1、 2015 年山东省淄博市中考 真题 数学 一 .选择题（每小题 4 分，四个选项只有一个是正确的） 1.下列计算正确的是（ ） A.a6a3=a3 B.（ a2） 3=a8 C.a2a3=a6 D.a2+a2=a4 解析： A、 a6a3=a3，正确； B、（ a2） 3=a6，错误； C、 a2a3=a5，错误； D、 a2+a2=2a2，错误； 答案： A 2.如图，是由四个相同的正方体组合而成的两个几何体，则下列表述正确的是（ ） A.图甲的主视图与图乙的左视图形状相同 B.图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同 C.图甲的俯视图与图乙的俯视图形状相同 D.图甲的主视图与图乙的主视图形状相
2、同 解析：图甲的三视图如下： 图乙的三视图如下： 因此图甲的左视图与图乙的俯视图形状相同， 答案： B. 3.如图，四条直线 a， b， c， d.其中 a b， 1=30， 2=75，则 3 等于（ ） A.30 B.40 C.45 D.75 解析： ： a b， 1=30， 2=75， 4= 1=30， 3= 2- 4=75 -30 =45 4.在直角坐标系中，点 B 的坐标为（ 3， 1），则点 B 关于原点成中心对称的点的坐标为（ ）A.（ 3， 1） B.（ 3， 1） C.（ 1， 3） D.（ 3， 1） 解析： 平面直角坐标系中任意一点 P（ x， y），关于原点的对称点是（
3、-x， -y） 点（ 3， 1）关于原点中心对称的点的坐标是（ -3， -1） 5.如图，在 RtABC 中， BAC=90， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， DE 是 BC 的垂直平分线，点 E 是垂足，已知 DC=5， AD=3，则图中长为 4 的线段有（ ） A.4 条 B.3 条 C.2 条 D.1 条 解析 ： BAC=90， ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D， DE 是 BC 的垂直平分线，点 E 是垂足， AD=DE=3， BE=EC， DC=5， AD=3， BE=EC=4， 在 ABD 和 EBD 中 ABD EBD（ AAS）， AB=BE=4， 图
4、中长为 4的线段有 3条 6.下列调查，样本具有代表性的是（ ） A.了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查 B.了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查 C.了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查 D.了解观众对所看电影的评价情况，对座号是奇数号的观众进行调查 解析： A、了解全校同学对课程的喜欢情况，对某班男同学进行调查，不具代表性、广泛性，故 A 错误； B、了解某小区居民的防火意识，对你们班同学进行调查，调查不具代表性、广泛性，故 B错误； C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，调查不具有代表性，故 C 错误； D、了解观众对所看电影的评价情况，对座号 是奇
5、数号的观众进行调查，调查具有代表性、广泛性，故 D 正确； 7.一次函数 y=3x+b 和 y=ax 3 的图象如图所示，其交点为 P（ 2， 5），则不等式 3x+b ax 3 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 解析： 从图象得到，当 x=-2 时， y=3x+b 的图象对应的点在函数 y=ax-3 的图象上面， 不等式 3x+b ax-3 的解集为 x -2 8.如图，在平行四边形 ABCD 中， B=60，将 ABC 沿对角线 AC 折叠，点 B 的对应点落在点 E 处，且点 B， A， E 在一条直线上， CE 交 AD 于点 F，则图中等边三角形共有（ ） A
6、.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 解析： 将 ABC 沿对角线 AC 折叠，点 B 的对应点落在点 E 处， E= B=60， BEC 是等边三角形， 四边形 ABCD 是平行四边形， AD BC， D= B=60， B= EAF=60， EFA 是等边三角形， EFA= DFC=60， D= B=60， DFC 是等边三角形， 图中等边三角形共有 3 个 . 9.若 a 满足不等式组 则关于 x 的方程（ a 2） x2（ 2a 1） x+a+ =0 的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.以上三种情况都有可能 解析： 解不等式组
7、 得 a -3， 10.如图，在正方形 ABCD 的每个顶点上写一个数，把这个正方形每条边的两端点上的数加起来，将和写在这条边上，已知 AB 上的数是 3， BC 上的数是 7， CD 上的数是 12，则 AD 上的数是（ ） A.2 B.7 C.8 D.15 解析： 设 A 端点数为 x， B 点为 y，则 C 点为： 7-y， D 点为： z， 根据题意可得： x+y=3， C 点为： 7-y，故 z+7-y=12， 故 +得： x+y+z+7-y=12+3， 故 x+z=8， 即 AD 上的数是： 8 11.如图，在一张矩形纸片的一端，将折出的一个正方形展平后，又折成了两个相等的矩形，再
