1、 2015 年山东省泰安市中考 真题数学 一、选择题 (本大题共 20 道小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分 ) 1.(3 分 )若 ( )-(-2)=3，则括号内的数是 ( ) A. -1 B. 1 C. 5 D. -5 解 析 ： 根据题意得： 3+(-2)=1， 则 1-(-2)=3. 答案 ： B. 2.(3 分 )下列计算正确的是 ( ) A. a4+a4=a8 B. (a3)4=a7 C. 12a6b43a 2b-2=4a4b2 D. (-a3b)2=a6b2 解 析 ： A、原式
2、=2a4，错误； B、原式 =a12，错误； C、原式 =4a4b6，错误； D、原式 =a6b2，正确 . 答案 ： D. 3.(3 分 )下列四个几何体： 其中左视图与俯视图相同的几何体共有 ( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 解 析 ： 正方体左视图、俯视图都是正方形，左视图与俯视图相同； 球左视图、俯视图都是圆，左视图与俯视图相同； 圆锥左视图、俯视图分别是三角形、有圆心的圆，左视图与俯视图不相同； 圆柱左视图、俯视图分别是长方形、圆，左视图与俯视图不相同； 即同一个几何体的左视图与俯视图相同的几何体共有 2 个 . 答案 ： B. 4.(3 分 )地球的表
3、面积约为 510000000km2，将 510000000 用科学记数法表示为 ( ) A. 0.5110 9 B. 5.110 9 C. 5.110 8 D. 0.5110 7 解 析 ： 510 000 000=5.110 8. 答案 ： C. 5.(3 分 )如图， ABCD ， 1=58 ， FG 平分 EFD ，则 FGB 的度数等于 ( ) A. 122 B. 151 C. 116 D. 97 解 析 ： ABCD ， 1=58 ， EFD=1=58 ， FG 平分 EFD ， GFD= 12EFD= 1258=29 ， ABCD ， FGB=180 -GFD=151. 答案 ：
4、B. 6.(3 分 )如图，在方格纸中，随机选择标有序号 中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是 ( ) A. 15B. 25C. 35D. 45解 析 ： 在方格纸中，随机选择标有序号 中的一个小正方形涂黑，共有 5 种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有 ， 3 种情 况， 使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是： 35= 35. 答案 ： C. 7.(3 分 )小亮的妈妈用 28 元钱买了甲、乙两种水果，甲种水果每千克 4 元，乙种水果每千克 6 元，且乙种水果比甲种水果少买了 2 千克，求小亮妈妈两种水果各买了多少千克？设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，
5、乙种水果 y 千克，则可列方程组为 ( ) A. 4 6 28=2xyxyB. 4 6 28=2yxxyC. 4 6 28=2xyxyD. 4 6 28=2yxxy解 析 ： 设小亮妈妈买了甲种水果 x 千克，乙种水果 y 千克， 由题意得 4 6 28=2xyxy. 答案 ： A. 8.(3 分 )化简： (a+343aa)(1- 12a)的结果等于 ( ) A. a-2 B. a+2 C. 23aaD. 32aa解 析 ： 3 3 4 2132a a a aaa 22 332aa aaa =a+2. 答案 ： B. 9.(3 分 )如图， O 是 ABC 的外接圆， B=60 ， O 的半
6、径为 4，则 AC 的长等于 ( ) A. 4 3 B. 6 3 C. 2 3 D. 8 解 析 ： 连接 OA， OC，过点 O 作 ODAC 于点 D， AOC=2B ，且 AOD=COD= 12AOC ， COD=B=60 ； 在 RtCOD 中， OC=4， COD=60 ， CD= 32OC=2 3 ， AC=2CD=4 3 . 答案 ： A. 10.(3 分 )若十位上的数字比个位上的数字、百位上的数字都大的三位数叫做中高数，如 796就是一个 “ 中高数 ”. 若十位上数字为 7，则从 3、 4、 5、 6、 8、 9 中任选两数，与 7 组成 “ 中高数 ” 的概率是 ( )
