1、 2015 年山东省日照市中考真题数学 一、选择题（ 1-8 小题每小题 3分， 9-12小题每小题 3 分） 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确 . 答案： D. 2. 4 的算术平方根是（ ） A.2 B.2 C. 2 D. 2 解析： 4 =2， 而 2 的算术平方根是 2 ， 4 的算术平方根是 2 ， 答案： C. 3.计算（ a3） 2的结果是（ ） A.
2、a5 B. a5 C.a6 D. a6 解析：（ a3） 2=a6. 答案： C. 4.某市测得一周 PM2.5 的日均值（单位：微克 /立方米）如下： 31， 30， 34， 35， 36， 34，31，对这组数据下列说法正确的是（ ） A.众数是 35 B.中位数是 34 C.平均数是 35 D.方差是 6 解析： A、 31 和 34 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是 31 和 34，故本选项错误； B、把这组数据从小到大 排列，最中间的数是 34，则中位数是 34，故本选项错正确； C、这组数据的平均数是：（ 31+30+34+35+36+34+31） 7=33 ，故本选项错误
3、； D、这组数据的方差是： 172（ 31 33） 2+（ 30 33） 2+2（ 34 33） 2+（ 35 33） 2+（ 3633） 2= 327，故本选项错误； 答案： B. 5.小红在观察由一些相同小立方块搭成的几何体时，发现它的主视图、俯视图、左视图均为如图，则构成该几何体的小立方块的个数有（ ） A.3 个 B.4 个 C.5 个 D.6 个 解析：从俯视图发现有 3 个立方体，从左视图发现第二层最多有 1 个立方块， 则构成该几何体的小立方块的个数有 4 个； 答案： B. 6.小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件： AB=BC， ABC=90 ， AC=
4、BD， AC BD 中选两个作为补充条件，使 ABCD 为正方形（如图），现有下列四种选法，你认为其中错误的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、 四边形 ABCD 是平行四边形， 当 AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当 ABC=90 时，菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误； B、 四边形 ABCD 是平行四边形， 当 ABC=90 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当 AC=BD 时，这是矩形的性质，无法得出四边形 ABCD 是正方形，故此选项正确； C、 四边形 ABCD 是平行四边形， 当 AB=BC 时，平行四边形 ABCD 是菱形， 当 AC=BD 时，
5、菱形 ABCD 是正方形，故此选项错误； D、 四边形 ABCD 是平行四边形， 当 ABC=90 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 当 AC BD 时，矩形 ABCD 是正方形，故此选项错误 . 答案： B. 7.不等式组 2333122xxx 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 2333122xxx ，由 得， x 1，由 得， x 5， 故 5 x 1. 在数轴上表示为： . 答案： A. 8.如图，等腰直角 ABC 中， AB=AC=8，以 AB 为直径的半圆 O 交斜边 BC 于 D，则阴影部分面积为（结果保留 ）（ ） A.24 4 B.32 4 C
6、.32 8 D.16 解析：连接 AD， OD， 等腰直角 ABC 中， ABD=45. AB 是圆的直径， ADB=90 ， ABD 也是等腰直角三角形， = . AB=8， AD=BD=4 2 ， S 阴影 =S ABC S ABD S 弓形 AD=S ABC S ABD（ S 扇形 AOD 12S ABD） =1288 124 2 4 2 290 4360 +12 12 4 2 4 2 =16 4+8=24 4. 答案： A. 9.某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造， 2014 年县政府已投资 5 亿元人民币，若每年投资的增
7、长率相同，预计 2016 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A.20% B.40% C. 220% D.30% 解析：设每年投资的增长率为 x， 根据题意，得： 5（ 1+x） 2=7.2， 解得： x1=0.2=20%， x2= 2.2（舍去）， 故每年投资的增长率为为 20%. 答案 ： A. 10.如图，在直角 BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC=12BD，连接 AC，若 tanB=53，则 tan CAD 的值（ ） A. 33B. 35C. 13D. 15解析：如图，延长 AD，过点 C 作 CE AD，垂足为 E， tanB=53，即 =53，
