1、 2015 年山东省枣庄市中考 真题 数学 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把遮光器的选项选择出来，每小题选对得 3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分。 1.下列各式，计算正确的是（ ） A.（ a+b） 2=a2+b2 B.aa2=a3 C.a8a2=a4 D.a3+a2=a5 解析： A、左边 =a2+b2+2ab右边，故本选项错误； B、左边 =a3=右边，故本选项正确； C、左边 =a8 2+a6右边，故本选项错误； D、 a3 与 a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误 . 答案： B. 2.如图，把一块含有 45的直角三角形
2、的两个顶点放在直尺的对边上 .如果 1=20，那么 2的度数是（ ） A.15 B.20 C.25 D.30 解析： 直尺的两边平行， 1=20， 3= 1=20， 2=45 20=25. 答案 ： C. 3.如图是由 6 个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 解析： 由 6 个相同的小正方体组成的几何体，那么这个几何体的俯视图是 . 答案 ： D. 4.实数 a， b， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A.ac bc B.|a b|=a b C. a b c D. a c b c 解析： 由图可知， a b 0 c，
3、A、 ac bc，故 A选项错误； B、 a b， a b 0， |a b|=b a，故 B选项错误； C、 a b 0， a b，故 C 选项错误； D、 a b， c 0， a c b c，故 D 选项正确 . 答案 ： D. 5.已知直线 y=kx+b，若 k+b= 5， kb=5，那该直线不经过的象限是（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： k+b= 5， kb=5， k 0， b 0， 直线 y=kx+b 经过二、三、四象限，即不经过第一象限 . 答案 ： A. 6.关于 x 的分式方程 的解为正数，则字母 a 的取值范围为（ ） A.a 1 B.a
4、1 C.a 1 D.a 1 解析： 分式方程去分母得： 2x a=x+1， 解得： x=a+1， 根据题意得： a+1 0 且 a+1+10， 解得： a 1 且 a 2. 即字母 a 的取值范围为 a 1. 答案 ： B. 7.如图，边长为 a， b 的矩形的周长为 14，面积为 10，则 a2b+ab2的值为（ ） A.140 B.70 C.35 D.24 解析： 根据题意得： a+b= =7， ab=10， a2b+ab2=ab（ a+b） =107=70； 答案 ： B. 8.已知关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1= 2， x2=4，则 m+n 的值
5、是（ ） A. 10 B.10 C. 6 D.2 解析： 关于 x 的一元二次方程 x2+mx+n=0 的两个实数根分别为 x1= 2， x2=4， 2+4= m， 24=n， 解得： m= 2， n= 8， m+n= 10， 答案： A. 9.如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A逆时针旋转 45后得到正方形 AB1C1D1，边 B1C1与 CD 交于点 O，则四边形 AB1OD 的面积是（ ） A. B. C. D. 1 解析： 连接 AC1， 四边形 AB1C1D1 是正方形， C1AB1= 90=45= AC1B1， 边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A逆时针旋转 45后得
6、到正方形 AB1C1D1， B1AB=45， DAB1=90 45=45， AC1 过 D 点，即 A、 D、 C1 三点共线， 正方形 ABCD 的边长是 1， 四边形 AB1C1D1 的边长是 1， 在 RtC1D1A中，由勾股定理得： 则 DC1= 1， AC1B1=45， C1DO=90， C1OD=45= DC1O， DC1=OD= 1， SADO= ODAD= ， 四边形 AB1OD 的面积是 =2 = 1， 答案 ： D. 10.如图，在 44 的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形） .若再作一个格点正方形，并涂上阴
7、影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（ ） A.2 种 B.3 种 C.4 种 D.5 种 解析： 如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形， 则这个格点正方形的作法共有 4 种 . 答案 ： C. 11.如图，一个边长为 4cm的等边三角形 ABC的高与 O的直径相等 . O与 BC相切于点 C，与 AC 相交于点 E，则 CE 的长为（ ） A.4cm B.3cm C.2cm D.1.5cm 解析： 连接 OC，并过点 O 作 OF CE 于 F， ABC 为等边三角形，边长为 4cm， ABC 的高为 2 cm
