1、 2015 年山东省威海市中考 真题 数学 一、选择题 1.(3 分 )检验 4 个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记作负数 .从轻重的角度看，最接近标准的工件是 ( ) A. -2 B. -3 C. 3 D. 5 解 析 ： |-2|=2， |-3|=3， |3|=3， |5|=5， 2 3 5， 从轻重的角度来看，最接近标准的是记录为 -2. 答案 ： A. 2.(3 分 )如图，在 ABC 中， ACB=90 ， ABC=26 ， BC=5.若用科学计算器求边 AC 的长，则下列按键顺序正确的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 由 tanB= ACBC
2、，得 AC=BCtanB=5tan26. 答案 ： D. 3.(3 分 )据中国新闻网报道，在 2014 年 11 月 17 日公布的全球超级计算机 500 强榜单中，中国国防科技大学研制的 “ 天河 ” 二号超级计算机，以峰值计算速度每秒 5.49 亿亿次、持续计算速度每秒 3.39 亿亿次双精度浮点运算的优异性能位居榜首，第四次摘得全球运行速度最快的超级计算机桂冠 .用科学记数法表示 “5.49 亿亿 ” ，记作 ( ) A. 5.4910 18 B. 5.4910 16 C. 5.4910 15 D. 5.4910 14 解 析 ： 将 5.49 亿亿用科学记数法表示为 5.4910 1
3、6. 答案 ： B. 4.(3 分 )如图是由 4 个大小相等的正方形搭成的几何体，其左视图是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： 从正面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形 . 答案 ： C. 5.(3 分 )已知实数 a， b 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是 ( ) A. |a| 1 |b| B. 1 -a b C. 1 |a| b D. -b a -1 解 析 ： 根据实数 a， b 在数轴上的位置，可得 a -1 0 1 b， 1 |a| |b|， 选项 A 错误； 1 -a b， 选项 B 正确； 1 |a| |b|， 选项 C 正确； -b a
4、-1， 选项 D 正确 . 答案 ： A. 6.(3 分 )若点 A(a+1， b-2)在第二象限，则点 B(-a， b+1)在 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 解 析 ： 由 A(a+1， b-2)在第二象限，得 a+1 0， b-2 0. 解得 a -1， b 2. 由不等式的性质，得 -a 1， b+1 3， 点 B(-a， b+1)在第一象限 . 答案 ： A. 7.(3 分 )下列运算正确的是 ( ) A. (-3mn)2=-6m2n2 B. 4x4+2x4+x4=6x4 C. (xy)2( -xy)=-xy D. (a-b)(-a-b)=a2
5、-b2 解 析 ： A、 (-3mn)2=9m2n2，故错误； B、 4x4+2x4+x4=7x4，故错误； C、正确； D、 (a-b)(-a-b)=-(a2-b2)=b2-a2，故错误 . 答案 ： C. 8.(3 分 )若用一张直径为 20cm 的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，则所得圆锥的高为 ( ) A. 53cm B. 55cm C. 552cm D. 10cm 解 析 ： 设这个圆锥的底面半径为 r， 根据题意得 2r= 180 10180，解得 r=5， 所以这个圆锥的高 = 221 0 5 5 3 (cm). 答案 ： A. 9.(3 分 )如图，已知 AB=AC=