8、设 AD=5x，则 AB=3x， CDE= BDA， CED= BAD， CDE BDA， ， CE=32x， DE=52x， AE=152x， tan CAD= =15. 答案： D. 11.观察下列各式及其展开式： （ a+b） 2=a2+2ab+b2 （ a+b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3 （ a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 （ a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 请你猜想（ a+b） 10的展开式第三项的系数是（ ） A.36 B.45 C.55 D.66 解析：（ a+b） 2=a22+2ab+b2； （ a+
9、b） 3=a3+3a2b+3ab2+b3； （ a+b） 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4； （ a+b） 5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5； （ a+b） 6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （ a+b） 7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7； 第 8 个式子系数分别为： 1， 8， 28， 56， 70， 56， 28， 8， 1； 第 9 个式子系数分别为： 1， 9， 36， 84， 126， 126， 84， 36， 9， 1； 第 10 个式
10、子系数分别为： 1， 10， 45， 120， 210， 252， 210， 120， 45， 10， 1， 则（ a+b） 10 的展开式第三项的系数为 45. 答案： B. 12.如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（ a0 ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3），与 x轴的一个交点 B（ 4， 0），直线 y2=mx+n（ m0 ）与抛物线交于 A， B 两点，下列结论： 2a+b=0； abc 0； 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根； 抛物线与 x 轴的另一个交点是（ 1， 0）； 当 1 x 4 时，有 y2 y1， 其中正确的是（ ） A. B. C. D
11、. 解析： 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3）， 抛物线的对称轴为直线 x=2ba=1， 2a+b=0，所以 正确； 抛物线开口向下， a 0， b= 2a 0， 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， c 0， abc 0，所以 错误； 抛物线的顶点坐标 A（ 1， 3）， x=1 时，二次函数有最大值， 方程 ax2+bx+c=3 有两个相等的实数根，所以 正确； 抛物线与 x 轴的一个交点为（ 4， 0） 而抛物线的对称轴为直线 x=1， 抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 2， 0），所以 错误； 抛物线 y1=ax2+bx+c 与直线 y2=mx+n（ m0 ）交于 A（ 1， 3），
12、 B 点（ 4， 0） 当 1 x 4 时， y2 y1，所以 正确 . 答案： C. 二、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 13.若 2-3x（ ） =3 x，则 x 的取值范围是 . 解析： 2-3x（ ） =3 x， 3 x0 ， 解得： x3 ， 答案 ： x3. 14.边长为 1 的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则 ABC 的面积为 . 解析：过点 C 作 CD 和 CE 垂直正方形的两个边长，如图 一个正方形和一个等边三角形的摆放， 四边形 DBEC 是矩形， CE=DB=12， ABC 的面积 =12AB CE=121 12=14， 答案 ： 14. 15.如果 m，
13、 n 是两个不相等的实数，且满足 m2 m=3， n2 n=3，那么代数式 2n2mn+2m+2015= . 解析：由题意可知： m， n 是两个不相等的实数，且满足 m2 m=3， n2 n=3， 所以 m， n 是 x2 x 3=0 的两个不相等的实数根， 则根据根与系数的关系可知： m+n=1， mn= 3， 又 n2=n+3， 则 2n2 mn+2m+2015 =2（ n+3） mn+2m+2015 =2n+6 mn+2m+2015 =2（ m+n） mn+2021 =21 （ 3） +2021 =2+3+2021 =2026. 答案 ： 2026. 16.如图，在平面直角坐标系 xO
