1、 2015 年四川省遂宁市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 个小题，每小题 4 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求 ) 1.(4 分 )计算： 1-(- )=( ) A. B. - C. D. - 解 析 ： 1-(- )=1+ = . 故选： C. 2.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. aa 3=a3 B. 2(a-b)=2a-b C. (a3)2=a5 D. a2-2a2=-a2 解 析 ： A、 aa 3=a4，错误； B、 2(a-b)=2a-2b，错误； C、 (a3)2=a6，错误； D、 a2-2a2=-a2，正确； 故选 D
2、3.(4 分 )用 3 个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故 B 符合题意； 故选： B. 4.(4 分 )一个不透明的布袋中，放有 3 个白球， 5 个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取 1 个，摸到红球的概率是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的 3 个白球和 5 个红球， 从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是 . 故选 A. 5.(4 分 )直线 y=2x-4 与 y 轴的交点坐标是 ( ) A. (4， 0)
3、B. (0， 4) C. (-4， 0) D. (0， -4) 解 析 ：当 x=0 时， y=-4， 则函数与 y 轴的交点为 (0， -4). 故选 D. 6.(4 分 )在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共 4 个， 故选： C. 7.(4 分 )如图，在半径为 5cm 的 O 中，弦 AB=6cm， OCAB 于点 C，则 OC=( ) A. 3cm B. 4cm C. 5cm D. 6cm 解 析 ：连接 OA， AB=6cm ， OCAB 于
4、点 C， AC= AB= 6=3cm ， O 的半径为 5cm， OC= =4cm， 故选 B. 8.(4 分 )如图，在 ABC 中， AC=4cm，线段 AB 的垂直平分线交 AC 于点 N， BCN 的周长是7cm，则 BC 的长为 ( ) A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 解 析 ： MN 是线段 AB 的垂直平分线， AN=BN ， BCN 的周长是 7cm， BN+NC+BC=7(cm) ， AN+NC+BC=7(cm) ， AN+NC=AC ， AC+BC=7(cm) ， 又 AC=4cm ， BC=7 -4=3(cm). 故选： C. 9.(4 分 )遂宁
5、市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达 36 万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的 1.5 倍，总产量比原计划增加了 9 万千克，种植亩数减少了 20 亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量 x 万千克，则改良后平均每亩产量为 1.5x 万千克，根据题意列方程为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：设原计划每亩平均产量 x 万千克，由题意得： ， 故选： A. 10.(4 分 )二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，下列结论： 2a+b 0； abc 0；b 2-4ac 0； a+b+c 0；
6、4a -2b+c 0，其中正确的个数是 ( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解 析 ： 抛物线开口向下， a 0， 对称轴 x=- 1， 2a+b 0，故 正确； a 0， - 0， b 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方， c 0， abc 0，故 错误； 抛物线与 x 轴有两个交点， =b 2-4ac 0，故 正确； x=1 时， y 0， a+b+c 0，故 错误； x= -2 时， y 0， 4a -2b+c 0，故 正确 . 故选 B. 二、填空题 (共本大题 5 小题，每小题 4分，满分 20 分 ) 11.(4 分 )把 96000 用科学记数法表示为 _.
7、 解 析 ：科学记数法的表示形式为 a10 n的形式，其中 1|a| 10， n 为整数 .确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同 .当原数绝对值 1 时， n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 . 答案 ：把 96000 用科学记数法表示为 9.610 4. 12.(4 分 )一个 n 边形的内角和为 1080 ，则 n=_. 解 析 ： (n-2)180=1080 ， 解得 n=8. 13.(4 分 )某射击运动员在一次射击训练中，共射击了 6 次，所得成绩 (单位：环 )为： 6、 8、7、 7、 8、 9，这组数据
8、的中位数是 _. 解 析 ：这组数据按照从小到大的顺序排列为： 6、 7、 7、 8、 8、 9， 则中位数为： . 故答案为： 7.5. 14.(4 分 )在半径为 5cm 的 O 中， 45 的圆心角所对的弧长为 _cm. 解 析 ：根据弧长公式 进行求解 . 答案 ： . 15.(4 分 )下列命题： 对角线互相垂直的四边形是菱形； 点 G 是 ABC 的重心，若中线 AD=6，则 AG=3； 若直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限，则 k 0， b 0； 定义新运算： a*b=2a-b2，若 (2x)*(x-3)=0，则 x=1 或 9； 抛物线 y=-2x2+4x+3 的顶点坐标
