1、 2015 年四川省自贡市中考真题数学 一、选择题 (每小题 4 分，共 40 分 ) 1.(4 分 )的倒数是 ( ) A. -2 B. 2 C. D. 解 析 ： - 的倒数是 -2. 故选： A. 2.(4 分 )将 2.0510 -3用小数表示为 ( ) A. 0.000205 B. 0.0205 C. 0.00205 D. -0.00205 解 析 ： 2.0510 -3=0.00205， 故选 C. 3.(4 分 )方程 的解是 ( ) A. 1 或 -1 B. -1 C. 0 D. 1 解 析 ：去分母得： x2-1=0，即 x2=1， 解得： x=1 或 x=-1， 经检验 x
2、=-1 是增根，分式方程的解为 x=1. 故选 D. 4.(4 分 )如图是一种常用的圆顶螺杆，它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从上面看易得俯视图为圆环 . 故选 B. 5.(4 分 )如图，随机闭合开关 S1、 S2、 S3中的两个，则能让灯泡 发光的概率是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：列表如下： 共有 6 种情况，必须闭合开关 S3灯泡才亮， 即能让灯泡发光的概率是 = . 故选 C. 6.(4 分 )若点 (x1， y1)， (x2， y2)， (x3， y3)都是反比例函数 y=- 图象上的点，并且 y1 0y2 y3，则下列各式中正确的是 ( )
3、 A. x1 x2 x3 B. x1 x3 x2 C. x2 x1 x3 D. x2 x3 x1 解 析 ： 反比例函数 y=- 中 k=-1 0， 此函数的图象在二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大， y 1 0 y2 y3， 点 (x1， y1)在第四象限， (x2， y2)、 (x2， y2)两点均在第二象限， x 2 x3 x1. 故选 D. 7.(4 分 )为庆祝战胜利 70 周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为 a 元 /米 2的商品房价降价 10%销售，降价后的销售价为 ( ) A. a-10% B. a10% C. a(1-10%) D. a(1+10%) 解
4、 析 ：根据题意可得： a(1-10%)， 故选 C. 8.(4 分 )小刚以 400 米 /分的速度匀速骑车 5 分，在原地休息了 6 分，然后以 500 米 /分的速度骑回出发地 .下列函数图象能表达这一过程的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：由题意，得 以 400 米 /分的速度匀速骑车 5 分，路程随时间匀速增加；在原地休息了 6 分，路程不变；以 500 米 /分的速度骑回出发地，路程逐渐减少， 故选： C. 9.(4 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB ， CDB=30 ， CD= ，则阴影部分图形的面积为 ( ) A. 4 B. 2 C. D. 解 析
5、：连接 OD. CDAB ， CE=DE= CD= (垂径定理 )， 故 SOCE =SODE ， 即可得阴影部分的面积等于扇形 OBD 的面积， 又 CDB=30 ， COB=60( 圆周角定理 )， OC=2 ， 故 S 扇形 OBD= ，即阴影部分的面积为 . 故选： D. 10.(4 分 )如图，在矩形 ABCD 中， AB=4， AD=6， E 是 AB 边的中点， F 是线段 BC 上的动点，将 EBF 沿 EF 所在直线折叠得到 EBF ，连接 BD ，则 BD 的最小值是 ( ) A. 2 -2 B. 6 C. 2 -2 D. 4 解 析 ：如图，当 BFE=DEF ，点 B
6、在 DE 上时，此时 BD 的值最小， 根据折叠的性质， EBFEBF ， EBFD ， EB=EB ， E 是 AB 边的中点， AB=4， AE=EB=2 ， AB=6 ， ， DB=2 -2. 故选： A. 二、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 11.(4 分 )化简： | |=_. 解 析 ：要先判断出 0，再根据绝对值的定义即可求解 . 答案 ： 0 | |=2- . 故答案为： 2- . 12.(4 分 )若两个连续整数 x、 y 满足 x +1 y，则 x+y 的值是 _. 解 析 ： ， ， x +1 y， x=3 ， y=4， x+y=3+4=7. 故答案为： 7.