14、y 中，四边形 ODEF 和四边形 ABCD 都是正方形，点 F在 x轴的正半轴上，点 C 在边 DE 上，反比例函数 y=kx（ k0 ， x 0）的图象过点 B， E.若 AB=2，则 k 的值为 . 解析：设 E（ x， x）， B（ 2， x+2）， 反比例函数 y= （ k0 ， x 0）的图象过点 B、 E. x2=2（ x+2）， 解得 x1=1+ 5 ， x2=1 5 （舍去）， k=x2=6+2 5 ， 答案 ： 6+2 5 . 三、解答题 17.（ 1） 先化简，再求值：，其中 a= 3 ； （ 2） 已知关于 x， y 的二元一次方程组 的解满足 x+y=0，求实数 m
15、的值 . 分析：（ 1）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a 的值代入进行计算即可； （ 2）先把 m 当作已知条件求出 x、 y 的值，再根据足 x+y=0 求出 m的值即可 . 答案 ：（ 1） 原式 = = =a 1， 当 a= 3 时，原式 = 3 1； （ 2） 解关于 x， y 的二元一次方程组 得 ， x+y=0， 2m 11+7 m=0，解得 m=4. 18.为进一步推广 “ 阳光体育 ” 大课间活动，某中学对已开设的 A 实心球， B 立定跳远， C跑步， D 跳绳四种活动项目的学生喜欢情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成图 1，图 2 的统计图，
16、请结合图中的信息解答下列问题： （ 1）请计算本次调查中喜欢 “ 跑步 ” 的学生人数和所占百分比，并将两个统计图补充完整； （ 2）随机抽取了 5 名喜欢 “ 跑步 ” 的学生，其中有 3 名女生， 2 名男生，现从这 5 名学生中任意抽取 2 名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到同性别学生的概率 . 分析：（ 1）用 A 的人数除以所占的百分比，即可求 出调查的学生数；用抽查的总人数减去 A、B、 D 的人数，求出喜欢 “ 跑步 ” 的学生人数，再除以被调查的学生数，求出所占的百分比，再画图即可； （ 2）用 A 表示男生， B 表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可
17、. 答案 ：（ 1）根据题意得： 1510%=150 （名） . 本项调查中喜欢 “ 跑步 ” 的学生人数是； 150 15 45 30=60（人）， 所占百分比是： 60150100%=40% ， 画图如下： （ 2）用 A 表示男生， B 表示女生，画图如下： 共有 20 种情况，同性别学生的情况是 8 种， 则刚好抽到同性别学生的概率是 820=25. 19.如图 1 所示，某乘客乘高速列车从甲地经过乙地到丙地，列车匀速行驶，图 2 为列车离乙地路程 y（千米）与行驶时间 x（小时）时间的函数关系图象 . （ 1）填空：甲、丙两地距离 千米 . （ 2）求高速列车离乙地的路程 y 与行驶
18、时间 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围 . 分析：（ 1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为： 900+150=1050（千米）； （ 2）分两种情况：当 0x3 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=kx+b，把（ 0， 900），（ 3， 0）代入得到方程组，即可解答；根据确定高速列出的速度为 300（千米 /小时），从而确定点 A 的坐标为（ 3.5， 150），当 3 x3.5 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=k1x+b1，把（ 3， 0），（ 3.5， 150）代入得到方程组，即可解答 . 解析
19、：（ 1）根据函数图形可得，甲、丙两地距离为： 900+150=1050（千米），故答案为： 1050. （ 2）当 0x3 时，设高速列车离乙地的路程 y与行驶时间 x之间的函数关系式为： y=kx+b， 把（ 0， 900），（ 3， 0）代入得： ， 解得： ， y= 300x+900， 高速列出的速度为： 9003=300 （千米 /小时）， 150300=0.5 （小时）， 3+0.5=3.5（小时） 如图 2，点 A 的坐标为（ 3.5， 150） 当 3 x3.5 时，设高速列车离乙地的路程 y 与行驶时间 x 之间的函数关系式为： y=k1x+b1， 把（ 3， 0），（ 3.
20、5， 150）代入得： ， 解得： ， y=300x 900， 20.如图，已知，在 ABC 中， CA=CB， ACB=90 ， E， F 分别是 CA， CB 边的三等分点，将 ECF 绕点 C 逆时针旋转 角（ 0 90 ），得到 MCN，连接 AM， BN. （ 1）求证： AM=BN； （ 2）当 MA CN 时，试求旋转角 的余弦值 . 分析： （ 1）由 CA=CB， E， F 分别是 CA， CB 边的三等分点，得 CE=CF，根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF， ACM= BCN= ，证明 AMC BNC 即可； （ 2）当 MA CN 时， ACN= CAM，由 ACN