7、A. 12B. 23C. 25D. 35解 析 ： 列表得： 共有 30 种等可能的结果，与 7 组成 “ 中高数 ” 的有 12 种情况， 与 7 组成 “ 中高数 ” 的概率是： 12 230 5. 答案 ： C. 11.(3 分 )某单位若干名职工参加普法知识竞赛，将成绩制成如图所示的扇形统计图和条形统计图，根据图中提供的信息，这些职工成绩的中位数和平均数分别是 ( ) A. 94 分， 96 分 B. 96 分， 96 分 C. 94 分， 96.4 分 D. 96 分， 96.4 分 解 析 ： 总人数为 610%=60( 人 )， 则 94 分的有 6020%=12( 人 )， 9
8、8 分的 有 60-6-12-15-9=18(人 )， 第 30 与 31 个数据都是 96 分，这些职工成绩的中位数是 (96+96)2=96 ； 这些职工成绩的平均数是 (926+9412+9615+9818+1009)60 =(552+1128+1440+1764+900)60 =578460 =96.4. 答案 ： D. 12.(3 分 )不等式组 43232655x xx 的整数解的个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 析 ： 43232655x xx ， 解不等式 得， x -32， 解不等式 得， x1 ， 所以，不等式组的解集是 -32 x1 ， 所以，不
9、等式组的整数解有 -1、 0、 1 共 3 个 . 答案 ： C. 13.(3 分 )如图， AD 是 ABC 的角平分线， DEAC ，垂足为 E， BFAC 交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分 ABF ， AE=2BF.给出下列四个结论： DE=DF ； DB=DC ； ADBC ； AC=3BF ，其中正确的结论共有 ( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 解 析 ： BFAC ， C=CBF ， BC 平分 ABF ， ABC=CBF ， C=ABC ， AB=AC ， AD 是 ABC 的角平分线， BD=CD ， ADBC ，故 正确， 在 CD
10、E 与 DBF 中， C C B FC D B DE D C B D F ， CDEDBF ， DE=DF ， CE=BF，故 正确； AE=2BF ， AC=3BF ，故 正确 . 答案 ： A. 14.(3 分 )如图，轮船从 B 处以每小时 60 海里的速度沿南偏东 20 方向匀速航行，在 B 处观测灯塔 A 位于南偏东 50 方向上，轮船航行 40 分钟到达 C 处，在 C 处观测灯塔 A 位于北偏东 10 方向上，则 C 处与灯塔 A 的距离是 ( ) A. 20 海里 B. 40 海里 C. 20 33海里 D. 40 33海里 解 析 ： 如图，作 AMBC 于 M. 由题意得，
11、 DBC=20 ， DBA=50 ， BC=60 4060=40 海里， NCA=10 ， 则 ABC=ABD -CBD=50 -20=30. BDCN ， BCN=DBC=20 ， ACB=ACN+BCN=10+20=30 ， ACB=ABC=30 ， AB=AC ， AMBC 于 M， CM= 12BC=20 海里 . 在直角 ACM 中， AMC=90 ， ACM=30 ， 2 0 4 0 3c o s 332CMACA C M (海里 ). 答案 ： D. 15.(3 分 )如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为 (2， 0)，点 A 在第一象限内，将 OAB
12、 沿直线 OA 的方向平移至 OAB 的位置，此时点 A 的横坐标为 3，则点 B 的坐标为 ( ) A. (4， 2 3 ) B. (3， 3 3 ) C. (4， 3 3 ) D. (3， 2 3 ) 解 析 ： 如图，作 AMx 轴于点 M. 正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为 (2， 0)， OA=OB=2 ， AOB=60 ， OM= 12OA=1， AM= 3 OM= 3 ， A(1 ， 3 )， 直线 OA 的解析式为 y= 3 x， 当 x=3 时， y=3 3 ， A(3 ， 3 3 )， 将点 A 向右平移 2 个单位，再向上平移 2 3 个单位后可得 A ， 将点 B
13、(2， 0)向右平移 2 个单位，再向上平移 2 3 个单位后可得 B ， 点 B 的坐标为 (4， 2 3 ). 答案 ： A. 16.(3 分 )在同一坐标系中，一次函数 y=-mx+n2与二次 函数 y=x2+m 的图象可能是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、由直线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知， n2 0，错误； B、由抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的正半轴上可知， m 0，由直线可知， -m 0，错误； C、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知， m 0，由直线可知， -m 0，错误； D、由抛物线 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上可知， m 0
