1、 2015 年四川省凉山州中考真题数学 一、选择题 (共 12 小题，每小题 4 分，满分 48分，每小题只有一个选项符合题意 ) 1.(4 分 )( -3.14)0的相反数是 ( ) A. 3.14- B. 0 C. 1 D. -1 解 析 ： ( -3.14)0的相反数是： -1. 故选： D. 2.(4 分 )如图是由四个相同小正方体摆成的立体图形，它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从上边看第一层是一个小正方形，第二层在第一层的上面一个小正方形，右边一个小正方形， 故选： B. 3.(4 分 )我州今年参加中考的学生人数大约为 5.0810 4人，对于这个用科学记数
2、法表示的近似数，下列说法正确的是 ( ) A. 精确到百分位，有 3 个有效数字 B. 精确到百分位，有 5 个有效数字 C. 精确到百位，有 3 个有效数字 D. 精确到百位，有 5 个有效数字 解 析 ： 5.0810 4精确到了百位，有三个有效数字， 故选 C. 4.(4 分 )如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当 2=38 时， 1=( ) A. 52 B. 38 C. 42 D. 60 解 析 ：如图： 3=2=38( 两直线平行同位角相等 )， 1=90 -3=52 ， 故选 A. 5.(4 分 )下列根式中，不能与 合并的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：
3、 A、 ，本选项不合题意； B、 ，本选项不合题意； C、 ，本选项合题意； D、 ，本选项不合题意； 故选 C. 6.(4 分 )某班 45 名同学某天每人的生活费用统计如表： 对于这 45 名同学这天每人的生活费用，下列说法错误的是 ( ) A. 平均数是 20 B. 众数是 20 C. 中位数是 20 D. 极差是 20 解 析 ：这组数据中位数是 20， 则众数为： 20， 平均数为： 20.4， 极差为： 30-10=20. 故选 A. 7.(4 分 )关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2+2x+1=0 有实数根，则 m 的取值范围是 ( ) A. m3 B. m 3 C. m
4、3 且 m2 D. m3 且 m2 解 析 ： 关于 x 的一元二次方程 (m-2)x2+2x+1=0 有实数根， m -20 且 0 ，即 22-4(m -2)10 ，解得 m3 ， m 的取值范围是 m3 且 m2. 故选： D. 8.(4 分 )将圆心角为 90 ，面积为 4cm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，则所围成的圆锥的底面半径为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 解 析 ：设扇形的半径为 R，根据题意得 =4 ，解得 R=4， 设圆锥的底面圆的半径为 r，则 2r4=4 ，解得 r=1， 即所围成的圆锥的底面半径为 1cm. 故选 A. 9.(4 分
5、)在平面直角坐标系中，点 P(-3， 2)关于直线 y=x 对称点的坐标是 ( ) A. (-3， -2) B. (3， 2) C. (2， -3) D. (3， -2) 解 析 ：点 P 关于直线 y=x 对称点为点 Q， 作 APx 轴交 y=x 于 A， y=x 是第一、三象限的角平分线， 点 A 的坐标为 (2， 2)， AP=AQ ， 点 Q 的坐标为 (2， -3) 故选： C. 10.(4 分 )如图， ABC 内接于 O ， OBC=40 ，则 A 的度数为 ( ) A. 80 B. 100 C. 110 D. 130 解 析 ：连接 OC，如图所示， OB=OC ， OCB=
6、OBC=40 ， BOC=100 ， 1+BOC=360 ， 1=260 ， A= 1 ， A=130. 故选： D. 11.(4分 )以正方形 ABCD两条对角线的交点 O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线 y= 经过点 D，则正方形 ABCD 的面积是 ( ) A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 解 析 ： 双曲线 y= 经过点 D， 第一象限的小正方形的面积是 3， 正方形 ABCD 的面积是 34=12. 故选： C. 12.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，下列说法： 2a+b=0 当 -1x3 时， y 0 若 (x1，