7、 13.(4 分 )如图，已知 AB 是 O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使 AC=3BC， CD 与 O 相切于 D点 .若 CD= ，则劣弧 AD 的长 为 _. 解 析 ：如图，连接 DO，首先根据切线的性质可以得到 ODC=90 ，又 AC=3BC， O 为 AB 的中点，由此可以得到 C=30 ，接着利用 30 的直角所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求解 . 答案 ：如图，连接 DO， CD 是 O 切线， ODCD ， ODC=90 ， 而 AB 是 O 的一条直径， AC=3BC， AB=2BC=OC=2OD ， C=30 ， AOD=120 OD= CD， CD=
8、 ， OD=BC=1 ， 的长度 = ， 故答案为： . 14.(4 分 )将一副三角板按图叠放，则 AOB 与 DOC 的面积之比等于 _. 解 析 ： ABC=90 ， DCB=90 ABCD ， OCD=A ， D=ABO ， AOBCOD 又 AB ： CD=BC： CD=tan30=1 ： AOB 与 DOC 的面积之比等于 1： 3. 故答案为： 1： 3. 15.(4 分 )如图，将线段 AB 放在边长为 1 的小正方形网格，点 A点 B 均落在格点上，请用无刻度直尺在线段 AB 上画出点 P，使 ，并保留作图痕迹 .(备注：本题只是找点不是证明， 只需连接一对角线就行 ) 解
9、析 ： 利用勾股定理列式求出 AB= ，然后作一小正方形对角线，使对角线与 AB 的交点满足 AP： BP=2： 1 即可 . 答案 ： 由勾股定理得， ， 所以， 时 AP： BP=2： 1. 点 P 如图所示 . 三、解答题 (每小题 8 分，共 16 分 ) 16.(8 分 )解不等式： ，并把解集在数轴上表示出来 . 解 析 ： 先去分母，再移项，合并同类项，把解集在数轴上表示出来即可 . 答案 ： 去分母得， 4x-1-3x 3， 移项、合并同类项得， x 4. 在数轴上表示为： 17.(8分 )在 ABCD中， BCD 的平分线与 BA的延长线相交于点 E， BHEC 于点 H，求
10、证： CH=EH. 解 析 ： 根据平行四边形的性质和已知条件易证 EBC 是等腰三角形，由等腰三角形的性质：三线合一即可证明 CH=EH. 答案 ： 证明： 在 ABCD 中， BECD ， E=2 ， CE 平分 BCD ， 1=2 ， 1=E ， BE=BC ， 又 BHBC ， CH=EH( 三线合一 ). 四、解答题 (每小题 8 分，共 16 分 ) 18.(8 分 )如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度 .小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得 CAD=45 ，小英同学在距 A处 50 米远的 B 处测得 CBD=30 ，请你根据这些数据算
11、出河宽 .(精确到 0.01 米，参考数据 1.414 ，1.732) 解 析 ： 设河宽为未知数，那么可利用三角函数用河宽表示出 AE、 EB，然后根据 BE-AE=50 就能求得河宽 . 答案 ： 过 C 作 CEAB 于 E，设 CE=x 米， 在 RtAEC 中： CAE=45 ， AE=CE=x 在 RtBCE 中： CB E=30 ， BE= CE= x， x=x+50 解之得： x=25 +2568.30. 答：河宽为 68.30 米 . 19.(8 分 )如图，在 ABC 中， D、 E 分别是 AB、 AC 边的中点 .求证： DE BC. 解 析 ： 根据 D、 E 分别是
12、 AB、 AC 边的中点，得出 = ，即可证明 ADEABC ，从而得出结论即可 . 答案 ： 证明： D 是 AB 中点 E 是 AC 中点 = ， = ， = ， 又 A=A ， ADEABC ， = = ， ADE=B BC=2DE ， BCDE ， 即： DE BC. 五、解答题 (每小题 10 分，共 20 分 ) 20.(10 分 )利用一面墙 (墙的长度不限 )，另三边用 58m 长的篱笆围成一个面积为 200m2的矩形场地，求矩形的长和宽 . 解 析 ： 设垂直于墙的一边为 x 米，则邻边长为 (58-2x)，利用矩形的面积公式列出方程并解答 . 答案 ： 设垂直于墙的一边为
13、x 米，得： x(58-2x)=200 解得： x1=25， x2=4 另一边为 8 米或 50 米 . 答：当矩形长为 25 米是宽为 8 米，当矩形长为 50 米是宽为 4米 . 21.(10 分 )在结束了 380 课时初中阶段数学内容的教学后，唐老师计划安排 60 课时用于总复习，根据数学内容所占课时比例，绘制如下统计图表 (图 1图 3)，请根据图表提供的信息，回答下列问题： (1)图 1 中 “ 统计与概率 ” 所在扇形的圆心角为 _度； (2)图 2、 3 中的 a=_， b=_； (3)在 60 课时的总复习中，唐老师应安排多少课时复习 “ 数与代数 ” 内容？ 解 析 ： (
14、1)先计算出 “ 统计与概率 ” 所占的百分比，再乘以 360 即可； (2)根据数与代数所占的百分比，求得数与代数的课时总数，再减去数 与式和函数，即为 a的值，再用 a 的值减去图 3 中 A， B， C， E 的值，即为 b的值； (3)用 60 乘以 45%即可 . 答案 ： (1)(1-45%-5%-40%)360=36 ； (2)38045% -67-44=60； 60-18-13-12-3=14； (3)依题意，得 45%60=27 ， 答：唐老师应安排 27 课时复习 “ 数与代数 ” 内容 . 故答案为： 36， 60， 14. 六、解答题 (本题满分 12 分 ) 22.(
15、12 分 )观察下表： 我们把某格中各字母的和所得多项式称为 “ 特征多项式 ”. 例如，第 1 格的 “ 特征多项式 ”为 4x+y.回答下列问题： (1)第 3 格的 “ 特征多项式 ” 为 _，第 4 格的 “ 特征多项式 ” 为 _，第 n 格的 “ 特征多项式 ” 为 _； (2)若第 1 格的 “ 特征多项式 ” 的值为 -10，第 2 格的 “ 特征多项式 ” 的值为 -16，求 x， y的值 . 解 析 ： (1)仔细观察每格的特征多项式的特点，找到规律，利用规律求得答案即可； (2)根据题意列出二元一次方程组，求得 x、 y 的值即可 . 答案 ： (1)观察图形发现： 第
