形， 即当 AE=AF=4 时，如图： S AEF= 12AE AF=12 4 4=8(cm2)； (2)先利用勾股定理求出 AE 边上的高 BF，再代入面积公式求解：当 AE=EF=4 时，如图： 则 BE=5-4=1， 2 2 2 24 1 1 5B F E F B E ， 11 4 1 5 2 1 522AEFS A E B F (cm2)； (3)先求出 AE 边上的高 DF，再代入面积公式求解 ： 当 AE=EF=4 时，如图： 则 DE=7-4
13、=3， 2 2 2 24 3 7D F E F D E ， 11 4 7 2 722AEFS A E D F (cm2)； 答案 ： 8 或 2 15 或 27. 17.一列数 x1， x2， x3，其中 x1=12，111n nx x (n 为不小于 2 的整数 )，则 x2015= . 解析：根据表达式求出前几个数不难发现，每三个数为一个循环组依次循环，用 2015 除以3，根据商和余数的情况确定 a2015的值即可： 由题意得，21 2112a ， 3 1 112a ， 4 111 1 2a ， ， 依此类推，每三个数为一个循环组依次循环， 2015 3=671 2， a2015是第 6
14、71 个循环组的第 2 个数，与 a2相同，即 a2015=2. 答案： 2. 三、解答题 (本小题包括 9 个小题，共 69 分，请写出解答的文字说明、证明过程或计算步骤 ) 18. 计算 (1)计算： 0113 2 7 3 02 t a n （ ） （ ）. 解析： (1)考查实数的运算 ,零指数幂 ,负整数指数幂 , 特殊角的三角函数值 .分别根据 0 指数幂及负整数指数幂的计算法则、数的开方法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可 . 答案： (1)原式 =1+2-33- 33=3-10 33. (2)解方程：23 193xxx. 解析： (2)考查解分
15、式方程 .先把分式方程化为整式方程，求出 x 的值，在进行检验即可 . 答案： (2)方程两边同时乘以 (x+3)(x-3)得， 3+x(x+3)=x2-9，解得 x=4， 代入 (x+3)(x-3)得， (4+3)(4-3)=7 0，故 x=4 是原分式方程的解 . (3)解不等式组 324 2 4yy ，并把解集在数轴上表示出来 . 解析： (3)解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集 .分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可 . 答案： (3) 324 2 4yy ，由得， y 1，由得， y 2， 故不等式组的解集为： 1y 2. 画数轴： 19. 先化简，再求值： 22a
16、 b a b baaa（ ），其中 a， b 满足 |a-3|+(b-2)2=0. 解析：考查了分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方 .原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用非负数的性质求出 a 与 b 的值，代入计算即可求出值 . 答案：原式 = 22212a b a a b b a b aa a aa ab b ， |a-3|+(b-2)2=0， a-3=0， b-2=0，即 a=3， b=2，则原式 =1. 20.如图，建筑物 AB 后有一座假山，其坡度为 i=1： 3 ，山坡上 E 点处有一凉亭，测得假山坡脚
17、 C 与建筑物水平距离 BC=25 米，与凉亭距离 CE=20 米，某人从建筑物顶端测得 E 点的俯角为 45，求建筑物 AB 的高 .(注：坡度 i 是指坡面的铅直高度与水平宽度的比 ) 解析：考查解直角三角形的应用中的仰角俯角问题和坡度坡角问题 .作辅助线：过点 E 作 EF BC 于点 F，过点 E 作 EN AB 于点 N，再利用坡度的定义以及勾股定理得出 EF、 FC 的长，求出 AB 的长即可 . 答案：过点 E 作 EF BC 于点 F，过点 E 作 EN AB 于点 N， 建筑物 AB 后有一座假山，其坡度为 i=1： 3 ，设 EF=x，则 FC= 3 x， CE=20 米，
18、 x2+( 3 x)2=400，解得： x=10，则 FC=10 3 m， BC=25m， BF=NE=(25+10 3 )m， AB=AN+BN=NE+EF=25+10 3 +10=(35+10 3 )m， 答：建筑物 AB 的高为 (35+10 3 )m. 21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，若 AB=6， AD=10， ABC 的平分线交 AD 于点 E，交 CD 的延长线于点 F，求 DF 的长 . 解析：考查平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质 .首先根据平行四边形的性质可得AB=DC=6， AD=BC=10， AB DC，再根据平行线的性质与角平分线的性质证明 2= 3，
19、根据等角对等边可得 BC=CF=10，用 CF-CD 即可算出 DF 的长 . 答案：如图所示： 四边形 ABCD 为平行四边形， AB=DC=6， AD=BC=10， AB DC. AB DC， 1= 3， 又 BF 平分 ABC， 1= 2， 2= 3， BC=CF=10， DF=CF-DC=10-6=4. 22. 如图，四边形 ABCD 中， E 点在 AD 上，其中 BAE= BCE= ACD=90，且 BC=CE，求证： ABC 与 DEC 全等 . 解析：考查全等三角形的判定 .根据同角的余角相等可得到 3= 5，结合 已知 条件可得到1= D，再加上 BC=CE，可证得结论 .
