1、 2015 年山东省青岛市中考 真题数学 一、选择题 (本题满分 24 分，共有 8小题，每小题 3 分 )下列每小题都给出标号为 A,B,C,D的四个结论，其中只有一个是正确的 1.(3 分 ) 2 的相反数是 ( ) A. - 2 B. 2 C. 12D. 2 解 析 ： 根据相反数的含义，可得 2 的相反数是： - 2 . 答案 ： A. 2.(3 分 )某种计算机完成一次基本运算的时间约为 0.000 000 001s.把 0.000 000 001s 用科学记数法可表示为 ( ) A. 0.110 -8s B. 0.110 -9s C. 110 -8s D. 110 -9s 解 析
2、： 0.000 000 001=110 -9. 答案 ： D. 3.(3 分 )下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解 析 ： A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误 . 答案 ： B. 4.(3 分 )如图，在 ABC 中， C=90 ， B=30 ， AD 是 ABC 的角平分线， DEAB ，垂足为 E， DE=1，则 BC=( ) A. 3 B. 2 C. 3 D. 3 +2
3、 解 析 ： AD 是 ABC 的角平分线， DEAB ， C=90 ， CD=DE=1 ， 又 直角 BDE 中， B=30 ， BD=2DE=2 ， BC=CD+BD=1+2=3. 答案 ： C. 5.(3 分 )小刚参加射击比赛，成绩统计如下表： 关于他的射击成绩，下列说法正确的是 ( ) A. 极差是 2 环 B. 中位数是 8 环 C. 众数是 9 环 D. 平均数是 9 环 解 析 ： A、极差是 10-6=4 环，故本选项错误； B、把数从小到大排列起来； 6， 7， 7， 7， 8， 8， 9， 9， 9， 10，位于中间的两个数都是 8，所以中位数是 (8+8)2=8 ，故本
4、选项正确； C、 7 和 9 都出现了 3 次，次数最多，所以众数是 7 环和 9 环，故本选项错误； D、平均数 =110(6+73+82+93+10)=8 ，故本选项错误 . 答案 ： B. 6.(3 分 )如图，正六边形 ABCDEF 内接于 O ，若直线 PA 与 O 相切于点 A，则 PAB=( ) A. 30 B. 35 C. 45 D. 60 解 析 ： 连接 OB， AD， BD， 多边形 ABCDEF 是正多边形， AD 为外接圆的直径， AOB= 3606=60 ， ADB= 12AOB= 1260=30. 直线 PA 与 O 相切于点 A， PAB=ADB=30 . 答案
5、 ： A. 7.(3 分 )如图，菱形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于 O 点， E， F分别是 AB， BC边上的中点，连接 EF.若 EF= 3 ， BD=4，则菱形 ABCD 的周长为 ( ) A. 4 B. 4 6 C. 4 7 D. 28 解 析 ： E ， F 分别是 AB， BC 边上的中点， EF= 3 ， AC=2EF=2 3 ， 四边形 ABCD 是菱形， ACBD ， OA=12AC= 3 ， OB=12BD=2， AB= 22OA OB = 7 ， 菱形 ABCD 的周长为 4 7 . 答案 ： C. 8.(3 分 )如图，正比例函数 y1=k1x 的图象与反
6、比例函数 y2=2kx的图象相交于 A， B两点，其中点 A 的横坐标为 2，当 y1 y2时， x 的取值范围是 ( ) A. x -2 或 x 2 B. x -2 或 0 x 2 C. -2 x 0 或 0 x -2 D. -2 x 0 或 x 2 解 析 ： 反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称， A 、 B 两点关于原点对称， 点 A 的横坐标为 2， 点 B 的横坐标为 -2， 由函数图象可知，当 -2 x 0 或 x 2 时函数 y1=k1x 的图象在 y2= 2kx的上方， 当 y1 y2时， x 的取值范围是 -2 x 0 或 x 2. 答案 ： D. 二、填空题 (本题
7、满分 18 分 ,共有 6小题，每小题 3 分 ) 9.(3 分 )计算： 3a3a 2-2a7a 2=_. 解 析 ： 3a3a 2-2a7a 2 =3a5-2a5 =a5 答案 ： a5. 10.(3 分 )如图，将平面直角坐标系中 “ 鱼 ” 的每个 “ 顶点 ” 的纵坐标保持不变，横坐标分别变为原来的 13，那么点 A 的对应点 A 的坐标是 _. 解 析 ： 点 A 变化前的坐标为 (6， 3)， 将横坐标保持不变，纵坐标分别变为原来的 13，则点 A 的对应点的坐标是 (2， 3). 答案 ： (2， 3). 11.(3 分 )把一个长、宽、高分别为 3cm， 2cm， 1cm 的
