1、 2015 年山西省中考 真题 数学 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1.计算 3+（ 1）的结果是（ ） A.2 B. 2 C.4 D. 4 解析： 3+（ 1） =（ 3+1） = 4， 答案： D. 2.下列运算错误的是（ ） A. =1 B.x2+x2=2x4 C.|a|=| a| D. 解析： A、原式 =1，正确； B、原式 =2x2，错误； C、 |a|=| a|，正确； D、原式 =，正确， 答案 ： B 3.晋商大院的许多窗格图案蕴含着对称之美，现从中选取以下四种
2、窗格图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形 .故正确； C、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形 .故错误 . 答案 ： B. 4.如图，在 ABC 中，点 D、 E 分别是边 AB， BC 的中点 .若 DBE 的周长是 6，则 ABC 的周长是（ ） A.8 B.10 C.12 D.14 解析： 点 D、 E 分别是边 AB， BC 的中点， DE 是三角形 BC 的中位线， AB=2BD， BC=2BE， DE BC 且
3、 DE= AC， 又 AB=2BD， BC=2BE， AB+BC+AC=2（ BD+BE+DE）， 即 ABC 的周长是 DBE 的周长的 2 倍， DBE 的周长是 6， ABC 的周长是： 62=12. 答案： C. 5.我们解一元二次方程 3x2 6x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为 3x（ x 2） =0，从而得到两个一元一次方程： 3x=0 或 x 2=0，进而得到原方程的解为 x1=0， x2=2.这种解法体现的数学思想是（ ） A.转化思想 B.函数思想 C.数形结合思想 D.公理化思想 解析：我们解一元二次方程 3x2 6x=0 时，可以运用因式分解法，将此方程化为
4、3x（ x 2）=0， 从而得到两个一元一次方程： 3x=0 或 x 2=0， 进而得到原方程的解为 x1=0， x2=2. 这种解法体现的数学思想是转化思想， 答案 ： A. 6.如图，直线 a b，一块含 60角的直角三角板 ABC（ A=60）按如图所示放置 .若 1=55，则 2 的度数为（ ） A.105 B.110 C.115 D.120 解析：如图， 直线 a b， AMO= 2； ANM= 1，而 1=55， ANM=55， AMO= A+ ANM=60+55=115， 答案 ： C. 7.化简 的结果是（ ） A. B. C. D. 解析：原式 = 答案 ： A. 8.我国古
5、代秦汉时期有一部数学著作，堪称是世界数学经典名著 .它的出现，标志着我国古代数学体系的正式确立 .它采用按类分章的问题集的形式进行编排 .其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先，这部著作的名称是（ ） A.九章算术 B.海岛算经 C.孙子算经 D.五经算术 解析：此著作是九章算术， 答案 ： A. 9.某校举行春季运动会，需要在初一年级选取一名志愿者 .初一（ 1）班、初一（ 2）班、初一（ 3）班各有 2 名同学报名参加 .现从这 6 名同学中随机选取一名志愿者，则被选中的这名同学恰好是初一（ 3）班同学的概率是（ ） A. B. C. D. 解析： 共有 6 名同学，初一 3
6、班有 2 人， P（初一 3 班） = = ， 答案 ： B. 10.如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A， B， C 都在格点上，则 ABC 的正切值是（ ） A.2 B. C. D. 解析：如图： ， 由勾股定理，得 AC= ， AB=2 ， BC= ， ABC 为直角三角形， tan B= = ， 答案： D. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11.不等式组 的解集是 . 解析： 由 得： x 4， 由 得： x 2， 不等式组的解集为： x 4. 答案 ： x 4. 12.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第（
7、 1）个图案有 4 个三角形，第（ 2）个图案有 7 个三角形，第（ 3）个图案有 10 个三角形， 依此规律，第 n 个图案有 个三角形（用含 n 的代数式表示） 解析： 第（ 1）个图案有 3+1=4 个三角形， 第（ 2）个图案有 32+1=7 个三角形， 第（ 3）个图案有 33+110 个三角形， 第 n 个图案有 3n+1 个三角形 . 答案 ： 3n+1. 13.如图，四边形 ABCD 内接于 O， AB 为 O 的直径，点 C 为 的中点 .若 A=40，则 B= 度 . 解析：连接 BD， AB 为 O 的直径， ADB=90， A=40， ABD=90 A=50， C=18
8、0 A=140， 点 C 为 的中点， CD=CB， CBD= CDB=20， ABC= ABD+ CBD=70. 答案 ： 70. 14.现有两个不透明的盒子，其中一个装有标号分别为 1， 2 的两张卡片，另一个装有标号分别为 1， 2， 3 的三张卡片，卡片除标号外其他均相同 .若从两个盒子中各随机抽取一张卡片，则两张卡片标号恰好相同的概率是 . 解析：画树状图得： 共有 6 种等可能的结果，两张卡片标号恰好相同的有 2 种情况， 两张卡片标号恰好相同的概率是： = . 答案 ： . 15.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位 .公共自行车车桩的截面示意图如图所示，