20、答案 ： BCE= ACD=90， 3+ 4= 4+ 5， 3= 5， 在 ACD 中， ACD=90， 2+ D=90， BAE= 1+ 2=90， 1= D， 在 ABC 和 DEC 中， 135DBC CE， ABC DEC(AAS). 23.课前预习是学习的重要环节，为了了解所教班级学生完成课前预习的具体情况，某班主任对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类： A-优秀， B-良好，C-一般， D-较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图 . 请你根据统计图，解答下列问题： (1)本次一共调查了多少名学生？ 解析： (1)考查条形统计图和扇形统计图 .通过条
21、形统计图可以得知 B 类人数，通过扇形统计图可以得知 B 类占总人数的比例，用 B 类的人数除以它所占的百分比即可得到本次调查的学生数 . 答案： (1)通过条形统计图可以得知 B 类 人数 6+4=10(人 )，通过扇形统计图可以得知 B 类占总人数的比例 50%，本次调查的学生数 =10 50%=20(名 ). (2)C 类女生有 名， D 类男生有 名，并将条形统计图补充完整 . 解析： (2)考查条形统计图和扇形统计图 .用调查的总人数乘以 C类所占百分比得到 C类人数，然后减去男生人数即可得到 C 类女生人数，同理可求出 D 类男生人数，然后补全条形统计图 . 答案： (2)由扇形统
22、计图可知， C 类学生占总人数 25%， C 类学生数： 20 25%=5， C 类学生 男生有 2 人， C 类女生数： 5-2=3(名 )； D 类学生数： 20-3-10-5=2(名 )， D 类女生有 1人， D 类男生有 2-1=1(名 )；即 C 类女生有 3 名， D 类男生有 1 名 . 条形统计图为： (3)若从被调查的 A 类和 C 类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树状图的方法求出所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学的概率 . 解析： (3)考查列表法与树状图法 .先画树状图展示 15 种等可能的结果数，再找出恰好是一位男同学和一位女同学的
23、结果数，然后根据概率公式计算 . 答案： (3)根据题意， 画树状图为： 共有 15 种等可能的结果数，其中恰好是一位男同学和一位女同学的结果数为 7 种， P(所选同学中恰好是一位男同学和一位女同学 )=715. 24.光明文具厂工人的工作时间：每月 26 天，每天 8 小时 .待遇：按件计酬，多劳多得，每月另加福利工资 920 元，按月结算 .该厂生产 A， B 两种型号零件，工人每生产一件 A 种型号零件，可得报酬 0.85 元，每生产一件 B 种型号零件，可得报酬 1.5 元，下表记录的是工人小王的工作情况： 生产 A 种型号零件 /件 生产 B 种型号零件 /件 总时间 /分 2 2
24、 70 6 4 170 根据上表提供的信息，请回答如下问题： (1)小王每生产一件 A 种型号零件、每生产一件 B 种型号零件，分别需要多少分钟？ 解析： (1)考查二元一次方程组的应用 .设小王生产一个 A 种产品用 a 分钟，生产一个 B 种产品用 b 分钟，根据表格中的数据，列方程组求 a、 b 的值 . 答案： (1)设小王生产一个 A 种产品用 a 分钟，生产一个 B 种产品用 b分钟； 根据题意得 2 2 706 4 170abab，解得 1520ab， 即小李生产一个 A 种产品用 15 分钟，生产一个 B 种产品用 20分钟 . (2)设小王某月生产 A 种型号零件 x 件，该
25、月工资为 y 元，求 y与 x的函数关系式 . 解析： (2)考查一次函数的应用 .由题意得，可知存在关系式：月工资 y=生产一件 A 种产品报酬 x+生产一件 B 种产品报酬 AB月 工 作 时 间 生 产 产 品 时 间生 产 一 个 产 品 时 间+福利工资 920 元，从而列出函数关系式 . 答案： (2)由题意得： 2 6 8 6 0 1 50 . 8 5 1 . 5 9 2 020 xyx ，即 y=-0.275x+1856. (3)如果生产两种型号零件的数目限制，那么小王该月的工资数目最多为多少？ 解析： (3)利用 (2)得到的函数关系式，根据一次函数的 单调性 求解 . 答案
26、： (3)解析式 y=-0.275x+1856 中， y 随 x 增大而减小， 生产 A， B 两种产品的数目又没有限制， 当 x=0 时， y 取最大值，即 y=1856. 即小王该月全部时间用来生产 B 种产品，最高工资为 1856 元 . 25. 如图， MN 是 O 的直径， QN 是 O 的切线，连接 MQ 交 O 于点 H， E 为 MH 上一点，连接 ME， NE， NE 交 MQ 于点 F，且 ME2=EF EN. (1)求证： QN=QF. 解析： (1)考查相似三角形的判定与性质，切线的性质，弦切角定理 .如图 1，通过相似三角形 ( MEF MEN)的对应角相等推知， 1