6、AD， CBD=2BDC ， BAC=44 ，则 CAD 的度数为 ( ) A. 68 B. 88 C. 90 D. 112 解 析 ： 如图， AB=AC=AD ， 点 B、 C、 D 在以点 A 为圆心， 以 AB 的长为半径的圆上； CBD=2BDC ， CAD=2CBD ， BAC=2BDC ， CAD=2BAC ，而 BAC=44 . CAD=88 ， 答案 ： B. 10.(3 分 )甲、乙两布袋装有红、白两种小球，两袋装球总数量相同，两种小球仅颜色不同 .甲袋中，红球个数是白球个数的 2 倍；乙袋中，红球个数是白球个数的 3 倍，将乙袋中的球全部倒入甲袋，随机从甲袋中摸出一个球，
7、摸出红球的概率是 ( ) A. 512B. 712C. 1724D. 25解 析 ： 甲袋中，红球个数是白球个数的 2 倍， 设白球为 4x，则红球为 8x， 两种球共有 12x 个， 乙袋中，红球个数是白球个数的 3 倍，且两袋中球的数量相同， 红球为 9x，白球为 3x， 混合后摸出红球的概率为： 9 8 1724 24xxx . 答案 ： C. 11.(3 分 )如图，已知 ABC 为等边三角形， AB=2，点 D 为边 AB 上一点，过点 D 作 DEAC ，交 BC 于 E 点；过 E 点作 EFDE ，交 AB 的延长线于 F 点 .设 AD=x， DEF 的面积为 y，则能大致反
8、映 y 与 x 函数关系的图象是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： ABC 是等边三角形， B=60 ， DEAB ， EDC=B=60 ， EFDE ， DEF=90 ， F=90 -EDC=30 ； ACB=60 ， EDC=60 ， EDC 是等边三角形 . ED=DC=2 -x， DEF=90 ， F=30 ， EF= 3 ED= 3 (2-x). y= 12EDEF= 12(2-x) 3 (2-x)， 即 y= 32(x-2)2， (x 2). 答案 ： A. 12.(3 分 )如图，正六边形 A1B1C1D1E1F1的边长为 2，正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆
9、与正六边形A1B1C1D1E1F1的各边相切，正六边形 A3B3C3D3E3F3的外接圆与正六边形 A2B2C2D2E2F2的各边相切， 按这样的规律进行下去， A10B10C10D10E10F10 的边长为 ( ) A. 92432 B. 981 32 C. 9812 D. 881 32 解 析 ： 连结 OE1， OD1， OD2，如图， 六边形 A1B1C1D1E1F1为正六边形， E 1OD1=60 ， E 1OD1为等边三角形， 正六边形 A2B2C2D2E2F2的外接圆与正六边形 A1B1C1D1E1F1的各边相切， OD 2E 1D1， OD 2= 32E1D1= 322 ， 正
10、六边形 A2B2C2D2E2F2的边长 = 322 ， 同理可得正六边形 A3B3C3D3E3F3的边长 =( 32)22 ， 则正六边形 A10B10C10D10E10F10的边长 =( 32)92=881 32 . 答案 ： D. 二、填空题 13.(3 分 )计算： 20+(12)-1的值为 _. 解 析 ： 20+(12)-1 =1+2 =3. 答案 ： 3. 14.(3 分 )如图，直线 ab ， 1=110 ， 2=55 ，则 3 的度数为 _. 解 析 ： 如图： 2=5=55 ， 又 ab ， 1=4=100. 4=3+5 ， 3=110 -55=55 . 答案 ： 55. 1
11、5.(3 分 )因式分解： -2x2y+12xy-18y=_. 解 析 ： 原式 =-2y(x2-6x+9) =-2y(x-3)2. 答案 ： -2y(x-3)2. 16.(3 分 )分式方程 11233xxx 的解为 _. 解 析 ： 去分母得： 1-x=-1-2x+6， 解得： x=4， 经检验 x=4 是分式方程的解 . 答案： x=4. 17.(3 分 )如图，点 A、 B 的坐标分别为 (0， 2)， (3， 4)，点 P 为 x 轴上的一点，若点 B 关于直线 AP 的对称点 B 恰好落在 x 轴上，则点 P 的坐标为 _. 解 析 ： 设直线 AB 的解析式为： y=kx+b，
