1、 2015 年山东省临沂市中考 真题数学 一、选择题 (本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1.(3 分 ) -12的绝对值是 ( ) A. 12B. -12C. 2 D. -2 解 析 ： -12的绝对值是 12. 答案 ： A. 2.(3 分 )如图，直线 ab ， 1=60 ， 2=40 ，则 3 等于 ( ) A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 解 析 ： 如图： 4=2=40 ， 5=1=60 ， 3=180 -60 -40=80 . 答案 ： C. 3.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A.
2、a2+a2=2a4 B. (-a2b)3=-a6b3 C. a2a 3=a6 D. a8a 2=a4 解 析 ： A、 a2+a2=2a2B，故 A 错误； B、 (-a2b)3=-a6b3，故 B 正确； C、 a2a 3=a5，故 C 错误； D、 a8a 2=a6，故 D 错误 . 答案： B. 4.(3 分 )某市 6 月某周内每天的最高气温数据如下 (单位： ) ： 24 26 29 26 29 32 29 则这组数据的众数和中位数分别是 ( ) A. 29， 29 B. 26， 26 C. 26， 29 D. 29， 32 解 析 ： 将这组数据从小到大的顺序排列 24， 26，
3、26， 29， 29， 29， 32， 在这一组数据中 29 是出现次数最多的，故众数是 29. 处于中间位置的那个数是 29，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 29 . 答案 ： A. 5.(3 分 )如图所示，该几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从正面看可得到一个长方形，中间有一条竖线 . 答案 ： D. 6.(3 分 )不等式组 6220xx 的解集，在数轴上表示正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 6220xx ， 由 得， x -3， 由 得， x2 ， 故不等式组的解集为： -3 x2. 在数轴上表示为： 答案 ： C. 7.(
4、3 分 )一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是 ( ) A. 14B. 12C. 34D. 1 解 析 ： 用 A和 a 分别表示粉色有盖茶杯的杯盖和茶杯；用 B和 b 分别表示白色有盖茶杯的杯盖和茶杯、经过搭配所能产生的结果如下： Aa、 Ab、 Ba、 Bb 所以颜色搭配正确的概率是 12； 答案 ： B. 8.(3 分 )如图 A， B， C 是 O 上的三个点，若 AOC=100 ，则 ABC 等于 ( ) A. 50 B. 80 C. 100 D. 130 解 析 ： 如图，在优弧 上取点
5、D，连接 AD， CD， AOC=100 ， ADC= 12AOC=50 ， ABC=180 -ADC=130. 答案 ： D. 9.(3 分 )多项式 mx2-m 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 ( ) A. x-1 B. x+1 C. x2-1 D. (x-1)2 解 析 ： mx2-m=m(x-1)(x+1)， x2-2x+1=(x-1)2， 多项式 mx2-m 与多项式 x2-2x+1 的公因式是 (x-1). 答案 ： A. 10.(3 分 )已知甲、乙两地相距 20 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t(单位：小时 )关于行驶速度 v(单位：千米 /小时 )的函
6、数关系式是 ( ) A. t=20v B. t=20v C. t=20vD. t=10v解 析 ： 由题意得： vt=20， t=20v， 答案 ： B. 11.(3 分 )观察下列关于 x 的单项式，探究其规律： x， 3x2， 5x3， 7x4， 9x5， 11x6， 按照上述规律，第 2015 个单项式是 ( ) A. 2015x2015 B. 4029x2014 C. 4029x2015 D. 4031x2015 解 析 ： 根据分析的规律，得 第 2015 个单项式是 4029x2015. 答案 ： C. 12.(3 分 )如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD到 E，使