14、，由直线可知， -m 0， 正确 . 答案 ： D. 17.(3 分 )如图，菱形 ABCD 的边长为 2， A=60 ，以点 B 为圆心的圆与 AD、 DC相切，与AB、 CB 的延长线分别相交于点 E、 F，则图中阴影部分的面积为 ( ) A. 32B. 3 + C. 32D. 232解 析 ： 设 AD 与圆的切点为 G，连接 BG， BGAD ， A=60 ， BGAD ， ABG=30 ， 在直角 ABG 中， 33 2322B G A B ， AG=1， 圆 B 的半径为 3 ， S ABG = 131322 在菱形 ABCD 中， A=60 ，则 ABC=120 ， EBF=12
15、0 ， S 阴影 =2(SABG -S 扇形 ABG)+S 扇形 FBE= 21 2 0 33 3 0 3232 3 6 0 3 6 0 2 . 答案 ： A. 18.(3 分 )下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的： 根据此规律确定 x 的值为 ( ) A. 135 B. 170 C. 209 D. 252 解 析 ： a+(a+2)=20 ， a=9 ， b=a+1 ， b=a+1=9+1=10 ， x=20b+a =2010+9 =200+9 =209 答案 ： C. 19.(3 分 )某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格： 由于粗心，他算错
16、了其中一个 y 值，则这个错误的数值是 ( ) A. -11 B. -2 C. 1 D. -5 解 析 ： 由函数图象关于对称轴对称，得 (-1， -2)， (0， 1)， (1， 2)在函数图象上， 把 (-1， -2)， (0， 1)， (1， -2)代入函数解析式，得 212a b ccabc ， 解得301abc ， 函数解析式为 y=-3x2+1 x=2 时 y=-11. 答案 ： D. 20.(3 分 )如图，矩形 ABCD 中， E是 AD 的中点，将 ABE 沿直线 BE 折叠后得到 GBE ，延长BG 交 CD 于点 F.若 AB=6， BC=4 6 ，则 FD 的长为 (
17、) A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 3 解 析 ： E 是 AD 的中点， AE=DE ， ABE 沿 BE 折叠后得到 GBE ， AE=EG ， AB=BG， ED=EG ， 在矩形 ABCD 中， A=D=90 ， EGF=90 ， 在 RtEDF 和 RtEGF 中， ED EGEF EF， RtEDFRtEGF(HL) ， DF=FG ， 设 DF=x，则 BF=6+x， CF=6-x， 在 RtBCF 中， (4 6 )2+(6-x)2=(6+x)2， 解得 x=4. 答案 ： B. 二、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 3分，共 12分 ) 21.(3 分 )分解因式
18、： 9x3-18x2+9x=_. 解 析 ： 9x3-18x2+9x =9x(x2-2x+1) =9x(x-1)2. 答案 ： 9x(x-1)2. 22.(3 分 )方程： (2x+1)(x-1)=8(9-x)-1 的根为 _. 解 析 ： (2x+1)(x-1)=8(9-x)-1 整理得： 2x2-x-1=72-8x-1 2x2+7x-72=0， 则 (x+8)(2x-9)=0， 解得： x1=-8， x2=92. 答案 ： -8 或 92. 23.(3 分 )如图，在矩形 ABCD 中， M、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， E、 F 分别是线段 BM、 CM的中点 .若 AB=8，
19、 AD=12，则四边形 ENFM 的周长为 _. 解 析 ： M 、 N 分别是边 AD、 BC 的中点， AB=8， AD=12， AM=DM=6 ， 四边形 ABCD 为矩形， A=D=90 ， BM=CM=10 ， E 、 F 分别是线段 BM、 CM 的中点， EM=FM=5 ， EN ， FN 都是 BCM 的中位线， EN=FN=5 ， 四边形 ENFM 的周长为 5+5+5+5=20. 答案 ： 20. 24.(3 分 )如图， AB 是 O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，过 CD 延长线上一点 E 作 O 的切线，切点为 F.若 ACF=65 ，则 E= _. 解 析 ：
