1、 2015 年四川省南充市中考 真题 数学 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分 )每小题都有代号 A、 B、 C、 D 四个答案选项，其中只有一个是正确的 . 1.(3 分 )计算 3+(-3)的结果是 ( ) A. 6 B. -6 C. 1 D. 0 解 析 ： 3 与 -3 互为相反数，且互为相反数的两数和为 0. 3+( -3)=0. 故选 D. 2.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. 3x-2x=x B. 2x3x=6x C. (2x)2=4x D. 6x2x=3x 解 析 ： A、 3x-2x=x，正确； B、 2x3x=6x 2，错误； C、
2、 (2x)2=4x2，错误； D、 6x2x=3 ，错误； 故选 A. 3.(3 分 )如图是某工厂要设计生产的正六棱柱形密封罐的立体图形，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 根据主视图的定义，可得它的主视图为： ， 故选： A. 4.(3 分 )学校机房今年和去年共购置了 100 台计算机，已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的 3 倍，今年购置计算机的数量是 ( ) A. 25 台 B. 50 台 C. 75 台 D. 100 台 解 析 ： 设今年购置计算机的数量是 x 台，去年购置计算机的数量是 (100-x)台， 根据题意可得： x=3(100-x)， 解
3、得： x=75. 故选 C. 5.(3 分 )如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 55 方向，距离灯塔 2 海里的点 A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离 AB 长是 ( ) A. 2 海里 B. 2sin55 海里 C. 2cos55 海里 D. 2tan55 海里 解 析 ： 如图，由题意可知 NPA=55 ， AP=2 海里， ABP=90. ABNP ， A=NPA=55. 在 RtABP 中， ABP=90 ， A=55 ， AP=2 海里， AB=APcosA=2cos55 海里 . 故选 C. 6.(3 分 )若 m n，下列不等式不一定成立的是 (
4、) A. m+2 n+2 B. 2m 2n C. D. m2 n2 解 析 ： A、不等式的两边都加 2，不等号的方向不变，故 A 正确； B、不等式的两边都乘以 2，不等号的方向不变，故 B 正确； C、不等式的两条边都除以 2，不等号的方向不变，故 C 正确； D、当 0 m n 时，不等式的两边都乘以负数，不等号的方向改变，故 D 错误； 故选： D. 7.(3 分 )如图是一个可以自由转动的正六边形转盘，其中三个正三角形涂有阴影，转动指针，指针落在有阴影的区域内的概率为 a，如果投掷一枚硬币，正面向上的概率为 b，关于 a、 b大小的正确判断是 ( ) A. a b B. a=b C.
5、 a b D. 不能判断 解 析 ： 正六边形被分成相等的 6 部分，阴影部分占 3 部分， a= = ， 投掷一枚硬币，正面向上的概率 b= ， a=b ， 故选 B. 8.(3 分 )如图， PA和 PB 是 O 的切线，点 A和 B 的切点， AC 是 O 的直径，已知 P=40 ，则 ACB 的大小是 ( ) A. 40 B. 60 C. 70 D. 80 解 析 ： 连接 OB， AC 是直径， ABC=90 ， PA 、 PB 是 O 的切线， A、 B 为切点， OAP=OBP=90 ， AOB=180 -P=140 ， 由圆周角定理知， ACB= AOB=70 ， 故选 C.
