1、2015年广东省茂名市中考真题数学 一、选择题 (本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，每小题给出的四个答案，其中只有一个是正确的 ) 1. |-3|等于 ( ) A.3 B.-3 C.13D.-13解析 ：根据负数的绝对值是它的相反数，得 |-3|=-(-3)=3. 答案： A 2.如图是一个正方体的平面展开图，折叠成正方体后与“建”字所在面相对的面的字是 ( ) A.创 B.教 C.强 D.市 解析 ： 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“建”与“强”是相对面 . 答案： C 3.下列各式计算正确的是 ( ) A.5a+3a=8a2 B.(a-b)2=a2-
2、b2 C.a3 a7=a10 D.(a3)2=a7 解析 ： A、 5a+3a=8a，故错误； B、 (a-b)2=a2-2ab+b2，故错误； C、 a3 a7=a10，正确； D、 (a3)2=a6，故错误 . 答案： C 4. 如图，四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， B=70，则 D 的度数是 ( ) A.110 B.90 C.70 D.50 解析 ： 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形， D+ B=180， D=180 -70 =110， 答案： A. 5.在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等腰三角形 B.平行四边形 C
3、.直角梯形 D.圆 解析 ： 在等腰三角形、平行四边形、直角梯形和圆中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是圆 . 答案： D 6.下列说法正确的是 ( ) A.面积相等的两个三角形全等 B.矩形的四条边一定相等 C.一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等 D.随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后一定是正面朝上 解析 ： A、面积相等的两个三角形不一定全等，此选项错误； B、矩形的对边相等，此选项错误； C、一个图形和它旋转后所得图形的对应线段相等，此选项正确； D、 随机投掷一枚质地均匀的硬币，落地后不一定是正面朝上，此选项错误 . 答案： C 7.为了帮扶本市一名特困儿童，某班有 20 名同
4、学积极捐款，他们捐款的数额如下表： 对于这 20 名同学的捐款，众数是 ( ) A.20 元 B.50 元 C.80 元 D.100 元 解析 ： 由题意得，所给数据中， 50 元出现了 7 次，次数最多，即这组数据的众数为 50 元 . 答案： B 8.如图， OC 是 AOB 的平分线， P 是 OC 上一点， PD OA 于点 D， PD=6，则点 P 到边 OB 的距离为 ( ) A.6 B.5 C.4 D.3 解析 ： 如图，过点 P 作 PE OB 于点 E， OC 是 AOB 的平分线， PD OA 于 D， PE=PD， PD=6， PE=6，即点 P 到 OB 的距离是 6.
5、 答案： A 9.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是 ( ) A.y=1xB.y=-2x-3 C.y=2x2+1 D.y=5x 解析 ： A、当 x=0 时， y=1x无意义，不经过原点，故本选项错误； B、当 x=0 时， y=3，不经过原点，故本选项错误； C、当 x=0 时， y=1，不经过原点，故本选项错误； D、当 x=0 时， y=0，经过原点，故本选项正确 . 答案： D 10.张三和李四两人加工同一种零件，每小时张三比李四多加工 5 个零件，张三加工 120 个这种零件与李四加工 100 个这种零件所用时间相等，求张三和李四每小时各加工多少个这种零件？若设张三每小时