16、1 格的 “ 特征多项式 ” 为 4x+y， 第 2 格的 “ 特征多项式 ” 为 8x+4y， 第 3 格的 “ 特征多项式 ” 为 12x+9y， 第 4 格的 “ 特征多项式 ” 为 16x+16y， 第 n 格的 “ 特征多项式 ” 为 4nx+n2y； (2) 第 1 格的 “ 特征多项式 ” 的值为 -10，第 2 格的 “ 特征多项式 ” 的值为 -16， ， 解得： x=-3； y=2， x 、 y 的值分别为 -3 和 2. 七、解答题 (本题满分 12 分 ) 23.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(a0) 的对称轴为直线 x=-1，且抛物线经过 A(1
17、，0)， C(0， 3)两点，与 x 轴交于点 B. (1)若直线 y=mx+n 经过 B、 C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴 x=-1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标； (3)设点 P 为抛物线的对称轴 x=-1 上的一个动点，求使 BPC 为直角三角形的点 P 的坐标 . 解 析 ： (1)先把点 A， C 的坐标分别代入抛物线解析式得到 a 和 b， c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得 a 和 b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出 a， b， c 的值即可得到抛物线解析式；把 B、
18、C 两点的坐标代入直线 y=mx+n，解方程组求出 m和 n 的值即可 得到直线解析式； (2)设直线 BC 与对称轴 x=-1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小 .把 x=-1 代入直线 y=x+3得 y 的值，即可求出点 M 坐标； (3)设 P(-1， t)，又因为 B(-3， 0)， C(0， 3)，所以可得 BC2=18， PB2=(-1+3)2+t2=4+t2，PC2=(-1)2+(t-3)2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意 t 值即可求出点 P 的坐标 . 答案 ： (1)依题意得： ， 解之得： ， 抛物线解析式为 y=-x2-2x+3 对称轴为
19、x=-1，且抛物线经过 A(1， 0)， 把 B(-3， 0)、 C(0， 3)分别代入直线 y=mx+n， 得 ， 解之得： ， 直线 y=mx+n 的解析式为 y=x+3； (2)设直线 BC 与对称轴 x=-1 的交点为 M，则此时 MA+MC 的值最小 . 把 x=-1 代入直线 y=x+3 得， y=2， M( -1， 2)， 即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M的坐标为 (-1， 2)； (3)设 P(-1， t)， 又 B( -3， 0)， C(0， 3)， BC 2=18， PB2=(-1+3)2+t2=4+t2， PC2=(-1)2+(t-3)2=t2
20、-6t+10， 若点 B 为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2即： 18+4+t2=t2-6t+10解之得： t=-2； 若点 C 为直角顶点，则 BC2+PC2=PB2即： 18+t2-6t+10=4+t2解之得： t=4， 若点 P为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2即： 4+t2+t2-6t+10=18解之得： t1= ， t2= ； 综上所述 P 的坐标为 (-1， -2)或 (-1， 4)或 (-1， ) 或 (-1， ). 八、解答题 (本题满分 14 分 ) 24.(14 分 )在 ABC 中， AB=AC=5， cosABC= ，将 ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到 A
21、1B1C. (1)如图 ，当点 B1在线段 BA 延长线上时 . 求证： BB1CA 1； 求 AB 1C 的面积； (2)如图 ，点 E 是 BC 边的中点，点 F 为线段 AB上的动点，在 ABC 绕点 C 顺时针旋转过程中，点 F 的对应点是 F1，求线段 EF1长度的最大值与最小值的差 . 解 析 ： (1) 根据旋转的性质和平行线的性质证明； 过 A 作 AFBC 于 F，过 C 作 CEAB 于 E，根据三角函数和三角形的面积公式解答； (2)过 C 作 CFAB 于 F，以 C 为圆心 CF 为半径画圆交 BC 于 F1，和以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 的延长线于 F
22、1，得出最大和最小值解答即可 . 答案 ： (1) 证明： AB=AC ， B1C=BC， 1=B ， B=ACB ， 2=ACB( 旋转角相等 )， 1=2 ， BB 1CA 1； 过 A 作 AFBC 于 F，过 C 作 CEAB 于 E，如图 ： AB=AC ， AFBC ， BF=CF ， cosABC= ， AB=5， BF=3 ， BC=6 ， B 1C=BC=6， CEAB ， BE=B 1E= ， BB 1= ， CE= ， AB 1= ， AB 1C 的面积为： ； (2)如图 2，过 C 作 CFAB 于 F，以 C为圆心 CF为半径画圆交 BC于 F1， EF1有最小值， 此时在 RtBFC 中， CF= ， CF 1= ， EF 1的最小值为 ； 如图，以 C 为圆心 BC 为半径画圆交 BC 的延长线于 F1， EF1有最大值； 此时 EF1=EC+CF1=3+6=9， 线段 EF1的最大值与最小值的差为 .