21、+ ACM=90 ，得到 CAM+ ACM=90 ，所以 cos=CMAC = . 解析：（ 1） CA=CB， ACB=90 ， E， F 分别是 CA， CB 边的三等分点， CE=CF， 根据旋转的性质， CM=CE=CN=CF， ACM= BCN= ， 在 AMC 和 BNC 中， AMC BNC， AM=BN； （ 2） MA CN， ACN= CAM， ACN+ ACM=90 ， CAM+ ACM=90 ， AMC=90 ， cos= CM CEAC AC=13. 21.阅读资料： 如图 1，在平面之间坐标系 xOy 中， A， B 两点的坐标分别为 A（ x1， y1）， B（
22、x2， y2），由勾股定理得 AB2=|x2 x1|2+|y2 y1|2，所以 A， B两点间的距离为 AB= 我们知道，圆可以看成到圆心距离等于半径的点的集合，如图 2，在平面直角坐标系 xoy 中，A（ x， y）为圆上任意一点，则 A 到原点的距离的平方为 OA2=|x 0|2+|y 0|2，当 O 的半径为 r 时， O 的方程可写为： x2+y2=r2. 问题拓展：如果圆心坐标为 P（ a， b），半径为 r，那么 P 的方程可以写为 . 综合应用： 如图 3， P 与 x 轴相切于原点 O， P 点坐标为（ 0， 6）， A 是 P上一点，连接 OA，使 tan POA=34，作
23、PD OA，垂足为 D，延长 PD 交 x 轴于点 B，连接 AB. 证明 AB 是 P 的切点； 是否存在到四点 O， P， A， B 距离都相等的点 Q？若存在，求 Q 点坐标，并写出以 Q 为圆心，以 OQ 为半径的 O 的方程；若不存在，说明理由 . 解析 ：问题拓展：设 A（ x， y）为 P 上任意一点，则有 AP=r，根据阅读材料中的两点之间距离公式即可求出 P 的方程； 综合应用： 由 PO=PA， PD OA 可得 OPD= APD，从而可证到 POB PAB，则有 POB= PAB.由 P 与 x 轴相切于原点 O 可得 POB=90 ，即可得到 PAB=90 ，由此可得
24、AB 是 P 的切线； 当点 Q在线段 BP中点时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 QO=QP=BQ=AQ.易证 OBP= POA，则有 tan OBP=OPOB=34.由 P 点坐标可求出 OP、 OB.过点 Q作 QH OB 于H，易证 BHQ BOP，根据相似三角形的性质可求出 QH、 BH，进而求出 OH，就可得到点 Q的坐标，然后运用问题拓展中的结论就可解决问题 . 答案 ：问题拓展：设 A（ x， y）为 P 上任意一点， P（ a， b），半径为 r， AP2=（ x a） 2+（ y b） 2=r2. 故答案为（ x a） 2+（ y b） 2=r2； 综合应用：
25、 PO=PA， PD OA， OPD= APD. 在 POB 和 PAB 中， POB PAB， POB= PAB. P 与 x 轴相切于原点 O， POB=90 ， PAB=90 ， AB 是 P 的切线； 存在到四点 O， P， A， B 距离都相等的点 Q. 当点 Q 在线段 BP 中点时， POB= PAB=90 ， QO=QP=BQ=AQ. 此时点 Q 到四点 O， P， A， B 距离都相等 . POB=90 ， OA PB， OBP=90 DOB= POA， tan OBP= =tan POA=34. P 点坐标为（ 0， 6）， OP=6， OB=43OP=8. 过点 Q 作
26、QH OB 于 H，如图 3， 则有 QHB= POB=90 ， QH PO， BHQ BOP， Q H B QBHO P O B B P=12， QH=12OP=3， BH=12OB=4， OH=8 4=4， 点 Q 的坐标为（ 4， 3）， OQ= 22OH QH =5， 以 Q 为圆心，以 OQ 为半径的 O 的方程为（ x 4） 2+（ y 3） 2=25. 22.如图，抛物线 y=12x2+mx+n 与直线 y= 12x+3 交于 A， B 两点，交 x 轴与 D， C 两点，连接 AC， BC，已知 A（ 0， 3）， C（ 3， 0） . （ ）求抛物线的解析式和 tan BAC
27、 的值； （ ）在（ ）条件下： （ 1） P 为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P 作 PQ PA交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在，请求出所有符合条件的点 P的坐标；若不存在，请说明理由 . （ 2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒 2 个单位的速度运动到 A 后停止，当点 E的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？ 解析 ：（ ）只需把 A、 C 两点的坐标代入 y=12x2+mx+
