1、 2015 年四川省泸州市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 个小题，每小题 3分，共 36 分 )在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，请将正确选项的字母填涂在答题卡相应的位置上 . 1.(3 分 )-7 的绝对值为 ( ) A. 7 B. C. - D. -7 解 析 ： -7 的绝对值等于 7， 故选： A. 2.(3 分 )计算 (a2)3的结果为 ( ) A. a4 B. a5 C. a6 D. a9 解 析 ： (a2)3=a6. 故选： C. 3.(3 分 )如图所示的几何体的左视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从几何体的左面看是一个矩形， 几
2、何体的左视图是矩形 . 故选： C. 4.(3 分 )截止到 2014 年底，泸州市中心城区人口约为 1120000 人，将 1120000 用科学记数法表示为 ( ) A. 1.1210 5 B. 1.1210 6 C. 1.1210 7 D. 1.1210 8 解 析 ： 将 1120000 用科学记数法表示为： 1.1210 6. 故选： B. 5.(3 分 )如图， ABCD ， CB 平分 ABD. 若 C=40 ，则 D 的度数为 ( ) A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 解 析 ： ABCD ， C=40 ， ABC=40 ， CB 平分 ABD ， ABD=
3、80 ， D=100. 故选 B. 6.(3 分 )菱形具有而平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对角分别相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 解 析 ： A、不正确，两组对边分别平行； B、不正确，两组对角分别相等，两者均有此性质正确，； C、不正确，对角线互相平分，两者均具有此性质； D、菱形的对角线互相垂直但平行四边形却无此性质 . 故选 D. 7.(3 分 )某校男子足球队的年龄分布情况如下表： 则这些队员年龄的众数和中位数分别是 ( ) A. 15， 15 B. 15， 14 C. 16， 15 D. 14， 15 解 析 ： 根据图表数据
4、，同一年龄人数最多的是 15 岁，共 8 人，所以众数是 15； 22 名队员中，按照年龄从小到大排列，第 11 名队员与第 12 名队员的年龄都是 15 岁，所以，中位数是 (15+15)2=15. 故选 A. 8.(3 分 )如图， PA、 PB 分别与 O 相切于 A、 B 两点，若 C=65 ，则 P 的度数为 ( ) A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 解 析 ： PA 、 PB 是 O 的切线， OAAP ， OBBP ， OAP=OBP=90 ， 又 AOB=2C=130 ， 则 P=360 -(90+90+130)=50. 故选 C. 9.(3 分 )若二次函数
5、 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 (2， 0)，且其对称轴为 x=-1，则使函数值 y 0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. x -4 或 x 2 B. -4x2 C. x -4 或 x2 D. -4 x 2 解 析 ： 二次函数 y=ax2+bx+c(a 0)的图象经过点 (2， 0)，且其对称轴为 x=-1， 二次函数的图象与 x 轴另一个交点为 (-4， 0)， a 0， 抛物线开口向下， 则使函数值 y 0 成立的 x 的取值范围是 -4 x 2. 故选 D. 10.(3分 )若关于 x的一元二次方 程 x2-2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数 y=k
6、x+b的大致图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： x 2-2x+kb+1=0 有两个不相等的实数根， =4 -4(kb+1) 0， 解得 kb 0， A.k 0， b 0，即 kb 0，故 A 不正确； B.k 0， b 0，即 kb 0，故 B 正确； C.k 0， b 0，即 kb 0，故 C 不正确； D.k 0， b=0，即 kb=0，故 D 不正确； 故选： B. 11.(3 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC， BC=24， tanC=2，如果将 ABC 沿直线 l 翻折后，点 B落在边 AC 的中点 E 处，直线 l 与边 BC交于点 D，那么 BD 的长
