1、2015年广东省珠海市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 ) 1.12的倒数是 ( ) A.12B.-12C.2 D.-2 解析 ： 12 2=1， 12的倒数是 2. 答案： C 2.计算 -3a2 a3的结果为 ( ) A.-3a5 B.3a6 C.-3a6 D.3a5 解析 ： 利用单项式相乘的运算性质计算即可得到答案 . -3a2 a3=-3a2+3=-3a5， 答案： A 3.一元二次方程 x2+x+14=0 的根的情况是 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定根的情况 解析 ： 一元二次方程 x
2、2+x+14=0 中， =1-4 1 14=0，原方程由两个相等的实数根 . 答案： B 4.一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是 ( ) A.12B.13C.23D.14解析 ： 同时掷两枚质地均匀的硬币一次， 共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果， 两枚硬币都是正面朝上的占一种， 所以两枚硬币都是正面朝上的概率 =14. 答案： D 5.如图，在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB，若 C=25，则 BOD 的度数是 ( ) A.25 B.30 C.40 D.50 解析 ： 在 O 中，直径 CD 垂直于弦 AB， 弧 AD=弧 BD， DOB=2 C=50 .
3、答案： D 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分 ) 6.若分式 35x有意义，则 x 应满足 . 解析 ： 要使分式 35x有意义，得 x-5 0，解得 x 5， 答案： x 5. 7.不等式组 1212xx ，的解集是 . 解析： 1212xx ， ，由得： x -2， 由得： x 3， 不等式组的解集为： -2 x 3， 答案： -2 x 3 8.填空： x2+10x+ =(x+ )2. 解析： 10x=2 5x， x2+10x+52=(x+5)2. 答案： 25； 5. 9.用半径为 12cm，圆心角为 90的扇形纸片围成一个圆锥的侧面 (接缝忽略不计 )，则
4、该圆锥底面圆的半径为 cm. 解析： 圆锥的底面周长是： 90 12180=6 . 设圆锥底面圆的半径是 r，则 2 r=6 ， 解得： r=3. 答案： 3 10.如图，在 A1B1C1中，已知 A1B1=7， B1C1=4， A1C1=5，依次连接 A1B1C1三边中点，得 A2B2C2，再依次连接 A2B2C2的三边中点得 A3B3C3，则 A5B5C5的周长为 . 解析： A2B2、 B2C2、 C2A2分别等于 A1B1、 B1C1、 C1A1的一半， 以此类推： A5B5C5的周长为 A1B1C1的周长的412 ， 则 A5B5C5的周长为 (7+4+5) 16=1. 答案： 1
5、三、解答题 (一 )(共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分 ) 11.计算： -12-2 9 +50+|-3|. 解析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用算术平方根定义计算，第三项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果 . 答案： 原式 =-1-2 3+1+3=-1-6+1+3=-3. 12.先化简，再求值：2111 1 1xx x x （ ） ，其中 x= 2 . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 x 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 = 11x x xxx 211x = 2 111xxx (x+1)(x-1) =x2
6、+1， 当 x= 2 时，原式 =( 2 )2+1=3. 13.如图，在平行四边形 ABCD 中， AB BC. (1)利用尺规作图，在 BC 边上确定点 E，使点 E 到边 AB， AD 的距离相等 (不写作法，保留作图痕迹 )； (2)若 BC=8， CD=5，则 CE=33. 解析： (1)根据角平分线上的点到角的两边距离相等知作出 A 的平分线即可； (2)根据平行四边形的性质可知 AB=CD=5， AD BC，再根据角平分线的性质和平行线的性质得到 BAE= BEA，再根据等腰三角形的性质和线段的和差关系即可求解 . 答案： (1)如图所示： E 点即为所求 . (2)四边形 ABC
7、D 是平行四边形， AB=CD=5， AD BC， DAE= AEB， AE 是 A 的平分线， DAE= BAE， BAE= BEA， BE=BA=5， CE=BC-BE=3. 14.某校体育社团在校内开展“最喜欢的体育项目 (四项选一项 )”调查，对九年级学生随机抽样，并将收集的数据绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图解答下列问题： (1)求本次抽样人数有多少人？ (2)补全条形统计图； (3)该校九年级共有 600 名学生，估计九年级最喜欢跳绳项目的学生有多少人？ 解析： (1)根据喜欢跑步的人数是 5，所占的百分比是 10%，即可求得总人数； (2)根据百分比的意义喜欢篮球的人数