9、 AB AD， AD DC，点 B， C 在 EF 上， EF HG， EH HG， AB=80cm，AD=24cm， BC=25cm， EH=4cm，则点 A到地面的距离是 cm. 解析：过点 A作 AM BF 于点 M，过 点 F 作 FN AB 于点 N， AD=24cm，则 BF=24cm， BN= =7（ cm）， AMB= FNB=90， ABM= FBN， BNF BMA， = ， = ， 则： 故点 A到地面的距离是： （ m） . 答案 ： . 16.如图，将正方形纸片 ABCD 沿 MN 折叠，使点 D 落在边 AB 上，对应点为 D ，点 C 落在 C 处 .若 AB=6
10、， AD =2，则折痕 MN 的长为 . 解析：作 NF AD，垂足为 F，连接 DD ， ND ， 将正方形纸片 ABCD 折叠，使得点 D 落在边 AB 上的 D 点，折痕为 MN， DD MN， A= DEM=90， ADD = EDM， DAD DEM， DD A= DME， 在 NFM 和 DAD 中 NFM DAD （ AAS）， FM=AD =2cm， 又 在 RtMNF 中， FN=6cm， 根据勾股定理得： MN= . 答案 ： . 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（ 1）计算：（ 3 1） 2 1 . （ 2）
11、解方程： . 解析 ：（ 1）原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果； （ 2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解 . 答案 ：（ 1）原式 = 4 （ ） = 9+4= 5； （ 2）去分母得： 2=2x 1 3， 解得： x=3， 经检验 x=3 是分式方程的解 . 18.阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的任务 . 斐波那契（约 1170 1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列） .后来人们在研究它 的过程中，发现了许多意想不到的结果
12、，在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数 .斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用 . 斐波那契数列中的第 n 个数可以用 表示（其中， n1） .这是用无理数表示有理数的一个范例 . 任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第 1 个数和第 2 个数 . 解析 ： 分别把 1、 2 代入式子化简求得答案即可 . 答案 ：第 1 个数，当 n=1 时， 第 2 个数，当 n=2 时， 19.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=3x+2 的图象与 y 轴交于点 A，与反比例函数 y= （ k0）在第一象限内的图象
13、交于点 B，且点 B的横坐标为 1.过点 A作 AC y 轴交反比例函数 y= （ k0）的图象于点 C，连接 BC. （ 1）求反比例函数的表达式 . （ 2）求 ABC 的面积 . 解析 ： （ 1）先由一次函数 y=3x+2的图象过点 B，且点 B的横坐标为 1，将 x=1代入 y=3x+2，求出 y 的值，得到点 B的坐标，再将 B点坐标代入 y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （ 2）先由一次函数 y=3x+2 的图象与 y 轴交于点 A，求出点 A的坐标为（ 0， 2），再将 y=2代入 y= ，求出 x 的值，那么 AC= .过 B作 BD AC 于 D，则 BD
14、=yB yC=5 2=3，然后根据 SABC= ACBD，将数值代入计算即可求解 . 答案 ：（ 1） 一次函数 y=3x+2 的图象过点 B，且点 B的横坐标为 1， y=31+2=5， 点 B的坐标为（ 1， 5） . 点 B在反比例函数 y= 的图象上， k=15=5， 反比例函数的表达式为 y= ； （ 2） 一次函数 y=3x+2 的图象与 y 轴交于点 A， 当 x=0 时， y=2， 点 A的坐标为（ 0， 2）， AC y 轴， 点 C 的纵坐标与点 A的纵坐标相同，是 2， 点 C 在反比例函数 y= 的图象上， 当 y=2 时， 2= ，解得 x= ， AC= . 过 B作
15、 BD AC 于 D，则 BD=yB yC=5 2=3， SABC= ACBD= 3= . 20.随着互联网、移动终端的迅速发展，数字化阅读越来越普及，公交、地铁上的 “低头族 ”越来越多 .某研究机构针对 “您如何看待数字化阅读 ”问题进行了随机问卷调查（问卷调查表如图 1 所示）并将调查结果绘制成图 2 和图 3 所示的统计图（均不完整） .请根据统计图中提供的信息，解答下列问题： （ 1）本次接受调查的总人数是 人 . （ 2）请将条形统计图补充完整 . （ 3）在扇形统计图中，观点 E 的百分比是 ，表示观点 B的扇形的圆心角度数为 度 . （ 4）假如你是该研究机构的一名成员，请根据