8、， OC= cm， 又 ACB=60， OCF=30， 在 RtOFC 中，可得 FC= cm， 即 CE=2FC=3cm. 答案： B. 12.如图是二次函数 y=ax2+bx+c（ a0）图象的一部分，对称轴为 x= ，且经过点（ 2， 0），有下列说法： abc 0； a+b=0； 4a+2b+c 0； 若（ 0， y1），（ 1， y2）是抛物线上的两点，则 y1=y2.上述说法正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 二次函数的图象开口向下， a 0， 二次函数的图象交 y 轴的正半轴于一点， c 0， 对称轴是直线 x= ， ， b= a 0， abc 0. 故 正确； 由
9、中知 b= a， a+b=0， 故 正确； 把 x=2 代入 y=ax2+bx+c 得： y=4a+2b+c， 抛物线经过点（ 2， 0）， 当 x=2 时， y=0，即 4a+2b+c=0. 故 错误； （ 0， y1）关于直线 x= 的对称点的坐标是（ 1， y1）， y1=y2. 故 正确； 综上所述，正确的结论是 . 答案 ： A 二、填空题：本大题共 6 小题，满分 24 分，只要求写最后结果，每小题填对得 4分。 13.已知 a， b 满足方程组 ，则 2a+b 的值为 8 . 解析： 解方程组得 ， 所以 2a+b 的值 =8， 答案 ： 8. 14.如图，平面上直线 a， b
10、分别经过线段 OK 两端点（数据如图），则 a， b 相交所成的锐角是 30 . 解析： 由三角形的外角性质得， a， b 相交所成的锐角的度数是 100 70=30. 答案 ： 30. 15.如图， ABC 中， CD AB于 D， E 是 AC 的中点 .若 AD=6， DE=5，则 CD 的长等于 8 . 解析： 如图， ABC 中， CD AB 于 D， E 是 AC 的中点， DE=5， DE= AC=5， AC=10. 在直角 ACD 中， ADC=90， AD=6， AC=10，则根据勾股定理，得 CD= = =8. 答案 ： 8. 16.在一个不透明的盒子中有 12 个白球，若
11、干个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球是黄球的概率是 ，则黄球的个数 6 . 解析： 设黄球的个数为 x 个， 根据题意得 = ，解得 x=6， 所以黄球的个数为 6 个 . 答案 :6. 17.如图，直线 y=2x+4 与 x， y 轴分别交于 A， B两点，以 OB为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC，将点 C 向左平移，使其对应点 C 恰好落在直线 AB上，则点 C 的坐标为 （1， 2） . 解析： 直线 y=2x+4 与 y 轴交于 B点， x=0 时， 得 y=4， B（ 0， 4） . 以 OB为边在 y 轴右侧作等边三角形 OBC， C 在线段 OB的
12、垂直平分线上， C 点纵坐标为 2. 将 y=2 代入 y=2x+4，得 2=2x+4， 解得 x= 1. 答案 ：（ 1， 2） . 18.如图，在平面直角坐标系中，点 A（ 0， 4）， B（ 3， 0），连接 AB，将 AOB沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 x 轴上的点 A 处，折痕所在的直线交 y 轴正半轴于点 C，则直线BC 的解析式为 y= x+ . 解析 ： A（ 0， 4）， B（ 3， 0）， OA=4， OB=3， 在 RtOAB中， AB= =5， AOB沿过点 B的直线折叠，使点 A落在 x 轴上的点 A 处， BA =BA=5， CA =CA， OA =BA OB
13、=5 3=2， 设 OC=t，则 CA=CA =4 t， 在 RtOA C 中， OC2+OA 2=CA 2， t2+22=（ 4 t） 2，解得 t= ， C 点坐标为（ 0， ）， 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b， 把 B（ 3， 0）、 C（ 0， ）代入得 ，解得 ， 直线 BC 的解析式为 y= x+ . 答案 ： y= x+ . 三、解答题：本大题共 7小题，满分 60 分。解答时，要写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤。 19.先化简，再求值： ，其中 x 满足 x2 4x+3=0. 分析： 通分相加，因式分解后将除法转化为乘法，再将方程的解代入化简后的分式解答 . 答
14、案： 原式 = 解方程 x2 4x+3=0 得， （ x 1）（ x 3） =0， x1=1， x2=3. 当 x=1 时，原式无意义；当 x=3 时，原式 = = . 20.已知： ABC 在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（ 0， 3）、 B（ 3， 4）、 C（ 2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） . （ 1）画出 ABC 向下平移 4 个单位长度得到的 A1B1C1，点 C1 的坐标是 （ 2， 2） ； （ 2）以点 B为位似中心，在网格内画出 A2B2C2，使 A2B2C2 与 ABC 位似，且位似比为2： 1，点 C2 的坐标是 （ 1， 0） ；