8、长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积 s(cm2)与高 h(cm)之间的函数关系式为 _. 解 析 ： 由题意可得： sh=321 ， 则 s=6h. 答案 ： s=6h. 12.(3 分 )如图，平面直角坐标系的原点 O 是正方形 ABCD 的中心，顶点 A， B 的坐标分别为(1， 1)， (-1， 1)，把正方形 ABCD 绕原点 O 逆时针旋转 45 得正方形 ABCD ，则正方形 ABCD 与正方形 ABCD 重叠部分所形成的正八边形的边长为 _. 解 析 ： 如图，由题意得： 正方形 ABCD 的边长为 2， 该正方形的对角线长为 2 2 ， OA= 2 ；而 OM
9、=1， AM= 2 -1； 由题意得： MAN=45 ， AMN=90 ， MNA=45 ， MN=AM= 2 -1； 由勾股定理得： AN=2 - 2 ； 同理可求 DM=2 - 2 ， MN=2 -(4-2 2 )=2 2 -2， 正八边形的边长为 2 2 -2. 答案： 2 2 -2 13.(3 分 )如图，圆内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分别相交于点 E， F，且 A=55 ，E=30 ，则 F= _. 解 析 ： A=55 ， E=30 ， EBF=A+E=85 ， A+BCD=180 ， BCD=180 -55=125 ， BCD=F+CBF ， F=125 -85=40.
10、 答案 ： 40. 14.(3分 )如图，在一次数学活动课上，张明用 17个边长为 1的小正方形搭成了一个几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体 (不改变张明所搭几何体的形状 )，那么王亮至少还需要 _个小立方体，王亮所搭几何 体的表面积为 _. 解 析 ： 亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体， 该长方体需要小立方体 43 2=36 个， 张明用 17 个边长为 1 的小正方形搭成了一个几何体， 王亮至少还需 36-17=19 个小立方体， 表面积为： 2(9+7+8)=48 .
11、答案 ： 19， 48. 三、作图题 (本题满分 4 分 )用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 15.(4 分 )用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹 . 已知：线段 c，直线 l 及 l 外一点 A. 求作： RtABC ，使直角边为 AC(AC l，垂足为 C)，斜边 AB=c. 解 析 ： 在直线 l 另一侧取点 P，以点 A 为圆心， AP 为半径画弧交直线 l于 M、 N，再作线段MN 的垂直平分线交 l 于 C，然后以点 A 为圆心， c 为半径画弧交 l 于 B，连结 AB，则 ABC为所作 . 答案 ： 如图， ABC 为所求 . 四、解答题 (本题满分 74
12、 分，共有 9道小题 ) 16.(8 分 )(1)化简： 22 1 1nnn； (2)关于 x 的一元二次方程 2x2+3x-m=0 有两个不相等的实数根，求 m 的取值范围 . 解 析 ： (1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； (2)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于 0，求出 m 的范围即可 . 答案 ： (1)原式 = 22212 1 11 1 1 1nn n n n nn n n n n n ； (2) 方程 2x2+3x-m=0 有两个不相等的实数根， =9+8m 0， 解得： m -98. 17.(6 分 )
13、某小学为了了解学生每天完成家庭作业所用时间的情况，从每班抽取相同数量的学生进行调查，并将所得数据进行整理，制成条形统计图和扇形统计图如下： (1)补全条形统计图； (2)求扇形统计图扇形 D 的圆心角的度数； (3)若该中学有 2000 名学生，请估计其中有多少名学生能在 1.5 小时内完成家庭作业？ 解 析 ： (1)根据 A 类的人数是 10，所占的百分比是 25%即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得 B 类的人数； (2)用 360 乘以对应的比例即可求解； (3)用总人数乘以对应的百分比即可求解 . 答案 ： (1)抽取的总人数是： 1025%=40( 人 )， 在 B 类的人数是
14、： 4030%=12( 人 ). (2)扇形统计图扇形 D 的圆心角的度数是： 360 340=27 ； (3)能在 1.5 小时内完成家庭作业的人数是： 2000(25%+30%+35%)=1800( 人 ). 18.(6 分 )小颖和小丽做 “ 摸球 ” 游戏：在一个不透明的袋子中装有编号为 1-4 的四个球 (除编号外都相同 )，从中随机摸出一个球，记下数字后放回，再从中摸出一个球，记下数字 .若两次数字之和大于 5，则小颖胜，否则小丽胜，这个游戏对双方公平吗？请说明理由 . 解 析 ： 列表得出所有等可能的情况数，找出数字之和大于 5 的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较即可得到游戏