9、是 (1， 1). 其中是真命题的有 _(只填序号 ) 解 析 ： 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； 点 G 是 ABC 的重心，若中线 AD=6，则 AG=3，正确； 若直线 y=kx+b 经过第一、二、四象限，则 k 0， b 0，正确； 定义新 运算： a*b=2a-b2，若 (2x)*(x-3)=0，则 x=1 或 9，正确； 抛物线 y=-2x2+4x+3 的顶点坐标是 (1， 5)，错误； 故答案为： . 三、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 7分，满分 21 分 ) 16.(7 分 )计算： -13- +6sin60+( -3.14)0+|- | 解 析 ：原式第一
10、项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 . 答案 ：原式 =-1-3 +6 +1+ = . 17.(7 分 )解不等式组 ，并将解集在数轴上表示出来 . 解 析 ：分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可 . 答案 ： ， 由 得， x -3， 由 得， x2 ， 故此不等式组的解集为： -3 x2. 在数轴上表示为： 18.(7 分 )先化简，再求值： ，其中 m=-3. 解 析 ：原式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简
11、结果，把 m 的值代入计算即可求出值 . 答案 ：原式 = ， 当 m=-3 时，原式 =-1. 四、解答题 (本大题共 3 小题，每小题 9分，满分 27 分 ) 19.(9 分 )如图， ABCD 中，点 E， F 在对角线 BD 上，且 BE=DF，求证： (1)AE=CF； (2)四边形 AECF 是平行四边形 . 解 析 ： (1)根据平行四边形的性质可得 AB=CD， ABCD ，然后可证明 ABE=CDF ，再利用 SAS来判定 ABEDCF ，从而得出 AE=CF. (2)首先根据全等三角形的性质可得 AEB=CFD ，根据等角的补角相等可得 AEF=CFE ，然后证明 AEC
12、F ，从而可得四边形 AECF 是平行四边形 . 答案 ： (1) 四边形 ABCD 是平行四边形， AB=CD ， ABCD . ABE=CDF. 在 ABE 和 CDF 中， ， ABEDCF(SAS). AE=CF. (2)ABEDCF ， AEB=CFD ， AEF=CFE ， AECF ， AE=CF ， 四边形 AECF 是平行四边形 . 20.(9 分 )一数学兴趣小组为了测量河对岸树 AB 的高，在河岸边选择一点 C，从 C 处测得树梢 A 的仰角为 45 ，沿 BC 方向后退 10 米到点 D，再次测得 A的仰角为 30 ，求树高 .(结果精确到 0.1 米，参考数据： 1.
13、414 ， 1.732) 解 析 ：先设 AB=x 米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形 RtACB 和 RtADB ，应利用其公共边 BA 构造等量关系，解三角形可求得 CB、 DB 的数值，再根据 CD=BD-BC=10，进而可求出答案 . 答案 ： 设 AB=x 米， 在 RtACB 和 RtADB 中， D=30 ， ACB=45 ， CD=10， CB=x ， AD=2x， BD= = x， CD=BD -BC=10， x-x=10， x=5( +1)13.7. 答：该树高是 13.7 米 . 21.(9 分 )阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题 . 计算： (1-
14、- - )( + + + )-(1- - - - )( + + ). 令 + + =t，则 原式 =(1-t)(t+ )-(1-t- )t =t+ -t2- t- t+t2 = 问题： (1)计算 (1- - - - - )( + + + + + )-(1- - - - - - -)( + + + )； (2)解方程 (x2+5x+1)(x2+5x+7)=7. 解 析 ： (1)设 + + =t，则原式 =(1-t)(t+ )-(1-t- )t ，进行计算即可； (2)设 x2+5x+1=t，则原方程化为： t(t+6)=7，求出 t 的值，再解一元二次方程即可 . 答案 ： (1)设 + +
15、 =t， 则原式 =(1-t)(t+ )-(1-t- )t =t+ -t2- t-t+t2+ t = (2)设 x2+5x+1=t， 则原方程化为： t(t+6)=7， t2+6t-7=0， 解得： t=-7 或 1， 当 t=1 时， x2+5x+1=1， x2+5x=0， x(x+5)=0， x=0， x+5=0， x1=0， x2=-5； 当 t=-7 时， x2+5x+1=-7， x2+5x+8=0， b2-4ac=52-418 0， 此时方程无解； 即原方程的解为： x1=0， x2=-5. 五、 (本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20分 ) 22.(10 分 )交通指数
16、是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念 .其指数在100 以内为畅通， 200 以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了 5月 1 日至 14 日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如图所示，某人随机选取了 5 月 1 日至 14 日的某一天到达该市 . (1)请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数； (2)求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率； (3)由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大？ (直接判断，不要求计算 ) 解 析 ： (1)根据指数在 100 以内为畅通， 200 以上为严重拥堵，图象的纵坐标，可得答案； (2)根据严重拥堵的天数除以调查的天