15、（ 3） A2B2C2 的面积是 10 平方单位 . 分析： （ 1）利用平移的性质得出平移后图象进而得出答案； （ 2）利用位似图形的性质得出对应点位置即可； （ 3）利用等腰直角三角形的性质得出 A2B2C2 的面积 . 答案 ： （ 1）如图所示： C1（ 2， 2）； 故答案为：（ 2， 2）； （ 2）如图所示： C2（ 1， 0）； 故答案为：（ 1， 0）； （ 3） A2C22=20， B2C =20， A2B2 =40， A2B2C2 是等腰直角三角形， A2B2C2 的面积是： 20=10 平方单位 . 故答案为： 10. 21.在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼，小明
16、在全校随机抽取一部分同学就 “我最喜爱的体育项目 ”进行了一次抽样调查 .下面是他通过收集的数据绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）小明共抽取 50 名学生； （ 2）补全条形统计图； （ 3）在扇形统计图中， “立定跳远 ”部分对应的圆心角的度数是 115.2 ； （ 4）若全校共有 2130 名学生，请你估算 “其他 ”部分的叙述人数 . 分析： （ 1）画出统计图，根据跳绳的人数除以占的百分比即可得出抽取的学生总数； （ 2）根据总学生数，求出踢毽子与其中的人数，补全条形统计图即可； （ 3）根据立定跳远占的百分比乘以 360 即可得到结果； （ 4
17、）由其他占的百分比，乘以 2130 即可得到结果 . 答案 ： （ 1）根据题意得： 1530%=50（名）， 则小明共抽取 50 名学生； （ 2）根据题意得：踢毽子人数为 5018%=9（名），其他人数为 50（ 1 30% 18% 32%）=10（名）， 补全条形统计图，如图所示： ； （ 3）根据题意得： 360 32%=115.2， 则 “立定跳远 ”部分对应的圆心角的度数是 115.2； （ 4）根据题意得 “其他 ”部分的学生有 213020%=426（名） . 故答案为：（ 1） 50；（ 3） 115.2 22.如图，一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y= （ x 0）的
18、图象交于 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点 . （ 1）求一次函数的 解析 式； （ 2）根据图象直接写出使 kx+b 成立的 x 的取值范围； （ 3）求 AOB的面积 . 分析： （ 1）先把 A、 B点坐标代入 y= 求出 m、 n 的值；然后将其分别代入一次函数 答案 式，列出关于系数 k、 b 的方程组，通过解方程组求得它们的值即可； （ 2）根据图象可以直接写出答案； （ 3）分别过点 A、 B作 AE x 轴， BC x 轴，垂足分别是 E、 C 点 .直线 AB 交 x 轴于 D点 .SAOB=SAOD SBOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果 . 答案 ： （ 1
19、） 点 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点在反比例函数 y= （ x 0）的图象上， m=1， n=2， 即 A（ 1， 6）， B（ 3， 2） . 又 点 A（ m， 6）， B（ 3， n）两点在一次函数 y=kx+b 的图象上， . 解得 ， 则该一次函数的 解析 式为： y= 2x+3； （ 2）根据图象可知使 kx+b 成立的 x 的取值范围是 0 x 1 或 x 2； （ 3）分别过点 A、 B作 AE x 轴， BC x 轴，垂足分别是 E、 C 点 .直线 AB 交 x 轴于 D 点 . 令 2x+8=0，得 x=4，即 D（ 4， 0） . A（ 1， 6）， B（
20、3， 2）， AE=6， BC=2， SAOB=SAOD SBOD= 46 42=8. 23.如图， ABCD 中， BD AD， A=45， E、 F 分别是 AB， CD 上的点，且 BE=DF，连接 EF 交 BD 于 O. （ 1）求证： BO=DO； （ 2）若 EF AB，延长 EF 交 AD 的延长线于 G，当 FG=1 时，求 AD 的长 . 分析： （ 1）通过证明 ODF 与 OBE 全等即可求得 . （ 2）由 ADB是等腰直角三角形，得出 A=45，因为 EF AB，得出 G=45，所以 ODG与 DFG 都是等腰直角三角形，从而求得 DG 的长和 EF=2，然后等腰直
21、角三角形的性质即可求得 . 解答： （ 1）证明： 四边形 ABCD 是平行四边形， DC=AB， DC AB， ODF= OBE， 在 ODF 与 OBE 中 ODF OBE（ AAS） BO=DO； （ 2）解： BD AD， ADB=90， A=45， DBA= A=45， EF AB， G= A=45， ODG 是等腰直角三角形， AB CD， EF AB， DF OG， OF=FG， DFG 是等腰直角三角形， ODF OBE（ AAS） OE=OF， GF=OF=OE， 即 2FG=EF， DFG 是等腰直角三角形， DF=FG=1， DG= =DO， 在等腰 RTADB 中， D