8、把纸片展平，折出小矩形的对角线，并将小矩形的对角线折到原矩形的长边上，设 MN的长为 2，在下面给出的三种折叠中能得到长为（ 1）线段的有（ ） A.0 种 B.1 种 C.2 种 D.3 种 12.从 1 开始得到如下的一列数： 1， 2， 4， 8， 16， 22， 24， 28， 其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于 100 的个数为（ ） A.21 B.22 C.23 D.99 解析： 由题意知： 1， 2， 4， 8， 16， 22， 24， 28， 由此可知，每 4 个数一组， 后面依次为 36， 42， 44， 48， 56， 62， 64， 68， 76
9、， 82， 84， 88， 96， 故小于 100 的个数为： 21 个 . 二 .填空题（共 5 小题，满分 20 分） 13.计算 的结果是 . 解析：原式 = 答案： . 14.如图，在 O 中， = ， DCB=28，则 ABC= 28 度 . 解析： = ， ； 又 DCB=28， ABC=28 度 . 答案： 28. 15.有 4 张看上去无差别的卡片，上面分别写着 2， 3， 4， 5.随机抽取 1 张后，放回并混合在一起，再随机抽取 1 张，则第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字的概率是 . 解析：列表得： 2 3 4 5 2 22 23 24 25 3 32 33 34
10、35 4 42 43 44 45 5 52 53 54 55 共有 16 种情况，第二次抽出的数字恰好能整除第一次抽出的数字的有 5 种， P（第二次抽出的数字能够整除第一次抽出的数字） = ， 答案： . 16.如图，等腰直角三角形 BDC 的顶点 D 在等边三角形 ABC 的内部， BDC=90，连接 AD，过点 D 作一条直线将 ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 120， 150 度 . 解析： 等腰直角三角形 BDC 的顶点 D 在等边三角形 ABC 的内部， BDC=90， ABD= ABC DBC=60 45=15， 在 ABD 与 ACD 中，
11、 ， ABD ACD（ SAS）， BAD= CAD=30， 过点 D 作一条直线将 ABD 分割成两个等腰三角形，则分割出的这两个等腰三角形的顶角分别是 180 15 15=150； 180 30 30=120， 答案： 120， 150 17.对于两个二次函数 y1， y2，满足 y1+y2=2x2+2 x+8.当 x=m 时，二次函数 y1 的函数值为5，且二次函数 y2 有最小值 3.请写出两个符合题意的二次函数 y2 的解析式 y2=x2+3， y2=（ x+ ） 2+3 （要求：写出的解析式的对称轴不能相同） . 解析：答案不唯一， 例如： y2=x2+3， y2=（ x+ ） 2
12、+3. 故答案为： y1=x2+3， y2=（ x+ ） 2+3. 三 .解答题（共 7 小题，共 52 分） 18.计算：（ + ） . 解析 ： 首先应用乘法分配律，可得（ + ） = + ；然后根据二次根式的混合运算顺序，先计算乘法，再计算加法，求出算式（ + ） 的值是多少即可 . 答案：（ + ） = + =1+9 =10 19.在学校组织的社会实践活动中，甲、乙两人参加了射击比赛，每人射击七次，命中的环数如表： 序号 一 二 三 四 五 六 七 甲命中的环数（环） 7 8 8 6 9 8 10 乙命中的环数（环） 5 10 6 7 8 10 10 根据以上信息，解决一下问题： （
13、1）写出甲、乙两人命中环数的众数； （ 2）已知通过计算器求得 =8， s 甲 21.43，试比较甲、乙两人谁的成绩更稳定？ 分析： （ 1）根据众数的定义解答即可； （ 2）根据已知条件中的数据计算出乙的方差和平均数，再和甲比较即可 . 答案：（ 1）由题意可知：甲的众数为 8，乙的众数为 10； （ 2）乙的平均数 = =8， 乙的方差为： S2 乙 = （ 5 8） 2+（ 10 8） 2+（ 10 8） 2= 3.71. 得 =8， s 甲 21.43， 甲乙的平均成绩一样，而甲的方差小于乙的方差， 甲的成绩更稳定 . 20.在直角坐标系中，一条直线经过 A（ 1， 5）， P（ 2，
14、 a）， B（ 3， 3）三点 . （ 1）求 a 的值； （ 2）设这条直线与 y 轴相交于点 D，求 OPD 的面积 . 分析： （ 1）利用待定系数法解答解析式即可； （ 2）得出直线与 y 轴相交于点 D 的坐标，再利用三角形面积公式解答即可 . 答案：（ 1）设直线的解析式为 y=kx+b，把 A（ 1， 5）， B（ 3， 3）代入， 可得： ， 解得： ， 所以直线解析式为： y= 2x+3， 把 P（ 2， a）代入 y= 2x+3 中， 得： a=7； （ 2）由（ 1）得点 P 的坐标为（ 2， 7）， 令 x=0，则 y=3， 所以直线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 3）