7、为 ( ) A. 13 B. C. D. 12 解 析 ： 过点 A 作 AGBC 于点 G， AB=AC ， BC=24， tanC=2， =2， GC=BG=12， AG=24 ， 将 ABC 沿直线 l 翻折后，点 B 落在边 AC 的中点处， 过 E 点作 EFBC 于点 F， EF= AG=12， =2， FC=6 ， 设 BD=x，则 DE=x， DF=24 -x-6=18-x， x 2=(18-x)2+122， 解得： x=13， 则 BD=13. 故选 A. 12.(3 分 )在平面直角坐标系中，点 A( ， )， B(3 ， 3 )，动点 C在 x 轴上，若以 A、B、 C
8、三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ： 如图， AB 所在的直线是 y=x， 设 AB 的中垂线所在的直线是 y=-x+b， 点 A( ， )， B(3 ， 3 )， AB 的中点坐标是 (2 ， 2 )， 把 x=2 ， y=2 代入 y=-x+b， 解得 b=4 ， AB 的中垂线所在的直线是 y=-x+4 ， C 1(4 ， 0) 以点 A 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与 x 轴的交点为点 C2、 C3； ， 3 4， 以点 B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，与 x 轴没有交点 . 综上，可得 若以 A、
9、B、 C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 C 的个数为 3. 故选： B. 二、填空题 (每小题 3 分，共 12 分 ) 13.(3 分 )分解因式： 2m2-2=_. 解 析 ： 2m2-2， =2(m2-1)， =2(m+1)(m-1). 故答案为： 2(m+1)(m-1). 14.(3 分 )用一个圆心角为 120 ，半径为 6 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 _. 解 析 ： 扇形的弧长 = =4 ， 圆锥的底面半径为 42=2. 故答案为： 2. 15.(3 分 )设 x1、 x2是一元二次方程 x2-5x-1=0 的两实数根，则 x12+x22的值为 _.
10、 解 析 ： x 1、 x2是一元二次方程 x2-5x-1=0 的两实数根， x 1+x2=5， x1x2=-1， x 12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=25+2=27， 故答案为： 27. 16.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， BC= AB， ADC 的平分线交边 BC 于点 E， AHDE 于点 H，连接 CH 并延长交边 AB 于点 F，连接 AE 交 CF 于点 O.给出下列命题： AEB=AEH ； DH=2 EH； HO= AE； BC -BF= EH 其中正确命题的序号是 _(填上所有正确命题的序号 ). 解 析 ： 在矩形 ABCD 中， AD=BC= AB
11、= CD， DE 平分 ADC ， ADE=CDE=45 ， ADDE ， ADH 是等腰直角三角形， AD= AB， AH=AB=CD ， DEC 是等腰直角三角形， DE= CD， AD=DE ， AED=67.5 ， AEB=180 -45 -67.5=67.5 ， AED=AEB ， 故 正确； 设 DH=1， 则 AH=DH=1， AD=DE= ， HE= ， 2 HE= 1 ， 故 错误； AEH=67.5 ， EAH=22.5 ， DH=CD ， EDC=45 ， DHC=67.5 ， OHA=22.5 ， OAH=OHA ， OA=OH ， AEH=OHE=67.5 ， OH=