7、y1)、 (x2， y2)在函数图象上，当 x1 x2时， y1 y2 9a+3b+c=0 其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 函数图象的对称轴为： ， b= -2a，即 2a+b=0，故 正确； 抛物线开口方向朝上， a 0， 又 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点为 (-1， 0)、 (3， 0)， 当 -1x3 时， y0 ，故 错误； 抛物线的对称轴为 x=1，开口方向向上， 若 (x1， y1)、 (x2， y2)在函数图象上，当 1 x1 x2时， y1 y2；当 x1 x2 1时， y1 y2； 故 错误； 二次函数 y=ax2+bx+c
8、的图象过点 (3， 0)， x=3 时， y=0，即 9a+3b+c=0，故 正确 . 故选 B. 二、填空题 (共 5 小题，每小题 4 分，满分 20分 ) 13.(4 分 ) 的平方根是 _. 解 析 ： =9， 9 的平方根是 3 ， 故答案为： 3. 14.(4 分 )已知函数 y=2x2a+b+a+2b 是正比例函数，则 a=_， b=_. 解 析 ：根据正比例函数的定义可得关于 a 和 b 的方程，解出即可 . 答案 ：根据题意可得： 2a+b=1， a+2b=0， 解得： a= ， b=- . 15.(4 分 )小明同学根据全班同学的血型绘制了如图所示的扇形统计图，已知 A 型
9、血的有 20人，则 O 型血的有 _人 . 解 析 ：全班的人数是： 2040%=50( 人 )， AB 型的所占的百分比是： =10%， 则 O 型血的人数是： 50(1-40%-30%-10%)=10(人 ). 故答案为： 10. 16.(4 分 )分式方程 的解是 _. 解 析 ：方程的两边同乘 x(x-3)，得 3x-9=2x， 解得 x=9. 检验：把 x=9 代入 x(x-3)=540. 原方程的解为： x=9. 故答案为： x=9. 17.(4分 )在 ABCD中， M， N是 AD边上的三等分点，连接 BD， MC相交于 O点，则 SMOD ： SCOB =_. 解 析 ：首先
10、根据 M， N 是 AD 边上的三等分点，判断出 或 ；然后根据四边形 ABCD是平行四边形，判断出 ADBC ， MODC0B ，据此求出 SMOD ： SCOB 的值是多少即可 . 答案 ： M ， N 是 AD 边上的三等分点， (1)当 时，如图 1， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， MODC0B ， S MOD ： SCOB =( )2= . (2)当 时，如图 2， 四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC ， MODC0B ， S MOD ： SCOB =( )2= . 故答案为： 或 . 三、解答题 (共 2 小题，满分 12 分 ) 18.(6 分 )计算：
11、 -32 +| -3| 解 析 ：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可 . 答案 ： -32 +| -3| =-9 +3- =- . 19.(6 分 )先化简： ，然后从 -2x2 的范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值 . 解 析 ：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将 x=0 代入计算即可求出值 . 答案 ： 把 x=0 代入得：原式 =-2. 四、解答题 (共 3 小题，满分 24 分 ) 20.(8 分 )如图，在楼房 AB 和塔 CD 之间有一棵树 EF，从楼顶 A处经过树顶 E点恰好看到塔的底部 D
12、 点，且俯角 为 45. 从距离楼底 B 点 1 米的 P 点处经过树顶 E 点恰好看到塔的顶部 C 点，且仰角 为 30. 已知树高 EF=6 米，求塔 CD 的高度 .(结果保留根号 ) 解 析 ：根据题意求出 BAD=ADB=45 ，进而根据等腰直角三角形的性质求得 FD，在 RtPEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出 BF，即可求得 PG，在 RtPCG 中，继而可求出 CG的长度 . 答案 ： 如图所示： 由题意可知 BAD=ADB=45 ， FD=EF=6 米， 在 RtPEH 中， tan= = ， BF= =5 ， PG=BD=BF+FD=5 +6， 在 RTPCG 中， t