6、经过这种零件 x 个，则下面列出的方程正确的是 ( ) A. 120 1005xxB.120 1005xx C. 120 1005xxD.120 1005xx 解析 ： 设张三每小时加工这种零件 x 个，则李四每小时加工这种零件 (x-5)个，由题意得，120 1005xx . 答案： B. 二、填空题 (本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分 ) 11. -8 的立方根是 . 解析 ： (-2)3=-8， -8 的立方根是 -2. 答案： -2 12.一个多边形的内角和是 720，那么这个多边形是 边形 . 解析 ： 这个正多边形的边数是 n，则 (n-2) 180 =720，解得
7、： n=6.则这个正多边形的边数是六 . 答案： 六 . 13.不等式 x-4 0 的解集是 . 解析 ： x-4 0，移项得： x 4. 答案： x 4 14.如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 与 C重合 .若 AB=3，则 C D 的长为 . 解析 ： 在矩形 ABCD 中， CD=AB， 矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠后点 C 和点 C重合， C D=CD， C D=AB， AB=3， C D=3. 答案： 3 15.为了求 1+3+32+33+ +3100的值，可令 M=1+3+32+33+ +3100，则 3M=3+32+33+34+ +3101，因此，
8、3M-M=3101-1，所以 M= 101312，即 1+3+32+33+ +3100= 101312，仿照以上推理计算：1+5+52+53+ +52015的值是 . 解析 ： 设 M=1+5+52+53+ +52015，则 5M=5+52+53+54 +52016， 两式相减得： 4M=52016-1，则 M= 2016514答案： 2016514三、用心做一做 (本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分 ) 16.计算： (-13)-1-|-4|+ 2234 +(sin30 )0. 解析 ： 本题涉及负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点 .针对每个考点分
9、别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果 . 答案： (-13)-1-|-4|+ 2234 +(sin30 )0=-3-4+5+1=-1. 17.设 y=ax，若代数式 (x+y)(x-2y)+3y(x+y)化简的结果为 x2，请你求出满足条件的 a 值 . 解析 ： 先利用因式分解得到原式 (x+y)(x-2y)+3y(x+y)=(x+y)2，再把当 y=ax 代入得到原式=(a+1)2x2，所以当 (a+1)2=1 满足条件，然后解关于 a 的方程即可 . 答案： 原式 =(x+y)(x-2y)+3y(x+y)=(x+y)2， 当 y=ax，代入原式得 (1+a)2x2=x2，即 (
10、1+a)2=1，解得： a=-2 或 0. 18.补充完整三角形中位线定理，并加以证明： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线 ； (2)已知：如图， DE 是 ABC 的中位线，求证： DE BC， DE=12BC. 解析 ： (1)根据三角形的中位线定理填写即可； (2)延长 DE 到 F，使 FE=DE，连接 CF，利用“边角边”证明 ADE 和 CFE 全等，根据全等三角形对应角相等可得 A= ECF，全等三角形对应边相等可得 AD=CF，然后求出四边形 BCFD是平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可 . 答案： (1)三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的
11、一半； 故答案为：平行于第三边，且等于第三边的一半； (2)证明：如图，延长 DE 到 F，使 FE=DE，连接 CF， 在 ADE 和 CFE 中， A E E CA E D C E FD E E F ， ADE CFE(SAS)， A= ECF， AD=CF， CF AB， 又 AD=BD， CF=BD，四边形 BCFD 是平行四边形， DF BC， DF=BC， DE BC， DE=12BC. 四、沉着冷静，缜密思考 (本大题共 2 小题，每小题 7 分，共 14 分 ) 19.某校为了丰富学生的第二课堂，对学生参与演讲、舞蹈、书法和摄影活动的兴趣情况进行调查，学校采取随机抽样的方法进行