12、OE ， OH= AE， 故 正确； AH=DH ， CD=CE， 在 AFH 与 CHE 中， ， AFHCHE ， AF=EH ， 在 ABE 与 AHE 中， ， ABEAHE ， BE=EH ， BC -BF=(BE+CE)-(AB-AF)=(CD+EH)-(CD-EH)=2EH， 故 错误， 故答案为： . 三、解答题 (每小题 6 分，共 18 分 ) 17.(6 分 )计算： sin45 -20150+2-1. 解 析 ： 原式第一项利用特殊角的三角函数值及二次根式性质化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果 . 答案 ： 原式 =2 -1+
13、 =1 . 18.(6 分 )如图， AC=AE， 1=2 ， AB=AD.求证： BC=DE. 解 析 ： 先证出 CAB=DAE ，再由 SAS 证明 BACDAE ，得出对应边相等即可 . 答案 ： 证明： 1=2 ， CAB=DAE ， 在 BAC 和 DAE 中， ， BACDAE(SAS) ， BC=DE. 19.(6 分 )化简： 解 析 ： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 . 答案 ： 原式 = . 四、 (每小题 7分，共 14 分 ) 20.(7 分 )小军同学在学校组织的社会调查活动中负责了解他所居住的小区 450
14、 户居民的生活用水情况，他从中随机调查了 50 户居民的月均用水量 (单位： t)，并绘制了样本的频数分布表和频数分布直方图 (如图 ). (1)请根据题中已有的信息补全频数分布表和频数分布直方图； (2)如果家庭月均用水量 “ 大于或等于 4t 且小于 7t” 为中等用水量家庭，请你通过样本估计总体中的中等用水量家庭大约有多少户？ (3)从月均用水量在 2x 3， 8x 9 这两个范围内的样本家庭中任意抽取 2 个，求抽取出的 2 个家庭来自不同范围的概率 . 解 析 ： (1)根据第一组的频数是 2，百分比是 4%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求解； (2)利用总户数 540 乘以对
15、应的百分比求解； (3)在 2x 3 范围的两户用 a、 b 表示， 8x 9 这两个范围内的两户用 1， 2 表示，利用树状图法表示出所有可能的结果，然后利用概率公 式求解 . 答案 ： (1)调查的总数是： 24%=50( 户 )， 则 6x 7 部分调查的户数是： 5012%=6( 户 )， 则 4x 5 的户数是： 50-2-12-10-6-3-2=15(户 )，所占的百分比是： 100%=30%. (2)中等用水量家庭大约有 450(30%+20%+12%)=279( 户 )； (3)在 2x 3 范围的两户用 a、 b 表示， 8x 9 这两个范围内的两户用 1， 2 表示 . 则
16、抽取出的 2 个家庭来自不同范围的概率是： = . 21.(7 分 )某小区为了绿化环境，计划分两次购进 A、 B 两种花草，第一次分别购进 A、 B 两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 675 元；第二次分别购进 A、 B两种花草 12棵和 5棵 .两次共花费 940 元 (两次购进的 A、 B 两种花草价格均分别相同 ). (1)A、 B 两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若购买 A、 B 两种花草共 31 棵，且 B 种花草的数量少于 A种花草的数量的 2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用 . 解 析 ： (1)设 A 种花草每棵的价格 x 元， B 种花草每
17、棵的价格 y 元，根据第一次分别购进 A、B 两种花草 30 棵和 15 棵，共花费 940 元；第二次分别购进 A、 B 两种花草 12 棵和 5 棵，两次共花费 675 元；列出方程组，即可解答 . (2)设 A 种花草的数量为 m 株，则 B 种花草的数量为 (31-m)株，根据 B种花草的数量少于 A种花草的数量的 2 倍，得出 m 的范围，设总费用为 W 元，根据总费用 =两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论 . 答案 ： (1)设 A 种花草每棵的价格 x 元， B 种花草每棵的价格 y 元，根据题意得： ， 解得： ， A 种花草每棵的价格是 20 元
18、， B 种花草每棵的价格是 5 元 . (2)设 A 种花草的数量为 m 株，则 B 种花草的数量为 (31-m)株， B 种花草的数量少于 A 种花草的数量的 2 倍， 31 -m 2m， 解得： m ， m 是正整数， m 最小值 =11， 设购买树苗总费用为 W=20m+5(31-m)=15m+155， k 0， W 随 x 的减小而减小， 当 m=11 时， W 最小值 =1511+155=320( 元 ). 答：购进 A 种花草的数量为 11 株、 B 种 20 株，费用最省；最省费用是 320 元 . 五、解答题，每题 8 分 22.(8 分 )如图，海中一小岛上有一个观测点 A，
