1、2015 年广西崇左市中考真题数学 一、 单项选择题 (本大题共 12 小题；每小题 3 分，共 36 分；在每小题提供的四个选项中，只有一个是正确的 ) 1. 一个物体作左右方向的运动，规定向右运动 4m 记作 +4m，那么向左运动 4m 记作 ( ) A -4m B 4m C 8m D -8m 解析：根据正数和负数表示相反意义的量，向右移动记为正，那么向左移动记为负把一个物体向右移动 4m 记作 +4m，那么这个物体又向左移动 4m 记作 -4m. 答案： A 2. 下列各图中， 1 与 2 互为余角的是 ( ) A B C D 解析：如果两个角的和等于 90 (直角 )，就说这两个角互为
2、余角 .结合图形，四个选项中，只有选项 C 满足 1+ 2=90，即选项 C 中， 1 与 2 互为余角 答案： C 3. 下列各组中，不是同类项的是 ( ) A 52与 25 B -ab 与 ba C 0.2a2b 与 15a2b D a2b3与 -a3b2 解析：考查同类项，根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关 .所以不是同类项的是 a2b3与 -a3b2 答案： D 4. 下列计算正确的是 ( ) A (-8)-8=0 B 3+ 3 =3 3 C (-3b)2=9b2 D a6 a2=a3 解析 ： A、考查有理数的减法，
3、(-8)-8=-16，故错误； B、考查合并同类项， 3 与 3 不是同类项，不能合并，故错误； C、考查 积的乘方， (-3b)2=9b2， 正确； D、 考查同底数幂的除法， a6 a2=a4，故错误 . 答案 ： C 5. 如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面的相对面上的字是( ) A的 B中 C国 D梦 解析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形 . “们”与“中”是相对面，“我”与“梦”是相对面，“的”与“国”是相对面 答案： D 6. 如果一个三角形的两边长分别为 2 和 5，则第三边长可能是 ( ) A 2 B 3 C 5 D 8 解析：考查
4、三角形三边关系：在三角形中任意两边之和第三边，任意两边之差第三边 . 设第三边长为 x，则根据三角形三边关系定理得 5-2 x 5+2，解得 3 x 7 答案： C 7. 下列命题是假命题的是 ( ) A对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 B对角线互相垂直的矩形是正方形 C对角线相等的菱形是正方形 D对角线互相垂直的四边形是正方形 解析：考查命题与定理，正方形的判定正方形的判定方法： 先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等； 先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角； 还可以先判定四边形是平行四边形，再用 1 或 2 进行判断； 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
5、； 所以 D 是错误的 答案： D 8. 甲、乙、丙、丁四位同学在三次数学测验中，他们成绩的平均分是 x甲=85， x乙=85， x丙=85， x丁=85，方差是 S 甲 2=3.8， S 乙 2=2.3， S 丙 2=6.2， S 丁 2=5.2，则成绩最稳定的是 ( ) A甲 B乙 C丙 D丁 解析：考查方差，算术平均数根据 题意 S 甲 2=3.8， S 乙 2=2.3， S 丙 2=6.2， S 丁 2=5.2 可 得 s 乙2 s甲2 s丁2 S丙2，根据方差的意义 (方差反映一组数据的波动大小，方差越小，波动越小，越稳定 )可知， 成绩最稳定的是乙 答案： B 9. 不等式 5x
6、-10 的解集在数轴上表示为 ( ) A B C D 解析：考查解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集将不等式两边同时除以 5 将系数化 1 即可确定不等式的解集为 x -2，在数轴上表示为： . 答案： C 10. 如图，在 Rt ABC 中， C=90， AB=13， BC=12，则下列三角函数表示正确的是 ( ) A sinA=1213B cosA=1213C tanA=512D tanB=125解析：考查锐角三角函数的定义根据勾股定理求出 AC 的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算判断： ACB=90， AB=13， BC=12， AC= 22AB BC = 221