20、 连接 DF，连接 AF 交 CE 于 G， AB 是 O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H， ， EF 是 O 的切线， GFE=GFD+DFE=ACF=65 ， FGD=FCD+CFA ， DFE=DCF ， GFD=AFC ， EFG=EGF=65 ， E=180 -EFG -EGF=50 . 答案 ： 50. 三、解答题 (本大题共 5 小题，满分 48分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤 ) 25.(8 分 )某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚 T 恤衫，甲种款型共用了 7800 元，乙种款型共用了 6400 元，甲种款型的件数是乙种款型件数的 1.5 倍，甲种款型每件
21、的进价比乙种款型每件的进价少 30 元 . (1)甲、乙两种款型的 T 恤衫各购进多少件？ (2)商店进价提高 60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批 T 恤衫商店共获利多少元？ 解 析 ： (1)可设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的 T 恤衫购进 1.5x 件，根据甲种款型每件的进价比 乙种款型每件的进价少 30 元，列出方程即可求解； (2)先求出甲款型的利润，乙款型前面销售一半的利润，后面销售一半的亏损，再相加即可求解 . 答案 ： (1)设乙种款型的 T 恤衫购进 x 件，则甲种款型的
22、 T 恤衫购进 1.5x件，依题意有 7 8 0 0 6 4 0 0301 .5 xx ， 解得 x=40， 经检验， x=40 是原方程组的解，且符合题意， 1.5x=60. 答：甲种款型的 T 恤衫购进 60 件，乙种款型的 T 恤衫购进 40件； (2) 6400 160x ， 160-30=130(元 )， 13060%60+16060%(402) -1601 -(1+60%)0.5 (402) =4680+1920-640 =5960(元 ) 答：售完这批 T 恤衫商店共获利 5960 元 . 26.(8 分 )一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=x的图象相交于 A(-1， 4
23、)， B(2， n)两点，直线AB 交 x 轴于点 D. (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)过点 B 作 BCy 轴，垂足为 C，连接 AC 交 x 轴于点 E，求 AED 的面积 S. 解 析 ： (1)把 A(-1， 4)代入反比例函数 y=x可得 m 的值，即确定反比例函数的解析式；再把 B(2， n)代入反比例函数的解析式得到 n 的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式； (2)先由 BCy 轴，垂足为 C 以及 B 点坐标确定 C点坐标，再利用待定系数法求出直线 AC的解析式，进一步求出点 E 的坐标，然后计算得出 AED 的面积 S. 答案 ： (1)把 A(-1
24、， 4)代入反比例函数 y=x得， m=-14= -4， 所以反比例函数的解析式为 y=-4x； 把 B(2， n)代入 y=-4x得， 2n=-4， 解得 n=-2， 所以 B 点坐标为 (2， -2)， 把 A(-1， 4)和 B(2， -2)代入一次函数 y=kx+b 得， 422kbkb ， 解得 22kb， 所以一次函数的解析式为 y=-2x+2； (2)BCy 轴，垂足为 C， B(2， -2)， C 点坐标为 (0， -2). 设直线 AC 的解析式为 y=px+q， A( -1， 4)， C(0， -2)， 42pqq ， 解 62pq， 直线 AC 的解析式为 y=-6x-2
25、， 当 y=0 时， -6x-2=0，解答 x=-13， E 点坐标为 (-13， 0)， 直线 AB 的解析式为 y=-2x+2， 直线 AB 与 x 轴交点 D 的坐标为 (1， 0)， DE=1 -(-13)=43， AED 的面积 S=12 434= 83. 27.(10 分 )如图，在 ABC 中， AB=AC，点 P、 D 分别是 BC、 AC 边上的点，且 APD=B. (1)求证： ACCD=CPBP ； (2)若 AB=10， BC=12，当 PDAB 时，求 BP 的长 . 解 析 ： (1)易证 APD=B=C ，从而可证到 ABPPCD ，即可得到 BP ABCD CP