19、某天上午 9： 00 观测到 某渔船在观测点 A的西南方向上的 B 处跟踪鱼群由南向北匀速航行 .当天上午 9： 30 观测到该渔船在观测点 A的北偏西 60 方向上的 C 处 .若该渔船的速度为每小时 30 海里，在此航行过程中，问该渔船从 B 处开始航行多少小时，离观测点 A 的距离最近？ (计算结果用根号表示，不取近似值 ). 解 析 ： 首先根据题意可得 PCAB ，然后设 PC=x 海里，分别在 RtAPC 中与 RtAPB 中，利用正切函数求得出 PC 与 BP 的长，由 PC+BP=BC=30 ，即可得方程，解此方程求得 x 的值，再计算出 BP，然后根据时间 =路程 速度即可求
20、解 . 答案 ： 过点 A 作 APBC ，垂足为 P，设 AP=x 海里 . 在 RtAPC 中， APC=90 ， PAC=30 ， tanPAC= ， CP=APtanPAC= x. 在 RtAPB 中， APB=90 ， PAB=45 ， BP=AP=x. PC+BP=BC=30 ， x+x=15， 解得 x= ， PB=x= ， 航行时间： 30= (小时 ). 答：该渔船从 B 处开始航行 小时，离观测点 A 的距离最近 . 23.(8 分 )如图，一次函数 y=kx+b(k 0)的图象经过点 C(3， 0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 3. (1)求该一次函数的解析式； (
21、2)若反比例函数 y= 的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的 A、 B两点，且 AC=2BC，求 m 的值 . 解 析 ： (1)先由一次函数 y=kx+b(k 0)的图象经过点 C(3， 0)，得出 3k+b=0 ，由于一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴的交点是 (0， b)，根据三角形的面积公式可求得 b 的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式； (2)作 ADx 轴于点 D， BEx 轴 于点 E，则 ADBE. 由 ACDBCE ，得出 = =2，那么AD=2BE.设 B点纵坐标为 -n，则 A点纵坐标为 2n.由直线 AB的解析式为 y=- x+2，得出 A(3-3n
22、，2n)， B(3+ n， -n)，再根据反比例函数 y= 的图象经过 A、 B 两点，列出方程 (3-3n)2n=(3+n)( -n)，解方程求出 n 的值，那么 m=(3-3n)2n ，代入计算即可 . 答案 ： (1) 一次函数 y=kx+b(k 0)的图象经过点 C(3， 0)， 3k+b=0 ，点 C 到 y 轴的距离是 3， k 0， b 0， 一次函数 y=kx+b 的图象与 y 轴的交点是 (0， b)， 3b=3 ， 解得： b=2. 把 b=2 代入 ，解得： k=- ，则函数的解析式是 y=- x+2. 故这个函数的解析式为 y=- x+2； (2)如图，作 ADx 轴于
23、点 D， BEx 轴于点 E，则 ADBE. ADBE ， ACDBCE ， = =2， AD=2BE. 设 B 点纵坐标为 -n，则 A 点纵坐标为 2n. 直线 AB 的解析式为 y=- x+2， A(3 -3n， 2n)， B(3+ n， -n)， 反比例函数 y= 的图象经过 A、 B 两点， (3 -3n)2n=(3+ n)( -n)， 解得 n1=2， n2=0(不合题意舍去 )， m=(3 -3n)2n= -34= -12. 六、 (每小题 12 分，共 24 分 ) 24.(12 分 )如图， ABC 内接于 O ， AB=AC， BD 为 O 的弦，且 ABCD ，过点 A
24、作 O 的切线 AE 与 DC 的延长线交于点 E， AD 与 BC交于点 F. (1)求证：四边形 ABCE 是平行四边形； (2)若 AE=6， CD=5，求 OF 的长 . 解 析 ： (1)根据切线的性质证明 EAC=ABC ，根据等腰三角形等边对等角的性质和等量代得到 EAC= ACB ，从而根据内错角相等两直线平行的判定得到 AEBC ，结合已知 ABCD 即可判定四边形 ABCD 是平行四边形； (2)作辅助线，连接 AO，交 BC 于点 H，双向延长 OF 分别交 AB， CD于点 N， M，根据切割线定理求得 EC=4，证明四边形 ABDC 是等腰梯形，根据对称性、圆周角定理
