1、 2015 年四川省阿坝州中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，以下每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(4 分 )计算 2-3 的结果是 ( ) A. -5 B. -1 C. 1 D. 5 解 析 ： 2-3=2+(-3)=-1. 故选 B. 2.(4 分 )如图所示的几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ：从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最右边有一个正方形 . 故选 A. 3.(4 分 )下列图形中，是中心对称图形的为 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、是轴对称图形，不是中心对称图形
2、 .故 A 错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故 B 正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故 C 错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形 .故 D 错误 . 故选： B. 4.(4 分 )使二次根式 1x 的有意义的 x 的取值范围是 ( ) A. x 0 B. x 1 C. x1 D. x1 解 析 ：要使 1x 有意义，必须 x-10 ， 解得： x1. 故选 C. 5.(4 分 )如图，在 ABC 中， B=40 ， C=30 ，延长 BA 至点 D，则 CAD 的大小为 ( ) A. 110 B. 80 C. 70 D. 60 解 析 ：由三角形的外角性质得：
3、 CAD=B+C=40+30=70. 故选 C. 6.(4 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (x-2)2=x2-4 B. x3x 4=x12 C. x6x 3=x2 D. (x2)3=x6 解 析 ： A、 (x-2)2=x2-4x+4，故此选项错误； B、 x3x 4=x7，故此选项错误； C、 x6x 3=x3，故此选项错误； D、 (x2)3=x6，故此选项正确； 故选 D. 7.(4 分 )函数 y=x-2 的图象不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解 析 ：一次函数 y=x-2， k=1 0， 函数图象经过第一三象限， b= -2 0
4、， 函数图象与 y 轴负半轴相交， 函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限 . 故选： B. 8.(4 分 )某校篮球队五名主力队员的身高分别是 174， 179， 180， 174， 178(单位： cm)，则这五名队员身高的中位数是 ( ) A. 174cm B. 177cm C. 178cm D. 180cm 解 析 ：数据从小到大的顺序排列为 174， 174， 178， 179， 180， 这组数据的中位数是 178. 故选 C. 9.(4 分 )二次函数 y=x2+4x-5 的图象的对称轴为 ( ) A. x=4 B. x=-4 C. x=2 D. x=-2 解 析 ：二次函数
5、y=x2+4x-5 的图象的对称轴为： 4 22 2 1bx a . 故选： D. 10.(4 分 )如图，已知扇形 AOB 的半径为 2，圆心角为 90 ，连接 AB，则图中阴影部分的面积是 ( ) A. -2 B. -4 C. 4 -2 D. 4 -4 解 析 ： S 阴影部分 =S 扇形 OAB-SOAB = 29 0 2 1 223 6 0 2 = -2 故选： A. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 4分，共 16分 ) 11.(4 分 )因式分解： x2-1=_. 解 析 ：原式 =(x+1)(x-1). 故答案为： (x+1)(x-1). 12.(4 分 )将除颜色外其余