13、an= ， CG=(5 +6) =5+2 ， CD=(6+2 )米 . 21.(8 分 )如图，在正方形 ABCD 中， G 是 BC 上任意一点，连接 AG， DEAG 于 E， BFDE 交AG 于 F，探究线段 AF、 BF、 EF 三者之间的数量关系，并说明理由 . 解 析 ：根据正方形的性质，可得 AB=AD， DAB=ABC=90 ，根据余角的性质，可得ADE=BAF ，根据全等三角形的判定与性质，可得 BF 与 AE 的关系，再根据等量代换，可得答案 . 答案 ：线段 AF、 BF、 EF 三者之间的数量关系 AF=BF+EF，理由如下： 四边形 ABCD 是正方形， AB=AD
14、 ， DAB=ABC=90. DEAG 于 E， BFDE 交 AG 于 F， AED=DEF=AFB=90 ， ADE+DAE=90 ， DAE+BAF=90 ， ADE=BAF. 在 ABF 和 DAE 中 ， ABFDAE (AAS) ， BF=AE. AF=AE+EF ， AF=BF+EF. 22.(8 分 )2015 年 5 月 6 日，凉山州政府在邛海 “ 空列 ” 项目考察座谈会上与多方达成初步合作意向，决定共同出资 60.8 亿元，建设 40 千米的邛海空中列车 .据测算，将有 24 千米的“ 空列 ” 轨道架设在水上，其余架设在陆地上，并且每千米水上建设费用比陆地建设费用多0
15、.2 亿元 . (1)求每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元？ (2)预计在某段 “ 空列 ” 轨道的建设中，每天至少需 要运送沙石 1600m3，施工方准备租用大、小两种运输车共 10 辆，已知每辆大车每天运送沙石 200m3，每辆小车每天运送沙石 120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为 1000 元、 700 元，且要求每天租车的总费用不超过 9300元，问施工方有几种租车方案？哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？ 解 析 ： (1)首先根据题意，设每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用需要 x 亿元，每千米陆地建设费用需 y 亿元，然后根据 “ 空列
16、 ” 项目总共需要 60.8 亿元，以及每千米水上建设费用比陆地建设费用多 0.2 亿元，列出二元一次方程组，再解方程组， 求出每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用和陆地建设费用各需多少亿元即可 . (2)首先根据题意，设每天租 m 辆大车，则需要租 10-m 辆小车，然后根据每天至少需要运送沙石 1600m3，以及每天租车的总费用不超过 9300 元，列出一元一次不等式组，判断出施工方有几种租车方案；最后分别求出每种租车方案的费用是多少，判断出哪种租车方案费用最低，最低费用是多少即可 . 答案 ： (1)设每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用需要 x 亿元，每千米陆地建设费用需 y
17、亿元， 则 ， 解得 . 所以每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用需要 1.6 亿元，每千米陆地建设费用需 1.4 亿元 . 答：每千米 “ 空列 ” 轨道的水上建设费用需要 1.6 亿元，每千米陆地建设费用需 1.4 亿元 . (2)设每天租 m 辆大车，则需要租 10-m 辆小车， 则 ， 施工方有 3 种租车方案： 租 5 辆大车和 5 辆小车； 租 6 辆大车和 4 辆小车； 租 7 辆大车和 3 辆小车； 租 5 辆大车和 5 辆小车时， 租车费用为： 10005+7005 =5000+3500 =8500(元 ) 租 6 辆大车和 4 辆小车时， 租车费用为： 10006+70