8、，作图即可； (3)利用总人数乘以对应的百分比即可求解 . 答案： (1)本次抽样的人数： 5 10%=50(人 )； (2)喜欢篮球的人数： 50 40%=20(人 )， 如图所示： (3)九年级最喜欢跳绳项目的学生有 600 1550=180(人 ). 15.白溪镇 2012 年有绿地面积 57.5 公顷，该镇近几年不断增加绿地面积， 2014 年达到 82.8公顷 . (1)求该镇 2012 至 2014 年绿地面积的年平均增长率； (2)若年增长率保持不变， 2015 年该镇绿地面积能否达到 100 公顷？ 解析： (1)设每绿地面积的年平均增长率为 x，就可以表示出 2014 年的绿
9、地面积，根据 2014年的绿地面积达到 82.8 公顷建立方程求出 x 的值即可； (2)根据 (1)求出的年增长率就可以求出结论 . 答案： (1)设绿地面积的年平均增长率为 x，根据意，得 57.5(1+x)2=82.8 解得： x1=0.2， x2=-2.2(不合题意，舍去 ) 答：增长率为 20%； (2)由题意，得 82.8(1+0.2)=99.36 万元 答： 2015 年该镇绿地面积不能达到 100 公顷 . 四、解答题 (二 )(本大题共 4 小题，每小题 7 分，共 28 分 ) 16.如图，某塔观光层的最外沿点 E 为蹦极项目的起跳点 .已知点 E 离塔的中轴线 AB 的距
10、离OE 为 10 米，塔高 AB 为 123 米 (AB 垂直地面 BC)，在地面 C 处测得点 E 的仰角 =45，从点 C 沿 CB 方向前行 40 米到达 D 点，在 D 处测得塔尖 A 的仰角 =60，求点 E 离地面的高度 EF.(结果精确到 1 米，参考数据 2 1.4， 3 1.7) 解析： 在直角 ABD 中，利用三角函数求得 BD 的长，则 CF 的长即可求得，然后在直角 CEF中，利用三角函数求得 EF 的长 . 答案： 在直角 ABD 中， BD= 123tan tan 6 0AB =41 3 (米 )， 则 DF=BD-OE=41 3 -10(米 )， CF=DF+CD
11、=41 3 -10+40=41 3 +30(米 )， 则在直角 CEF 中， EF=CF tan =41 3 +30 41 1.7+30 99.7 100(米 ). 答：点 E 离地面的高度 EF 是 100 米 . 17.已知抛物线 y=ax2+bx+3 的对称轴是直线 x=1. (1)求证： 2a+b=0； (2)若关于 x 的方程 ax2+bx-8=0 的一个根为 4，求方程的另一个根 . 解析： (1)直接利用对称轴公式代入求出即可； (2)根据 (1)中所求，再将 x=4 代入方程求出 a， b 的值，进而解方程得出即可 . 答案： (1)对称轴是直线 x=1=2ba， 2a+b=0
12、； (2) ax2+bx-8=0 的一个根为 4， 16a+4b-8=0， 2a+b=0， b=-2a， 16a-8a-8=0，解得： a=1，则 b=-2， ax2+bx-8=0 为： x2-2x-8=0， 则 (x-4)(x+2)=0，解得： x1=4， x2=-2， 故方程的另一个根为： -2. 18.如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A， C 分别在 x 轴， y 轴上，函数 y=kx的图象过点 P(4， 3)和矩形的顶点 B(m， n)(0 m 4). (1)求 k 的值； (2)连接 PA， PB，若 ABP 的面积为 6，求直线 BP 的解析式 . 解析： (1)
13、把 P(4， 3)代入 y=kx，即可求出 k 的值； (2)由函数 y=12x的图象过点 B(m， n)，得出 mn=12.根据 ABP的面积为 6列出方程 12n(4-m)=6，将 mn=12 代入，化简得 4n-12=12，解方程求出 n=6，再求出 m=2，那么点 B(2， 6).设直线BP 的解析式为 y=ax+b，将 B(2， 6)， P(4， 3)代入，利用待定系数法即可求出直线 BP 的解析式 . 答案： (1)函数 y=kx的图象过点 P(4， 3)， k=4 3=12. (2)函数 y=12x的图象过点 B(m， n)， mn=12. ABP 的面积为 6， P(4， 3)
14、， 0 m 4， 12n(4-m)=6， 4n-12=12，解得 n=6， m=2， 点 B(2， 6). 设直线 BP 的解析式为 y=ax+b， B(2， 6)， P(4， 3)， 2643abab，解得 329ab ，直线 BP 的解析式为 y=-32x+9. 19.已知 ABC， AB=AC，将 ABC 沿 BC 方向平移得到 DEF. (1)如图 1，连接 BD， AF，则 BD AF(填“”、“”或“ =” )； (2)如图 2， M 为 AB 边上一点，过 M 作 BC 的平行线 MN 分别交边 AC， DE， DF 于点 G， H， N，连接 BH， GF，求证： BH=GF.