22、B=2DO=2 =AD AD=2 ， 24.如图，在 ABC 中， ABC=90，以 AB的中点 O 为圆心、 OA 为半径的圆交 AC 于点 D，E 是 BC 的中点，连接 DE， OE. （ 1）判断 DE 与 O 的位置关系，并说明理由； （ 2）求证： BC2=CD2OE； （ 3）若 cos BAD= ， BE=6，求 OE 的长 . 分析： （ 1）连接 OD， BD，由 AB 为圆 O 的直径，得到 ADB为直角，可得出三角形BCD为直角三角形， E为斜边 BC的中点，利用斜边上的中线等于斜边的一半，得到 CE=DE，利用等边对等角得到一对角相等，再由 OA=OD，利用等边对等角
23、得到一对角相等，由直角三角形 ABC 中两锐角互余，利用等角的余角相等得到 ADO 与 CDE 互余，可得出 ODE为直角，即 DE 垂直于半径 OD，可得出 DE 为圆 O 的切线； （ 2）证明 OE 是 ABC 的中位线，则 AC=2OE，然后证明 ABC BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得； （ 3）在直角 ABC 中，利用勾股定理求得 AC 的长，根据三角形中位线定理 OE 的长即可求得 . 解答： （ 1）证明：连接 OD， BD， AB 为圆 O 的直径， ADB=90， 在 RtBDC 中， E 为斜边 BC 的中点， CE=DE=BE= BC， C= CDE，
24、OA=OD， A= ADO， ABC=90，即 C+ A=90， ADO+ CDE=90，即 ODE=90， DE OD，又 OD 为圆的半径， DE 为 O 的切线； （ 2）证明： E 是 BC 的中点， O 点是 AB 的中点， OE 是 ABC 的中位线， AC=2OE， C= C， ABC= BDC， ABC BDC， = ，即 BC2=ACCD. BC2=2CDOE； （ 3）解： cos BAD= ， sin BAC= = ， 又 BE=6， E 是 BC 的中点，即 BC=12， AC=15. 又 AC=2OE， OE= AC= . 25.如图，直线 y=x+2 与抛物线 y=
25、ax2+bx+6（ a0）相交于 A（ ， ）和 B（ 4， m），点 P是线段 AB 上异于 A、 B的动点，过点 P 作 PC x 轴于点 D，交抛物线于点 C. （ 1）求抛物线的 解析 式； （ 2）是否存在这样的 P 点，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由； （ 3）求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标 . 分析： （ 1）已知 B（ 4， m）在直线 y=x+2 上，可求得 m 的值，抛物线图象上的 A、 B两点坐标，可将其代入抛物线的 答案 式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值 . （ 2）要弄清 PC 的长，实际是直线 AB 与抛物
26、线函数值的差 .可设出 P 点横坐标，根据直线AB 和抛物线的 答案 式表示出 P、 C 的纵坐标，进而得到关于 PC 与 P 点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出 PC 的最大值 . （ 3）当 PAC 为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解 . 答案 ： （ 1） B（ 4， m）在直线 y=x+2 上， m=4+2=6， B（ 4， 6）， A（ ， ）、 B（ 4， 6）在抛物线 y=ax2+bx+6 上， ，解得 ， 抛物线的 答案 式为 y=2x2 8x+6. （ 2）设动点 P 的坐标为（ n， n+2），则 C 点的坐标为（ n， 2n2
27、 8n+6）， PC=（ n+2）（ 2n2 8n+6）， = 2n2+9n 4， = 2（ n ） 2+ ， PC 0， 当 n= 时，线段 PC 最大且为 . （ 3） PAC 为直角三角形， i）若点 P 为直角顶点，则 APC=90. 由题意易知， PC y 轴， APC=45，因此这种情形不存在； ii）若点 A为直角顶点，则 PAC=90. 如答图 3 1，过点 A（ ， ）作 AN x 轴于点 N，则 ON= ， AN= . 过点 A作 AM 直线 AB，交 x 轴于点 M，则由题意易知， AMN 为等腰直角三角形， MN=AN= ， OM=ON+MN= + =3， M（ 3，
28、0） . 设直线 AM 的 解析 式为： y=kx+b， 则： ，解得 ， 直线 AM 的 解析 式为： y= x+3 又抛物线的 解析 式为： y=2x2 8x+6 联立 式，解得： x=3 或 x= （与点 A重合，舍去） C（ 3， 0），即点 C、 M 点重合 . 当 x=3 时， y=x+2=5， P1（ 3， 5）； iii）若点 C 为直角顶点，则 ACP=90. y=2x2 8x+6=2（ x 2） 2 2， 抛物线的对称轴为直线 x=2. 如答图 3 2，作点 A（ ， ）关于对称轴 x=2 的对称点 C， 则点 C 在抛物线上，且 C（ ， ） . 当 x= 时， y=x+2= . P2（ ， ） . 点 P1（ 3， 5）、 P2（ ， ）均在线段 AB 上， 综上所述， PAC 为直角三角形时，点 P 的坐标为（ 3， 5）或（ ， ） .