25、和垂径定理的综合应用证明 OFHDMFBFN ，并由勾股定理列式求解即可 . 答案 ： (1)证明： AE 与 O 相切于点 A， EAC=ABC ， AB=AC ABC=ACB ， EAC=ACB ， AEBC ， ABCD ， 四边形 ABCE 是平行四边形； (2)解：如图，连接 AO，交 BC 于点 H，双向延长 OF 分别交 AB， CD与点 N， M， AE 是 O 的切线， 由切割线定理得， AE2=ECDE ， AE=6 ， CD=5， 6 2=CE(CE+5)，解得： CE=4， (已舍去负数 )， 由圆的对称性，知四边形 ABDC 是等腰梯形，且 AB=AC=BD=CE=4
26、， 又根据对称性和垂径定理，得 AO 垂直平分 BC， MN 垂直平分 AB， DC， 设 OF=x， OH=Y， FH=z， AB=4 ， BC=6， CD=5， BF= BC-FH=3-z， DF=CF= BC+FH=3+z， 易得 OFHDMFBFN ， ， ， 即 ， ， + 得： ， 得： ， 解 得 ， x 2=y2+z2， ， x= ， OF= . 25.(12 分 )如图，已知二次函数的图象 M 经过 A(-1， 0)， B(4， 0)， C(2， -6)三点 . (1)求该二次函数的解析式； (2)点 G 是线段 AC 上的动点 (点 G 与线段 AC 的端点不重合 )，若
27、ABG 与 ABC 相似，求点 G的坐标； (3)设图象 M 的对称轴为 l，点 D(m， n)(-1 m 2)是图象 M 上一动点，当 ACD 的面积为时，点 D 关于 l 的对称点为 E，能否在图象 M和 l 上分别找到点 P、 Q，使得以点 D、 E、 P、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 . 解 析 ： (1)由 A、 B、 C 三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式； (2)可求得直线 AC 的解析式，设 G(k， -2k-2)，可表示出 AB、 BC、 AG 的长，由条件可知只有 AGBABC ，再利用相似三角形的性质可求得 k
28、的值，从而可求得 G 点坐标； (3)可 设出 D 点坐标，从而表示出 ACD 的面积，由条件求得 D 点坐标，可求得 DE 的长，当DE 为边时，根据平行四边形的性质可得到 PQ=DE=2，从而可求得 P 点坐标；当 DE 为对角线时，可知 P 点为抛物线的顶点，可求得 P 点坐标 . 答案 ： (1) 二次函数的图象 M 经过 A(-1， 0)， B(4， 0)两点， 可设二次函数的解析式为 y=a(x+1)(x-4). 二次函数的图象 M 经过 C(2， -6)点， -6=a(2+1)(2-4)，解得 a=1. 二次函数的解析式为 y=(x+1)(x-4)，即 y=x2-3x-4. (2
29、)设直线 AC 的 解析式为 y=sx+t，把 A、 C 坐标代入可得 ，解得 ， 线段 AC 的解析式为 y=-2x-2， 设点 G 的坐标为 (k， -2k-2). G 与 C 点不重合， ABG 与 ABC 相似只有 AGBABC 一种情况 . . AB=5 ， ， ， |k+1|= k= 或 k=- (舍去 )， 点 G 的坐标为 ( ， - ). (3)能 .理由如下： 如图，过 D 点作 x 轴的垂线交 AC 于点 H， D(m ， n)(-1 m 2)， H(m ， -2m-2). 点 D(m， n)在图象 M 上， D(m ， m2-3m-4). ACD 的面积为 ， -2m-
30、2-(m2-3m-4)(m+1)+(2-m)= ，即 4m2-4m+1=0， 解得 m= . D( ， - ). y=x 2-3x-4=(x- )2- ， 图象 M 的对称轴 l 为 x= . 点 D 关于 l 的对称点为 E， E( ， - )， DE= - =2， 若以点 D、 E、 P、 Q 为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况： 当 DE 为边时，则有 PQDE 且 PQ=DE=2. 点 P 的横坐标为 +2= 或 -2=- ， 点 P 的纵坐标为 ( - )2- =- ， 点 P 的坐标为 ( ， - )或 (- ， - )； 当 DE 为对角线时，则可知 P 点为抛物线的顶点，即 P( ， - )； 综上可知存在满足条件的 P 点，其坐标为 ( ， - )或 (- ， - )或 ( ， - ).