7、3 12 =5， A、 sinA= 1213BCAB，故本选项正确； B、 cosA= 513ACAB，故本选项错误 C、 tanA= 125BCAC，故本选项错误； D、 tanB= 512ACBC，故本选项错误； 答案 ： A 11. 若反比例函数 y=kx的图象经过点 (2， -6)，则 k 的值为 ( ) A -12 B 12 C -3 D 3 解析：根据反比例函数图象上点的坐标性质代入即可：反比例函数 y=kx的图象经过点 (2，-6)， -6=2k， k=2 (-6)=-12 答案： A 12. 下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第 4 个图形中所有正三角形的个数有 ( ) A
8、 160 B 161 C 162 D 163 解析：由图可以看出： 第一个图形中由角上的 3 个三角形加上中间 1 个小三角形再加上外围 1 个大三角形，正三角形个数为 5； 第二个图形的三个角上的部分是上一个图形的全部，另外加上中间一个小的三角形和外围的一个大三角形，正三角形个数为 5 3+1+1=17； 第三个图形正三角形的个数为 17 3+2=53， 第四个图形正三角形的个数为 53 3+2=161. 答案： B 二、 填空题 (本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分 ) 13. 比较大小： 0 -2(填“”“”或“ =” ) 解析：考查有理数大小比较，根据负数都小于 0 可知
9、： 0 -2 答案 ： 14. 据统计，参加“崇左市 2015 年初中毕业升学考试”的人数用科学记数法表示为 1.47104人，则原来的人数是 人 解析：考查根据科学记数法找原数，根据科学记数法的表示方法， n 0 时， n 是几，小数点就向后移几位，可知： 1.47 104是用科学记数法表示的数，是 14700， 答案： 14700 15. 若直线 a b， a c，则直线 b c 解析：考查平行线的性质，垂线如图所示， a c， 1=90 a b， 1= 2=90， b c 答案： 16. 小明同学参加“献爱心”活动，买了 2 元一注的爱心福利彩票 5 注，则“小明中奖”的事件为 事件 (
10、填“必然”或“不可能”或“随机” ) 解析 :根据必然事件，不可能事件以及随机事件的定义判断 .小明同学参加“献爱心”活动，买了 2 元一注的爱心福利彩票 5 注，可能中奖，也可能不中奖，所以“小明中奖”的事件为随机事件 答案：随机 17. 如图，线段 AB 是 O 的直径，点 C 在圆上， AOC=80，点 P 是线段 AB 延长线上的一动点，连接 PC，则 APC 的度数是 度 (写出一个即可 ) 解析：考查圆周角定理，三角形的外角性质 线段 AB 是 O 的直径，点 C 在圆上， AOC=80， ABC=40， 点 P 是线段 AB 延长线上的一动点， APC 的度数一定小于 40， 故
11、 APC 的度数可以为： 30 答案： 30 (答案不唯一，只要比 40小即可 ) 18. 4 个数 a， b， c， d 排列成 acbd，我们称之为二阶行列式规定它的运算法则为： acbd=ad-bc若 33xx33xx=12， 则 x= 解析 ：利用题中新定义得： 33xx33xx=(x+3)2-(x-3)2=12，整理得： 12x=12，解得： x=1 答案 ： 1 三、 解答题 (本大题共 8 小题，满分 66 分 ) 19. 计算： (-1)0-4cos45 +|-5|+ 8 解析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简四个考点针对每个考点分别进行计算 . 答案
12、： (-1)0-4cos45 +|-5|+ 8 =1-4 22+5+2 2 =6-2 2 +2 2 =6 20. 化简： 222112a a aa（ ） 解析：考查分式的混合运算原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果 答案：原式 = 2 (2 2 1 2 21 1 1 1)1a a a a aa a a a a a a 21. 如图，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC上， AB=AC， AD=AE求证： BE=CD 解析：考查全等三角形的判定与性质利用 SAS 证得 ADC AEB，根据全等三角形对应边相等即可证得结论 答案：在 ADC 和
