1、2015年天津市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.计算 (-18) 6 的结果等于 ( ) A.-3 B.3 C.-13D.13解析： 根据有理数的除法， (-18) 6=-3. 答案： A. 2. cos45的值等于 ( ) A.12B. 22C. 32D. 3 解析： cos45 = 22. 答案： B. 3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形 .下面 4 个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形
2、，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误 . 答案： A. 4.据 2015 年 5 月 4 日天津日报报道，“五一”三天假期，全市共接待海内外游客约 2270000人次 .将 2270000 用科学记数法表示应为 ( ) A.0.227 lO7 B.2.27 106 C.22.7 l05 D.227 104 解析： 将 2270000 用科学记数法表示为 2.27 106. 答案： B 5.如图是一个由 4 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析： 从正面看易得第一层有 3 个正方形，第二层最左边有一个正
3、方形 . 答案： A 6.估计 11 的值在 ( ) A.在 1 和 2 之间 B.在 2 和 3 之间 C.在 3 和 4 之间 D.在 4 和 5 之间 解析： 9 11 16， 9 11 16 ， 3 11 4. 答案： C. 7.在平面直角坐标系中，把点 P(-3， 2)绕原点 O 顺时针旋转 180，所得到的对应点 P的坐标为 ( ) A.(3， 2) B.(2， -3) C.(-3， -2) D.(3， -2) 解析： 根据题意得，点 P 关于原点的对称点是点 P， P 点坐标为 (-3， 2)，点 P的坐标 (3， -2). 答案： D 8.分式方程 233xx的解为 ( ) A
4、.x=0 B.x=5 C.x=3 D.x=9 解析： 去分母得： 2x=3x-9，解得： x=9，经检验 x=9 是分式方程的解 . 答案： D 9.己知反比例函数 y=6x，当 1 x 3 时， y 的取值范围是 ( ) A.0 y l B.1 y 2 C.2 y 6 D.y 6 解析： k=6 0，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小， 又当 x=1 时， y=6， 当 x=3 时， y=2，当 1 x 3 时， 2 y 6. 答案： C 10.己知一个表面积为 12dm2 的正方体，则这个正方体的棱长为 ( ) A.1dm B. 2 dm C. 6 dm D.3dm 解析： 因为正方体
5、的表面积公式： S=6a2，可得： 6a2=12，解得： a= 2 . 答案： B 11.如图，已知 ABCD 中， AE BC 于点 E，以点 B 为中心，取旋转角等于 ABC，把 BAE顺时针旋转，得到 BA E，连接 DA .若 ADC=60， ADA =50，则 DA E的大小为 ( ) A.130 B.150 C.160 D.170 解析： 四边形 ABCD 是平行四边形， ADC=60， ABC=60， DCB=120， ADA =50， A DC=10， DA B=130， AE BC 于点 E， BAE=30， BAE 顺时针旋转，得到 BA E， BA E = BAE=30，
6、 DA E = DA B+ BA E =160 . 答案： C 12.已知抛物线 y=-16x2+32x+6 与 x 轴交于点 A，点 B，与 y 轴交于点 C.若 D 为 AB 的中点，则 CD 的长为 ( ) A.154B.92C.132D.152解析： 令 y=0，则 -16x2+32x+6=0，解得： x1=12， x2=-3 A、 B 两点坐标分别为 (12， 0)(-3， 0)， D 为 AB 的中点， D(4.5， 0)， OD=4.5， 当 x=0 时， y=6， OC=6， CD= 22154 .5 62. 答案： D 二、填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 1
7、8 分 ) 13. 计算； x2 x5的结果等于 . 解析： x2 x5=x2+5=x7. 答案： x7. 14.若一次函数 y=2x+b(b 为常数 )的图象经过点 (1， 5)，则 b 的值为 . 解析： 把点 (1， 5)代入 y=2x+b，得 5=2 1+b，解得 b=3. 答案： 3 15.不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、 3 个绿球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别 .从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 . 解析： 共 4+3+2=9 个球，有 2 个红球，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为 92. 答案： 9216.如图，在 ABC 中，