18、04 =6000+2800 =8800(元 ) 租 7 辆大车和 3 辆小车时， 租车费用为： 10007+7003 =7000+2100 =9100(元 ) 8500 8800 9100， 租 5 辆大车和 5 辆小车时，租车费用最低，最低费用是 8500 元 . 五、解答题 (共 2 小题，满分 16 分 ) 23.(8 分 )在甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 0，1， 2，；乙袋中装有 3 个完全相同的小球，分别标有数字 -1， -2， 0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 x， 再从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为 y，确定点
19、 M 坐标为 (x， y). (1)用树状图或列表法列举点 M 所有可能的坐标； (2)求点 M(x， y)在函数 y=-x+1 的图象上的概率； (3)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的半径是 2，求过点 M(x， y)能作 O 的切线的概率 . 解 析 ： (1)用树状图法展示所有 9 种等可能的结果数； (2)根据一次函数图象上点的坐标特征，从 9 个点中找出满足条件的点，然后根据概率公式计算； (3)利用点与圆的位置关系找出圆上的点和圆外的点，由于过这些点可作 O 的切线，则可计算出过点 M(x， y)能作 O 的切线的概率 . 答案 ： (1)画树状图： 共有 9 种等可能的结果
20、数，它们是： (0， -1)， (0， -2)， (0， 0)， (1， -1)， (1， -2)， (1，0)， (2， -1)， (2， -2)， (2， 0)； (2)在直线 y=-x+1 的图象上的点有： (1， 0)， (2， -1)， 所以点 M(x， y)在函数 y=-x+1 的图象上的概率 = ； (3)在 O 上的点有 (0， -2)， (2， 0)，在 O 外的点有 (1， -2)， (2， -1)， (2， -2)， 所以过点 M(x， y)能作 O 的切线的点有 5 个， 所以过点 M(x， y)能作 O 的切线的概率 = . 24.(8 分 )阅读理解 材料一：一组对
21、边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线 .梯形的中位线具有以下性质： 梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半 . 如图 (1)：在梯形 ABCD 中： ADBC E 、 F 是 AB、 CD 的中点 EFADBC EF= (AD+BC) 材料二：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 如图 (2)：在 ABC 中： E 是 AB 的中点， EFBC F 是 AC 的中点 请你运用所学知识，结合上述材料，解答下列问题 . 如图 (3)在梯形 ABCD 中， AD
22、BC ， ACBD 于 O， E、 F 分别为 AB、 CD 的中点， DBC=30 (1)求证： EF=AC； (2)若 OD=3 ， OC=5，求 MN 的长 . 解 析 ： (1)由直角三角形中 30 的锐角所对的直角边是斜边的一半，可得 OA= AD， OC= BC，即可证明； (2)直角三角形中 30 的锐角所对的直角边是斜边的一半，得出 OA=3，利用平行线得出 ON=MN，再根据 AN= AC=4，得出 ON=4-3=1，进而得出 MN 的值 . 答案 ： (1)证明： ADBC ， ADO=DBC=30 ， 在 RtAOD 和 RtBOC 中， OA= AD， OC= BC，
23、AC=OA+OC= (AD+BC)， EF= (AD+BC)， AC=EF ； (2)解： ADBC ， ADO=DBC=30 ， 在 RtAOD 和 RtBOC 中， OA= AD， OC= BC， OD=3 ， OC=5， OA=3 ， ADEF ， ADO=OMN=30 ， ON= MN， AN= AC= (OA+OC)=4， ON=AN -OA=4-3=1， MN=2ON=2. 六、填空题 (共 2 小题，每小题 5 分，满分 10分 ) 25.(5 分 )已知实数 m， n 满足 3m2+6m-5=0， 3n2+6n-5=0，且 mn ，则 =_. 解 析 ：由 mn 时，得到 m，