13、 AEB 中， AD AEAAAB AC， ADC AEB， BE=CD 22. 如图， A1B1C1 是 ABC 向右平移 4 个单位长度后得到的，且三个顶点的坐标分别为A1(1， 1)， B1(4， 2)， C1(3， 4) (1)请画出 ABC，并写出点 A， B， C 的坐标 . 解析： (1)考查根据平移变换作图 .直接把 A1B1C1是向左平移 4 个单位，再写出点 A， B， C的坐标 . 答案： (1)如图所示， A(-3， 1)， B(0， 2)， C(-1， 4). (2)求出 AOA1的面积 解析： (2)根据三角形的面积公式即可得出结论 答案： (2)S AOA1=12
14、 4 1=2 23. 为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其屋”，某市加快了廉租房的建设力度 2013年市政府共投资 3 亿元人民币建设了廉租房 12 万平方米， 2015 年投资 6.75 亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同 (1)求每年市政府投资的增长率 . 解析：设每年市政府投资的增长率为 x，根据关系式： 2013 年的投资 (1+x)2=2015 年的投资，列出方程，解方程即可 . 答案：设每年市政府投资的增长率为 x，根据题意得： 3(1+x)2=6.75， 解得： x=0.5，或 x=-2.5(不合题意，舍去 )， x=0.5=50%， 即每年市政府投资的增
15、长率为 50%. (2)若这两年内的建设成本不变，问 2015 年建设了多少万平方米廉租房？ 解析：根据 2015 年的廉租房 面积 =2013 年的廉租房面积 (1+每年市政府投资增长率 )2， 计算 即可得出结果 答案：由题意得， 2015 年减少廉租房面积： 12 (1+50%)2=27(万平方米 ) 答： 2015 年建设了 27 万平方米廉租房 24. 自从 2012 年 12 月 4 日中央公布“八项规定”以来，我市某中学积极开展“厉行勤俭节约，反对铺张浪费”的活动为此，校学生会在全校范围内随机抽取了若干名学生就某日晚饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种： A饭和菜全部吃完；
16、B有剩饭但菜吃完；C饭吃完但菜有剩； D饭和菜都有剩学生会根据统计结果绘制了如下统计表和统计图，根据所提供的信息回答下列问题： (1)这次被抽查的学生有多少人？ 解析：考查条形统计图，用样本估计总体 .用 C 的人数除以相对应的频率就是总学生数 . 答案：根据统计表可得， C的人数为 5，频率为 0.1，所以这次被抽查的学生数： 5 0.1=50(人 )；答：这次被抽查的学生有 50 人 (2)求表中 M， n 的值，并补全条形统计图 . 解析：考查频数 (率 )分布表， A 的频率 M=频数样本容量， B 的频数 n=样本容量频率；根据所求补全条形统计图 . 答案： A 的频率： M=30
17、50=0.6； B 的频数： n=50 0.2=10； 条形统计图如下： (3)该中学有学生 2200 名，请估计这餐晚饭有剩饭的学生人数，按平均每人剩 10 克米饭计算，这餐晚饭将浪费多少千克米饭？ 解析： 先求出这餐晚饭有剩饭的学生人数为： 剩饭人数 =总人数 剩饭人数频率 ，再用人数乘每人平均剩 10 克米饭，把结果化为千克 即可 . 答案： 由题意得，有剩饭的为 B 和 D，结合统计表可知， 这餐晚饭有剩饭的学生人数为： 2200 (0.2+0.1)=660(人 )， 浪费米饭： 660 10=6600(克 )=6.6(千克 ) 答：这餐晚饭将浪费 6.6 千克米饭 25. 一块材料的
18、形状是锐角三角形 ABC，边 BC=12mm，高 AD=80mm，把它加工成正方形零件如图 1，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB， AC 上 (1)求证： AEF ABC. (2)求这个正方形零件的边长 . (3)如果把它加工成矩形零件如图 2，问这个矩形的最大面积是多少？ 解析： (1)根据矩形的对边平行得到 BC EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其他两边或其他两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”判定即可 解析： (2)根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即 AEF ABC， BFGBAD，从而得出边长之比 EF AEBC AB ， EG BEAD