12、把 A(0， 2)， B(3， 4)代入得： 234bkb， 解得： k=23， b=2， 直线 AB 的解析式为： y=23x+2； 点 B 与 B 关于直线 AP 对称， APAB ， 设直线 AP 的解析式为： y=-32x+c， 把点 A(0， 2)代入得： c=2， 直线 AP 的解析式为： y=-32x+2， 当 y=0 时， -32x+2=0， 解得： x=43， 点 P 的坐标为： (43， 0). 答案 ： (43， 0). 18.(3 分 )如图 ， ， ，用一种大小相等的正多边形密铺成一个 “ 环 ” ，我们称之为环形密铺 .但图 ， 不是我们所说的环形密铺 .请你再写出
13、一种可以进行环形密铺的正多边形：_. 解 析 ： 正十二边形的外角是 36012=30 ， 302=60 是正三角形， 正十二边形可以进行环形密铺 . 答案 ： 正十二边形 . 三、计算题 19.(7 分 )先化简，再求值：21 1 4 21 1 1xx x x ，其中 x=-2+ 3 . 解 析 ： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案 ： 原式 =221 1 4 211x x xxx 222 4 211xxx 22211 4 2xxx 222x 12 x 当 x=-2+ 3 时，原式 = 1 1 3332 2 3 . 20.(8 分 )某学校为了
14、推动球类运动的普及，成立多个球类运动社团，为此，学生会采取抽样调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个项目调查了若干名学生的兴趣爱好 (要求每位同学只能选择其中一种自己喜欢的球类运动 )，并将调查结果绘制成了如下条形统计图和扇形统计图 (不完整 ).请你根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)本次抽样调查，共调查了 _名学生； (2)请将条形统计图和扇形统计图补充完整； (3)若该学校共有学生 1800 人，根据以上数据分析，试估计选择排球运动的同学约有多少人？ 解 析 ： (1)根据喜欢足球的人数与所占的百分比列式计算即可求出调查的学生总人数； (2)分别计算出乒乓球、篮球的人数、篮球所
15、占的百分比、排球所占的百分比，即可补全统计图； (3)用 1800 选择排球运动的百分比，即可解答 . 答案 ： (1)10025%=400( 人 )， 本次抽样调查，共调查了 400 名学生； 故答案为： 400. (2)乒乓球的人数： 40040%=160( 人 )，篮球的人数： 400-100-160-40=100(人 )， 篮球所占的百分比为： 100400100% =25%，排球所占的百分比为： 40400100%=10% ， 如图所示： (3)180010%=180( 人 )， 若该学校共有学生 1800 人，根据以上数据分析，试估计选择排球运动的同学约有 180 人 . 21.(
16、9 分 )为绿化校园，某校计划购进 A、 B 两种树苗，共 21 课 .已知 A 种 树苗每棵 90 元， B种树苗每棵 70 元 .设购买 B 种树苗 x 棵，购买两种树苗所需费用为 y元 . (1)y 与 x 的函数关系式为： _； (2)若购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用 . 解 析 ： (1)根据购买两种树苗所需费用 =A 种树苗费用 +B 种树苗费用，即可解答； (2)根据购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量，列出不等式，确定 x 的取值范围，再根据 (1)得出的 y 与 x 之间的函数关系式，利用一次函数的增减性结
17、合自变量的取值即可得出更合算的方案 . 答案 ： (1)y=90(21-x)+70x=-20x+1890， 故答案为： y=-20x+1890. (2) 购买 B 种树苗的数量少于 A 种树苗的数量， x 21-x， 解得： x 10.5， 又 x1 ， x 的取值范围为： 1x10 ，且 x 为整数， y= -20x+1890， k=-20 0， y 随 x 的增大而减小， 当 x=10 时， y 有最小值，最小值为： -2010+1890=1690 ， 使费用最省的方案是购买 B 种树苗 10 棵， A 种树苗 11 棵，所需费用为 1690 元 . 22.(9 分 )如图，在 ABC 中