15、公平与否 . 答案 ： 这个游戏对双方不公平 . 理由：列表如下： 所有等可能的情况有 16 种，其中数字之和大于 5 的情况有 (2， 4)， (3， 3)， (3， 4)， (4，2)， (4， 3)， (4， 4)共 6 种， 故小颖获胜的概率为： = 6316 8，则小丽获胜的概率为： 58， 38 58， 这个游戏对双方不公平 . 19.(6 分 )小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B， C 两点的俯角分别为 45 ， 35. 已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100m，请求出热气球离地面的高度 .(结果保留整数 ) (参考数据： sin3
16、5 712， cos35 56， tan35 710) 解 析 ： 作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x，表示出 DB和 DC，根据正切的概念求出 x的值即可 . 答案 ： 作 ADBC 交 CB 的延长线于 D，设 AD 为 x， 由题意得， ABD=45 ， ACD=35 ， 在 RtADB 中， ABD=45 ， DB=x ， 在 RtADC 中， ACD=35 ， tanACD= ADCD， 7100 10xx ， 解得， x233m. 20.(8 分 )某厂制作甲、乙两种环保包装盒，已知同样用 6m 材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少 2 个，且制成一个甲盒比制
17、成一个乙盒需要多用 20%的材料 . (1)求制作每个甲盒、乙盒各用多少米材料？ (2)如果制作甲、乙两种包装盒共 3000 个，且甲盒的数量不少于乙盒数量的 2 倍，那么请写出所需要材料的总长度 l(m)与甲盒数量 n(个 )之间的函数关系式，并求出最少需要多少米材料？ 解 析 ： (1)设制作每个乙盒用 x 米材料，则制作甲盒用 (1+20%)x 米材料，根据 “ 同样用 6m材料制成甲盒的个数比制成乙盒的个数少 2 个 ” ，列出 方程，即可解答； (2)根据所需要材料的总长度 l=甲盒材料的总长度 +乙盒材料的总长度，列出函数关系式；再根据 “ 甲盒的数量不少于乙盒数量的 2 倍 ”
18、求出 n 的取值范围，根据一次函数的性质，即可解答 . 答案 ： (1)设制作每个乙盒用 x 米材料，则制作甲盒用 (1+20%)x 米材料， 672 1 2 0 %xx ， 解得： x=0.5， 经检验 x=0.5 是原方程的解， (1+20%)x=0.6( 米 )， 答：制作每个甲盒用 0.6 米材料；制作每个乙盒用 0.5 米材料 . (2)根据题意得： l=0.6n+0.5(3000-n)=0.1n+1500， 甲盒的数量不少于乙盒数量的 2 倍， n2(3000 -n) 解得： n2000 ， 2000n 3000， k=0.1 0， l 随 n 增大而增大， 当 n=2000 时，
19、 l 最小 1700 米 . 21.(8 分 )已知：如图，在 ABC 中， AB=AC， AD 是 BC 边上的中线， AEBC ， CEAE ，垂足为 E. (1)求证： ABDCAE ； (2)连接 DE，线段 DE 与 AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论 . 解 析 ： (1)运用 AAS 证明 ABDCAE ； (2)易证四边形 ADCE 是矩形，所以 AC=DE=AB，也可证四边形 ABDE 是平行四边形得到 AB=DE. 答案 ： (1)AB=AC ， B=ACD ， AEBC ， EAC=ACD ， B=EAC ， AD 是 BC 边上的中线， ADBC ， CE
20、AE ， ADC=CEA=90 在 ABD 和 CAE 中 B E A CA D C C E AA B A C ABDCAE(AAS) ； (2)AB=DE， ABDE ，如右图所示， ADB C， AEBC ， ADAE ， 又 CEAE ， 四边形 ADCE 是矩形， AC=DE ， AB=AC ， AB=DE. AB=AC ， BD=DC ， 四边形 ADCE 是矩形， AECD ， AE=DC， AEBD ， AE=BD， 四边形 ABDE 是平行四边形， ABDE 且 AB=DE. 22.(10 分 )如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m.按照图中所
21、示的直角坐标系，抛物线可以用 y=-16x2+bx+c 表示，且抛物线时的点 C 到墙面 OB 的水平距离为 3m，到地面 OA 的距离为 172m. (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 解 析 ： (1)先确定 B 点和 C 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再 利用配方法确定顶点 D 的坐标，从而得到点 D