19、AB ，得到 1E F E G A E B EB C A D A B A B ，进而求出正方形的边长 . (3)分别讨论长方形的长和宽在 BC 上的情况，再根据相应得关系式 1EF EGBC AD 得出所求 答案： (1)四边形 EGFH 为矩形， BC EF， AEF ABC. 答案： (2)设正方形零件的边长为 a， 在正方形 EFGH 中， EF BC， EG AD AEF ABC， BFG BAD EF AEBC AB， EG BEAD AB， 1E F E G A E B EB C A D A B A B ， 即： 1120 80aa =解得： a=48 即：正方形零件的边长为 48
20、. 答案： (3)设长方形的长为 x，宽为 y， 当长方形的长在 BC 时， 由 (1)知： 1120 80yx =， 21 2 0 8 0 1 2 0 8 0y x y x ， 当 0.5120 80yx，即 x=60， y=40， xy 最大为 2400. 当长方形的宽在 BC 时， 1120 80xy =， 21 2 0 8 0 1 2 0 8 0x y x y ， 当 0.5120 80xy，即 x=40， y=60， xy 最大为 2400， 又 x y，所以长方形的宽在 BC 时，面积 2400 综上，长方形的面积最大为 2400 26. 如图，在平面直角坐标系中，点 M 的坐标是
21、 (5， 4)， M 与 y 轴相切于点 C，与 x 轴相交于 A， B 两点 (1)则点 A， B， C 的坐标分别是 A( ， )， B( ， )， C( ， ). (2)设经过 A， B 两点的抛物线解析式为 y=14(x-5)2+k，它的顶点为 F，求证：直线 FA 与 M相切 . (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使 PBC 是等腰三角形？如果存在，请求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由 解析： (1)连接 MC、 MA，由切线的性质得出 MC y 轴， MC=MA=5， OC=MD=4，得出点 C 的坐标；由 MD AB，得出 DA=DB，
22、 MDA=90，由勾股定理求出 AD，得出 BD、 OA、 OB，即可得出点A、 B 的坐标 . 解析： (2)把点 A(2， 0)代入抛物线得出 k= 94，得出顶点 E 的坐标，得出 DE、 ME，由勾股定理得出 EA2=22516，证出 MA2+EA2=ME2，由勾股定理的逆定理证出 MAE=90，即可得出 EA与 M 相切； 解析： (3)由勾股定理求出 BC，分三种情况：当 PB=PC 时，点 P 在 BC 的垂直平分线上，点 P 与 M 重合，容易得出点 P 的坐标 . 当 BP=BC=4 5 时，由勾股定理求出 PD，即可得出点 P 的坐标 . 当 PC=BC=4 5 时，由勾股
23、定理求出 PM，得出 PD，即可得出点 P 的坐标 答案： (1)解：连接 MC、 MA，如图 1 所示： M 与 y 轴相切于点 C， MC y 轴， M(5， 4)， MC=MA=5， OC=MD=4， C(0， 4)， MD AB， DA=DB， MDA=90， AD= 2254 =3， BD=3， OA=5-3=2， OB=5+3=8， A(2， 0)， B(8， 0)， 故答案为 2， 0； 8， 0； 0， 4； (2)证明：把点 A(2， 0)代入抛物线 y=14(x-5)2+k， 得： k= 94， E(5， 94)， DE=94， ME=MD+DE=4+94=254， EA2
24、=32+(94)2=22516， MA2+EA2=52+22516=62516， ME2=62516， MA2+EA2=ME2， MAE=90， 即 EA MA， EA 与 M 相切 . (3)解：存在；点 P 坐标为 (5， 4)，或 (5， 71 )，或 (5， 4+ 55 )；理由如下： 由勾股定理得： 2 2 2 24 8 4 5B C O C O B ， 分三种情况： 当 PB=PC 时，点 P 在 BC 的垂直平分线上，点 P与 M重合， P(5， 4)； 当 BP=BC=45时，如图 2 所示： 2 2 28 0 3 7 1P D B P B D ， P(5， 71 )； 当 PC=BC=45时，连接 MC，如图 3 所示： 则 PMC=90， 根据勾股定理得： 2 2 28 0 5 5 5P M P C M C ， PD=4+ 55 ， P(5， 4+ 55 )； 综上所述：存在点 P，且点 P 在 x 轴的上方，使 PBC 是等腰三角形， 点 P 的坐标为 (5， 4)，或 (5， 71 )，或 (5， 4+ 55 )