18、， AB=AC，以 AC 为直径的 O 交 AB 于点 D，交 BC于点 E. (1)求证： BE=CE； (2)若 BD=2， BE=3，求 AC 的长 . 解 析 ： (1)连结 AE，如图，根据圆周角定理，由 AC 为 O 的直径得到 AEC=90 ，然后利用等腰三角形的性质即可得到 BE=CE； (2)连结 DE，如图，证明 BEDBAC ，然后利用相似比可计算出 AB 的长，从而得到 AC 的长 . 答案 ： (1)证明：连结 AE，如图， AC 为 O 的直径， AEC=90 ， AEBC ， 而 AB=AC， BE=CE ； (2)连结 DE，如图， BE=CE=3 ， BC=6
19、 ， BED=BAC ， 而 DBE=CBA ， BEDBAC ， BE BDBA BC，即 326BA， BA=9 ， AC=BA=9. 23.(10 分 ) (1)如图 1，已知 ACB=DCE=90 ， AC=BC=6， CD=CE， AE=3， CAE=45 ，求 AD 的长 . (2)如图 2，已知 ACB=DCE=90 ， ABC=CED=CAE=30 ， AC=3， AE=8，求 AD 的长 . 解 析 ： (1)连接 BE，证明 ACDBCE ，得到 AD=BE，在 RtBAE 中， AB=6 2 ， AE=3，求出 BE，得到答案； (2)连接 BE，证明 ACDBCE ，得
20、到 33A D A CB E B C，求出 BE 的长，得到 AD 的长 . 答案 ： (1)如图 1，连接 BE， ACB=DCE=90 ， ACB+ACE=DCE+ACE ，即 BCE=ACD ， 又 AC=BC ， DC=EC， 在 ACD 和 BCE 中， A C B CB C E A C DD C E C ， ACDBCE ， AD=BE ， AC=BC=6 ， AB=6 2 ， BAC=CAE=45 ， BAE=90 ， 在 RtBAE 中， AB=6 2 ， AE=3， BE=9 ， AD=9 ； (2)如图 2，连接 BE， 在 RtACB 中， ABC=CED=30 ， ta
21、n30= 33ACBC， ACB=DCE=90 ， BCE=ACD ， ACDBCE ， 33A D A CB E B C， BAC=60 ， CAE=30 ， BAE=90 ，又 AB=6， AE=8， BE=10 ， AD= 1033. 24.(11 分 )如图 1，直线 y=k1x 与反比例函数 y=kx(k0) 的图象交于点 A， B，直线 y=k2x 与反比例函数 y=kx的图象交于点 C， D，且 k1k 20 ， k1k 2，顺次连接 A， D， B， C， AD， BC分别交 x 轴于点 F， H，交 y 轴于点 E， G，连接 FG， EH. (1)四边形 ADBC 的形状是
22、 _； (2)如图 2，若点 A 的坐标为 (2， 4)，四边形 AEHC 是正方形，则 k2=_； (3)如图 3，若四边形 EFGH 为正方形，点 A 的坐标为 (2， 6)，求点 C 的坐标； (4)判断：随着 k1、 k2取值的变化，四边形 ADBC 能否为正方形？若能，求点 A 的坐标；若不能，请简要说明理由 . 解 析 ： (1)直接根据正比例函数与反比例函数的性质即可得出结论； (2)过点 A 作 AMy 轴，垂足为 M，过点 C 作 CNx 轴，垂足为 N，根据四边形 AEHC是正方形可知 OA=OC，故可得出 OAMOCN ， AM=CN，由此可得出 C 点坐标，由此可得出
23、C 点坐标，利用待定系数法求出 k2的值即可； (3)过点 A 作 AMy 轴，垂足为 M，过点 C 作 CNx 轴，垂足为 N，根据四边形 EFGH为正方形可得出 AM=AE.CN=HN.由点 A(2， 6)得出 AM=ME=2， OM=6，设 CN=HN=m，则点 C 的坐标为 (4+m，m).根据反比例函数 y=kx的图象过点 C 和点 A(2， 6)可得出 m 的值，进而可得出结论； (4)根据反比例函数 y=kx(k0) 的图象不能与坐标轴相交可知 AOC 90 ，故四边形 ADBC的对角线不能互相垂直 ，由此可得出结论 . 答案 ： (1) 正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对