7、DE=AD，连接 EB， EC， DB，添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是 ( ) A. AB=BE B. DEDC C. ADB=90 D. CEDE 解 析 ： 四边形 ABCD 为平行四边形， ADBC ，且 AD=BC， 又 AD=DE ， BEBC ，且 BE=BC， 四边形 BCED 为平行四边形， A、 AB=BE ， DE=AD， BDAE ， DBCE 为矩形，故本选项错误； B、 DEDC ， EDB=90+CDB 90 ， 四边形 DBCE 不能为矩形，故本选项正确； C、 ADB=90 ， EDB=90 ， DBCE 为矩形，故本选项错误； D、 CED
8、E ， CED=90 ， DBCE 为矩形，故本选项错误 . 答案 ： B. 13.(3 分 )要将抛物线 y=x2+2x+3 平移后得到抛物线 y=x2，下列平移方法正确的是 ( ) A. 向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 B. 向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 C. 向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位 D. 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位 解 析 ： y=x2+2x+3=(x+1)2+2，该抛物线的顶点坐标是 (-1， 2)，抛物线 y=x2的顶点坐标是 (0，0)， 则平移的方法可以是：将抛物线 y=x2+2x+3 向右移 1 个单位，再向
9、下平移 2 个单位 . 答案 ： D. 14.(3 分 )在平面直角坐标系中，直线 y=-x+2 与反比例函数 y=1x的图象有唯一公共点，若直线 y=-x+b 与反比例函数 y=1x的图象有 2 个公共点，则 b 的取值范围是 ( ) A. b 2 B. -2 b 2 C. b 2 或 b -2 D. b -2 解 析 ： 解方程组 1y x by x 得： x2-bx+1=0， 直线 y=-x+b 与反比例函数 y=1x的图象有 2 个公共点， 方程 x2-bx+1=0 有两个不相等的实数根， =b 2-4 0， b 2，或 b -2. 答案 ： C. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每
10、小题 3分，共 15分 ) 15.(3 分 )比较大小： 2_ 3 (填 “ ” 、 “=” 、 “ ”). 解 析 ： 1 3 2， 2 3 . 答案 ： . 16.(3 分 )计算：2422aa a a_. 解 析 ： 22224 4 22 2 2 2 2aaa a aa a a a a a a a a a .答案 ： 2aa17.(3 分 )如图，在 ABCD 中，连接 BD， ADBD ， AB=4， sinA=34，则 ABCD 的面积是 _. 解 析 ： ADBD ， ADB=90 ， AB=4 ， sinA=34， BD=ABsinA= 34=4 34=3， 2 2 2 24 3
11、 7A D A B B D ， ABCD 的面积 =ADBD=3 7 . 答案 ： 3 7 . 18.(3 分 )如图，在 ABC 中， BD， CE 分别是边 AC， AB 上的中线， BD与 CE 相交于点 O，则 OBOD_. 解 析 ： ABC 的中线 BD、 CE 相交于点 O， 点 O 是 ABC 的重心， 2OBOD. 答案 ： 2. 19.(3 分 )定义：给定关于 x 的函数 y，对于该函数图象上任意两点 (x1， y1)， (x2， y2)，当x1 x2时，都有 y1 y2，称该函数为增函数，根据以上定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有 _(填上所有正确答案的序号
12、) y=2x ； y= -x+1； y=x 2(x 0)； y= -1x. 解 析 ： y=2x， 2 0， 是增函数； y=-x+1， -1 0， 不是增函数； y=x2，当 x 0 时，是增函数， 是增函数； y=-1x，在每个象限是增函数，因为缺少条件， 不是增函数 . 答案 ： . 三、解答题 (本大题共 7 小题，共 63 分 ) 20.(7 分 )计算： ( 3 + 2 -1)( 3 - 2 +1) 解 析 ： 先根据平方差公式展开得到原式 = 3 +( 2 -1) 3 -( 2 -1)=( 3 )2-( 2 -1)2，再根据完全平方公式展开后合并即可 . 答案 ： 原式 = 3
13、+( 2 -1) 3 -( 2 -1) =( 3 )2-( 2 -1)2=3-(2-2 2 +1) =3-2+2 2 -1 =2 2 . 21.(7 分 )“ 保护环境，人人有责 ” ，为了了解某市的空气质量情况，某校环保兴趣小组，随机抽取了 2014 年内该市若干天的空气质量情况作为样本进行统计，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图 (部分信息未给出 ). 请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)补全条形统计图； (2)估计该市这一年 (365 天 )空气质量达到 “ 优 ” 和 “ 良 ” 的总天数； (3)计算随机选取这一年内某一天，空气质量是 “ 优 ” 的概率 . 解 析 ：