8、DE BC，分别交 AB， AC 于点 D、 E.若 AD=3， DB=2， BC=6，则 DE 的长为 . 解析： AD=3， DB=2， AB=AD+DB=5， DE BC， ADE ABC， AD DEAB BC， AD=3， AB=5， BC=6， 356DE， DE=3.6. 答案： 3.6 17.如图，在正六边形 ABCDEF 中，连接对角线 AC， CE， DF， EA， FB，可以得到一个六角星 .记这些对角线的交点分别为 H， I， J， K， L、 M，则图中等边三角形共有 个 . 解析： 等边三角形有 AML、 BHM、 CHI、 DIJ、 EKJ、 FLK、 ACE、
9、BDF 共有 8个 . 答案： 8 18.在每个小正方形的边长为 1 的网格中 .点 A， B， D 均在格点上，点 E、 F 分别为线段 BC、DB 上的动点，且 BE=DF. ( )如图，当 BE=52时，计算 AE+AF 的值等于 . ( )当 AE+AF 取得最小值时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 AE，AF ， 并 简 要 说 明 点 E 和点 F 的 位 置 如 何 找 到 的 ( 不要求证明 ) . 解析： (1)根据勾股定理可得： DB= 2243 =5， 因为 BE=DF=52，所以可得 AF=12BD=2.5， 根据勾股定理可得： AE= 22 613 2
10、 .52，所以 AE+AF=2.5+ 612=5 612. 答案： 5 612(2)如图， 首先确定 E 点，要使 AE+AF 最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将 AF 移到 AE的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H 使 HBC= ADB，其次需要构造长度 BP 使 BP=AD=4，根据勾股定理可知 BH= 2243 =5，结合相似三角形选出格点 K，根据14HK HPBC BP，得 BP=45 BH=45 5=4=DA，易证 ADF PBE，因此可得到 PE=AF，线段AP 即为所求的 AE+AF 的最小值；同理可确定 F 点，因为 AB BC，因此首先确定格点
11、M 使 DM DB，其次确定格点 G 使 DG=AB=3，此时需要先确定格点 N，同样根据相似三角形性质得到23N M M GD C D G，得 DG=35 DM=35 5=3，易证 DFG BEA，因此可得到 AE=GF，故线段 AG即为所求的 AE+AF 的最小值 . 答案 ：取格点 H， K，连接 BH， CK，相交于点 P，连接 AP，与 BC 相交，得点 E，取格点 M， N连接 DM， CN，相交于点 G，连接 AG，与 BD 相交，得点 F，线段 AE， AF即为所求 . 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 66 分 .解答应写出文字说明、演算算步骤或推理过程 ) 19.解不等
12、式组 362 1 9xx，请结合题意填空，完成本题的解答 . ( )不等式，得 ； ( )不等式，得 ； ( )把不等式和的解集在数轴上表示出来 ( )原不等式组的解集为 . 解析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 . 答案： ( )不等式，得 x 3； ( )不等式，得 x 5； ( )把不等式和的解集在数轴上表示出来 ( )原不等式组的解集为 3 x 5. 20.某商场服装部为了解服装的销售情况，统计了每位营业员在某月的销售额 (单位：万元 )，并根据统计的这组数据，绘制出如下的统计图和图 .请根据相关信息，解答下列问题 . ( )该商场服装部营业员的人数
13、为 ，图中 m 的值为 . ( )求统计的这组销售额额数据的平均数、众数和中位数 . 解析： (1)根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出 m 的值即可； (2)利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可； 答案 ： (1)根据条形图 2+5+7+8+3=25(人 )， m=100-20-32-12-8=28； 故答案为： 25， 28. (2)观察条形统计图， 1 2 2 1 5 5 1 8 7 2 1 8 2 4 325x =18.6，这组数据的平均数是 18.6， 在这组数据中， 21 出现了 8 次，出现的次数最多，这组数据的众数是 21， 将这组数据按照由小到大的顺序排列，