6、9.(3分 )如图，菱形 ABCD的周长为 8cm，高 AE长为 cm，则对角线 AC长和 BD长之比为 ( ) A. 1： 2 B. 1： 3 C. 1： D. 1： 解 析 ： 如图，设 AC， BD 相较于点 O， 菱形 ABCD 的周长为 8cm， AB=BC=2cm ， 高 AE 长为 cm， BE= =1(cm)， CE=BE=1cm ， AC=AB=2cm ， OA=1cm ， ACBD ， (cm)， BD=2OB=2 cm， AC ： BD=1： . 故选 D. 10.(3 分 )关于 x 的一元二次方程 x2+2mx+2n=0 有两个整数根且乘积为正，关于 y 的一元二次方
7、程 y2+2ny+2m=0 同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论： 这两个方程的根都负根； (m -1)2+(n-1)22 ； -12m -2n1 ，其中正确结论的个数是 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 解 析 ： 两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有， x1x 2=2n 0， y1y 2=2m 0， y1+y2=-2n 0， x1+x2=-2m 0， 这两个方程的根都为负根， 正确； 由根判别式有： =b 2-4ac=4m2-8n0 ， =b 2-4ac=4n2-8m0 ， 4m2-8n=m2-2n0 ， 4n2-8m=n2-2m0 ， m2-
8、2m+1+n2-2n+1=m2-2n+n2-2m+22 ， (m-1)2+(n-1)22 ， 正确； 由根与系数关系可得 2m-2n=y1y2+y1+y2=(y1+1)(y2+1)-1， 由 y1、 y2均为负整数，故 (y1+1)(y 2+1)0 ，故 2m-2n -1， 同理可得： 2n-2m=x1x2+x1+x2=(x1+1)(x2+1)-1，得 2n-2m -1，即 2m-2n1 ，故 正确 . 故选 D. 二、填空题 (本大题共 6 个小题，每小题 3分，共 18 分 ) 11.(3 分 )计算 -2sin45 的结果是 _. 解 析 ： 利用二次根式的性质以及特殊角的三角函数值求出
9、即可 . 答案 ： -2sin45 =2 -2 = . 12.(3 分 )不等式 的解集是 _. 解 析 ： 去分母得： x-1 2， 移项得： x 3， 所以不等式的解集是： x 3. 故答案为： x 3. 13.(3 分 )如图，点 D 在 ABC 边 BC 的延长线上， CE 平分 ACD ， A=80 ， B=40 ，则ACE 的大小是 _度 . 解 析 ： ACD=B+A ， 而 A=80 ， B=4 ， ACD=80+40=120. CE 平分 ACD ， ACE=60 ， 故答案为 60 14.(3 分 )从分别标有数 -3， -2， -1， 0， 1， 2， 3 的七张卡片中，
10、随机抽取一张，所抽卡片上数的绝对值小于 2 的概率是 _. 解 析 ： 根据写有数字 -3、 -2、 -1、 0、 1、 2、 3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2的有 -1、 0、 1，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案 ： 写有数字 -3、 -2、 -1、 0、 1、 2、 3、的七张一样的卡片中，数字的绝对值小于 2的有 -1、 0、 1、， 任意抽取一张卡片，所抽卡片上数字的绝对值小于 2 的概率是： . 15.(3 分 )已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 k 的值是 _. 解 析 ： 解方程组 得： ， 因为关于 x， y 的二元一次方程组 的
11、解互为相反数， 可得： 2k+3-2-k=0， 解得： k=-1. 故答案为： -1. 16.(3 分 )如图，正方形 ABCD 的边长为 1，以 AB 为直径作半圆，点 P 是 CD 中点， BP 与半圆交于点 Q，连结 PQ，给出如下结论： DQ=1 ； ； S PDQ = ； cosADQ= ，其中正确结论是 _(填写序号 ) 解 析 ： 正确结论是 . 提示： 连接 OQ， OD，如图 1. 易证四边形 DOBP 是平行四边形，从而可得 DOBP. 结合 OQ=OB，可证到 AOD=QOD ，从而证到 AODQOD ， 则有 DQ=DA=1. 故 正确； 连接 AQ，如图 2. 则有