6、均相同的 4 个红球和 2 个白球放入一个不透明足够大的盒子内，摇匀后随机摸出一球，则摸出红球的概率 为 _. 解 析 ：由将除颜色外其余均相同的 4 个红球和 2 个白球放入一个不透明足够大的盒子内，摇匀后随机摸出一球，直接利用概率公式求解即可求得答案 . 答案 ： 除颜色外其余均相同的 4 个红球和 2 个白球， 摸出红球的概率为： 424 2 3. 13.(4 分 )边长为 2 的正三角形的面积 是 _. 解 析 ：求出等边三角形一边上的高，即可确定出三角形面积 . 答案 ：过 A 作 ADBC ， AB=AB=BC=2 ， BD=CD= 12BC=1， 在 RtABD 中，根据勾股定理
7、得： 22 3A D A B B D ， 则 SABC =12BCAD= 3 . 14.(4 分 )若矩形 ABCD 的两邻边长分别为一元二次方程 x2-7x+12=0 的两个实数根，则矩形ABCD 的对角线长为 _. 解 析 ：方程 x2-7x+12=0，即 (x-3)(x-4)=0， 则 x-3=0， x-4=0， 解得： x1=3， x2=4. 则矩形 ABCD 的对角线长是： 223 4 5. 故答案是： 5. 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 44 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 15.(6 分 )(1)计算： 8 -( -1)0-4sin45 ； (2)
8、解不等式 x 13x-2，并将其解集表示在数轴上 . 解 析 ： (1)根据特殊角的三角函数值和非 0 实数的 0 次幂计算； (2)先解出不等式，然后将解集表示在数轴上即可 . 答案 ： (1) 8 -( -1)0-4sin45 =2 2 -1-4 22=-1； (2)解 x 13x-2 得 x -3， 把解集在数轴上表示： 16.(6 分 )解分式方程： 21133xxx . 解 析 ：本题考查解分式方程的能力，因为 3-x=-(x-3)，所以可得方程最简公分母为 (x-3)，方程两边同乘 (x-3)将分式方程转化为整式方程求解，要注意检验 . 答案 ：方程两边同乘 (x-3)， 得： 2
9、-x-1=x-3， 整理解得： x=2， 经检验： x=2 是原方程的解 . 17.(7 分 )某校学生会决定从三名学生会干事中选拔一名干事，对 甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试，三人的测试成绩如下表所示： 根据录用程序，学校组织 200 名学生采用投票推荐的方式，对三人进行民主测评，三人得票率 (没有弃权，每位同学只能推荐 1 人 )如扇形统计图所示，每得一票记 1 分 . (1)分别计算三人民主评议的得分； (2)根据实际需要，学校将笔试、面试、民主评议三项得分按 4： 3： 3 的比例确定个人成绩，三人中谁的得分最高？ 解 析 ： (1)根据百分数乘法的意义，分别用 200 乘以三人
10、的得票率，求出三人民主评议的得分各是多少即可 . (2)首先根据加权平均数的计算方法列式 计算，分别求出三人的得分各是多少；然后比较大小，判断出三人中谁的得分最高即可 . 答案 ： (1)甲民主评议的得分是： 20025%=50( 分 )； 乙民主评议的得分是： 20040%=80( 分 )； 丙民主评议的得分是： 20035%=70( 分 ). (2)甲的成绩是： (754+933+503)(4+3+3) =72910 =72.9(分 ) 乙的成绩是： (804+703+803)(4+3+3) =77010 =77(分 ) 丙的成绩是： (904+683+703)(4+3+3) =77410
11、 =77.4(分 ) 77.4 77 72.9， 丙的得分最高 . 18.(7 分 )如图，某中学九年级数学兴趣小组测量校内旗杆 AB 的高度，在 C 点测得旗杆顶端A 的仰角 BCA=30 ，向前走了 20 米到达 D 点，在 D 点测得旗杆顶端 A 的仰角 BDA=60 ，求旗杆 AB 的高度 .(结果保留根号 ) 解 析 ：根据题意得 C=30 ， ADB=60 ，从而得到 DAC=30 ，进而判定 AD=CD，得到 CD=20米，在 RtADB 中利用 sinADB 求得 AB 的长即可 . 答案 ： C=30 ， ADB=60 ， DAC=30 ， AD=CD ， CD=20 米，