14、 (1)根据良的天数除以量所占的百分比，可得样本容量，根据样本容量乘以轻度污染所占的百分比，可得答案； (2)根据一年的时间乘以优良所占的百分比，可得答案； (3)根据根据一年中优的天数比上一年的天数，可得答案 . 答案 ： (1)样本容量 35%=60 ， 60-12-36-3-2-1=6， 条形统计图如图： (2)这一年空气质量达到 “ 优 ” 和 “ 良 ” 的总天数为： 365 36 1260=292； (3)随机选取这一年内某一天，空气质量是 “ 优 ” 的概率为： 12 160 5. 22.(7分 )小强从自己家的阳台上，看一栋楼顶部的仰角为 30 ，看这栋楼底部的俯角为 60 ，
15、小强家与这栋楼的水平距离为 42m，这栋楼有多高？ 解 析 ： 求这栋楼的高度，即 BC 的长度，根据 BC=BD+DC，在 RtABD 和 RtACD 中分别求出BD， CD 即可 . 答案 ： 在 RtABD 中， BDA=90 ， BAD=30 ， AD=42m， BD=ADtan30=42 33=14 3 (m). 在 RtACD 中， ADC=90 ， CAD=60 ， CD=ADtan60=42 3 =42 3 (m). BC=BD+CD=14 3 +42 3 =56 3 (m). 答：这栋楼的高度为 56 3 m. 23.(9 分 )如图，点 O 为 RtABC 斜边 AB 上一
16、点，以 OA 为半径的 O 与 BC切于点 D，与 AC交于点 E，连接 AD. (1)求证： AD 平分 BAC ； (2)若 BAC=60 ， OA=2，求阴影部分的面积 (结果保留 ). 解 析 ： (1)由 RtABC 中， C=90 ， O 切 BC 于 D，易证得 ACOD ，继而证得 AD 平分 CAB. (2)如图，连接 ED，根据 (1)中 ACOD 和菱形的判定与性质得到四边形 AEDO 是菱形，则AEMDMO ，则图中阴影部分的 面积 =扇形 EOD 的面积 . 答案 ： (1)证明： O 切 BC 于 D， ODBC ， ACBC ， ACOD ， CAD=ADO ，
17、OA=OD ， OAD=ADO ， OAD=CAD ， 即 AD 平分 CAB ； (2)设 EO 与 AD 交于点 M，连接 ED. BAC=60 ， OA=OE， AEO 是等边三角形， AE=OA ， AOE=60 ， AE=A0=OD ， 又由 (1)知， ACOD 即 AEOD ， 四边形 AEDO 是菱形，则 AEMDMO ， EOD=60 ， S AEM =SDMO ， S 阴影 =S 扇形 EOD= 260 2 2360 3 . 24.(9 分 )新农村社区改造中，有一部分楼盘要对外销售，某楼盘共 23 层，销售价格如下：第八层楼房售价为 4000 元 /米 2，从第八层起每上
18、升一层，每平方米的售价提高 50 元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价降低 30 元，已知该楼盘每套楼房面积均为 120 米 2. 若购买者一次性付清所有房款，开发商有两种优惠方案： 方案一：降价 8%，另外每套楼房赠送 a 元装修基金； 方案二：降价 10%，没有其他赠送 . (1)请写出售价 y(元 /米 2)与 楼层 x(1x23 ， x 取整数 )之间的函数关系式； (2)老王要购买第十六层的一套楼房，若他一次性付清购房款，请帮他计算哪种优惠方案更加合算 . 解 析 ： (1)根据题意分别求出当 1x8 时，每平方米的售价应为 4000-(8-x)30 元，当9x23 时，每平方米
19、的售价应为 4000+(x-8)50 元； (2)根据购买方案一、二求出实交房款的关系式，然后分情况讨论即可确定那种方案合算 . 答案 ： (1)当 1x8 时，每平方米的售价应为： y=4000-(8-x)30=30x+3760 ( 元 /平方米 ) 当 9x 23 时，每平方米的售价应为： y=4000+(x-8)50=50x+3600( 元 /平方米 ). y= 3 0 3 7 6 0 1 85 0 3 6 0 0 9 2 3xx (2)第十六层楼房的每平方米的价格为： 5016+3600=4400( 元 /平方米 )， 按照方案一所交房款为： W1=4400120(1 -8%)-a=4
20、85760-a(元 )， 按照方案二所交房款为： W2=4400120(1 -10%)=475200(元 )， 当 W1 W2时，即 485760-a 475200， 解得： 0 a 10560， 当 W1 W2时，即 485760-a 475200， 解得： a 10560， 当 0 a 10560 时，方案二合算；当 a 10560 时，方案一合算 . 25.(11 分 )如图 1，在正方形 ABCD 的外侧，作两个等边三角形 ADE 和 DCF，连接 AF， BE. (1)请判断： AF 与 BE 的数量关系是 _，位置关系是 _； (2)如图 2，若将条件 “ 两个等边三角形 ADE