12、CP= ， . 易证 RtAQBRtBCP ， 运用相似三角形的性质可求得 ， 则 ， . 故 正确； 过点 Q 作 QHDC 于 H，如图 3. 易证 PHQPCB ， 运用相似三角形的性质可求得 QH= ， S DPQ = DPQH= = . 故 错误； 过点 Q 作 QNAD 于 N，如图 4. 易得 DPNQAB ， 根据平行线分线段成比例可得 ， 则有 ， 解得： . 由 DQ=1，得 cosADQ= . 故 正确 . 综上所述：正确结论是 . 故答案为： . 三、解答题 (本大题共 9 个小题，共 72分 ) 17.(6 分 )计算： (a+2- ) . 解 析 ： 首先将括号里面
13、通分运算，进而利用分式的性质化简求出即可 . 答案 ： (a+2- ) =-2a-6. 18.(6 分 )某学校要了解学生上学交通情况，选取九年级全体学生进行调查，根据调查结果，画出扇形统计图 (如图 )，图中 “ 公交车 ” 对应的扇形圆心角为 60 ， “ 自行车 ” 对应的扇形圆心角为 120 ，已知九年级乘公交车上学的人数为 50 人 . (1)九年级学业生中，骑自行车和乘公交车上学哪个更多？多多少人？ (2)如果全校有学生 2000 人，学校准备的 400 个自行车停车位是否足够？ 解 析 ： (1)根据乘公交车的人数除以乘公交车的人数所占的比例，可得调查的样本容量，根据样本容量乘以
14、自行车所占的百分比，可得骑自行车的人数，根据有理数的减法，可得答案； (2)根据学校总人数乘以骑自行车所占的百分比，可得答案 . 答案 ： (1)乘公交车所占的百分比 ， 调查的样本容量 50 =300 人， 骑自行车的人数 300 =100 人， 骑自行车的人数多，多 100-50=50 人； (2)九年级骑自行车的人数 2000 667 人， 667 400， 故学校准备的 400 个自行车停车位不足够 . 19.(8 分 )如图， ABC 中， AB=AC， ADBC ， CEAB ， AE=CE.求证： (1)AEFCEB ； (2)AF=2CD. 解 析 ： (1)由 ADBC ，
15、CEAB ，易得 AFE=B ，利用全等三角形的判定得 AEFCEB ； (2)由全等三角形的性质得 AF=BC，由等腰三角形的性质 “ 三线合一 ” 得 BC=2CD，等量代换得出结论 . 答案 ： (1)ADBC ， CEAB ， BCE+CFD=90 ， BCE+B=90 ， CFD=B ， CFD=AFE ， AFE=B 在 AEF 与 CEB 中， ， AEFCEB(AAS) ； (2)AB=AC ， ADBC ， BC=2CD ， AEFCEB ， AF=BC ， AF=2CD. 20.(8 分 )已知关于 x 的一元二次方程 (x-1)(x-4)=p2， p 为实数 . (1)求
16、证：方程有两个不相等的实数根； (2)p 为何值时，方程有整数解 .(直接写出三个，不需说明理由 ) 解 析 ： (1)要证明方程总有两个不相等的实数根，那么只要证明 0 即可； (2)要是方程有整 数解，那么 x1x 2=4-p2为整数即可，于是求得当 p=0， 1 时，方程有整数解 . 答案 ： (1)原方程可化为 x2-5x+4-p2=0， =( -5)2-4(4 -p2)=4p2+9 0， 不论 m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 方程有整数解， x 1x 2=4-p2为整数即可， 当 p=0， 2 时，方程有整数解 . 21.(8 分 )反比例函数 y= (k0)
17、与一次函数 y=mx+b(m0) 交于点 A(1， 2k-1). (1)求反比例函数的解析式； (2)若一次函数与 x 轴交于点 B，且 AOB 的面积为 3，求一次函数的解析式 . 解 析 ： (1)把 A(1， 2k-1)代入 y= 即可求得结果； (2)根据三角形的面积等于 3，求得点 B 的坐标，代入一次函数 y=mx+b 即可得到结果 . 答案 ： (1)把 A(1， 2k-1)代入 y= 得， 2k-1=k， k=1 ， 反比例函数的解析式为： y= ； (2)由 (1)得 k=1， A(1 ， 1)， 设 B(a， 0)， S AOB = |a|1=3 ， a=6 ， B( -6