17、数，可得答案； (3)根据方差的性质，可得答案 . 答案 ： (1)由纵坐标看出畅通的天数为 7 天，严重拥堵的天数为 2 天； (2)此人到达当天的交通为严重拥堵的概率 p= = ； (3)由方差越大，数据波动越大，得 5、 6、 7 三天数据波动大 . 23.(10 分 )如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= 的图象交于 A(1， 4)， B(4， n)两点 . (1)求反比例函数的解析式； (2)求一次函数的解析式； (3)点 P 是 x 轴上的一动点，试确定点 P 并求出它的坐标，使 PA+PB最小 . 解 析 ： (1)把 A(1， 4)代入 y= 即可求出结果； (2)
18、先把 B(4， n)代入 y= 得到 B(4， 1)，把 A(1， 4)， B(4， 1)代入 y=kx+b 求得一次函数的解析式为； (3)作点 B 关于 x 轴的对称点 B ，连接 AB 交 x轴于 P，则 AB 的长度就是 PA+PB的最小值，求出直 线 AB 与 x 轴的交点即为 P 点的坐标 . 答案 ： (1)把 A(1， 4)代入 y= 得： m=4， 反比例函数的解析式为： y= ； (2)把 B(4， n)代入 y= 得： n=1， B(4 ， 1)， 把 A(1， 4)， B(4， 1)代入 y=kx+b 得 ， ， 一次函数的解析式为： y=-x+5； (3)作点 B 关
19、于 x 轴的对称点 B ，连接 AB 交 x轴于 P， 则 AB 的长度就是 PA+PB 的最小值， 由作图知， B(4 ， -1)， 直线 AB 的解析式为： y=- x+ ， 当 y=0 时， x= ， P( ， 0). 六、 (本大题共 2 小题，第 24 题 10 分，第 25题 12 分，满分 22 分 ) 24.(10 分 )如图， AB 为 O 的直径，直线 CD 切 O 于点 D， AMCD 于点 M， BNCD 于 N. (1)求证： ADC=ABD ； (2)求证： AD2=AMAB ； (3)若 AM= ， sinABD= ，求线段 BN 的长 . 解 析 ： (1)连接
20、 OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； (2)由已知条件证得 ADMABD ，即可得到结论； (3)根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果 . 答案 ： (1)证明：连接 OD， 直线 CD 切 O 于点 D， CDO=90 ， AB 为 O 的直径， ADB=90 ， 1+2=2+3=90 ， 1=3 ， OB=OD ， 3=4 ， ADC=ABD ； (2)证明： AMCD ， AMD=ADB=90 ， 1=4 ， ADMABD ， ， AD 2=AMAB ； (3)解： sinABD= ， sin1= ， AM= ， AD=6 ， AB=10 ， BD= =8， BNCD ，
21、 BND=90 ， DBN+BDN=1+BDN=90 ， DBN=1 ， sinNBD= ， DN= ， . 25.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(-2， 0)， B(4， 0)， C(0， 3)三点 . (1)求该抛物线的解析式； (2)在 y 轴上是否存在点 M，使 ACM 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M 的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点 P(t， 0)为线段 AB 上一动点 (不与 A， B 重合 )，过 P 作 y 轴的平行线，记该直线右侧与 ABC 围成的图形面积为 S，试确定 S 与 t 的函数关系式 . 解 析 ： (
22、1)把 A(-2， 0)， B(4， 0)， C(0， 3)代入抛物线 y=ax2+bx+c，求解即可； (2)作线段 CA 的垂直平分线，交 y 轴于 M，交 AC 与 N，连结 AM1，则 AM 1C 是等腰三角形，然后求出 OM1得出 M1的坐标，当 CA=CM2时，则 AM 2C 是等腰三角形，求出 OM2得出 M2的坐标，当 CA=AM3时，则 AM 3C 是等腰三角形，求出 OM3得出 M3的坐标，当 CA=CM4时，则 AM 4C 是等腰三角形，求出 OM4得出 M4的坐标， (3)当点 P 在 y 轴或 y 轴右侧时，设直线与 BC 交与点 D，先求出 SBOC ，再根据 BP
23、DBOC ，得出 ， ，求出 S=SBPD ；当点 P 在 y 轴左侧时，设直线与 AC交与点 E，根据 ，得出 ，求出 S=SABC -SAPE =9- ，再整理即可 . 答案 ： (1)把 A(-2， 0)， B(4， 0)， C(0， 3)代入抛物线 y=ax2+bx+c 得： ， 解得： ， 则抛物线的解析式是： y=- x2+ x+3； (2)如图 1，作线段 CA 的垂直平分线，交 y 轴于 M，交 AC与 N，连结 AM1，则 AM 1C是等腰三角形， ， ， CNM 1COA ， ， ， CM 1= ， OM 1=OC-CM1=3- = ， M 1的坐标是 (0， )， 当 C
24、A=CM2= 时，则 AM 2C 是等腰三角形， 则 OM2=3+ ， M2的坐标是 (0， 3+ )， 当 CA=AM3= 时，则 AM 3C 是等腰三角形， 则 OM3=3， M3的坐标是 (0， -3)， 当 CA=CM4= 时，则 AM 4C 是等腰三角形， 则 OM4= -3， M4的坐标是 (0， 3- )， (3)如图 2，当点 P 在 y 轴或 y 轴右侧时， 设直线与 BC 交与点 D， OB=4 ， OC=3， S BOC =6， BP=BO -OP=4-t， ， BPDBOC ， ， ， S=S BPD = t2-3t+6(0t 4)； 当点 P 在 y 轴左侧时， 设直线与 AC 交与点 E， OP= -t， AP=t+2， ， ， ， S APE = ， S=S ABC -SAPE =9- =- t2-3t+6(-2 t 0).