16、以上调查结果，就人们如何对待数字化阅读提出你的建议 . 解析 ：（ 1）根据 D 类观点除以 D 类所占的百分比，可得调查的人数； （ 2）根据各类调查的人数，可得条形统计图； （ 3）根据 E 类人数除以调查的人数，可得答案，根据 B类人数除以调查人数，再乘以 360，可得答案； （ 4）根据对调查数据的收集、整理，可得答案 . 答案 ：（ 1）本 次接受调查的总人数是 5000 人 （ 2） C 类的人数为 5000 2300 250 750 200=1500（人）， 请将条形统计图补充完整 （ 3）在扇形统计图中，观点 E 的百分比是 4%，表示观点 B的扇形的圆心角度数为 18 度，
17、故答案为： 5000， 4%， 18. （ 4）应充分利用数字化阅读获取信息方便等优势，但不要成为 “低头族 ”而影响人际交往 . 21.如图， ABC 是直角三角形， ACB=90. （ 1）尺规作图：作 C，使它与 AB相切于点 D，与 AC 相交于点 E，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母 . （ 2）在 你按（ 1）中要求所作的图中，若 BC=3， A=30，求 的长 . 解析 ：（ 1）过点 C 作 AB 的垂线，垂足为点 D，然后以 C 点为圆心， CD 为半径作圆即可； （ 2）先根据切线的性质得 ADC=90，则利用互余可计算出 DCE=90 A=60， BCD=90 ACD=
18、30，再在 RtBCD 中利用 BCD 的余弦可计算出 CD= ，然后根据弧长公式求解 . 答案 ：（ 1）如图， C 为所求； （ 2） C 切 AB 于 D， CD AB， ADC=90， DCE=90 A=90 30=60， BCD=90 ACD=30， 在 RtBCD 中， cos BCD= ， CD=3cos30= 的长 = 22.某蔬菜经营户从蔬菜批发市场批发蔬菜进行零售，部分蔬菜批发价格与零售价格如表： 蔬菜品种 西红柿 青椒 西兰花 豆角 批发价（元 /kg） 3.6 5.4 8 4.8 零售价（元 /kg） 5.4 8.4 14 7.6 请解答下列问题： （ 1）第一天，该经
19、营户批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，用去了 1520 元钱，这两种蔬菜当天全部售完一共能赚多少元钱？ （ 2）第二天，该经营户用 1520 元钱仍然批发西红柿和西兰花，要想当天全部售完后所赚钱数不少于 1050 元，则该经营户最多能批发西红柿多少 kg？ 解析 ： （ 1）设批发西红柿 xkg，西兰花 ykg，根据批发西红柿和西兰花两种蔬菜共 300kg，用去了 1520 元钱，列方程组求解； （ 2）设批发西红柿 akg，根据当天全部售完后所赚钱数不少于 1050 元，列不等式求解 . 答案 ：（ 1）设批发西红柿 xkg，西兰花 ykg， 由题意得 解得： 故批发西红柿 200k
20、g，西兰花 100kg， 则这两种蔬菜当天全部售完一共能赚： 2001.8+1006=960（元）， 答：这两种蔬菜当天全部售完一共能赚 960 元； （ 2）设批发西红柿 akg， 由题意得，（ 5.4 3.6） a+（ 14 8） 1050， 解得： a100. 答：该经营户最多能批发西红柿 100kg. 23.综合与实践：制作无盖盒子 任务一：如图 1，有一块矩形纸板，长是宽的 2 倍，要将其四角各剪去一个正方形，折成高为 4cm，容积为 616cm3的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计） . （ 1）请在图 1 的矩形纸板中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕 . （ 2）请求出这
21、块矩形纸板 的长和宽 . 任务二：图 2 是一个高为 4cm 的无盖的五棱柱盒子（直棱柱），图 3 是其底面，在五边形ABCDE 中， BC=12cm， AB=DC=6cm， ABC= BCD=120， EAB= EDC=90. （ 1）试判断图 3 中 AE 与 DE 的数量关系，并加以证明 . （ 2）图 2 中的五棱柱盒子可按图 4 所示的示意图，将矩形纸板剪切折合而成，那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少 cm？请直接写出结果（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕 .纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） . 解析 ： 任务一：（ 1）按要求画出示意图即可； （ 2） 设矩形纸板的宽为 xcm
22、，则长为 2xcm，根据题意列出方程，解之即可 . 任务二：（ 1） AD=DE，延长 EA、 ED 分别交直线 BC 于点 M、 N，先证明 EM=EN，再证明MAB NDC，得到 AM=DN 即可； （ 2）如图 4，由（ 1）得； AE=DE， EAD= EDA=30， 由已知得， AG=DF=4，连接 AD， GF， 过 B， C 分别作 BM AD 于 M， CN AD 于 N，过 E 作 EP AD 于 P， 则 GF 即为矩形纸板的长， MN=BC=12， AP=DP 得到 BAM= CDN=60， 求出 AM=DN=3， BM=CN=3 ， 然后通过三角形相似即可得到结果 .