18、， 0)或 (6， 0)， 把 A(1， 1)， B(-6， 0)代入 y=mx+b 得： ， ， 一次函数的解析式为： y= x+ ， 把 A(1， 1)， B(6， 0)代入 y=mx+b 得： ， ， 一次函数的解析式为： y=- . 所以符合条件的一次函数解析式为： y=- 或 y= x+ . 22.(8 分 )如图，矩形纸片 ABCD，将 AMP 和 BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠 (AP AM)，点 A 和点B 都与点 E 重合；再将 CQD 沿 DQ 折叠，点 C落在线段 EQ上点 F处 . (1)判断 AMP ， BPQ ， CQD 和 FDM 中有哪几对相似三角形？ (
19、不需说明理由 ) (2)如果 AM=1， sinDMF= ，求 AB 的长 . 解 析 ： (1)由矩形的性质得 A=B=C=90 ，由折叠的性质和等角的余角相等，可得BPQ=AMP=DQC ，所以 AMPBPQCQD ； (2)先证明 MD=MQ，然后根据 sinDMF= = ，设 DF=3x， MD=5x，表示出 AP、 BP、 BQ，再根据 AMPBPQ ，列出比例式解方程求解即可 . 答案 ： (1)AMPBPQCQD ， 四边形 ABCD 是矩形， A=B=C=90 ， 根据折叠的性质可知： APM=EPM ， EPQ=BPQ ， APM+BPQ=EPM+EPQ=90 ， APM+A
20、MP=90 ， BPQ=AMP ， AMPBPQ ， 同理： BPQCQD ， 根据相似的传递性， AMPCQD ； (2)ADBC ， DQC=MDQ ， 根据折叠的性质可知： DQC=DQM ， MDQ=DQM ， MD=MQ ， AM=ME ， BQ=EQ， BQ=MQ -ME=MD-AM， sinDMF= = ， 设 DF=3x， MD=5x， BP=PA=PE= ， BQ=5x-1， AMPBPQ ， ， ， 解得： x= (舍 )或 x=2， AB=6. 23.(8 分 )某工厂在生产过程中每消耗 1 万度电可以产生产值 5.5 万元，电力公司规定，该工厂每月用电量不得超过 16
21、万度，月用电量不超过 4 万度时，单价是 1 万元 /万度；超过 4万度时，超过部分电量单价将按用电量进行调查，电价 y 与月用电量 x 的函数关系可用如图来表示 .(效益 =产值 -用电量 电价 ) (1)设工厂的月效益为 z(万元 )，写出 z 与月用电量 x(万度 )之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)求工厂最大月效益 . 解 析 ： (1)根据题意知电价 y 与月用电量 x 的函数关系是分段函数，当 0x4 时， y=1，当4 x16 时，函数过点 (4， 1)和 (8， 1.5)的一次函数，求出解析式；再根据效益 =产值 -用电量 电价，求出 z 与月用电量 x(万度
22、)之间的函数关系式； (2)根据 (1)中得到函数关系式，利用一次函数和二次函数的性质，求出最值 . 答案 ： (1)根据题意得：电价 y 与月用电量 x 的函数关系是分段函数， 当 0x4 时， y=1， 当 4 x16 时，函数过点 (4， 1)和 (8， 1.5)的一次函数， 设一次函数为 y=kx+b， ， 解得： ， y= ， 电价 y 与月用电量 x 的函数关系为： y= z 与月用电量 x(万度 )之间的函数关系式为： z=即 z= (2)当 0x4 时， z= ， z 随 x 的增大而增大， 当 x=4 时， z 有最大值，最大值为： =18(万元 )； 当 4 x16 时，
23、z= ， ， 当 x22 时， z 随 x 增大而增大， 16 22，则当 x=16 时， z 最大值为 54， 故当 0x16 时， z 最大值为 54，即工厂最大月效益为 54 万元 . 24.(10 分 )如图，点 P 是正方形 ABCD 内一点，点 P 到点 A、 B和 D 的距离分别为 1， ， ADP 沿点 A 旋转至 ABP ，连结 PP ，并延长 AP 与 BC相交于点 Q. (1)求证： APP 是等腰直角三角形； (2)求 BPQ 的大小； (3)求 CQ 的长 . 解 析 ： (1)根据旋转的性质可知， APDAPB ，所以 AP=AP ， PAD=PAB ，因为PAD+