28、n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线 AB与抛物线的交点 B的坐标，过点 B作 BH x轴于 H，如图 1.易得 BCH= ACO=45 ，BC= 2 ， AC=3 2 ，从而得到 ACB=90 ，然后根据三角函数的定义就可求出 tan BAC 的值； （ ）（ 1）过点 P 作 PG y 轴于 G，则 PGA=90. 设点 P 的横坐标为 x，由 P在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x，易得 APQ= ACB=90. 若点 G 在点 A 的下方， 当 PAQ= CAB 时， PAQ CAB.此时可证得 PGA BCA，根据相似三角形的性质可得 AG=3PG=3x.则有 P（ x， 3
29、 3x），然后把 P（ x， 3 3x）代入抛物线的解析式，就可求出点 P 的坐标 当 PAQ= CBA时， PAQ CBA，同理，可求出点 P 的坐标；若点 G 在点 A 的上方，同理，可求出点 P的坐标；（ 2）过点 E 作 EN y 轴于 N，如图 3.易得 AE= 2 EN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为1DE+2EA=DE+EN.作点 D 关于 AC 的对称点 D ，连接 D E，则有 D E=DE， DC=DC， D CA= DCA=45 ，从而可得 D CD=90 ， DE+EN=D E+EN.根据两点之间线段最短可得：当 D 、 E、 N 三点共线时， DE+EN=D
30、 E+EN 最小 .此时可证到四边形 OCD N 是矩形，从而有 ND =OC=3， ON=D C=DC.然后求出点 D 的坐标，从而得到 OD、 ON、 NE 的值，即可得到点 E 的坐标 . 答案 ：（ ）把 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）代入 y=12x2+mx+n，得 解得： 抛物线的解析式为 y=12x2 52x+3. 联立 ， 解得： 点 B 的坐标为（ 4， 1） . 过点 B 作 BH x 轴于 H，如图 1. C（ 3， 0）， B（ 4， 1）， BH=1， OC=3， OH=4， CH=4 3=1， BH=CH=1. BHC=90 ， BCH=45 ， BC= 2
31、. 同理： ACO=45 ， AC=3 2 ， ACB=180 45 45=90 ， tan BAC=BCAC= 232=13； （ ）（ 1）存在点 P，使得以 A， P， Q 为顶点的三角形与 ACB 相似 . 过点 P 作 PG y 轴于 G，则 PGA=90. 设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x 0，则 PG=x. PQ PA， ACB=90 ， APQ= ACB=90. 若点 G 在点 A 的下方， 如图 2 ， 当 PAQ= CAB 时，则 PAQ CAB. PGA= ACB=90 ， PAQ= CAB， PGA BCA， = =13. AG=3PG=3x.
32、则 P（ x， 3 3x） . 把 P（ x， 3 3x）代入 y=12x2 52x+3，得 12 x252 x+3=3 3x， 整理得： x2+x=0 解得： x1=0（舍去）， x2= 1（舍去） . 如图 2 ， 当 PAQ= CBA 时，则 PAQ CBA. 同理可得： AG=13PG=13x，则 P（ x， 3 13x）， 把 P（ x， 3 13x）代入 y=12x2 52x+3，得 12 x252 x+3=3 13 x， 整理得： x2 133x=0 解得： x1=0（舍去）， x2=133， P（ 133， 149）； 若点 G 在点 A 的上方， 当 PAQ= CAB 时，则
33、 PAQ CAB， 同理可得：点 P 的坐标为（ 11， 36） . 当 PAQ= CBA 时，则 PAQ CBA. 同理可得：点 P 的坐标为 P（ 173， 449） . 综上所述：满足条件的点 P 的坐标为（ 11， 36）、（ 133， 149）、（ 173， 449）； （ 2）过点 E 作 EN y 轴于 N，如图 3. 在 Rt ANE 中， EN=AE sin45= 22AE，即 AE= 2 EN， 点 M 在整个运动中所用的时间为1DE+2EA=DE+EN. 作点 D 关于 AC 的对称点 D ，连接 D E， 则有 D E=DE， D C=DC， D CA= DCA=45 ， D CD=90 ， DE+EN=D E+EN. 根据两点之间线段最短可得： 当 D 、 E、 N 三点共线时， DE+EN=D E+EN 最小 . 此时， D CD= D NO= NOC=90 ， 四边形 OCD N 是矩形， ND =OC=3， ON=D C=DC. 对于 y=12x2 52x+3， 当 y=0 时，有 12x2 52x+3=0， 解得： x1=2， x2=3. D（ 2， 0）， OD=2， ON=DC=OC OD=3 2=1， NE=AN=AO ON=3 1=2， 点 E 的坐标为（ 2， 1） .