22、 到地面 OA 的距离； (2)由于抛物线的对称轴为直线 x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为 4m，则货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为 (2， 0)或 (10， 0)，然后计算自变量为 2 或 10 的函数值，再把函数值与 6 进行大小比较即可判断； (3)抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为 8 所对应的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值 . 答案 ： (1)根据题意得 B(0， 4)， C(3， 172)， 把 B(0， 4)， C(3， 172)代入 y=-16x2+bx+c 得241 1 73362cbc ， 解得 24bc. 所以抛物线解析式
23、为 y=-16x2+2x+4， 则 y=-16(x-6)2+10， 所以 D(6， 10)， 所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m； (2)由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为 (2， 0)或 (10， 0)， 当 x=2 或 x=10 时， y=223 6， 所以这辆货车能安全通过； (3)令 y=8，则 -16(x-6)2+10=8，解得 x1=6+2 3 ， x2=6-2 3 ， 则 x1-x2=4 3 ， 所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m. 23.(10 分 )【问题提出】用 n 根相同的木棒搭一个三角形 (木棒无剩余 )，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 【问题探
24、究】不妨假设能搭成 m 种不同的等腰三角形，为探究 m 与 n 之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论 . 【探究一】 (1)用 3 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，显然能搭成一种等腰三角形 . 所以，当 n=3 时， m=1. (2)用 4 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 只可分成 1 根木棒、 1 根木棒和 2 根木棒这一种情况，不能搭成三角形 . 所以，当 n=4 时， m=0. (3)用 5 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成 1 根木棒、 1 根木棒和 3
25、根木棒，则不能搭成三角形 . 若分成 2 根木棒、 2 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 . 所以，当 n=5 时， m=1. (4)用 6 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 若分成 1 根木棒、 1 根木棒和 4 根木棒，则不能搭成三角形 . 若分成 2 根木 棒、 2 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 . 所以，当 n=6 时， m=1. 综上所述，可得：表 【探究二】 (1)用 7 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？ (仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表 中 ) (2)用 8 根、 9 根、 10 根相同的木棒
26、搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (只需把结果填在表 中 ) 表 你不妨分别用 11 根、 12 根、 13 根、 14 根相同的木棒继续进行探究， 【问题解决】：用 n 根相同的木棒搭一个三角形 (木棒无剩余 )，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (设 n 分别等于 4k-1， 4k， 4k+1， 4k+2，其中 k 是正整数，把结果填在表 中 ) 表 【问题应用】：用 2016 根相同的木棒搭一个三角形 (木棒无剩余 )，能搭成多少种不同的等腰三角形？ (写出解答过程 )，其中面积最大的等腰三角形每腰用了 _根木棒 .(只填结果 ) 解 析 ： 探究二：仿照探究一的方法进行分析即