12、AD=20 米， 在 RtADB 中， ABAD =sinADB ， AB=ADsin60=20 32=10 3 米 . 19.(8 分 )如图，一次函数 y=-x+5 的图象与反比例函数 y=kx(k0) 在第一象限的图象交于A(1， n)和 B 两点 . (1)求反比例函数的解析式； (2)在第一象限内，当一次函数 y=-x+5 的值大于反比例函数 y=kx(k0) 的值时，写出自变量 x 的取值范围 . 解 析 ： (1)首先求出点 A 的坐标，进而即可求出反比例函数系数 k 的值； (2)联立反比例函数和一次函数解析式，求出交点 B 的坐标，结合图形即可求出 x 的取值范围 . 答案
13、： (1) 一次函数 y=-x+5 的图象过点 A(1， n)， n= -1+5， n=4 ， 点 A 坐标为 (1， 4)， 反比例函数 y=kx(k0) 过点 A(1， 4)， k=4 ， 反比例函数的解析式为 y=4x； (2)联立 54yxy x ， 解得 14xy或 41xy， 即点 B 的坐标 (4， 1)， 若一次函数 y=-x+5 的值大于反比例函数 y=kx(k0) 的值， 则 1 x 4. 20.(10 分 )如图， ABC 为等边三角形，以边 BC 为直径的半圆与边 AB， AC 分别交于 D， F两点，过点 D 作 DEAC ，垂足为点 E. (1)判断 DF 与 O
14、的位置关系，并证明你的结论； (2)过点 F 作 FHBC ，垂足为点 H，若 AB=4，求 FH 的长 (结果保留根号 ). 解 析 ： (1)连接 OD，由等边三角形的性质得出 AB=BC， B=C=60 ，证出 OBD 是等边三角形，得出 BOD=C ，证出 ODAC ，得出 DEOD ，即可得出结论； (2)先证明 OCF 是等边三角形，得出 CF=OC=12BC=12AB=2，再由三角函数即可求出 FH. 答案 ： (1)DE 是 O 的切线；理由如下： 连接 OD，如图 1 所示： ABC 是等边三角形， AB=BC=AC ， B=C=60 ， OB=OD ， OBD 是等边三角形
15、， BOD=60 ， BOD=C ， ODAC ， DEAC ， DEOD ， DE 是 O 的切线； (2)连接 OF，如图 2 所示： OC=OF ， C=60 ， OCF 是等边三角形， CF=OC= 12BC=12AB=2， FHBC ， FHC=90 ， FH=CFsinC=2 32= 3 . 四、填空题 (每小题 4 分，共 20 分 ) 21.(4 分 )若二次函数 y=2x2的图象向左平移 2 个单位长度后，得到函数 y=2(x+h)2的图象，则 h=_. 解 析 ： 二次函数 y=2x2的图象向左平移 2 个单位长度得到 y=2(x+2)2， 即 h=2， 故答案为 2. 2
16、2.(4 分 )已知关于 x 的方程 3a-x=2x+3 的解为 2，则代数式 a2-2a+1 的值是 _. 解 析 ： 关于 x 的方程 3a-x=2x+3 的解为 2， 3a -2=22+3，解得 a=2， 原式 =4-4+1=1. 故答案为： 1. 23.(4 分 )如图， AB 是 O 的直径，弦 CD 垂直平分半径 OA，则 ABC 的大小为 _度 . 解 析 ： 连接 OC， 弦 CD 垂直平分半径 OA， OE= 12OC， OCD=30 ， AOC=60 ， ABC=30. 故答案为： 30. 24.(4 分 )若函数 y=-kx+2k+2 与 y=kx(k0) 的图象有两个不
17、同的交点，则 k 的取值范围是_. 解 析 ： 根据反比例函数与一次函数的交点问题，两函数的交点坐标满足方程组22y kx kkyx ，接着消去 y 得到关于 x 的一元二次方程 kx2-(2k+2)x+k=0，由于有两个不同的交点，则关于 x 的一元二次方程 kx2+2x+1=0 有两个不相等的实数解，于是根据根的判别式的意义得到 =(2k+2) 2-4k2 0，然后解一元一次不等式即可 . 答案 ： 把方程组 22y kx kky x 消去 y 得到 -kx+2k+2=kx， 整理得 kx2-(2k+2)x+k=0， 根据题意得 =(2k+2) 2-4k2 0，解得 k -12， 即当 k