21、和 DCF” 变为 “ 两个等腰三角形 ADE和 DCF，且EA=ED=FD=FC” ，第 (1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明； (3)若三角形 ADE 和 DCF 为一般三角形，且 AE=DF， ED=FC，第 (1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断 . 解 析 ： (1)易证 ADEDCF ，即可证明 AF 与 BE 的数量关系是： AF=BE，位置关系是： AFBE. (2)证明 ADEDCF ，然后证明 ABEADF 即可证得 BE=AF，然后根据三角形内角和定理证明 AMB=90 ，从而求证； (3)与 (2)的解法完全相同 . 答案 ： (1)AF 与 BE
22、 的数量关系是： AF=BE，位置关系是： AFBE. 答案是：相等，互相垂直； (2)结论仍然成立 . 理由是： 正方形 ABCD 中， AB=AD=CD， 在 ADE 和 DCF 中， AE DFAD CDDE CF ， ADEDCF ， DAE=CDF ， 又 正方形 ABCD 中， BAD=ADC=90 ， BAE=ADF ， 在 ABE 和 ADF 中， A B D AB A E A D FA E D F ， ABEADF ， BE=AF ， ABM=DAF ， 又 DAF+BAM=90 ， ABM+BAM=90 ， 在 ABM 中， AMB=180 -(ABM+BAM)=90 ，
23、BEAF ； (3)第 (1)问中的结论都能成立 . 理由是： 正方形 ABCD 中， AB=AD=CD， 在 ADE 和 DCF 中，AE DFAD CDDE CF ， ADEDCF ， DAE=CDF ， 又 正方形 ABCD 中， BAD=ADC=90 ， BAE=ADF ， 在 ABE 和 ADF 中， A B D AB A E A D FA E D F ， ABEADF ， BE=AF ， ABM=DAF ， 又 DAF+BAM=90 ， ABM+BAM=90 ， 在 ABM 中， AMB=180 -(ABM+BAM)=90 ， BEAF. 26.(13 分 )在平面直角坐标系中，
24、O 为原点，直线 y=-2x-1 与 y 轴交于点 A，与直线 y=-x 交于点 B，点 B 关于原点的对称点为点 C. (1)求过 A， B， C 三点的抛物线的解析式； (2)P 为抛物线上一点，它关于原点的对称点为 Q. 当四边形 PBQC 为菱形时，求点 P 的坐标； 若点 P 的横坐标为 t(-1 t 1)，当 t 为何值时，四边形 PBQC 面积最大？并说明理由 . 解 析 ： (1)联立两直线解析式可求得 B 点坐标，由关于原点对称可求得 C 点坐标，由直线y=-2x-1 可求得 A 点坐标，再利用待定系数法可求得抛物线解析式； (2) 当四边形 PBQC 为菱形时，可知 PQB
25、C ，则可求得直线 PQ 的解析式，联立抛物线解析式可求得 P 点坐标； 过 P 作 PDBC ，垂足为 D，作 x轴的垂线，交直线 BC于点 E，由 PED=AOC ，可知当 PE 最大时， PD 也最大，用 t 可表示出 PE 的长，可求得取最大值时的t 的值 . 答案 ： (1)联立两直线解析式可得21yx ，解得 11xy， B 点坐标为 (-1， 1)， 又 C 点为 B 点关于原点的对称点， C 点坐标为 (1， -1)， 直线 y=-2x-1 与 y 轴交于点 A， A 点坐标为 (0， -1)， 设抛物线解析式为 y=ax2+bx+c， 把 A、 B、 C 三点坐标代入可得 1
26、11ca b cabc ，解得 111abc ， 抛物线解析式为 y=x2-x-1； (2) 当四边形 PBQC 为菱形时，则 PQBC ， 直线 BC 解析式为 y=-x， 直线 PQ 解析式为 y=x， 联立抛物线解析式可得2 1yxy x x ，解得 1212xy 或 1212xy ， P 点坐标为 (1- 2 ， 1- 2 )或 (1+ 2 ， 1+ 2 )； 当 t=0 时，四边形 PBQC 的面积最大 . 理由如下： 如图，过 P 作 PDBC ，垂足为 D，作 x 轴的垂线，交直线 BC于点 E， 则 S 四边形 PBQC=2SPBC =2 12BCPD=BCPD ， 线段 BC 长固定不变， 当 PD 最大时，四边形 PBQC 面积最大， 又 PED=AOC( 固定不变 )， 当 PE 最大时， PD 也最大， P 点在抛物线上， E 点在直线 BC 上， P 点坐标为 (t， t2-t-1)， E 点坐标为 (t， -t)， PE= -t-(t2-t-1)=-t2+1， 当 t=0 时， PE 有最大值 1，此时 PD 有最大值，即四边形 PBQC的面积最大 .