26、，即ABCD=CPBP ，由 AB=AC 即可得到 ACCD=CPBP ； (2)由 PDAB 可得 APD=BAP ，即可得到 BAP=C ，从而可证到 BAPBCA ，然后运用相似三角形的性质即可求出 BP 的长 . 答案 ： (1)AB=AC ， B=C. APD=B ， APD=B=C. APC=BAP+B ， APC=APD+DPC ， BAP=DPC ， ABPPCD ， BP ABCD CP， ABCD=CPBP. AB=AC ， ACCD=CPBP ； (2)PDAB ， APD=BAP. APD=C ， BAP=C. B=B ， BAPBCA ， BA BPBC BA. AB
27、=10 ， BC=12， 1012 10BP， BP= 253. 28.(10 分 )如图， A BC 是直角三角形，且 ABC=90 ，四边形 BCDE 是平行四边形， E 为 AC中点， BD 平分 ABC ，点 F 在 AB 上，且 BF=BC.求证： (1)DF=AE； (2)DFAC. 解 析 ： (1)延长 DE 交 AB 于点 G，连接 AD.构建全等三角形 AEDDFB(SAS) ，则由该全等三角形的对应边相等证得结论； (2)设 AC 与 FD 交于点 O.利用 (1)中全等三角形的对应角相等，等角的补角相等以及三角形内角和定理得到 EOD=90 ，即 DFAC. 答案 ：
28、(1)延长 DE 交 AB 于点 G，连接 AD. 四边形 BCDE 是平 行四边形， EDBC ， ED=BC. 点 E 是 AC 的中点， ABC=90 ， AG=BG ， DGAB. AD=BD ， BAD=ABD. BD 平分 ABC ， ABD=BAD=45 ，即 BDE=ADE=45. 又 BF=BC， BF=DE. 在 AED 与 DFB 中， A D B DA D E D B FE D F B ， AEDDFB(SAS) ， AE=DF ，即 DF=AE； (2)设 AC 与 FD 交于点 O. 由 (1)知， AEDDFB ， AED=DFB ， DEO=DFG. DFG+F
29、DG=90 ， DOE+EDO=90 ， EOD=90 ，即 DFAC. 29.(12 分 )如图，抛物线 y=ax2+bx+c 为 x 轴的一交点为 A(-6， 0)，与 y 轴的交点为 C(0， 3)，且经过点 G(-2， 3). (1)求抛物线的表达式； (2)点 P是线段 OA上一动点，过 P作平行于 y轴的直线与 AC交于点 Q，设 CPQ 的面积为 S，求 S 的最大值； (3)若点 B是抛物线与 x轴的另一定点，点 D、 M在线段 AB上，点 N在线段 AC上， DCB=CDB ，CD 是 MN 的垂直平 分线，求点 M 的坐标 . 解 析 ： (1)利用待定系数法，把 A、 C
30、、 G 三点坐标代入可求得抛物线解析式； (2)可先求得直线 AC 的解析式，设 P(x， 0)，可表示出 OP、 PQ，则可表示出 S，再结合二次函数的性质可求得 S 的最大值； (3)由条件可求得 BD=BC=5，可求得 D 点坐标，连接 DN，根据条件可证明 DNBC ，可得出 DN为 ABC 的中位线，可求得 DM 的长，则可求得 OM 的长，可求得 M 点的坐标 . 答案 ： (1)把 A、 C、 G 三点坐标代入抛物线解析式可得 0 3 6 633 4 2a b cca b c ，解得18143abc， 抛物线的表达式为 y=-18x2-14x+3； (2)C(0 ， 3)， 可设
31、直线 AC 解析式为 y=kx+3， 把 A 点坐标代入可得 0=-6k+3，解得 k=12， 直线 AC 解析式为 y=12x+3， 设 P 点坐标为 (x， 0)(x 0)，则 Q 点坐标为 (x， 12x+3)， PQ= 12x+3， PO=-x， S= 12PQPO= 12(12x+3)(-x)=-14x2-32x=-14(x+3)+94， CPQ 的面积 S 的最大值为 94； (3)当 y=0 时， -18x2-14x+3=0，解得 x=-6 或 x=4， B 点坐标为 (4， 0)， BC= 2234 =5， CDB=DCB ， BD=BC=5 ， OD=BD -OB=5-4=1， D 点坐标为 (-1， 0)， D 为 AB 中点， 如图，连接 DN，则 DN=DM， NDC=MDC ， NDC=DCB ， DNBC ， D 是 AB 中点， N 是 AC 中点， DN 是 ABC 的中位线， 又 DN=DM=12BC=52， OM=DM -OD=52-1=32， 点 M 坐标为 (32， 0).