18、 12时，函数 y=-kx+2k+2 与 y=kx(k0) 的图象有两个不同的交点， 故答案为 k 12且 k0. 25.(4 分 )如图，正方形 A1A2A3A4， A5A6A7A8， A9A10A11A12， ， (每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为 A1， A2， A3， A4； A5， A6， A7， A8； A9， A10， A11， A12； ) 的 中心均在坐标原点 O，各边均与 x 轴或 y 轴平行，若它们的边长依次是 2， 4， 6 ，则顶点A20的坐标为 _. 解 析 ： 204=5， A 20在第四象限， A 4所在正方形的边长为 2， A4的坐标
19、为 (1， -1)， 同理可得： A8的坐标为 (2， -2)， A12的坐标为 (3， -3)， A 20的坐标为 (5， -5)， 故答案为： (5， -5). 五、解答题 (本大题共 3 小题，共 30 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ) 26.(8 分 )一水果经销商购进了 A， B 两种水果各 10 箱，分配给他的甲、乙两个零售店 (分别简称甲店、乙店 )销售，预计每箱水果的盈利情况如下表： (1)如果甲、乙两店各配货 10 箱，其中 A 种水果两店各 5 箱， B 种水果两店各 5 箱，请你计算出经销商能盈利多少元？ (2)在甲、乙两店各配货 10 箱 (按整箱
20、配送 )，且保证乙店盈利不小于 100 元的条件下，请你设计出使水果经销商盈利最大的配货方案，并求出最大盈利 为多少？ 解 析 ： (1)经销商能盈利 =水果箱数 每箱水果的盈利； (2)设甲店配 A 种水果 x 箱，分别表示出配给乙店的 A 水果， B 水果的箱数，根据盈利不小于 110 元，列不等式求解，进一步利用经销商盈利 =A 种水果甲店盈利 x+B 种水果甲店盈利(10 -x)+A 种水果乙店盈利 (10 -x)+B 种水果乙店盈利 x ；列出函数解析式利用函数性质求得答案即可 . 答案 ： (1)经销商能盈利 =511+517+59+513=550=250 ； (2)设甲店配 A
21、种水果 x 箱，则甲店配 B 种水果 (10-x)箱， 乙店配 A 种水果 (10-x)箱，乙店配 B 种水果 10-(10-x)=x 箱 . 9(10 -x)+13x100 ， x2 12， 经销商盈利为 w=11x+17(10 -x)+9(10 -x)+13x=-2x+260. -2 0， w 随 x 增大而减小， 当 x=3 时， w 值最大 . 甲店配 A 种水果 3 箱， B 种水果 7 箱 .乙店配 A 种水果 7 箱， B种水果 3箱 .最大盈利：-23+260=254( 元 ). 27.(10 分 )已知 E， F 分别为正方形 ABCD 的边 BC， CD 上的点， AF，
22、DE相交于点 G，当 E， F分别为边 BC， CD 的中点时，有： AF=DE ； AFDE 成立 . 试探究下列问题： (1)如图 1，若点 E 不是边 BC 的中点， F 不是边 CD 的中点，且 CE=DF，上述结论 ， 是否仍然成立？ (请直接回答 “ 成立 ” 或 “ 不成立 ”) ，不需要证明 ) (2)如图 2，若点 E， F 分别在 CB 的延长线和 DC 的延长线上，且 CE=DF，此时，上述结论 ， 是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)如图 3，在 (2)的基础上，连接 AE 和 BF，若点 M， N， P， Q 分别为 AE， EF， F
23、D， AD的中点，请判断四边形 MNPQ 是 “ 矩形、菱形、正方形 ” 中的哪一种，并证明你的结论 . 解 析 ： (1)由四边形 ABCD 为正方形， CE=DF，易证得 ADFDCE(SAS) ，即可证得 AF=DE，DAF=CDE ，又由 ADG+EDC=90 ，即可证得 AFDE ； (2)由四边形 ABCD 为正方形， CE=DF，易证得 ADFDCE(SAS) ，即可证得 AF=DE， E=F ，又由 ADG+EDC=90 ，即可证得 AFDE ； (3)首先设 MQ， DE 分别交 AF 于点 G， O， PQ 交 DE 于点 H，由点 M， N， P， Q 分别为 AE， E