14、其中处于中间位置的数是 18，这组数据的中位数是 18. 21.已知 A、 B、 C 是 O 上的三个点 .四边形 OABC 是平行四边形，过点 C 作 O 的切线，交AB 的延长线于点 D. ( )如图，求 ADC 的大小 . ( )如图，经过点 O 作 CD 的平行线，与 AB 交于点 E，与 弧 AB 交于点 F，连接 AF，求FAB 的大小 . 解析： ( )由 CD 是 O 的切线， C 为切点，得到 OC CD，即 OCD=90由于四边形 OABC 是平行四边形，得到 AB OC，即 AD OC，根据平行四边形的性质即可得到结果 . ( )如图，连接 OB，则 OB=OA=OC，由
15、四边形 OABC 是平行四边形，得到 OC=AB， AOB 是等边三角形，证得 AOB=60，由 OF CD，又 ADC=90，得 AEO= ADC=90，根据垂径定理即可得到结果 . 答案： ( ) CD 是 O 的切线， C 为切点， OC CD，即 OCD=90 四边形 OABC 是平行四边形， AB OC，即 AD OC， 有 ADC+ OCD=180， ADC=180 - OCD=90 . ( )如图 ，连接 OB，则 OB=OA=OC， 四边形 OABC 是平行四边形， OC=AB， OA=OB=AB， 即 AOB 是等边三角形， AOB=60， 由 OF CD，又 ADC=90，
16、得 AEO= ADC=90， OF AB， 弧 BF=弧 AF， FOB= FOA=12 AOB=30， FAB=12 FOB=15 . 22.如图，某建筑物 BC 顶部有釕一旗杆 AB，且点 A， B， C 在同一条直线上，小红在 D 处观测旗杆顶部 A 的仰角为 47，观测旗杆底部 B 的仰角为 42已知点 D 到地面的距离 DE 为1.56m， EC=21m，求旗杆 AB的高度和建筑物 BC的高度 (结果保留小数后一位 ).参考数据： tan47 1.07， tan42 0.90. 解析： 根据题意分别在两个直角三角形中求得 AF 和 BF 的长后求差即可得到旗杆的高度，进而求得 BC
17、的高度 . 答案 ：根据题意得 DE=1.56， EC=21， ACE=90， DEC=90 .过点 D 作 DF AC 于点 F. 则 DFC=90 ADF=47， BDF=42 . 四边形 DECF 是矩形 . DF=EC=21， FC=DE=1.56， 在直角 DFA 中， tan ADF=AFDF， AF=DF tan47 21 1.07=22.47(m). 在直角 DFB 中， tan BDF=BFDF， BF=DF tan42 21 0.90=18.90(m)， 则 AB=AF-BF=22.47-18.90=3.57 3.6(m). BC=BF+FC=18.90+1.56=20.4
18、6 20.5(m). 答：旗杆 AB 的高度约是 3.6m，建筑物 BC 的高度约是 20.5 米 . 23. 1 号探测气球从海拔 5m 处出发，以 lm/min 的速度上升 .与此同时， 2 号探测气球从海拔 15m 处出发，以 0.5m/min 的速度上升，两个气球都匀速上升了 50min. 设气球球上升时间为 xmin (0 x 50) ( )根据题意，填写下表： ( )在某时刻两个气球能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？如果不能，请说明理由； ( )当 30 x 50 时，两个气球所在位置的海拔最多相差多少米？ 解析： ( )根据“ 1 号探测气球从海拔
19、5m 处出发，以 lm/min 的速度上升 .与此同时， 2 号探测气球从海拔 15m 处出发，以 0.5m/min 的速度上升”，得出 1 号探测气球、 2 号探测气球的函数关系式； ( )两个气球能位于同一高度，根据题意列出方程，即可解答； ( )由题意，可知 1 号气球所在的位置的海拔始终高于 2 号气球，设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差 ym，则 y=(x+5)-(0.5x+15)=0.5x-10，根据 x 的取值范围，利用一次函数的性质，即可解答 . 答案 ： ( )根据题意得： 1 号探测气球所在位置的海拔： m1=x+5， 2 号探测气球所在位置的海拔： m2=0.5x+1
20、5； 当 x=30 时， m1=30+5=35；当 x=10 时， m2=5+15=20， 故答案为： 35， x+5， 20， 0.5x+15. ( )两个气球能位于同一高度， 根据题意得： x+5=0.5x+15，解得： x=20，有 x+5=25， 答：此时，气球上升了 20 分钟，都位于海拔 25 米的高度 . ( )当 30 x 50 时， 由题意，可知 1 号气球所在的位置的海拔始终高于 2 号气球， 设两个气球在同一时刻所在位置的海拔相差 ym， 则 y=(x+5)-(0.5x+15)=0.5x-10， 0.5 0， y 随 x 的增大而增大，当 x=50 时， y 取得最大值