12、问卷调查 (每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中最感兴趣的一项 )，对调查结果进行统计后，绘制了如下两个统计图： (1)此次调查抽取的学生人数 m= 名，其中选择“书法”的学生占抽样人数的百分比n= ； (2)若该校有 3000 名学生，请根据以上数据估计该校对“书法”最感兴趣的学生人数 . 解析 ： (1)利用扇形统计图和条形统计图得出参与演讲的人数和所占百分比，进而求出总人数，再求出参加书法的人数，进而求出占抽样人数的百分比； (2)利用 (1)中所求得出该校对“书法”最感兴趣的学生人数 . 答案： (1)由题意可得：此次调查抽取的学生人数 m=30 20%=150， 选择“书法”的学
13、生占抽样人数的百分比 n=(150-30-60-15) 150 100%=30%； 故答案为： 150， 30%； (2)由 (1)得： 3000 30%=900(名 )， 答：该校对“书法”最感兴趣的学生人数为 900 名 . 20.在一个不透明的袋中装有 2 个黄球， 3 个黑球和 5 个红球，它们除颜色外其他都相同 . (1)将袋中的球摇均匀后，求从袋中随机摸出一个球是黄球的概率； (2)现在再将若干个红球放入袋中，与原来的 10 个球均匀混合在一起，使从袋中随机摸出一个球是红球的概率是 23，请求出后来放入袋中的红球的个数 . 解析 ： (1)用黄球的个数除以所有球的个数即可求得概率；
14、 (2)根据概率公式列出方程求得红球的个数即可 . 答案： (1)共 10 个球，有 2 个黄球， P(黄球 )= 2110 5； (2)设有 x 个红球，根据题意得： 5210 3xx ，解得： x=5.故后来放入袋中的红球有 5 个 . 五、满怀信心，再接再厉 (本大题共 3 小题，每小题 8 分，共 24 分 ) 21.如图，一条输电线路从 A地到 B地需要经过 C地，图中 AC=20千米， CAB=30， CBA=45，因线路整改需要，将从 A 地到 B 地之间铺设一条笔直的输电线路 . (1)求新铺设的输电线路 AB 的长度； (结果保留根号 ) (2)问整改后从 A 地到 B 地的
15、输电线路比原来缩短了多少千米？ (结果保留根号 ) 解析： (1)过 C 作 CD AB，交 AB 于点 D，在直角三角形 ACD 中，利用锐角三角函数定义求出CD 与 AD 的长，在直角三角形 BCD 中，利用锐角三角函数定义求出 BD 的长，由 AD+DB 求出AB 的长即可； (2)在直角三角形 BCD 中，利用勾股定理求出 BC 的长，由 AC+CB-AB 即可求出输电线路比原来缩短的千米数 . 答案 ： (1)过 C 作 CD AB，交 AB 于点 D， 在 Rt ACD 中， CD=AC sin CAD=20 12=10(千米 )， AD=AC cos CAD=20 32=10 3
16、 (千米 )， 在 Rt BCD 中， BD= 10tan 1CDC B D =10(千米 )， AB=AD+DB=10 3 +10=10( 3 +1)(千米 )， 则新铺设的输电线路 AB 的长度 10( 3 +1)(千米 )； (2)在 Rt BCD 中，根据勾股定理得： BC= 22CD BD =10 2 (千米 )， AC+CB-AB=20+10 2 -(10 3 +10)=10(1+ 2 - 3 )(千米 )， 则整改后从 A 地到 B 地的输电线路比原来缩短了 10(1+ 2 - 3 )千米 . 22.在平面直角坐标系中，我们不妨把纵坐标是横坐标的 2 倍的点称之为“理想点”，例如
17、点(-2， -4)， (1， 2)， (3， 6)都是“理想点”，显然这样的“理想点”有有无数多个 . (1)若点 M(2， a)是反比例函数 y=kx(k 为常数， k 0)图象上的“理想点”，求这个反比例函数的表达式； (2)函数 y=3mx-1(m 为常数， m 0)的图象上存在“理想点”吗？若存在，请求出“理想点”的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据“理想点”，确定 a 的值，即可确定 M 点的坐标，代入反比例函数解析式，即可解答； (2)假设函数 y=3mx-1(m 为常数， m 0)的图象上存在“理想点” (x， 2x)，则有 3mx-1=2x，整理得： (3m-2