23、解析：任务一：（ 1）如图 1 所示： （ 2）设矩形纸板的宽为 xcm，则长为 2xcm， 由题意得： 4（ x 24）（ 2x 24） =616，解得： x1=15， x2= 3（舍去）， 2x=215=30， 答：矩形纸板的长为 30cm，宽为 15cm； 任务二：解：（ 1） AE=DE，证明如下： 延长 EA， ED 分别交直线 BC 于 M， N， ABC= BCD=120， ABM= DCN=60， EAB= EDC=90， M= N=30， EM=EN， 在 MAB与 NDC 中， ， MAB NDC， AM=DN， EM AM=EN DN， AE=DE； （ 2）如图 4，由
24、（ 1）得； AE=DE， EAD= EDA=30， 由已知得， AG=DF=4，连接 AD， GF， 过 B， C 分别作 BM AD 于 M， CN AD 于 N，过 E 作 EP AD 于 P， 则 GF 即为矩形纸板的长， MN=BC=12， AP=DP BAM= CDN=60， AB=CD=6， AM=DN=3， BM=CN=3 ， AP= AD= （ 3+3+12） =9， ， PE=3 ， AD GF， EAD EGF， ， GF=18+4 ， 矩形纸板的长至少为 18+4 ，矩形纸板的宽至少为 PE+BM+2 +4=3 +3 +2+4=4+8 . 24.综合与探究 如图 1，在
25、平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 W 的函数表达式为 y= x2+ x+4.抛物线 W与 x 轴交于 A， B两点（点 B在点 A的右侧，与 y 轴交于点 C，它的对称轴与 x 轴交于点 D，直线 l 经过 C、 D 两点 . （ 1）求 A、 B两点的坐标及直线 l 的函数表达式 . （ 2）将抛物线 W 沿 x 轴向右平移得到抛物线 W ，设抛物线 W 的对称轴与直线 l 交于点 F，当 ACF 为直角三角形时，求点 F 的坐标，并直接写出此时抛物线 W 的函数表达式 . （ 3）如图 2，连接 AC， CB，将 ACD 沿 x 轴向右平移 m 个单位（ 0 m5），得到 A CD .设
26、 A C 交直线 l 于点 M， C D 交 CB 于点 N，连接 CC ， MN.求四边形 CMNC的面积（用含 m 的代数式表示） . 解析 ： （ 1）根据自变量与函数值对应关系，当函数值为零时，可得 A、 B点坐标，当自变量为零时，可得 C 点坐标，根据对称轴公式，可得 D 点坐标，根据待定系数法，可得 l的解析式； （ 2）根据余角性质，可得 1 与 3 的关系，根 据正切的定义，可得关于 F 点的横坐标的方程，根据解方程，可得 F 点坐标，平移后的对称轴，根据平移后的对称轴，可得平移后的函数解析式； （ 3）根据图象平移的规律，可得 A ， C ， D 点的坐标，根据待定系数法，可
27、得 AC， BC， C D 的解析式，根据解方程组，可得 M、 N 的坐标，根据平行四边形的判定，可得四边形 CMNC 的形状，根据平行四边形的面积公式，可得答案 . 答案 ：（ 1）当 y=0 时， x2+ +4=0， 解得 x1= 3， x2=7， 点 A坐标为（ 3， 0），点 B的坐标为（ 7， 0） . 抛物线 w 的对称轴为直线 x=2， 点 D 坐标为（ 2， 0） . 当 x=0 时， y=4， 点 C 的坐标为（ 0， 4） . 设直线 l 的表达式为 y=kx+b， ， 解得 ， 直线 l 的解析式为 y= 2x+4； （ 2） 抛物线 w 向右平移，只有一种情况符合要求，
28、 即 FAC=90，如图 . 此时抛物线 w 的对称轴与 x 轴的交点为 G， 1+ 2=90 2+ 3=90， 1= 3， tan 1=tan 3， = . 设点 F 的坐标为（ xF， 2xF+4）， 解得 xF=5， 2xF+4= 6， 点 F 的坐标为（ 5， 6）， 此时抛物线 w 的函数表达式为 y= x2+ x； （ 3）由平移可得：点 C ，点 A ，点 D 的坐标分别为 C （ m， 4）， A （ 3+m， 0），D （ 2+m， 0）， CC x 轴， C D CD， 可用待定系数法求得 直线 A C 的表达式为 y= x+4 m， 直线 BC 的表达式为 y= x+4， 直线 C D 的表达式为 y= 2x+2m+4， 分别解方程组 解得 和 ， 点 M 的坐标为（ m， m+4），点 N 的坐标为（ m， m+4）， yM=yN MN x 轴， CC x 轴， CC MN. C D CD， 四边形 CMNC 是平行四边形， S=m4（ m+4） = m2