24、 n 是方程 x2-2x-1=0 的两个不等的根，根据根与系数的关系进行求解 . 答案 ： mn 时，则 m， n 是方程 3x2-6x-5=0 的两个不相等的根， m+n=2 ， mn=- . 原式 . 26.(5 分 )菱形 ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点 B(2， 0)， DOB=60 ，点P 是对角线 OC 上一个动点， E(0， -1)，当 EP+BP 最短时，点 P 的坐标为 _. 解 析 ： 点 B 的对称点是点 D，连接 ED，交 OC 于点 P，再得出 ED 即为 EP+BP 最短，解答即可 . 答案 ： 连接 ED，如图， 点 B 的对称点是点 D， DP
25、=BP ， ED 即为 EP+BP 最短， 四边形 ABCD 是菱形，顶点 B(2， 0)， DOB=60 ， 点 D 的坐标为 (1， )， 点 C 的坐标为 (3， )， 可得直线 OC 的解析式为： y= x， 点 E 的坐标为 (-1， 0)， 可得直线 ED 的解析式为： y=(1+ )x-1， 点 P 是直线 OC 和直线 ED 的交点， 点 P 的坐标为方程组 的解， 解方程组得： ， 所以点 P 的坐标为 . 七、解答题 (共 2 小题，满分 20 分 ) 27.(8 分 )如图， O 的半径为 5，点 P 在 O 外， PB 交 O 于 A、 B两点， PC 交 O 于 D、
26、 C两点 . (1)求证： PAPB=PDPC ； (2)若 PA= ， AB= ， PD=DC+2，求点 O 到 PC 的距离 . 解 析 ： (1)先连接 AD， BC，由圆内接四边形的性质可知 PAD=PCB ， PDA=PBC ，故可得出 PADPCB ，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论； (2)由 PAPB=PDPC ，求出 CD，根据垂径定理可得点 O 到 PC 的距离 . 答案 ： (1)连接 AD， BC， 四边形 ABDC 内接于 O ， PAD=PCB ， PDA=PBC ， PADPCB ， ， PAPB=PCPD ； (2)连接 OD，作 OEDC ，垂足为 E
27、， PA= ， AB= ， PD=DC+2， PB=16 ， PC=2DC+2 PAPB=PDPC ， 16=(DC+2)(2DC+2) ， 解得： DC=8 或 DC=-11(舍去 ) DE=4 ， OD=5 ， OE=3 ， 即点 O 到 PC 的距离为 3. 28.(12 分 )如图，已知抛物线 y=x2-(m+3)x+9 的顶点 C 在 x轴正半轴上，一次函数 y=x+3与抛物线交于 A、 B 两点，与 x、 y 轴交于 D、 E 两点 . (1)求 m 的值 . (2)求 A、 B 两点的坐标 . (3)点 P(a， b)(-3 a 1)是抛物线上一点，当 PAB 的面积是 ABC
28、面积的 2 倍时，求 a， b的值 . 解 析 ： (1)抛物线的顶点在 x 轴的正半轴上可知其对应的一元二次方程有两个相等的实数根，根据判别式等于 0 可求得 m 的值； (2)由 (1)可求得抛物线解析式，联立一次函数和抛物线解析式可求得 A、 B 两点的坐标； (3)分别过 A、 B、 P 三点作 x 轴的垂线，垂足分别为 R、 S、 T，可先求得 ABC 的面积，再利用 a、 b 表示出 PAB 的面积，根据面积之间的关系可得到 a、 b 之间的关系，再结合 P 点在抛物线上，可得到关于 a、 b 的 两个方程，可求得 a、 b 的值 . 答案 ： (1) 抛物线 y=x2-(m+3)
29、x+9 的顶点 C 在 x 轴正半轴上， 方程 x2-(m+3)x+9=0 有两个相等的实数根， (m+3) 2-49=0 ，解得 m=3 或 m=-9， 又抛物线对称轴大于 0，即 m+3 0， m=3 ； (2)由 (1)可知抛物线解析式为 y=x2-6x+9，联立一次函数 y=x+3， 可得 ，解得 或 ， A(1 ， 4)， B(6， 9)； (3)如图，分别过 A、 B、 P 三点作 x 轴的垂线，垂足分别为 R、 S、 T， A(1 ， 4)， B(6， 9)， C(3， 0)， P(a， b)， AR=4 ， BS=9， RC=3-1=2， CS=6-3=3， RS=6-1=5， PT=b， RT=1-a， ST=6-a， S ABC =S 梯形 ABSR-SARC -SBCS = (4+9)5 - 24 - 39=15 ， SPAB =S 梯形 PBST-S 梯形 ABSR-S 梯形 ARTP= (9+b)(6-a)- (b+4)(1-a)- (4+9)5= (5b-5a-15)， 又 SPAB =2SABC ， (5b-5a-15)=30，即 b-a=15， b=15+a ， P 点在抛物线上， b=a 2-6a+9， 15+a=a 2-6a+9，解得 a= ， -3 a 1， a= ， b=15+ .