27、可； 问题解决：根据探究一、二的结果总结规律填表即可； 问题应用：根据规律进行计算求出 m 的值 . 答案 ： (1)用 7 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 此时，能搭成二种等腰三角形， 即分成 2 根木棒、 2 根木棒和 3 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 分成 3 根木棒、 3 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 当 n=7 时， m=2. (2)用 8 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 分成 2 根木棒、 2 根木棒和 4 根木棒，则不能搭成一种等腰三角形， 分成 3 根木棒、 3 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形，
28、 所以，当 n=8 时， m=1. 用 9 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角 形？ 分成 3 根木棒、 3 根木棒和 3 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 分成 4 根木棒、 4 根木棒和 1 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当 n=9 时， m=2. 用 10 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？ 分成 3 根木棒、 3 根木棒和 4 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 分成 4 根木棒、 4 根木棒和 2 根木棒，则能搭成一种等腰三角形 所以，当 n=10 时， m=2. 问题解决：由规律可知，答案为： k； k-1； k； k. 问题应用： 201
29、64=504 ， 504-1=503， 当三角形是等边三角形时，面积最大， 20163=672 ， 用 2016 根相同的木棒搭一个三角形，能搭成 503 种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用 672 根木棒 . 24.(12 分 )已知，如图 ，在 ABCD 中， AB=3cm， BC=5cm， ACAB ， ACD 沿 AC 的方向匀速平移得到 PNM ，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 C 出发，沿 CB 方向匀速移动，速度为 1cm/s，当 PNM 停止平移时，点 Q 也停止移动，如图 ，设移动时间为 t(s)(0 t 4)，连接 PQ，MQ， MC，解答下列问题：
30、 (1)当 t 为何值时， PQMN ？ (2)设 QMC 的面积为 y(cm2)，求 y 与 t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使 SQMC ： S 四边形 ABQP=1： 4？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 . (4)是否存在某一时刻 t，使 PQMQ ？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由 . 解 析 ： (1)根据勾股定理求出 AC，根据 PQAB ，得出 CP CQCA CB， 445tt ，求解即可； (2)过点 P 作 PDBC 于 D，根据 CPDCBA ，得出 453t PD ，求出 PD=12 355t，再根据 SQMC =SQPC
31、，得出 y=SQMC =12QCPD ，再代入计算即可； (3)根据 SQMC ： S 四边形 ABQP=1： 4，得出 SQPC ： SABC =1： 5，代入得出 (65t-310t2)： 6=1： 5，再计算即可； (4)根据 PQMQ 得出 P DQMQP ，得出 PQ2=MPDQ ，根据勾股定理得出 PD2+DQ2=MPDQ ，再分别代入得出 (12 35 t)2+(16 95 t)2=5 16 95 t，求出 t 即可 . 答案 ： (1)在 RtABC 中， AC= 22BC AB =4， 由平移的性质得 MNAB ， PQMN ， PQAB ， CP CQCA CB， 445t
32、t ， t=209， (2)过点 P 作 PDBC 于 D， CPDCBA ， CP PDCB BA， 453t PD ， PD= 12 355t， PDBC ， S QMC =SQPC ， y=S QMC =12QCPD= 12t(125-35t)=65t-310t2(0 t 4)， (3)S QMC ： S 四边形 ABQP=1： 4， S QPC ： S 四边形 ABQP=1： 4， S QPC ： SABC =1： 5， ( 65t-310t2)： 6=1： 5， t=2 ， (4)若 PQMQ ， 则 PQM=PDQ ， MPQ=PQD ， PDQMQP ， PQ DQMP PQ， PQ 2=MPDQ ， PD 2+DQ2=MPDQ ， CD= 16 45 t， DQ=CD -CQ=16 45 t-t=16 95 t， ( 12 35 t)2+(16 95 t)2=5 16 95 t， t 1=0(舍去 )， t2=32， t= 32时， PQMQ.