21、15， 答：两个气球所在位置海拔最多相差 15m. 24.将一个直角三角形纸片 ABO，放置在平面直角坐标系中，点 A( 3 ， 0)，点 B(0， 1)，点0(0， 0).过边 OA 上的动点 M(点 M 不与点 O， A 重合 )作 MN 丄 AB 于点 N，沿着 MN 折叠该纸片，得顶点 A 的对应点 A，设 OM=m，折叠后的 AM N 与四边形 OMNB 重叠部分的面积为 S. ( )如图，当点 A与顶点 B 重合时，求点 M 的坐标； ( )如图，当点 A，落在第二象限时， A M 与 OB 相交于点 C，试用含 m 的式子表示 S； ( )当 S= 324时，求点 M 的坐标 (
22、直接写出结果即可 ). 解析： ( )根据折叠的性质得出 BM=AM，再由勾股定理进行解答即可； ( )根据勾股定理和三角形的面积得出 AMN， COM 和 ABO 的面积，进而表示出 S 的代数式即可； ( )把 S= 324代入解答即可 . 答案 ： ( )在 Rt ABO 中，点 A( 3 ， 0)，点 B(0， 1)，点 O(0， 0)， OA= 3 ， OB=1， 由 OM=m，可得： AM=OA-OM= 3 -m， 根据题意，由折叠可知 BMN AMN， BM=AM= 3 -m， 在 Rt MOB 中，由勾股定理， BM2=OB2+OM2，可得： ( 3 -m)2=1+m2，解得
23、m= 33， 点 M 的坐标为 ( 33， 0). ( )在 Rt ABO 中， tan OAB= 13OBOA = 33 ， OAB=30， 由 MN AB，可得： MNA=90， 在 Rt AMN 中， MN=AM， sin OAB=12( 3 -m)， AN=AM cos OAB= 32( 3 -m)， S AMN=12MN AN= 38( 3 -m)2， 由折叠可知 AMN AMN，则 A= OAB=30， AMO= A+ OAB=60， 在 Rt COM 中，可得 CO=OM tan AMO= 3 m， S COM=12OM CO= 32m2， S ABO=12OA OB= 32，
24、S=S ABO-S AMN-S COM= 32- 38( 3 -m)2- 32m2， 即 S=-538m2+34m+ 38(0 m 33). ( )当点 A落在第二象限时，把 S 的值代入 (2)中的函数关系式中，解方程求得 m，根据m 的取值范围判断取舍，两个根都舍去了； 当点 A落在第一象限时，则 S=SRt AMN，根据 (2)中 Rt AMN 的面积列方程求解，根据此时m 的取值范围，把 S= 324代入，可得点 M 的坐标为 (233， 0). 25.已知二次函数 y=x2+bx+c(b， c 为常数 ). ( )当 b=2， c=-3 时，求二次函数的最小值； ( )当 c=5 时
25、，若在函数值 y=l 的怙况下，只有一个自变量 x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式； ( )当 c=b2时，若在自变量 x 的值满足 b x b+3 的情况下，与其对应的函数值 y 的最小值为 21，求此时二次函数的解析式 . 解析： ( )把 b=2， c=-3 代入函数解析式，求二次函数的最小值； ( )根据当 c=5 时，若在函数值 y=l 的情况下，只有一个自变量 x 的值与其对应，得到x2+bx+5=1 有两个相等是实数根，求此时二次函数的解析式； ( )当 c=b2时，写出解析式，分三种情况减小讨论即可 . 答案： ( )当 b=2， c=-3 时，二次函数的解析式为 y=x
26、2+2x-3=(x+1)2-4， 当 x=-1 时，二次函数取得最小值 -4. ( )当 c=5 时，二次函数的解析式为 y=x2+bx+5， 由题意得， x2+bx+5=1 有两个相等是实数根， =b2-16=0，解得， b1=4， b2=-4， 二 次函数的解析式 y=x2+4x+5， y=x2-4x+5. ( )当 c=b2时，二次函数解析式为 y=x2+bx+b2，图象开口向上，对称轴为直线 x=-2b， 当 -2b b，即 b 0 时， 在自变量 x 的值满足 b x b+3 的情况下， y 随 x 的增大而增大， 当 x=b 时， y=b2+b b+b2=3b2为最小值， 3b2=
27、21，解得， b1=- 7 (舍去 )， b2= 7 ； 当 b -2b b+3 时，即 -2 b 0， x=-2b， y=34b2为最小值， 34b2=21，解得， b1=-2 7 (舍去 )， b2=2 7 (舍去 )； 当 -2b b+3，即 b -2， 在自变量 x 的值满足 b x b+3 的情况下， y 随 x 的增大而减小， 故当 x=b+3 时， y=(b+3)2+b(b+3)+b2=3b2+9b+9 为最小值， 3b2+9b+9=21.解得， b1=1(舍去 )， b2=-4； b= 7 时，解析式为： y=x2+ 7 x+7， b=-4 时，解析式为： y=x2-4x+16. 综上可得，此时二次函数的解析式为 y=x2+ 7 x+7 或 y=x2-4x+16.