15、 解析： (1)根据等腰三角形的性质，可得 ABC 与 ACB 的关系，根据平移的性质，可得 AC与 DF 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案； (2)根据相似三角形的判定与性质，可得 GM 与 HN 的关系， BM 与 FN 的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得答案 . 答案： (1)由 AB=AC，得 ABC=ACB. 由 ABC 沿 BC 方向平移得到 DEF， 得 DF=AC， DFE= ACB. 在 ABF 和 DFB 中， A B D FA B F D F BB F F B ， ABF DFB(SAS)， BD=AF. (2)MN BF， AMG ABC， DHN D
16、EF， MG AMBC AB ， HN DNEF DF ， MG=HN， MB=NF. 在 BMH 和 FNG 中， B M F NB M H F N GM H N G ， BMH FNG(SAS)， BH=FG. 20.阅读材料：善于思考的小军在解方程组 2 5 34 1 1 5xyxy，时，采用了一种“整体代换”的解法： 解：将方程变形： 4x+10y+y=5 即 2(2x+5y)+y=5 把方程带入得： 2 3+y=5， y=-1 把 y=-1 代入得 x=4，方程组的解为 41.xy， 请你解决以下问题： (1)模仿小军的“整体代换”法解方程组 3 2 59 4 1 9 .xyxy，(
17、2)已知 x， y 满足方程组 223 2 1 2 4 72 8 3 6 .x x y yx x y y ，(i)求 x2+4y2的值； (ii)求 112xy的值 . 解析： (1)模仿小军的“整体代换”法，求出方程组的解即可； (2)方程组整理后，模仿小军的“整体代换”法，求出所求式子的值即可 . 答案： (1)把方程变形： 3(3x-2y)+2y=19， 把代入得： 15+2y=19，即 y=2， 把 y=2 代入得： x=3，则方程组的解为 32.xy， (2)(i)由得： 3(x2+4y2)=47+2xy，即 x2+4y2=47 23 xy， 把代入得： 2 47 23 xy=36-
18、xy，解得： xy=2，则 x2+4y2=17. (ii) x2+4y2=17， (x+2y)2=x2+4y2+4xy=17+8=25， x+2y=5 或 x+2y=-5，则 1 1 2 52 2 4xyx y x y . 21.五边形 ABCDE 中， EAB= ABC= BCD=90， AB=BC，且满足以点 B 为圆心， AB 长为半径的圆弧 AC 与边 DE 相切于点 F，连接 BE， BD. (1)如图 1，求 EBD 的度数； (2)如图 2，连接 AC，分别与 BE， BD 相交于点 G， H，若 AB=1， DBC=15，求 AG HC 的值 . 解析： (1)如图 1，连接
19、BF，由 DE 与 B 相切于点 F，得到 BF DE，通过 Rt BAE Rt BEF，得到 1= 2，同理 3= 4，于是结论可得； (2)如图 2，连接 BF 并延长交 CD 的延长线于 P，由 ABE PBC，得到 PB=BE=233，求出PF=233-1，通过 AEG CHD，列比例式即可得到结果 . 答案： (1)如图 1，连接 BF， DE 与 B 相切于点 F， BF DE， 在 Rt BAE 与 Rt BEF 中， BA BFBE BE， Rt BAE Rt BEF， 1= 2，同理 3= 4， ABC=90， 2+ 3=45，即 EBD=45 . (2)如图 2，连接 BF