24、F，FD， AD 的中点，即可得 MQ=PN=12DE， PQ=MN=12AF， MQDE ， PQAF ，然后由 AF=DE，可证得四边形 MNPQ 是菱形，又由 AFDE 即可证得四边形 MNPQ 是正方形 . 答案 ： (1)上述结论 ， 仍然成立， 理由为： 四边形 ABCD 为正方形， AD=DC ， BCD=ADC=90 ， 在 ADF 和 DCE 中， 90D F C EA D C B C DA D C D ， ADFDCE(SAS) ， AF=DE ， DAF=CDE ， ADG+EDC=90 ， ADG+DAF=90 ， AGD=90 ，即 AFDE ； (2)上述结论 ，
25、仍然成立， 理由为： 四边形 ABCD 为正方形， AD=DC ， BCD=ADC=90 ， 在 ADF 和 DCE 中， 90D F C EA D C B C DA D C D ， ADFDCE(SAS) ， AF=DE ， E=F ， ADG+EDC=90 ， ADG+DAF=90 ， AGD=90 ，即 AFDE ； (3)四边形 MNPQ 是正方形 . 理由为：如图，设 MQ， DE 分别交 AF 于点 G， O， PQ 交 DE于点 H， 点 M， N， P， Q 分别为 AE， EF， FD， AD 的中点， MQ=PN= 12DE， PQ=MN=12AF， MQDE ， PQAF
26、 ， 四边形 OHQG 是平行四边形， AF=DE ， MQ=PQ=PN=MN ， 四边形 MNPQ 是菱形， AFDE ， AOD=90 ， HQG=AOD=90 ， 四边形 MNPQ 是正方形 . 28.(12 分 )如图，已知抛物线 y=ax2-5ax+2(a0) 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A(1， 0)和点 B. (1)求抛物线的解析式； (2)求直线 BC 的解析式； (3)若点 N 是抛物线上的动点，过点 N 作 NHx 轴，垂足为 H，以 B， N， H 为顶点的三角形是否能够与 OBC 相似 (排除全等的情况 )？若能，请求出所有符合条件的点 N 的坐标；若不能，
27、请说明理由 . 解 析 ： (1)把点 A 坐标代入抛物线 y=ax2-5ax+2(a0) 求得抛物线的解析式即可； (2)求出抛物线的对称轴，再求得点 B、 C 坐标，设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，再把 B、 C两点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，求得 k 和 b 即可； (3)设 N(x， ax2-5ax+2)，分两种情况讨论： OBCHNB ， OBCHBN ，根据相似，得出比例式，再分别求得点 N 坐标即可 . 答案 ： (1) 点 A(1， 0)在抛物线 y=ax2-5ax+2(a0) 上， a -5a+2=0， a= 12， 抛物线的解析式为 y=12x2-5
28、2x+2； (2)抛物线的对称轴为直线 x=52， 点 B(4， 0)， C(0， 2)， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B、 C 两点坐标代入线 BC 的解析式为 y=kx+b，得 402kbb， 解得 k=-12， b=2， 直线 BC 的解析式 y=-12x+2； (3)设 N(x， 12x2-52x+2)，分三种情况讨论： 当 OBCHNB 时，如图 1， OB OCHN BH ， 即24215 4222xxx ， 解得 x1=5， x2=4(不合题意，舍去 )， 点 N 坐标 (5， 2)； 当 OBCHBN 时，如图 2， OB OCBH HN ， 即242154 222x xx ， 解得 x1=2， x2=4(不合题意舍去 )， 点 N 坐标 (2， -1)； 当 N(x， 12x2-52x+2)在第二象限时， H(x， 0)在 x 轴的负半轴上， BH=4 -x， OBCHNB ， OB OCHN HB， 即2425 422xxx ， 得到 x2-x-12=0 解得 x1=4(舍去 )； x2=-3， N 点的坐标为 (-3， 14) 综上所述， N 点的坐标为 (5， 2)、 (2， -1)或 (-3， 14).