18、)x=1，分两种情况讨论：当 3m-2 0，即 m 23时，解得： x= 132m，当 3m-2=0，即 m=23时， x 无解，即可解答 . 答案： 点 M(2， a)是反比例函数 y=kx(k 为常数， k 0)图象上的“理想点”， a=4， 点 M(2， 4)在反比例函数 y=kx(k 为常数， k 0)图象上， k=2 4=8， 反比例函数的解析式为 y=8x. (2)假设函数 y=3mx-1(m 为常数， m 0)的图象上存在“理想点” (x， 2x)，则有 3mx-1=2x， 整理得： (3m-2)x=1， 当 3m-2 0，即 m 23时，解得： x= 132m， 当 3m-2=
19、0，即 m=23时， x 无解， 综上所述，当 m 23时，函数图象上存在“理想点”，为 ( 132m， 232m)； 当 m=23时，函数图象上不存在“理想点” . 23.某公司生产的某种产品每件成本为 40 元，经市场调查整理出如下信息： 该产品 90 天内日销售量 (m 件 )与时间 (第 x 天 )满足一次函数关系，部分数据如下表： 该产品 90 天内每天的销售价格与时间 (第 x 天 )的关系如下表： (1)求 m 关于 x 的一次函数表达式； (2)设销售该产品每天利润为 y 元，请写出 y 关于 x 的函数表达式，并求出在 90 天内该产品哪天的销售利润最大？最大利润是多少？【提
20、示：每天销售利润 =日销售量 (每件销售价格-每件成本 )】 (3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于 5400 元，请直接写出结果 . 解析： (1)根据待定系数法解出一次函数解析式即可； (2)设利润为 y 元，则当 1 x 50 时， y=-2x2+160x+4000；当 50 x 90 时， y=-120x+12000，分别求出各段上的最大值，比较即可得到结论； (3)直接写出在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5400 元 . 答案： (1) m 与 x 成一次函数， 设 m=kx+b，将 x=1， m=198， x=3， m=194 代入，得： 1983
21、 194kbkb，解得： 2200.kb， 所以 m 关于 x 的一次函数表达式为 m=-2x+200； (2)设销售该产品每天利润为 y 元， y 关于 x 的函数表达式为： 2 (2 1 6 0 4 0 0 0 1 5 01 2 0 1 2 0 0 0 5 0)9() 0y x x xy x x ，当 1 x 50 时， y=-2x2+160x+4000=-2(x-40)2+7200， -2 0，当 x=40 时， y 有最大值，最大值是 7200； 当 50 x 90 时， y=-120x+12000， -120 0， y 随 x 增大而减小，即当 x=50 时， y 的值最大，最大值是
22、 6000； 综上所述，当 x=40 时， y 的值最大，最大值是 7200，即在 90 天内该产品第 40 天的销售利润最大，最大利润是 7200 元； (3)在该产品销售的过程中，共有 46 天销售利润不低于 5400 元 . 六、灵动管理，超越自我 (本大题共 2 小题，每小题 8 分，共 16 分 ) 24.如图， Rt ABC 中， ACB=90， AC=6cm， BC=8cm.动点 M 从点 B 出发，在 BA 边上以每秒 3cm 的速度向定点 A 运动，同时动点 N 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速度向点 B运动，运动时间为 t 秒 (0 t 103)，连接 M
23、N. (1)若 BMN 与 ABC 相似，求 t 的值； (2)连接 AN， CM，若 AN CM，求 t 的值 . 解析： (1)根据题意得出 BM， CN，易得 BN， BA，分类讨论当 BMN BAC 时，利用相似三角形的性质得 BM BNBA BC，解得 t；当 BMN BCA 时， BM BNBC BA，解得 t，综上所述， BMN 与 ABC 相似，得 t 的值； (2)过点 M 作 MD CB 于点 D，利用锐角三角函数易得 DM， BD，由 BM=3tcm， CN=2tcm，易得CD，利用三角形相似的判定定理得 CAN DCM，由三角形相似的性质得 AC CDCN DM，解得