20、 并延长交 CD 的延长线于 P， 4=15， 由 (1)知， 3= 4=15， 1= 2=30， PBC=30， EAB= PCB=90， AB=1， AE= 33， BE=233， 在 ABE 与 PBC 中， 1 PBCA B B CB A E B C P ， ABE PBC， PB=BE=233， PF=233-1， P=60， DF=2- 3 ， CD=DF=2- 3 ， EAG= DCH=45， AGE= BDC=75， AEG CHD， AG AECD CH， AG CH=CD AE， AG CH=CD AE=(2- 3 ) 33=2 3 33. 22.如图，折叠矩形 OABC的
21、一边 BC，使点 C落在 OA边的点 D处，已知折痕 BE=5 5 ，且 43ODOE，以 O 为原点， OA 所在的直线为 x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线 l： y=-116x2+12x+c 经过点 E，且与 AB 边相交于点 F. (1)求证： ABD ODE； (2)若 M 是 BE 的中点，连接 MF，求证： MF BD； (3)P 是线段 BC 上一点，点 Q 在抛物线 l 上，且始终满足 PD DQ，在点 P 运动过程中，能否使得 PD=DQ？若能，求出所有符合条件的 Q 点坐标；若不能，请说明理由 . 解析： (1)由折叠和矩形的性质可知 EDB= BCE=90，可证
22、得 EDO= DBA，可证明 ABD ODE； (2)由条件可求得 OD、 OE 的长，可求得抛物线解析式，结合 (1)由相似三角形的性质可求得DA、 AB，可求得 F 点坐标，可得到 BF=DF，又由直角三角形的性质可得 MD=MB，可证得 MF为线段 BD 的垂直平分线，可证得结论； (3)过 D作 x轴的垂线交 BC于点 G，设抛物线与 x轴的两个交点分别为 M、 N，可求得 DM=DN=DG，可知点 M、 N 为满足条件的点 Q，可求得 Q 点坐标 . 答案： (1)四边形 ABCO 为矩形，且由折叠的性质可知 BCE BDE， BDE= BCE=90， BAD=90， EDO+ BD
23、A= BDA+ DAB=90， EDO= DBA，且 EOD= BAD=90， ABD ODE； (2) 43ODOE，设 OD=4x， OE=3x，则 DE=5x， CE=DE=5x， AB=OC=CE+OE=8x， 又 ABD ODE， 34DA OEAB OD， DA=6x， BC=OA=10x， 在 Rt BCE 中，由勾股定理可得 BE2=BC2+CE2，即 (5 5 )2=(10x)2+(5x)2，解得 x=1， OE=3， OD=4， DA=6， AB=8， OA=10， 抛物线解析式为 y=-116x2+12x+c， 当 x=10 时，代入可得 y=74， AF=74， BF=
24、AB-AF=8-74=254， 在 Rt AFD 中，由勾股定理可得 DF= 22 2 27 2 5644A F A D ， BF=DF， 又 M 为 Rt BDE 斜边上的中点， MD=MB， MF 为线段 BD 的垂直平分线， MF BD； (3)由 (2)可知抛物线解析式为 y=-116x2+12x+c，设抛物线与 x 轴的两个交点为 H、 G， 令 y=0，可得 0=-116x2+12x+3，解得 x=-4 或 x=12， H(-4， 0)， G(12， 0)， 当 PD x 轴时，由于 PD=8， DM=DN=8， 故点 Q 的坐标为 (-4， 0)或 (12， 0)时， PDQ 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形； 当 PD 不垂直与 x 轴时，分别过 P， Q 作 x 轴的垂线，垂足分别为 N， I，则 Q 不与 G 重合，从而 I 不与 G 重合，即 DI 8. PD DQ， QDI=90 - PDN= DPN， Rt PDN Rt DQI， PN=8， PN DI， Rt PDN 与 Rt DQI 不全等， PD DQ，另一侧同理 PD DQ. 综合，所有满足题设条件的点 Q 的坐标为 (-4， 0)或 (12， 0).