27、= EMN；又由弦切角定理、对顶角相等证得 2= 3；最后根据等角对等边证得结论 . 答案： (1)证明：如图 1， ME2=EF EN， ME EFEN ME.又 MEF= MEN， MEF MEN， 1= EMN. 1= 2， 3= EMN， 2= 3， QN=QF. (2)若点 E 到弦 MH 的距离为 1， cos Q=35，求 O 的半径 . 解析： (2)考查相似三角形的性质，圆周角、弧、弦间的关系 .如图 2，连接 OE 交 MQ 于点 G，设 O 的半径是 r.根据 (1)中的相似三角形的性质证得 EMF= ENM，所以由“圆周角、弧、弦间的关系”推知点 E 是弧 MH 的中点
28、，则 OE MQ；然后通过解直角 MNE 求得 cos Q=sin GMO= 135rr ，则可以求 r 的值 . 答案： (2)解：如图 2，连接 OE 交 MQ 于点 G，设 O 的半径是 r. 由 (1)知， MEF MEN，则 4= 5. ME=EH ， OE MQ， EG=1. cos Q=35，且 Q+ GMO=90， sin GMO=35， OGOM=35，即 135rr ， 解得， r=2.5，即 O 的半径是 2.5. 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c(a 0)的顶点为 B(2， 1)，且过点 A(0，2)，直线 y=x 与抛物线交于点 D， E
29、(点 E 在对称轴的右侧 )，抛物线的对称轴交直线 y=x 于点 C，交 x 轴于点 G， EF x 轴，垂足为 F，点 P 在抛物线上，且位于对称轴的右侧， PQ x轴，垂足为点 Q， PCQ 为等边三角形 (1)求该抛物线的解析式 . 解析： (1)设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2+1，抛物线的顶点是 (2， 1)，把 A 的坐标代入即可求得函数的解析式 . 答案： (1)设抛物线的表达式为 y=a(x-2)2+1，将点 A(0， 2)代入，得 a(0-2)2+1=2， 解这个方程，得 a=14，抛物线的表达式为 y=14(x-2)2+1=14x2-x+2. (2)求点 P 的坐标
30、. 解析： (2)根据 PCQ 为等边三角形，则 CGQ 中， CQD=30， CG 的长度可以求得，根据直角三角形的性质，即可求得 CQ 的长，即等边 CQP 的边长，将 P 的纵坐标代入二次函数的解析式，即可求得 P 的坐标 . 答案： (2)将 x=2 代入 y=x，得 y=2，点 C 的坐标为 (2， 2)，即 CG=2， PCQ 为等边三角形 CQP=60， CQ=PQ， PQ x 轴， CQG=30， CQ=4， GQ=23， OQ=2+23， PQ=4， 将 y=4 代入 y=14(x-2)2+1，得 4=14(x-2)2+1 解这个方程，得 x1=2+23=OQ， x2=2-2
31、3 0(不合题意，舍去 ). 点 P 的坐标为 (2+23， 4). (3)求证： CE=EF. 解析： (3)解方程组即可求得 E 的坐标，则 EF 的长等于 E 的纵坐标，利用勾股定理可以求得OE 的长度，同理可得 OC 的长度，进而求得 CE 的长度 . 答案： (3)把 y=x 代入 y=14x2-x+2，得 x=14x2-x+2 解这个方程，得 x1=4+2 2 ， x2=4-2 2 2(不合题意，舍去 ) y=4+2 2 =EF点 E 的坐标为 (4+2 2 ， 4+2 2 ) 22 4 4 2O E E F O F ， 又 22 22O C C G O G ， CE=OE-OC=
32、4+2 2 ， CE=EF. (4)连接 PE，在 x 轴上点 Q 的右侧是否存在一点 M，使 CQM 与 CPE 全等？若存在，试求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由 .注： 3+2 2 =( 2 +1)2. 解析： (4)利用反证法，假设 x 轴上存在一点，使 CQM CPE，可以证得 EM=EF，即 M 与 F重合，与点 E 为直线 y=x 上的点， CEF=45即点 M 与点 F不重合相矛盾，故 M不存在 . 答案： (4)不存在 . 如图，假设 x 轴上存在一点，使 CQM CPE，则 CM=CE， QCM= PCE QCP=60， MCE=60又 CE=EF， EM=EF， 又点 E 为直线 y=x 上的点， CEF=45，点 M 与点 F不重合 . EF x 轴，这与“垂线段最短”矛盾，原假设错误，满足条件的点 M 不存在 .