24、称， OA=OB ， OC=OD， 四边形 ADBC 是平行四边形 . 故答案为：平行四边形； (2)如图 1，过点 A 作 AMy 轴，垂足为 M，过点 C作 CNx 轴，垂足为 N， 四边形 AEHC 是正方形， DAAC ， 四边形 ADBC 是矩形， OA=OC. AM=CN ， C(4 ， 2)， 2=4k 2，解得 k2=12. 故答案为； 12； (3)如图 2 所示，过点 A 作 AMy 轴，垂足为 M，过点 C 作 CNx 轴，垂足为 N， 四边形 EFGH 为正方形， FEO=45 ， EO=HO， AEM=45. AME=90 ， EAM=AEM=45. AM=EM. 同
25、理， CN=HN. 点 A(2， 6)， AM=ME=2 ， OM=6， OE=OH=4. 设 CN=HN=m，则点 C 的坐标为 (4+m， m). 反比例函数 y=kx的图象过点 C 和点 A(2， 6)， m(4+m)=12 ，解得 m1=2， m2=-6(舍去 )； 当 m=2 时， m+4=6， 点 C 的坐标为 (6， 2)； (4)不能 . 反比例函数 y=kx(k0) 的图象不能与坐标轴相交， AOC 90 ， 四边形 ADBC 的对角线不能互相垂直， 四边形 ADBC 不能是正方形 . 25.(12 分 )已知：抛物线 l1： y=-x2+bx+3 交 x 轴于点 A， B，
26、 (点 A 在点 B 的左侧 )，交 y 轴于点 C，其对称轴为 x=1，抛物线 l2经过点 A，与 x 轴的另一个交点为 E(5， 0)，交 y轴于点D(0， -52). (1)求抛物线 l2的函数表达式； (2)P 为直线 x=1 上一动点，连接 PA， PC，当 PA=PC 时，求点 P的坐标； (3)M 为抛物线 l2上一动点，过点 M 作直线 MNy 轴，交抛物线 l1于点 N，求点 M自点 A运动至点 E 的过程中，线段 MN 长度的最大值 . 解 析 ： (1)由对称轴可求得 b，可求得 l1的解析式，令 y=0 可求得 A 点坐标，再利用待定系数法可求得 l2的表达式； (2)
27、设 P 点坐标为 (1， y)，由勾股定理可表示出 PC2和 PA2，由条件可得到关于 y 的方程可求得 y， 可求得 P 点坐标； (3)可分别设出 M、 N 的坐标，可表示出 MN，再根据函数的性质可求得 MN 的最大值 . 答案 ： (1) 抛物线 l1： y=-x2+bx+3 的对称轴为 x=1， 12b，解得 b=2， 抛物线 l1的解析式为 y=-x2+2x+3， 令 y=0，可得 -x2+2x+3=0，解得 x=-1 或 x=3， A 点坐标为 (-1， 0)， 抛物线 l2经过点 A、 E 两点， 可设抛物线 l2解析式为 y=a(x+1)(x-5)， 又 抛物线 l2交 y
28、轴于点 D(0， -52)， -52=-5a，解得 a=12， y= 12(x+1)(x-5)=12x2-2x-52， 抛物线 l2的函数表达式为 y=12x2-2x-52； (2)设 P 点坐标为 (1， y)，由 (1)可得 C 点坐标为 (0， 3)， PC 2=12+(y-3)2=y2-6y+10， PA2=1-(-1)2+y2=y2+4， PC=PA ， y 2-6y+10=y2+4，解得 y=1， P 点坐标为 (1， 1)； (3)由题意可设 M(x， 12x2-2x-52)， MNy 轴， N(x ， -x2+2x+3)， 12x2-2x-52令 -x2+2x+3=12x2-2
29、x-52，可解得 x=-1 或 x=113， 当 -1 x 113时， MN=(-x2+2x+3)-( 12x2-2x-52)=-32x2+4x+112=-32(x-43)2+496， 显然 -1 43 113， 当 x=43时， MN 有最大值 496； 当 113 x5 时， MN=(12x2-2x-52)-(-x2+2x+3)=32x2-4x-112=32(x-43)2-496， 显然当 x 43时， MN 随 x 的增大而增大， 当 x=5 时， MN 有最大值， 32(5 -43)2-496=12； 综上可知在点 M 自点 A 运动至点 E 的过程中，线段 MN长度的最大值为 12.