24、PAB=90 ，所以 PAB+PAB=90 ，即 PAP=90 ，故 APP 是等腰直角三角形； (2)根据勾股定理逆定理可判断 PPB 是直角三角形，再根据平角定义求出结果； (3)作 BEAQ ，垂足为 E，由 BPQ=45 ， PB= ，求出 PE=BE=2，在 RtABE 中，运用勾股定理求出 AB，再由 cosEAB=cosEBQ ，求出 BQ，则 CQ=BC-BQ. 答案 ： (1)ADP 沿点 A 旋转至 ABP ， 根据旋转的性质可知， APDAPB ， AP=AP ， PAD=PAB ， PAD+PAB=90 ， PAB+PAB=90 ， 即 PAP=90 ， APP 是等腰
25、直角三角形； (2)由 (1)知 PAP=90 ， AP=AP=1 ， PP= ， PB=PD= ， PB= ， PB 2=PP 2+PB2， PPB=90 ， APP 是等腰直角三角形， APP=45 ， BPQ=180 -90 -45=45 ； (3)作 BEAQ ，垂足为 E， BPQ=45 ， PB= ， PE=BE=2 ， AE=2+1=3 ， ， BE= =2， EBQ=EAB ， cosEAB= ， cosEBQ= ， ， BQ= ， . 25.(10 分 )已知抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(m-2， 0)和 B(2m+1， 0)(点 A在点 B的左侧 )，
26、与 y 轴相交于点 C，顶点为 P，对称轴为 l： x=1. (1)求抛物线解析式 . (2)直线 y=kx+2(k0) 与抛物线相交于两点 M(x1， y1)， N(x2， y2)(x1 x2)，当 |x1-x2|最小时，求抛物线与直线的交点 M 与 N 的坐标 . (3)首尾顺次连接点 O、 B、 P、 C 构成多边形的周长为 L，若线段 OB 在 x 轴上移动，求 L 最小值时点 O， B 移动后的坐标及 L 的最小值 . 解 析 ： (1)根据对称轴公式求出 b 的值，再根据根与系数的关系求出 c 的值，从而求出二次函数解析式； (2)将一次函数与二次函数组成方程组，得到一元二次方程
27、x2+(k-2)x-1=0，根据根与系数的关系求出 k 的值，进而求出 M(-1， 0)， N(1， 4)； (3)O， B， P， C 构成多边形的周长 L=OB+BP+PC+CO，根据线段 OB 平移过程中， OB、 PC 长度不变，得到要使 L 最小，只需 BP+CO 最短，作点 P 关于 x轴 (或 OB)对称点 P(1 ， -4)， 连接 CP 与 x 轴交于点 B ，然后根据平移知识和勾股定理解答 . 答案 ： (1)由已知对称轴为 x=1，得 =1， b=2 ， 抛物线 y=-x2+bx+c 与 x 轴交于点 A(m-2， 0)和 B(2m+1， 0)， 即 -x2+2x+c=0
28、 的解为 m-2 和 2m+1， (m-2)+(2m+1)=2， 3m=3， m=1， 将 m=1 代入 (m-2)(2m+1)=-c 得， (1-2)(2+1)=-c， c=3 ， m=1 ， c=3， 抛物线的解析式为 y=-x2+2x+3； (2)由 ， x 2+(k-2)x-1=0， x1+x2=-(k-2)， x1x2=-1， (x 1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(k-2)2+4， 当 k=2 时， (x1-x2)2的最小值为 4，即 |x1-x2|的最小值为 2， x 2-1=0， x1=1， x2=-1，即 y1=4， y2=0， 当 |x1-x2|最小时，抛物线与
29、直线的交点为 M(-1， 0)， N(1， 4)； (3)O(0， 0)， B(3， 0)， P(1， 4)， C(0， 3)， O， B， P， C 构成多边形的周长 L=OB+BP+PC+CO， 线段 OB 平移过程中， OB、 PC 长度不变， 要使 L 最小，只需 BP+CO 最短， 如图，平移线段 OC 到 BC ，四边形 OBCC 是矩形， C(3 ， 3)， 作点 P 关于 x 轴 (或 OB)对称点 P(1 ， -4)， 连接 CP 与 x 轴交于点 B ， 设 CP 解析式为 y=ax+n， ，解得 ， y= x- ， 当 y=0 时， x= ， B( ， 0)， 又 3- = ， 故点 B 向左平移 ，平移到 B ， 同时，点 O 向左平移 ，平移到 0( - ， 0). 即线段 OB 向左平移 时，周长 L 最短， 此时，线段 BP， CO 之和最短为 PC ， OB=OB=3 ， CP= ， 当线段 OB 向左平移 ，即点 O 平移到 O( - ， 0)，点 B 平移到 B( ， 0)时，周长 L最短为 + +3.