15、， 所以 OPD 的面积 = . 21.如图， ABC 是等腰直角三角形， C=90，点 D 是 AB 的中点，点 P 是 AB 上的一个动点（点 P 与点 A、 B 不重合），矩形 PECF 的顶点 E， F 分别在 BC， AC 上 . （ 1）探究 DE 与 DF 的关系，并给出证明； （ 2）当点 P 满足什么条件时，线段 EF 的长最短？（直接给出结论，不必说明理由） 分析： （ 1）连接 CD，首先根据 ABC 是等腰直角三角形， C=90，点 D 是 AB 的中点得到 CD=AD， CD AD，然后根据四边形 PECF 是矩形得到 APE 是等腰直角三角形，从而得到 DCE DA
16、F，证得 DE=DF， DE DF； （ 2）根据 DE=DF， DE DF，得到 EF= DE= DF，从而得到当 DE 和 DF 同时最短时，EF 最短得到此时点 P 与点 D 重合线段 EF 最短 . 答案：（ 1） DE=DF， DE DF， 证明：连接 CD， ABC 是等腰直角三角形， C=90，点 D 是 AB 的中点， CD=AD， CD AD， 四边形 PECF 是矩形， CE=FP， FP CB， APE 是等腰直角三角形， AF=PF=EC， DCE= A=45， DCE DAF， DE=DF， ADF= CDE， CDA=90， EDF=90， DE=DF， DE DF
17、； （ 2） DE=DF， DE DF， EF= DE= DF， 当 DE 和 DF 同时最短时， EF 最短， 当 DF AC， DE AB 时，二者最短， 此时点 P 与点 D 重合， 点 P 与点 D 重合时，线段 EF 最短 . 22.为充分利用雨水资源，幸福村的小明家和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法 .已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水的面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的量如表： 小明家 爷爷家 屋顶收集雨水面积（ m2） 160 120 蓄水池容积（ m3） 50 13 蓄水池已有水量（ m3） 34 11.5 气象预报即将会下雨，为了收集尽可能多的雨水，下雨前需从爷
18、爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？ 分析： 由题意可知：屋顶收集雨水面积的比等于所收集雨水体积的比，由此设出未知数，列出方程解答即可 . 答案：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取 x 立方米的水注入小明家的蓄水池，由题意得 = ， 解得： x=6， 经检验： x=6 是所列方程的根 . 答：下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取 6 立方米的水注入小明家的蓄水池 . 23.如图，在 ABC 中，点 P 是 BC 边上任意一点（点 P 与点 B， C 不重合），平行四边形 AFPE的顶点 F， E 分别在 AB， AC 上 .已知 BC=2， SABC=1.设 BP=x，平行四边形 AFP
19、E 的面积为 y. （ 1）求 y 与 x 的函数关系式； （ 2）上述函数有最大值或最小值吗？若有，则当 x 取何值时， y 有这样的值，并求出该值；若没有，请说明理由 . 分析： （ 1）由平行四边形的性质得出 PF CA，证出 BFP BAC，得出面积比等于相似比的平方，得出 SBFP= ，同理： SPEC= ，即可得出 y 与 x 的函数关系式； （ 2）由 0 得出 y 有最大值，把（ 1）中函数关系式化成顶点式，即可得出结果 . 答案：（ 1） 四边形 AFPE 是平行四边形， PF CA， BFP BAC， =（ ） 2， SABC=1， SBFP= ， 同理： SPEC= ，
20、y=1 ， y= +x； （ 2）上述函数有最大值，最大值为 ；理由如下： y= +x= （ x 1） 2+ ， 0， y 有最大值， 当 x=1 时， y 有最大值，最大值为 . 24.如图，点 B， C 是线段 AD 的三等分点，以 BC 为直径作 O，点 P 是圆上异于 B， C 的任意一点，连接 PA， PB， PC， PD. （ 1）当 PB= PC 时，求 tan APB 的值； （ 2）当 P 是 上异于 B， C 的任意一点时，求 tan APBtan DPC 的值 . 分析：（ 1）首先过点 B 作 BE PC，与 PA 交于点 E，根据 AB=BC，可得 ，推得EB=PB；
21、然后根据 BC 是 O 的直径，求 tan APB 的值是多少即可 . （ 2）首先过点 A 作 AE PC，与 PB的延长线交于点 E，然后根据全等三角形判定的方法，判断出 ABECBP，即可判断出 BE=BP， AE=CP；最后推得 tan APB= ， tanDPC= ，据此求出 tan APBtan DPC 的值是多少即可 . 答案：（ 1）如图 1，过点 B 作 BE PC，与 PA 交于点 E， ， AB=BC， ， EB= ， PB= ， EB=PB， BC 是 O 的直径， BPC=90， PBE=90， tan APB= . （ 2）如图 2，过点 A 作 AE PC，与 PB的延长线交于点 E， ， BC 是 O 的直径， BPC=90， AEP=90， 在 ABE 和 CBP 中， ABE CBP， BE=BP， AE=CP， tan APB= ， tan DPC= ， tan APBtan DPC= ， 即 tan APBtan DPC 的值为 .