24、t. 答案： (1)由题意知， BM=3tcm， CN=2tcm， BN=(8-2t)cm， BA= 2268 =10(cm)， 当 BMN BAC 时， BM BNBA BC， 3 8 210 8tt，解得： 2011t； 当 BMN BCA 时， BM BNBC BA， 3 8 28 10tt，解得： t=3223， BMN 与 ABC 相似时， t 的值为 2011或 3223； (2)过点 M 作 MD CB 于点 D，由题意得： DM=BMsinB=3t 610=95t(cm)， BD=BMcosB=3t 810=125t(cm)， BM=3tcm， CN=2tcm， CD=(8-
25、125t)cm， AN CM， ACB=90， CAN+ ACM=90， MCD+ ACM=90， CAN= MCD， MD CB， MDC= ACB=90， CAN DCM， AC CDCN DM，1286 5925tt t ，解得 t=1312 . 25.如图，在平面直角坐标系中， A 与 x 轴相交于 C(-2， 0)， D(-8， 0)两点，与 y 轴相切于点 B(0， 4). (1)求经过 B， C， D 三点的抛物线的函数表达式； (2)设抛物线的顶点为 E，证明：直线 CE 与 A 相切； (3)在 x 轴下方的抛物线上，是否存在一点 F，使 BDF 面积最大，最大值是多少？并求
26、出点F 的坐标 . 解析： (1)把 B(0， 4)， C(-2， 0)， D(-8， 0)代入二次函数的解析式即可得到结果； (2)由 y= 221 5 1 94 ( 5 )4 2 4 4x x x ，得到顶点坐标 E(-5， -94)，求得直线 CE 的函数解析式 y=34x+32，在 y=34x+32中，令 x=0， y=32，得到 G(0， 32)，如图 1，连接 AB， AC，AG，得 BG=OB-OG=4-32=52， CG=52，得到 BG=CG， AB=AC，证得 ABG ACG，得到 ACG= ABG，由于 A 与 y 轴相切于点 B(0， 4)，于是得到 ABG=90，即可
27、求得结论； (3)如图 2，连接 BD， BF， DF，设 F(t， 14t2+52t+4)，过 F 作 FN y 轴交 BD 于点 N，求得直线 BD 的解析式为 y=12x+4，得到点 N 的坐标为 (t， 12t+4)，于是得到 FN=12t+4-(14t2+52t+4)=-14t2-2t，推出 S DBF=S DNF+S BNF=12OD FN=12 8 (-14t2-2t)=-t2-8t=-(t+4)2+16，即可得到结论 . 答案： (1)设抛物线的解析式为： y=ax2+bx+c， 把 B(0， 4)， C(-2， 0)， D(-8， 0)代入得： 40 4 20 6 4 8ca
28、 b ca b c ，解得14524.abc，经过 B， C， D 三点的抛物线的函数表达式为： y=14x2+52x+4； (2) y=14x2+52x+4=14(x+5)2-94， E(-5， -94)， 设直线 CE 的函数解析式为 y=mx+n，直线 CE 与 y 轴交于点 G，则 02954mnmn ，解得343.2mnn ， y=34x+32， 在 y=34x+32中，令 x=0， y=32， G(0， 32)， 如图 1，连接 AB， AC， AG， 则 BG=OB-OG=4-32=52， CG= 2 2 2 22 3()2O C O G =52， BG=CG， AB=AC， 在
29、 ABG 与 ACG 中， AB ACBG CGAG AG， ABG ACG， ACG= ABG， A 与 y 轴相切于点 B(0， 4)， ABG=90， ACG= ABG=90 点 C 在 A 上，直线 CE 与 A 相切； (3)存在点 F，使 BDF 面积最大， 如图 2 连接 BD， BF， DF，设 F(t， 14t2+ 52t+4)， 过 F 作 FN y 轴交 BD 于点 N， 设直线 BD 的解析式为 y=kx+d，则 408dkd ，解得 124kd ，直线 BD 的解析式为 y=12x+4，点 N 的坐标为 (t， 12t+4)， FN=12t+4-(14t2+ 52t+4)=-14t2-2t， S DBF=S DNF+S BNF=12OD FN=12 8 (-14t2-2t)=-t2-8t=-(t+4)2+16， 当 t=-4 时， S BDF最大，最大值是 16， 当 t=-4 时， 14t2+52t+4=-2， F(-4， -2).
